第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ),

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岭富司马
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1 第 34 卷第 2 期桂林理工大学学报 Vol 34No 年 5 月 JournalofGuilinUniversityofTechnology May 2014 文章编号 : (2014) doi: /j.isn 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析孙召伟, 张浩敏 ( 桂林理工大学理学院, 广西桂林 ) 摘要 : 采用 Copula 函数结合非对称 Laplace 分布的方法来刻画股票收益的尖峰厚尾及偏倚性, 计算了以上证指数和深证成指为组合的对数收益率的 CTE, 与传统的正态假设进行了对比, 证实了在资本收益率不服从正态分布时, 用 VaR 方法来度量风险就不再准确的结论,Copula 函数结合非对称 Laplace 分布的方法可以较好的计算投资组合的 CTE 关键词 :Copula;CTE; 非对称 Laplace 分布中图分类号 :O211 67;F 文献标志码 :A VaR (ValueatRisk, 风险价值 ) 方法概念简比, 结果表明 Copula 函数结合非对称 Laplace 分布单易于理解, 一经提出便受到广泛关注但的方法可以较好地计算投资组合的 CTE, 从而可 VaR 的缺点则是它没有提供任何关于损失分布的以较好地度量金融市场的风险尾部信息此外,VaR 方法在资本收益率不服从 1 CTE 概念及计算方法正态分布时, 不是一致性的风险度量, 用 VaR 方法来度量风险就不再准确 [1-2] CTE (Conditional 鉴于尾部条件期望 (CTE) 是在风险价值 TailExpectation, 尾部条件期望 ) [3] 改进了 VaR, (VaR) 的基础上提出的, 先对 VaR 和 CTE 作简其对尾部损失的估计是充分的此外 CTE 是一致单介绍性的风险度量基于上述优点,CTE 被认为是一 VaR 是在一特定的持有期内给定的置信水种比 VaR 更为合理有效的现代风险管理方法平 p 下, 给定的资产或资产组合可能遭受的最大损 Copula 函数可以理解为连接函数, 即把多失值其数学定义式为维随机变量的联合分布函数用其一维边际分布函 VaR[X;p]=-F X (1-p), 数连接起来的函数如果投资组合中的金融资产其中,F X (p)=inf{x R F X (x) p},f X ( ) 的分布已经确定, 那么市场风险就相当于投资组为资产组合收益 X 的分布函数 [3] 合中资产结构的风险, 可以完全由一个相应的 CTE 是指在正常市场条件下和一定的置信水 Copula 函数来描述 Copula 方法可以广泛应用于平 p 下, 测算出在给定的时间段内损失超过 VaR 金融市场中的风险管理投资组合的优化问题, 的条件期望值 CTE 可用如下公式进行计算 : 资产定价及再保险等领域 [4-5] CTE[X;p] =-E[X X <-VaR[X;p]] 本文采用 Copula 函数结合非对称 Laplace 分布 CTE 反映了损失超过 VaR 的相关信息, 因此, 其的方法计算了以上证指数和深证成指为组合的对对损失分布的尾部损失度量是相对充分和完整的, 数收益率的 CTE, 并与传统的正态假设进行了对尤其在损失分布并非正态分布的情况 ( 如厚尾, 偏收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ; ); 广西自然科学基金项目 (2011GXNSFD018003; 2013GXNSFDA019001); 广西教育厅科学基金项目 (200911LX137) 作者简介 : 孙召伟 (1986 ), 男, 硕士研究生, 研究方向 : 金融风险管理, @qq com 通讯作者 : 张浩敏, 博士, 副教授,zhanghm@glut edu cn 引文格式 : 孙召伟, 张浩敏. 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 [J]. 桂林理工大学学报,2014,34(2):

