大學入學考試中心 104 學年度指定科目考試試題 數學乙 作答注意事項 考試時間 :80 分鐘 作答方式 : 選擇 ( 填 ) 題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在 答案卷 上作答 ; 更正時, 可以使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案 ; 或未使用黑色墨水的筆書寫答案卷, 致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者, 其後果由考生自行承擔 答案卷每人一張, 不得要求增補 選填題作答說明 : 選填題的題號是 A,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 18 3 例 : 若第 B 題的答案格式是, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 19 8 3 8 必須分別在答案卡上的第 18 列的與第 19 列的畫記, 如 : 18 19 1 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 7 例 : 若第 C 題的答案格式是 50, 而答案是時, 則考生必須分別在答案 50 卡的第 0 列的 7 與第 1 列的畫記, 如 : 0 1 1 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 4 5 6 7 8 9 0
第 1 頁 104 年指考共 7 頁數學乙 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 76 分 ) 一 單選題 ( 占 1 分 ) 說明 : 第 1 題至第 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確或最適當的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 6 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 將正方形 ABCD 的每一條邊各自標上 1 3 中的某一個數, 使得任兩條相鄰的邊, 都標有恰好差 1 的兩個數 滿足這種條件的標示法總共有多少種? (1) () 4 (3) 6 (4) 8 (5) 10. 坐標平面上, x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為 格子點 設 n 為正整數, 已知 在第一象限且滿足 xy n 的格子點 ( xy, ) 的數目為 個選項? (1) 0 () 1 a lim n a n 則 n n 的值為下列哪一 (3) 4 3 (4) (5) 4-1 -
104 年指考第 頁數學乙共 7 頁 二 多選題 ( 占 40 分 ) 說明 : 第 3 題至第 7 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 4.8 分 ; 答錯 個選項者, 得 1.6 分 ; 答錯多於 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 3. 針對某 50 人的班級調查喝飲料的習慣, 發現其中習慣半糖 ( 糖份減半 ) 的有 37 人, 而習慣去冰 ( 不加冰塊 ) 的有 8 人 現在若隨機抽問該班一位同學, 他喝飲料的習慣是半糖且去冰的機率有可能是下列哪些選項? (1) 0.8 () 0.46 (3) 0.56 (4) 0.66 (5) 0.74 4. 半導體產業的摩爾定律認為 積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加一倍 用 f () t 表示從 t 0 開始, 電晶體數目隨時間 t 變化的函數, 並假設 f (0) 1000 下 面選項中, 請選出可以代表摩爾定律的公式 1000 (1) 若 t 以年為單位, 則 f ( t) 1000 t () 若 t 以月為單位, 則 1000 f ( t) 1000 t 4 (3) 若 t 以年為單位, 則 f ( t) 1000 ( ) t 3t log( 1) (4) 若 t 以年為單位, 則 log f( t) 3 log (5) 若 t 以月為單位, 則 log f ( t) 3 t 4 - -
第 3 頁 104 年指考共 7 頁數學乙 5. 下表是兩年前三種零食分別在兩間超市的單價 :( 單位 : 元 / 包 ) 超市甲 超市乙 蘇打餅 30 8 薯片 魷魚絲 70 66 上表以單價矩陣 30 8 表示 如果這兩間超市都以每年 70 66 3% 的比例調漲物品的 價格, 請問下列哪些選項的計算結果可以代表現在這些零食在這兩間超市的單價矩陣? (1) () (3) 30 8 (1.03) 70 66 30 8 70 66 (1.03) (1.03) 0 0 30 8 0 (1.03) 0 0 0 (1.03) 70 66 (4) (5) 1.03 0 0 30 8 1.03 0 0 1.03 0 0 1.03 0 0 1.0370 66 (1.03) (1.03) (1.03) 30 8 (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) (1.03) 70 66-3 -
