hp://www.paper.edu.cn 基于 ARCH 族模型的上证 A 股指数 VaR 风险预测分析 贾胜如兰州大学数学与统计学院, 兰州 (73) Emal:jashr5@lzu.cn 摘要 : VaR 方法作为当前国际金融界广泛认可的一种度量金融风险的工具, 本文用当前金融领域刻画条件方差最典型的 GARCH 模型及其最新衍生模型如 EGARCH PARCH, 分别在正态分布以及能刻画收益厚尾特性的 - 分布假设下, 结合上证 A 股指数进行实证分析, 通过 Back-es 检验, 分析了影响风险价值 VaR 预测值的因素. 关键词 : ARCH 族模型, VaR, 波动性, 风险度量. 引言 金融市场的波动性和风险的加剧, 导致了金融市场风险管理的必要性. 传统的风险管理主要从灵敏性和波动性 ( 方差 - 均方差 ) 两个方面着手分析, 但精确性和全面性存在缺陷, 994 年 J.P.Morgan 提出了风险价值 VaR(Value a Rsk), 最初主要应用于金融市场风险的度量和控制 ;VaR 使用统计技术弥补了灵敏性分析和波动性分析的缺陷, 因而成为近年来国际金融界广泛认可的一种度量金融风险的工具. 在正态分布的假设下,RskMercs 给出了计算 VaR 的方法. 然而对大量的金融数据的实证分析表明, 资产的收益率不是正态分布的, 而是厚尾的 有偏的和尖峰的, 并且波动具有聚集性 ( 即大的波动后紧随大的波动, 小的波动后紧随小的波动 ), 并且存在杠杆效应, 如 Zangarc [8] 所指出, 在正态假定下所计算的 VaR, 常常是低估实际风险. 鉴于此, 国内外对于 VaR 计算方法的研究是比较多的 : 姚刚 (998) 等介绍了 VaR 方法产生的背景 定义 计算方法 用途及引入中国的必要性.Kupec(995) 提出了检验 VaR 计算的方法 返回检验法, 并给出了不同持有期的置信区间.Bllon 和 Pelzzon() 在假设正态分布和学生分布下用 RskMercs 和 GARCH(,) 模型得出比以前更准确的结果. 模型概述 在金融时间序列里, 收益的波动不仅随时间变动, 而且常常会出现波动聚集现象, 即一次大的波动后伴随着较大幅度的波动 ; 一次较小的波动后伴随着较小幅度的波动 ; 从统计学上看, 这样的序列, 往往存在着异方差现象 [7], Rober Engle [,5] 于 98 年提出自回归条件异方差模型 (Auo Regressve Condonal Heeroskedascy Model, 简称 ARCH 模型 ) [7]. Bollerslev 于 986 年又把高阶回归的 ARCH 扩展成 GARCH(p,q) 模型 [], 使待估参数大为减少, 从而模型的识别和估计都变得比较容易 ; 在进一步的金融市场研究中, 又发现股市的非对称性, 即股价的下跌要比股价的上涨引起更大的波动 ; 为了捕捉这种非对称因子, 又衍生了一些新的 ARCH 类模型, 下面简介几类 ARCH 模型 :. ARCH 族模型.. ARCH(q) 模型 设 ε = f ( y, x, β ) 是一个实数域上的离散时间随机过程, Ψ 是直到 时间的所有信息 本文受兰州大学青年骨干教师科研基金 (584337) 资助 - -
集 ( 即由 ε,,ε L 产生的 δ 域 ).ARCH(q) 过程由下面给出 : h hp://www.paper.edu.cn ε = h z, (.) ε ~ N(, h ), (.) Ψ + ε = ( B) ε = = + 其中 z 是均值为, 方差为 的标准正态分布... GARCH 模型 GARCH(p,q) 过程由下面给出 :. (.3) q >, >,, =, L, q ε ~ N(, h ), (.4) Ψ + ε + β h = + a( B) ε β ( = = h = + B) h. (.5) 其中 p, q,,, =, K, p. GARCH 模型适合在计算量不大时, 方便地描述了高阶的 ARCH 过程, 因而具有更大的适用性. 