2 第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ), 其中 :p 表示置信水平 ;α 表示显著性水平 ( 即 α= 1-p);X 表示资产或资产组合收益 ;N 表示模拟次数 ;X (j) 表示 X 的第 j 个次序统计量 ; x 表示大于或等于 x 的最小整数 2 Sklar 定理 Copula 函数 Copula 函数可以看成是一种将多元随机变量的联合分别与它们各自的边际分布连接在一起的函数, 因此有人将它称为连接函数其研究起源于 Sklar,Nelsen 比较系统的介绍了 Copula 的定义构造方法以及常用的 ArchimedeanCopula 函数及相依性 [6] 2 1 Sklar 定理设多元分布函数 F 的边际分布为 F 1 (x 1 ),, F n (x n ), 那么存在一个 Copula 函数 C 使得 F(x 1,,x n )=C(F 1 (x 1 ),,F n (x n )) 若 F 1 (x 1 ),,F n (x n ) 连续, 则 C 唯一确定 ; 若 F 1 (x 1 ),,F n (x n ) 为一元分布, 那么由上式定义的函数 F 是边缘分布 F 1 (x 1 ),,F n (x n ) 的联合分布函数 2 2 ArchimedeanCopula 函数 Genest 和 Mackay 给出了 ArchimedeanCopula 函数的定义 C(u 1,,u n )=φ (φ(u 1 )+ +φ(u n )), 其中, 函数 φ( ) 称为 ArchimedeanCopula 函数的生成函数, 它满足以下条件 : (1)φ:[0,1] [0, ], 是连续的严格单调递减的凸函数 ; (2)φ(0) =,φ(1) =0 GumbelCopula 函数的表达式为 C(u,v)=exp(-[(-lnu) θ +(-lnv) θ ] 1/θ ), θ 1, 其中 : 参数 θ 描述了相关程度, 当 θ=1 时, 变量相互独立 ; 当 θ 时, 变量完全相关 GumbelCopula 函数对变量在上尾处的变化十分敏感, 因此能够捕捉上尾相关的变化, 可以用于描述具有上尾相关的金融变量之间的相关性 (i)claytoncopula 函数 ClaytonCopula 函数的表达式为 C(u,v)=max([u -θ +v -θ ] /θ,0),θ 且 θ 0, 其中 :θ 是描述两个变量之间相关性的参数, 当 θ 0 时, 变量趋向于独立 ; 当 θ 时, 变量完全相关 ClaytonCopula 函数对变量在下尾处的变化十分敏感, 因此能够捕捉下尾相关的变化 ( i)frankcopula 函数 C(u,v)=(/θ)ln(1+(e -θu )(e -θv )/ (e -θ )),θ 0, θ 为描述两个变量间相关性的参数 FrankCopula 函数的密度函数分布呈 U 字型, 分布具有对称性 2 3 Copula 函数参数估计 Copula 函数的参数估计方法有极大似然估计法和非参估计法本文采用 Genest 等提出的非参估计法 [7] 秩相关系数的概念: 秩相关系数反映的是变量间的单调相依性 (monotonicdepend ence), 在非线性单调变换下保持不变, 具有良好的统计特性, 要优于传统的线性相关性秩相关系数中最具代表性的是 Kendalτ 和 Spearmanρ 本文主要采用 Kendalτ 进行 Copula 函数参数估计 Kendalτ 系数定义为 τ=p{(x 1 -X 2 )(Y 1 -Y 2 ) >0}-P{(X 1 - X 2 )(Y 1 -Y 2 )<0}, 其中,(X 1,X 2 ) (Y 1,Y 2 ) 为来自同一二维分布的两 ArchimedeanCopula 函数有许多优良的性质, 个独立的随机变量在实际研究样本数据时, 采用 [6] 如具有对称性和可结合性且计算简单因此 Ar 下式来估计 Kendalτ: chimedeancopula 函数在实际应用中占有重要地 τ= n [ ] 位常见的 ArchimedeanCopula 函数有 Gumbel 2 sign{(x i -X j )(Y i -Y j )}, 1 i<j n Copula 函数 ClaytonCopula 函数和 FrankCopula { 1,x>0; 函数, 下面作简单介绍其中, sign(x)= 0,x=0; (i)gumbelcopula 函数,x<0

