<4D F736F F D20CAFDD1A7D1A7D4BABACFB2A2B3F6C6ACCEC4BCFE2E646F63>

课 程 质 量 标 准 汇 编 ( 数 学 学 院 2010) 教 务 处 编 印 PDF 文 件 使 用 "pdffactory Pro" 试 用 版 本 创 建 www.fineprint.cn

目 录 高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 1 数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 7 数 学 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 12 高 等 代 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 22 解 析 几 何 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 29 常 微 分 方 程 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 34 概 率 论 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 39 抽 象 代 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 43 复 变 函 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 47 数 理 统 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 52 学 科 教 学 论 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 56 实 变 函 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 61 数 学 模 型 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 66 数 值 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 70 数 据 库 技 术 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 76 初 等 数 论 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 81 最 优 化 方 法 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 86 算 法 与 数 据 结 构 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 90 科 技 论 文 写 作 方 法 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 94 微 分 几 何 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 97 数 学 物 理 方 程 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 101 泛 函 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 106 拓 扑 学 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 110 线 性 规 划 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 115 数 学 方 法 论 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 119 竞 赛 数 学 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 123 高 等 几 何 与 几 何 基 础 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 127 数 据 库 原 理 与 应 用 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 132 算 法 与 数 据 结 构 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 137 数 学 模 型 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 143 信 息 科 学 基 础 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 149 数 值 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 154 PDF 文 件 使 用 "pdffactory Pro" 试 用 版 本 创 建 www.fineprint.cn

Java 程 序 设 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 160 复 变 函 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 169 实 变 函 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 174 数 学 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 178 高 等 代 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 188 计 算 机 组 成 原 理 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 195 操 作 系 统 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 200 计 算 机 网 络 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 205 经 济 学 概 论 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 212 管 理 学 原 理 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 219 管 理 信 息 系 统 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 226 会 计 学 基 础 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 232 算 法 设 计 与 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 239 信 息 系 统 分 析 与 设 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 244 信 息 安 全 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 248 软 件 工 程 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 252 动 态 网 页 设 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 257 企 业 资 源 计 划 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 261 数 值 代 数 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 265 微 分 方 程 数 值 解 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 271 WEB 应 用 程 序 设 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 276 数 据 仓 库 与 数 据 挖 掘 技 术 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 279 决 策 支 持 系 统 与 开 发 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 283 运 筹 学 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 287 物 流 学 概 论 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 293 数 据 分 析 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 299 统 计 预 测 与 决 策 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 302 离 散 数 学 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 307 C++ 程 序 设 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 314 概 率 论 与 数 理 统 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 321 可 视 化 程 序 设 计 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 327 PDF 文 件 使 用 "pdffactory Pro" 试 用 版 本 创 建 www.fineprint.cn

高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 简 介 课 程 名 称 英 译 名 称 高 等 代 数 方 法 选 讲 Study of Methods in Advanced Algebra 课 程 代 码 A6D00226 开 设 学 期 六 安 排 学 时 72 赋 予 学 分 4 课 程 类 型 公 共 基 础 课 学 科 基 础 课 专 业 课 人 文 科 技 素 质 课 必 修 课 选 修 课 授 课 教 研 室 数 学 与 应 用 数 学 教 研 室 负 责 人 余 德 民 开 设 单 位 数 学 学 院 教 材 名 称 教 材 出 版 信 息 高 等 代 数 方 法 选 讲 出 版 社, 年 月 第 版, 书 号 :ISBN 教 材 性 质 部 优 省 优 部 级 规 划 省 级 规 划 自 编 其 他 考 核 形 式 考 试 考 查 开 卷 闭 卷 课 程 设 计 学 期 论 文 其 他 课 程 成 绩 构 成 平 时 成 绩 40 % 期 末 考 核 60 % 主 讲 教 师 基 本 情 况 姓 名 性 别 学 历 学 位 职 称 从 教 时 间 李 凤 高 男 本 科 学 士 教 授 1976.7 周 立 仁 男 本 科 学 士 副 教 授 1981.7 王 英 女 硕 士 研 究 生 硕 士 副 教 授 1995.7 余 德 民 男 博 士 研 究 生 博 士 副 教 授 2001.7 课 程 简 介 本 课 程 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 选 修 课 程, 主 要 研 究 高 等 代 数 处 理 问 题 的 各 种 方 法 和 技 巧, 涉 及 的 内 容 有 : 多 项 式, 行 列 式, 线 性 方 程 组, 矩 阵,λ 矩 阵, 二 次 型, 线 性 空 间, 线 性 变 换, 欧 氏 空 间 等 通 过 学 习, 使 学 生 深 化 对 高 等 代 数 基 本 内 容 的 理 解, 掌 握 高 等 代 数 的 常 用 方 法 和 专 门 技 巧, 提 高 学 生 用 高 等 代 数 方 法 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 1