针对 GARCH 模型的种种不足, 人们提出了很多改进的方案, 包括 :..3 EGARCH 模型 为了捕捉数据的非对称性, 一类新的非对称 ARCH 模型 - 指数 GARCH 模型, 由 Nelson(99) 提出, 简称 EGARCH(p,q); 模型为 : ln h..4 PARCH 模型 ε ~ N(, h ), (.6) Ψ ε ε =. (.7) + ( + γ ) + β j ln( h ) = h h = aylor(986) 和 Schwer(989) 介绍了一种标准离差的 GARCH 模型, 即残差的绝对值引入模型而非残差. 后来这一系列模型被 Dng 等 (993) 所总结为 Power ARCH 模型 ( 简称 PARCH). 在模型中, 多了两个参数, 一个是用来捕捉不对称信息的参数, 另一个是标准离差参数. 其条件方差方程如下所示 : ( δ δ + ( ε γ ε ) + β j ( j ) = = δ h ) = h. (.8) (, δ,, β, γ ) > j <. VaR 风险度量模型.. VaR 的定义 VaR 衡量的是, 在一定时期和正常的市场条件下, 给定置信水平, 个投资者可能遭受的最大损失 [3], 它采用统计模拟模型来度量有价证券组合中资产价值的变动率及风险大小. 下面, 我们在概率框架中定义 VaR. 假设在时间指标 点, 我们感兴趣的是接下来的 Δ 段 - -
hp://www.paper.edu.cn 中一个金融头寸的风险. 令 Δ P 表示金融头寸中, 从时刻 到时刻 + Δ 资产价值的变化, 在时间指标为 时是一个随机变量. 用 F(x) 表示 Δ P 的累积分布函数 (CDF), 根据 Joron(997) 定义在持有期 Δ 中概率为 p 的 VaR 为 :.. VaR 的计算公式... 一般公式 p = Pr[ ΔP > VaR] = Pr[ ΔP VaR] = F( VaR). (.) μ σ () 如果收益率满足 : Δ P ~ dn(, ), 则 VaR 计算如下 : Pr( Δ P < VaR) = p, (.) ΔP μ VaR μ Pr( < ) = p, σ σ (.3) VaR = μ + σφ ( p). (.4) 其中 p 为左尾概率, Φ ( ) 是标准正态分布 p 点分位数,(.6) 式中参数 μ 和 σ 由极大似然 估计得到 () 当收益为标准化的学生 - 分布时, 有 : * VaR = μ + σ ( p) (.5) * 其中 p 为左尾概率, v ( p) 表示自由度为 v 的标准化的学生 - 分布的 p 分位数 在实际中,VaR 的计算涉及几种因素 : () 感兴趣的概率 p: 例如 p = % 或 p = 5%; () 时间区间 Δ : 如 天或 天, 本文选取 天 ; (3) F(x) 或它的分位数 : 本文用正态分布和学生分布 ;... VaR 对 ARCH 族模型的计算公式 随着 GARCH 模型在金融领域的应用, 模型得到很多扩展, 如 GARCH 等. 本文我们重要应用三种模型对上证 A 股指数进行波动预测. 计算 VaR 时还有一个分布问题要考虑, 通常的模型假设残差服从正态分布, 由 (.4) 和 (.5) 组成的 GARCH-Normal 模型生成条件方差序列 δ, 将相应数据代入 (.4) 式中,VaR 计算值为 : + = + Φ ( ) σ + VaR μ. (.6) 但在实际应用中, 收益序列常常存在偏度高, 尖峰 厚尾性 ; 因此应该考虑用于描述厚尾特征 的 - 分布, 此时 z 服从自由度为 v 的标准化 分布 : ε v ε = h z, (.7) Ψ * σ ~ ( v). (.8) 由 (.7),(.8),(.5) 组成 GARCH- 模型, 在 ε 服从自由度为 ν 的条件 分布的假设下, 生成 条件方差序列 σ, 将相应数据代入 (.5),VaR 的预测值为 : v VaR + = μ + v ( ) σ +. (.9) v - 3 -