3 398 桂林理工大学学报 2014 年由文献 [6] 知,Kendalτ 系数和 Archimedean 其中,X + =max(x,0),x - =max(-x,0),x - = Copula 函数间存在具体的解析函数关系 ( 表 1) 其中,D k (x)= k x 0t k (e t ) dt,k=1,2 为 De k x 是一致渐进正态有效估计 bye 函数表 1 ArchimedeanCopula 中 Kendalτ 与 θ 的关系 Table1 RelationshipbetweenKendalτandθof ArchimedeanCopula Copula 函数类型 Gumbel Clayton Frank τ 1-1 θ θ (θ+2) 1+ 4 θ [D 1(θ)] 2 4 非对称 Laplace 分布及其参数估计本文选用非对称 Laplace 分布 [8], 其能很好的刻画金融资产收益序列的尖峰厚尾偏倚的特性随机变量 X 服从非对称 Laplace 分布, 如果它有如下特征函数 φ(t)=[1+σ 2 t 2 -iμt], 其中 :μ R,σ 0, 记为 X ~AL(μ,σ) 若用 f(x) 和 F(x) 表示 X 的密度函数和分布函数, 则有 f(x)= 1 { exp ( - κ x,x ) 0, κ σ σ1+κ 2 exp ( 1 x,x<0 σκ ) ; { κ 2exp ( -κ x,x>0, ) σ F(x)= κ 2 1+κ 2exp ( 1 x,x σκ ) 0 2σ 其中,κ= μ+ 4σ 2 2 槡 +μ 若 X 1,X 2,,X n 独立, 且都服从 AL(μ,σ), 则参数 μ 和 σ 的估计见表 2 表 2 AL(μ,σ) 的参数估计 Table2 ParametersestimationofAL(μ,σ) 极大似然估计 (MLE s) μ X 4 - 槡 X 4 σ 槡 X + ( 槡 X + + 槡 X - ) n X - i=1 n = n X +,X+ i=1 n = n X 2,X2 i i=1 n 这两种估计都 3 实证研究本文样本数据采用上证指数和深证成指的每日收盘价, 时间长度为 , 共 1954 对数据实证分析中, 采用对数收益率, 并假定所研究的资产组合包括以上两种资产, 且两种资产在组合中的比重相同日对数收益率定义为 ( ) r t =100ln P t P t- 1 其中,P t 为股指在 t 时的收盘价样本数据的对数收益率数据共 1953 对基本的描述性统计见表 3, 可以看出, 上证指数和深证成指的对数收益率具有尖峰厚尾及偏倚的特征, 所以其分布不符合传统的正态假设 3 1 参数估计 μ 和 σ 的估计值见表 4, 相关系数 Kendalτ 及 θ 估计值见表 5 σ 的矩估计和极大似然估计相差大约 10% ~15%, 经过多次模拟发现中间值的效果最好, 故本文选取中间值作为 σ 估计值 AL(μ,σ) 的参数, 表 4 μ 和 σ 的估计值 Table4 Estimationofμandσ μ σ 的矩估计 σ 的极大似然估计 σ 的取值上证指数深证成指表 5 相关系数 Kendalτ 及 θ 估计值 Table5 Corelationcoeficient,Kendalτandestimationofθ 相关系数 Kendalτ Gumbelθ Frankθ 矩估计 X X 2 2 槡 /2-(X) 表 3 基本的描述性统计 Table3 Basicdescriptivestatistics 均值 1/4 分位数最小值最大值 3/4 分位数标准差偏度峰度上证指数深证成指

4 第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析投资组合的 VaR 及 CTE 的 MonteCarlo 模重复以上步骤, 就可以计算出不同显著性水平拟 α 下 VaR 及 CTE, 结果见表 6, 其中失败频率是历采用 Gumbel 和 FrankCopula 函数进行 Monte 史数据超出 MonteCarlo 模拟的 VaR 的频率, 历史 Carlo 模拟, 边际分布取为非对称 Laplace 分布, CTE 是根据历史数据估计出的 CTE 从表 6 可以且同时用正态分布进行对比, 每种模拟分别进行看出 : 5000 次和 2000 次对于 VaR 的估计, 不管是选用 FrankCopula 函 Copula 模拟算法 : 数还是 GumbelCopula 函数, 正态模拟的效果明显 (1) 生成两个 (0,1) 区间上的均匀分布随机数没有非对称 Laplace 模拟的效果好, 尤其是当 α= u,w; 1% 和 α=10% 时误差比较大 ; 在非对称 Laplace 的 (2) 令 x=f 1 (u),f 1 为上证指数的边际分假定下, 当 α=1% 时,GumbelCopula 略优于 Frank 布 x 即为第 1 个随机数 ; Copula, 当 α=5% α=10% 时, 二者非常接近 (3) 令 v=c u (w)( 其中 C u = C(u,v)/ u, 对于 CTE 的估计, 正态假定存在明显的低估, C u ( ) 为准反函数 ); 尤其是当 α=1% α=5% 时比较明显 ; 在非对称 (4) 计算第 2 个随机数 y=f 2 (v),f 2 为深证 Laplace 的假定下, 当 α=1% 时,GumbelCopula 对指数的边际分布 y 即为第 2 个随机数 ; 于 CTE 的估计要略优于 FrankCopula 另外可以看 (5) 计算组合收益率 0 5x+0 5y 出, 模拟 5000 次和模拟 2000 次结果相当 Copula 函数类型及边际分布 Gumbel AL Gumbel Norm Frank AL Frank Norm 显著性水平 α/% 表 6 CTE 及 VaR 的模拟结果 Table6 NumericalsimulationresultsofCTEandVaR MonteCarlo 模拟的 VaR 及 CTE 5000 次 2000 次 VaR CTE VaR CTE 失败频率 /% 5000 次 2000 次历史 CTE 结束语采用 Copula 函数结合非对称 Laplace 分布的方法来刻画股票收益的尖峰厚尾及偏倚性, 计算了以上证指数和深证成指为组合的对数收益率的 CTE, 并与传统的正态假设进行了对比, 证实了在资本收益率不服从正态分布时, 用 VaR 方法来度量风险就不再准确的结论, 同时说明了 Copu la 函数结合非对称 Laplace 分布的方法可以较好的计算投资组合的 CTE, 从而可以较好的度量金融市场的风险参考文献 : [1]YamaiY,YoshibaT.Onthevalidityofvalue at risk:com parativeanalyseswithexpectedshortfal[j].monetaryand EconomicStudies,2002,20(1): [2]EmbrechtsP,McNeilA,StraumannD.Corelationandde pendenceinriskmanagement:propertiesandpitfals[c] // RiskManagement:ValueatRiskandBeyond. Cambridge:

5 400 桂林理工大学学报 2014 年 CambridgeUniversityPres,2002: [3]PhilippeA,FreddyD,Jean MarcE,etal.Coherentmeas uresofrisk[j].mathematicalfinance,1999,9(3): [4] BouyeE,DurlemanV,NikeahbaliA,etal.Copulasforfi nance:areadingguideandsomeapplications[r/ol].[ ].htp://papers.srn.com/sol3/papers.cfm?ab stract_id= [5] 张尧庭. 连接函数 (copula) 技术与金融风险分析 [J]. 统计研究,2002(4): [6] NelsenR B.AnIntroductiontoCopulas[M].NewYork: Springer Verlag,1999. [7]GenestC,RivestLP.Statisticalinferenceproceduresforbi variatearchimedeancopulas[j]. JournaloftheAmerican statisticalasociation,1993,88(423): [8]KozubowskiTJ,PodgorskiK.Aclasofasymmetricdistribu tions[j]. ActuarialResearchClearingHouse,1999,1: ResearchandempiricalanalysisofCTEbasedonCopula SUNZhao wei,zhanghao min (ColegeofScience,GuilinUniversityofTechnology,Guilin541006,China) Abstract:InordertoimprovetheVaRmodel,abetermethodofriskmeasurement,ConditionalTailExpecta tion(cte)isadopted.asactualdistributionofasetearningrateposesesthecharacteristicsofsteeppeaks, heavytailsandskew,traditionalnormaldistributioncannotproperlydescribethesecharacteristics.tosolve thisproblem,anewapproachbycombiningcopulafunctiontechniquewithasymmetriclaplacedistributionis used.finaly,thevarandcteoftheportfoliosarecomputedbymontecarlosimulation.theempiricala nalysisdescribethatthecopulamethodismuchbeterthanthegausianone. Keywords:Copula;CTE;asymmetricLaplacedistribution

402 桂林理工大学学报 2014 年其中 :λ U,λ L (0,1), 当 λ U (λ L )>0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 尾渐近相关 ; 当 λ U (λ L )=0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 的共同变动关系, 进而估计得到

402 桂林理工大学学报 2014 年其中 :λ U,λ L (0,1), 当 λ U (λ L )>0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 尾渐近相关 ; 当 λ U (λ L )=0 时, 称 X Y 上 ( 下 ) 的共同变动关系, 进而估计得到第 34 卷第 2 期桂林理工大学学报 Vol 34No 2 2014 年 5 月 JournalofGuilinUniversityofTechnology May 2014 文章编号 :1674-9057(2014)02-0401-05 doi:10 3969/j.isn 1674-9057 2014 02 033 期货市场尾部相关性的 Copula 度

第 2 期 孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征 实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ),

第 2 期孙召伟等 : 基于 Copula 函数的 CTE 研究与实证分析 397 斜等 ) 中, 能更全面有效地刻画损失分布的数理特征实际中, 可以采用下面的公式近似计算样本 CTE: CTE p = Nα α{ X N (j) +[ α- j=1 N ] X ( Nα } ),