8 四川理工学院学报 ( 自然科学版 ) 年月 +λ > 拉格朗日乘子是下述方程的解 +λ 另外, 我们注意到 λ { ( +λ )} - g t +λ 根据隐函数存在定理,λ 可以视为 α 的连续可微函数, λ 的取值与样本容量相关, 不妨记作 λ 对于给定的 α, 对应的经验似然函数为 : L

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厄贝
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1 第 5 卷第 5 期年月文章编号 : () 四川理工学院学报 ( 自然科学版 ) JoualofichuaUivesityofciece&Egieeig(NatualcieceEditio) Vol 5 No 5 Oct DOI:.3969/j.iss GARCH 模型的经验似然估计张芳 ( 山东凯文科技职业学院, 济南 5) 摘要 : 以计量经济学中 ARCH 模型族为背景, 对 GARCH 模型进行讨论和研究讨论了基于 GED 分布的 β ARCH 模型和 GARCH 模型的经验极大似然估计的求解方法, 得到了相应的平稳模型的大样本性质定理关键词 : 自回归条件异方差 (ARCH) 模型 ; 广义自回归条件异方差 (GARCH) 模型 ; 经验似然估计中图分类号 :O3 文献标志码 :A 早在 975 年,homas 和 Gukemie 在建立截尾数据下生存概率的区间估计时已经萌发了经验似然的思想 988 年,Owe 4 提出了经验似然的概念, 在约束条件下极大化经验似然函数后就得到了经验似然估计这其中, 约束条件是通过重新分配每个观测值上的权重而实现它对参数估计的影响研究成果表明, 经验似然估计具有类似于 Fishe 提出的参数似然法那样的优良性质经验似然估计 β-arch 模型的经验似然估计时间序列 { } 满足下列模型 { ε t ε t η t h t α +α ε t- β β + +α q ε t-q 考虑这样的问题, 对于样本 X,X,,X 令 P(X )(,,,), 则有, 此外矩约束条件为 :E(X), 此时, 最优解是在约束条件之下使得经验似然函数 L 达到最大值的 ^α 优化对象 R ll l 在此约束条件下, 取拉格朗日函数为 G l +μ(- )-λ 其中,μ,λ 为拉格朗日乘子对各变量求导, 并应用 KK 条件, 最优解必然满足下列条件 G -μ-λ μ+λ 由假设 λ μ 代入方程 μ+λ +λ 已知 < <, 可知收稿日期 : 9 7 基金项目 : 山东凯文科技职业学院自然科学基金项目 (kw 6) 作者简介 : 张芳 (984 ), 女, 山东邹平人, 助教, 硕士, 主要从事应用统计学方面的研究,(E mail)zhfag6@6.com

2 8 四川理工学院学报 ( 自然科学版 ) 年月 +λ > 拉格朗日乘子是下述方程的解 +λ 另外, 我们注意到 λ { ( +λ )} - g t +λ 根据隐函数存在定理,λ 可以视为 α 的连续可微函数, λ 的取值与样本容量相关, 不妨记作 λ 对于给定的 α, 对应的经验似然函数为 : L +λ ( ) +λ - 则相应的对数经验似然函数为 : logl -log- log+λ 这样, 经验极大似然估计 (MELE) 问题就被解决了 GARCH 模型的经验似然估计考虑 GARCH 模型 ε t 槡 h { t + α i ix t-i+ s β j ih t-j 其中 >,α i,β j,ε t 是独立同分布的随机变量, 期望值为, 方差为 ; 定义 λ (,α,,α p,β,, β j ) Θ, 其中 Θ 是 R p+q+ 上的完备集合若满足以上讨论的 GARCH 模型严格平稳, 即有 λ Θ, >,α i,β j, iαi+ p q β j <,EX t < ji 设定 ε t 服从高斯分布, 则 - log- L 现假定 ε t 服从广义误差分布, 基于广义误差分布的概率密度函数形式, 为简化符号, 令 a() λ + Γ( ),b() λ- 这样,X ~GED(,,), 则密度函数可以写成 f(x;)a() e{-b()x λ } 容易计算, EX xa() e{-b()x λ } dxex - - x a() e{-b()x λ } dx a()( x ) e {-b()(x ) } d x b() 综合上式, (λ,) - X +log a() λ + Γ( ) L λ + Γ( ) 对于独立同分布的随机变量 y,,y,y i 的分布函数 F 是基于经验分布函数 F i I {yi x}, 满足 Owe 4 5 定义了经验似然比令 R(F) i, df(y i )P(Yy i ),λ 满足使得函数 g(x i,λ) Rsup{ :, i i, g(x i,λ)} i 可以通过拉格朗日乘子法求得最大的 R 定义拉格朗日函数为 L log +a(- )-b g i (,λ) i 其中,a,b 为拉格朗日乘子, 则经验似然函数为 L E log+b g(x i,λ) i 上述过程中求得的 ^λ 能够使得 L E 取得最大值点, 经验最大似然估计 (MELE) 问题被解决了 GARCH 模经验似然估计的大样本性质 β-arch 模型经验似然估计的大样本性质引理当, 而当 ^α 是内点时, 它满足 Q (^α,^λ ),Q (^α,^λ ), 其中, Q 证明见文献 6 定理设矩阵 +λ,q +λ \{ \} λ