hp://www.paper.edu.cn 其中 ( ) 是所讨论分布的相应分位数 (%, 5%), v 时刻的条件方差值. σ 为依第 时刻之前信息预测第 + + 3. 实证分析 本文分别采用上证指数为研究对象, 时间跨度为 997 年 月 日至 6 年 6 月 日, 数据来源于世华财讯系统, 并已经过向前复权处理. 为了预测, 我们分别取上证 A 股指数 997 年 月 日至 4 年 月 3 日共 7 个样本数据, 来预测到 6 年 7 月 日的 6 个 VaR 值. 收益率指数采用对数收益率, 即 r = ln p ln p, p 和 p 分别是第 日和第 - 日指数的收盘价格. 3. 样本数据揭示的上证指数的特征表 样本基本统计量均值方差最大最小偏度峰度 J-B 统计量上证指数.4.58 9.4-9.4 -. 9.8 79.8 上表列出了上证指数收益率序列的基本统计特征. 由所示的数据可知, 沪市收益率序列的均值较小, 偏度较小, 峰度远超过 3, 具有一定的偏斜 厚尾特征 ;Jarque-Bera 正态性检验在.5% 的显著性水平下拒绝了正态性假设. 这从直方图上也可以清楚地看到. 图 收益率 - 时间图 - 4 -
hp://www.paper.edu.cn 图 收益率直方图 ( 其中曲线为正态曲线 ) 3. ARCH 族模型计算 VaR 结果 我们采用 GARCH (,) EGARCH (,) 和 PARCH(,) 模型来计算. 先进性参数估计然后再计算 VaR, 并进行 VaR 模型的准确性检验是指 VaR 模型的测量结果对实际损失的覆盖程度. VaR 检验通行的方法是 Kupec(995) 提出的失败频率检验法. 得到如下结果 : 表 正态分布假设下 ARCH 族模型的参数估计 模型 c β γ GARCH (,) -.33 (-.46).3 (7.4853*).56 (.98*).765 (48.869*) EGARCH (,) -.787 (-.6394) -.85 (-.685*).856 (.575*).9636 (56.83*) -.378 (-3.39) PARCH(,) -.38 (-.776).5594 (5.857).74 (.5853*).83984 (6.454*) -.98 (-.779) 注 : 括号内数字为参数估计在 5% 置信水平下 统计量. 从模型的参数估计看, 各模型的参数在 5% 置信水平下 检验显著. 尤其 ARCH GARCH 项检验很显著 ; 而对估计残差再做异方差效应的 LM 检验, 将会发现不再存在显著的异方差现象, 所以说以上模型能较好刻画上证 A 股指数对数收益率异方差现象. - 5 -
hp://www.paper.edu.cn 表 3 正态分布假设下各模型估计 VaR 值的一般统计特征及 Back-es 检验 Model 置信水平 均值标准差偏度峰度 区间长度 失败天数 失败率 (%) 拒绝原假设否 GARCH(,).95 -.4.5 -.65 6.88 6 36 6 否.99-3.59.84 -.64 6.83 6 4.7 否 EGARCH(,).95 -.5.45 -.99 4.8 6 34 5.7 否.99-3.59.76 -.98 4.7 6 3.5 否 PARCH(,).95 -.4.46 -.98 4. 6 36 6 否.99-3.57.78 -.97 4.8 6 3.5 否 在置信水平 95%(99%) 下, 从 VaR 的预测结果看, 三种模型计算得到的 VaR 均值无明显差别, 估计标准差 EGARCH 与 PARCH 模型均小于一般 GARCH 模型. 估计失败天数相差不明显, 失败率均接近 5%(%). 用 Kupec(995) 提出的 LR 统计量检验, 在 5%(%) 显著水平下不能拒绝原假设, 所以可以得出结论, 对于上证 A 股指数而言, 这三个模型计算的 VaR 值结果较准确, 精度较高. 表 4 - 分布下的 ARCH 族模型参数估计值 Model c β γ 自由度 GARCH(,) EGARCH(,) PARCH(,).9.873.45.844 4.4974 (.456) (3.88) (5.865) (34.8846*) (.4797).6 -.77.7.9568 -.33 4.69 (.489) (-7.83*) (7.583*) (85.89*) (-3.755).564.9.5.556.85 -.335 4.79 (.53) (3.56) (7.379) (4.95*) (-3.9745).565 从模型的估计参数来看, 各模型的参数均在 5% 置信水平下显著. 而对估计残差再进行拉格朗日乘子检验, 将发现不存在显著的异方差现象, 所以说以上模型能较好刻画上证 A 股指数对数收益率异方差现象. - 6 -