104 年指考第 4 頁數學乙共 7 頁 6. 設 f ( x ) 為一實係數多項式, 且 f ( x ) 除以 ( x 1)( ) x 的餘式為 ( x ) g( x), 其中 g( x ) 為一次多項式 請選出正確的選項 (1) 若知道 f (1) 及 f (), 則可求出 g( x ) () f ( x ) 除以 ( x ) 的餘式是 g () (3) f ( x ) 除以 ( x 1) 的餘式是 g (1) (4) f ( x ) 除以 ( x ) 的餘式是 g( x ) (5) f ( x ) 除以 ( x1)( x ) 的餘式是 x g( x) 7. 下表是某國在 009 年至 015 年間, 運動選手的人數統計 : 年份 男生 女生 009 3410 1950 010 340 000 011 3540 40 01 3710 370 013 3830 650 014 390 780 015 3990 860 關於該國運動選手, 請根據這張表選出正確的敘述 (1) 從 009 年到 015 年, 男運動選手增加的總人數比女運動選手增加的總人數多 () 從 009 年到 015 年, 平均一年增加了 580 名男運動選手 (3) 從 009 年到 015 年, 男女運動選手人數差距逐年持續縮小 (4) 如果分別計算男女運動選手人數對年份的迴歸直線 ( 最適直線 ), 則男生的直線斜率小於女生的直線斜率 (5) 在 009 年到 015 年共 7 年中, 全國平均一年有超過 6000 名運動選手 - 4 -
第 5 頁 104 年指考共 7 頁數學乙 三 選填題 ( 占 4 分 ) 說明 :1. 第 A 至 C 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (8 17). 每題完全答對給 8 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 若 a 為整數, 且 y 7x ax 的圖形與 x 軸的兩個交點都介於 x 1與 x 1 之間, 3 1 則滿足這樣條件的 a 有 8 9 個 B. 如圖, 長方形 ABCD 中 CAB 30, AC AD= AC, 則 AC AB = 10 11 C. 某校數學教師針對高三學生隨機選出 30 名男學生及 0 名女學生, 做新教材適應性的調查, 每一位學生都要填答, 且只能填答適應或不適應 結果有 35 名學生填答無法適應新教材內容 假設學生性別與適應狀況獨立, 請完成下列表格, 使其最能符合上述假設 性別 適應狀況 適應 不適應 ( 35 人 ) 男生 (30 人 ) 1 人 13 14 人 女生 (0 人 ) 15 人 16 17 人 以下第貳部分的非選擇題, 必須作答於答案卷 - 5 -
104 年指考第 6 頁數學乙共 7 頁 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 4 分 ) 說明 : 本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與子題號 ((1) () ), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至零分 作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 每一子題配分標於題末 一 根據內政部營建署 建築物無障礙設施設計規範, 無障礙通路之設計需符合以 下規定 坡道之坡度 ( 高度與水平長度之比值 ) 不得大於 1 1 坡道之起點及終點, 應設置長 寬各 150 公分以上之平台 此處的長, 指的 是水平長度, 而非斜面的長度 坡道的中間應設置適當數量的平台, 使得每段坡道的高差不超過 75 公分, 且 平台的水平長度至少 150 公分 1 各平台之坡度不得大於 50 圖一與圖二為側面示意圖, 圖一摘自此規範書, 圖二為圖一的簡明版, 其中 l 150, h1, h 75; 坡道之坡度相當於坡道斜率之絕對值 h 1 h 圖一 h 1 h 圖二 依上述規定, 一條升高 公尺的無障礙坡道, 在無轉彎的條件下, 其最小可能 的水平長度 ( 含平台 ) 為多少公尺?(1 分 ) - 6 -
第 7 頁 104 年指考共 7 頁數學乙 二 某航空公司因機械故障而停飛, 致使平安旅行社原來預定搭此航空公司班機返 台的 5 位旅客, 被迫滯留在當地 領隊經詢問後得知, 另外三家航空公司飛往 台灣近期的機位已滿, 都必須等待, 當時有三種方案可以將旅客送回台灣如下 表 ( 表中的數據是以每人為單位 ) 例如 A 方案, 旅行社必須負擔每人 4500 元 的食宿費加上 400 元的轉機價差 方案 食宿費 轉機價差 返台所需等待時間 A 轉搭甲航空公司的班機 4500 元 400 元 3 天 B 轉搭乙航空公司的班機 5500 元 00 元 4 天 C 轉搭丙航空公司的班機 8000 元 0 元 6 天 註 : 轉機價差是指 轉搭其他航空公司的班機 所需補的票價差額 領隊向旅行社報告後, 旅行社同意領隊可以使用下列經費來解決此事件 : 食宿 費總共最多 150000 元, 轉搭其他航空公司班機的轉機價差總共最多 8000 元 試問在經費允許的條件下, 要如何分配採用 A B C 這三種方案的人數, 才能 使全部旅客返回台灣所用的等待總人天數最少? 所謂等待總人天數是採用各方 案的人數乘以等待的天數之總和, 例如 : 若採用 A B C 方案的人數分別為 8 10 7 人, 則等待總人天數為 8 310476 106( 人天 ) 如果領隊規劃 x 人轉 搭甲航空公司的班機 y 人轉搭乙航空公司的班機, 其餘的旅客轉搭丙航空公司 的班機, 由下列步驟, 求出全部旅客返回台灣所用的最少等待總人天數 (1) 寫出此問題的線性規劃不等式及目標函數 ( 4 分 ) () 求可行解區域的所有頂點的坐標 ( 4 分 ) (3) 求全部旅客返回台灣所用的最少等待總人天數 ( 4 分 ) - 7 -