3 第 5 卷第 5 期 Q Q Q Q, ( ) - 令 U ),V ), 则有槡 (^λ -) L N(,U), 槡 (^α -α () ) L N(,V) 其中 Q,Q 如引理所述证明首先将 Q ((^α,^λ )),Q (^λ,b(^λ )) 在 (α (),) 处进行泰勒展开其中, Q (^λ,^b )Q (α (),)+ Q αα (),λ(^α -α () )+ Q αα(),λ(^λ -)+O p (δ ) Q (^λ,^b )Q (α (),)+ Q αα (),λ(^α -α () )+ Q αα(),λ(^λ -)+O p (δ ) Q (α (),) t (α () ),Q (α (),) Q Q αα (),λ t (α () ) αα (),λ Q - t (α () )g t(α () ) Q 则上式即为 \\hatλ - ( \\hatα -α ) ( αα(),λ t ) -Q (α (),) +o p ( - ) o p ( - ) 其中 : 满足 Q Q Q Q 张芳 :GARCH 模型的经验似然估计 ( (α () ) ) α α(),λ E (α () )g t(α () E( (α () ) ) E( t(α () ) ) 与此同时, 需要求解出的逆矩阵设的逆矩阵为, 满足 E m E 联立得方程组 : 化简 : + E m E { - + E - + E m ( - ) - ( - ) - -( - ) - - -( - ) - - 这里, 为简化起见, 令进而得到 - - λ - 槡 α -α ( ) - -槡 Q (α (),) +o p () o p 令, 由于槡 Q (α (),) 的渐近正态性, 得 ) ^λ - 槡 ^α -α ( L N(,W) 相应的 ) ) ( ) ) ) 其中, V ) U ) - 89

4 9 四川理工学院学报 ( 自然科学版 ) 年月特别的槡 (\\hatλ -) -( + ) 槡 Q (α (),)+o p () 槡 (α -α () ) 槡 Q (α (),)+o p () 得到槡 (^λ -) L N(,U) 槡 (^α -α () ) L N(,V) GARCH 模型经验似然估计的大样本性质定理若 GARCH 模型严格平稳, EX t <,λ Θ, >,α i,β j, p αi+ q β j < 对于所有的 i δ> 满足 Eε t 4+δ <, 对于讨论的 ^λ (θ ) 7-, 当 ji 时, 使得 l (;θ ;^λ (θ )) d χ () 由于易得则同理证明定义 (θ,λ), 令 Q +b,q l(;θ,λ) λ λλ (^θ ) +b { } b +b { } b λλ (^θ ) Q (^λ,b(^λ )) Q { ( +b ( ) b b t {+b } } Q b ( -max t λ )+ b t max t (-max t t ) Q p Q b { +b ( ) b- ) - ( ) b {+b } } 定义 Ω 是实数域上的矩阵, 在 R (p+q+)(p+q+) 上, 使得 Q b -Ω max t t -max t t 易推得定义 + ( ) - Ω + max t t (-max t t ) Q { +b ( b t {+b } }{ Q } p Ω b Q Q b λ Q Q b λ p -Ω^ Ω Ω ) - 应用泰勒展式, 式中定义形式同定理 Q (^λ,b(^λ )),Q (^λ,b(^λ )) 得到 b(^λ ) ( ^λ -λ ) - (λ b ) -Q,) +o p () 其中,λ 是 ^λ 与 λ 范围内相应的值,b 是 b(^λ ) 与范围内相应值 l(;θ,\\hatλ ) -Q,) {+ \}Q,)+o p () { ) - 槡 Q,)} {- ) - ) - } { ) - 槡 Q,)}+o p () 易知 ) - 槡 Q,) 服从多维标准正态分布 - ) - ) - 对称秩为可见 l (;θ ;^λ (θ )) d χ ()

5 第 5 卷第 5 期张芳 :GARCH 模型的经验似然估计 9 参考文献 : 5.& -, ( ( /&( * + & & *& ( +!(& +) * ( -&* / 3 5.& -, ( ( /&( + & & &! :& ( + ;** * 5.& -, ( ( /&( + ( & -& &( :& ( + ;** * & -, ( ( /&(!& & ( 6&, & *,) ) *":& ( "&, * ;* + & * &, *-& * + ;** * $! < ) " 7 8 -, ( ( /&( & +& & & ( & - &(. * -! *; ;** * 黄晓薇宋立新 β-"%4 模型的经验似然推断系统科学与数学秦永松条件分位数和条件密度的经验似然置信区间数学年刊 3 卯诗松王静龙濮晓龙高等数理统计北京高等教育出版社何书元应用时间学列分析北京北京大学出版社陈明镜马氏转移对数正态模型参数置信区间的 * *, 估计四川理工学院学报自然科学版张芳孟昭为 * *, 法对时间序列问题预测区间的修正山东理工大学学报 EmpiicalLikelihoodEstimatioofGARCHModel ZHANGFag (hadogkevicieceadechologyvocatioalcolege,jia5,chia) Abstact:heGARCHmodelsbasedoARCHmodelsiecoomicsaediscused.hemaiwokofthisaticleisas folows:theempiicallikelihoodestimatioofβ ARCHmodeladGARCHmodelaebieflydiscused.he,thelagesam plepopetieshavebeevalidated. Keywods:auto egesivecoditioalheteoscedasticitymodel(arch);geealauto egesivecoditioalheteo scedasticitymodel(garch);empiicallikelihoodestimatio

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