hp://www.paper.edu.cn 表 5 - 分布下各模型估计 VaR 值的一般统计特征及 Back-es 检验 Model 置信水平 均值 标准差 偏度 峰度 区间长度 失败天数 失败率 (%) 拒绝原假设否 GARCH(,).95 -.35.497 -.648 6.878 6 36 6 否.99-3.587.837 -.637 6.834 6 4.7 否 EGARCH(,).95 -.54.454 -.995 4.84 6 34 5.7 否.99-3.589.759 -.985 4.66 6 3.5 否 PARCH(,).95 -.4.465 -.977 4.6 6 36 6 否.99-3.569.777 -.969 4.87 6 3.5 否 如表所示, 与正态分布的 VaR 预测结果相比, 在 95% 置信水平下, 分布预测值小, 其失败率与左尾概率相比过高, 低估风险 ; 当左尾概率更小 (%) 时, 其失败率与左尾概率无明显差异. 这表明对于上证 A 股指数, 越是在尾的后部, 由这种具有厚尾的分布 ( 分布 ) 所度量的 VaR 值越精确, 优于正态分布. 4. 结论. 总结以上 VaR 值的预测效果, 在固定的模型下 ( 如 GARCH 模型 ), 表明用 分布来拟合对数收益率的分布要优于正态分布, 越是在尾的后部, 由这种具有厚尾的分布 ( 分布 ) 所度量的尾概率越精确, 预测的 VaR 值精度越高.. 对于上证 A 股, 在正态分布假设下,VaR 值的预测对于 ARCH 族模型的种类不太敏感 ; 比如以上分析中,GARCH EGARCH PARCH 模型的设定, 尽管 EGARCH PARCH 更好的捕捉了股市的非对称信息, 刻画了股市的杠杆效应, 但是对于估计失败天数相差不明显 ; 一般在 VaR 的估计误差上,EGARCH PARCH 优于 GARCH 模型. 在 分布假设下, 用 EGARCH PARCH 模型计算得到的 VaR 值要好于用 GARCH 模型得到的结果. 因此此时考虑非对称性模型要好于不考虑非对称情况的简单 GARCH 模型. 因此通过 Back-es 检验, 得出 EGARCH- PARCH- 是计算 VaR 的最好模型. 参考文献 [].James D.Hamlon 著 (994). 刘明志译, 李学校, 靳云汇主审 (999), 时间序列分析 (me Seres Analyss), 中国社会科学出版社. [].J.Dhaene,S.Vanduffuel,Q.ang,M.J.Goovaers,R.Kaas,D.Vynke(3).Rsk Measures and Comomooncy:a Revew. [3].Joron P.Value a rsk:he new benchmark for conrollng marke rsk.new York:he McGraw-Hll Companes,Inc,997. [4].Kupec,P.(995), echnques for Verfyng he Accuracy of Rsk Measuremen Models,Journal of Dervaves,,pp.73-84. [5].Peer J.Brockwell,Rchard A.Davs 著, 田铮译 (997), 时间序列的理论与方法, 高等教育出版社, 北京 [6].Robero Perrell,Inroducon o ARCH and GARCH models,deparmen of Economcs Fall,. - 7 -
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