高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 教 学 大 纲 一 课 程 的 基 本 信 息 适 应 对 象 : 数 学 与 应 用 数 学 信 息 与 计 算 科 学 本 科 专 业 课 程 代 码 :A6D00226 学 时 分 配 :72 赋 予 学 分 :4 先 修 课 程 : 高 等 代 数, 解 析 几 何 后 续 课 程 : 竞 赛 数 学 二 课 程 性 质 与 任 务 高 等 代 数 方 法 选 讲 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 选 修 课 程, 开 设 本 课 程 的 任 务 在 于 使 学 生 深 化 对 高 等 代 数 基 本 内 容 的 理 解, 掌 握 高 等 代 数 的 常 用 方 法, 提 高 学 生 用 高 等 代 数 方 法 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力 三 教 学 目 的 与 要 求 通 过 本 课 程 的 教 学, 使 学 生 加 深 对 高 等 代 数 基 本 内 容 的 理 解, 掌 握 基 本 方 法 和 专 门 技 巧, 灵 活 运 用 高 等 代 数 方 法 解 决 实 际 问 题 四 教 学 内 容 与 安 排 第 一 章 多 项 式 (8 学 时 ) 1.1 基 本 内 容 多 项 式, 整 除, 带 余 除 法, 最 大 公 因 式, 辗 转 相 除 法, 互 素, 可 约 多 项 式, 不 可 约 多 项 式, 典 型 分 解 式, 重 因 式, 单 因 式, 重 因 式, 重 根, 多 项 式 函 数, 本 原 多 项 式 1.2 常 用 方 法 利 用 多 项 式 的 带 余 除 法 求 商 式 和 余 式, 并 判 断 是 否 有 f(x) g(x) 利 用 辗 转 相 除 法 求 多 项 式 u(x),v(x) 使 得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)) 最 大 公 因 式 的 求 法 : 辗 转 相 除 法 和 典 型 分 解 式 法 最 大 公 因 式 的 判 别 法 多 项 式 互 素 的 判 别 法 多 项 式 重 因 式 的 判 定 方 法 重 因 式 及 求 法 Lagrange 插 值 公 式 的 应 用 综 合 除 法 利 用 Eisenstein 判 断 法 判 断 整 系 数 多 项 式 在 有 理 数 域 上 是 否 可 约 1.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 二 章 行 列 式 (6 学 时 ) 2.1 基 本 内 容 排 列, 逆 序 数, 奇 排 列, 偶 排 列, 行 列 式 定 义, 余 子 式, 代 数 余 子 式, 范 德 蒙 行 列 式 2.2 常 用 方 法 求 排 列 的 逆 序 数, 判 断 排 列 的 奇 偶 性 利 用 行 列 式 的 定 义 计 算 或 证 明 把 行 列 式 化 为 三 角 形 行 列 式 计 算 或 证 明 利 用 行 列 式 的 性 质 计 算 或 证 明 化 成 箭 形 行 列 式 计 算 或 证 明 利 用 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开 公 式 计 算 或 证 明 利 用 Vandermonde 行 列 式 计 算 或 证 明 利 用 降 阶 公 式 和 递 推 关 系 计 算 或 证 明 利 用 Cramer 法 则 计 算 或 证 明 2.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 三 章 线 性 方 程 组 (6 学 时 ) 3.1 基 本 内 容 一 般 解, 系 数 矩 阵, 增 广 矩 阵, 齐 次 线 性 方 程 组, 解 空 间, 基 础 解 系, 通 解 3.2 常 用 方 法 利 用 初 等 行 变 换 求 线 性 方 程 组 的 一 般 解 的 方 法 线 性 方 程 组 可 解 ( 即 相 容 ) 判 别 法 含 有 待 定 常 数 的 线 性 方 程 组 的 解 法 求 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 及 全 部 解 的 方 法 求 一 般 线 性 方 程 组 的 全 部 解 ( 通 解 ) 的 方 法 3.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 四 章 矩 阵 (8 学 时 ) 4.1 基 本 内 容 矩 阵 的 运 算, 可 逆 矩 阵, 初 等 矩 阵, 伴 随 矩 阵, 初 等 变 换, 矩 阵 的 秩, 分 块 矩 阵 运 算 4.2 常 用 方 法 把 一 个 n 阶 可 逆 矩 阵 写 成 初 等 矩 阵 的 乘 积 求 逆 矩 阵 的 方 法 : 伴 随 矩 阵 法 ; 初 等 变 换 法 ( 包 括 元 素 为 块 的 情 形 ) 矩 阵 秩 的 求 法 : 直 接 求 矩 阵 的 非 零 最 高 阶 子 式 用 初 等 变 换 化 矩 阵 成 阶 梯 形 利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 把 矩 阵 化 为 阶 梯 形 矩 阵 和 简 化 2

阶 梯 形 矩 阵 4.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 五 章 二 次 型 (6 学 时 ) 5.1 基 本 内 容 二 次 型, 二 次 型 的 矩 阵, 二 次 型 的 秩, 变 量 的 线 性 变 换, 矩 阵 的 合 同, 二 次 型 的 等 价, 复 二 次 型 实 二 次 型 的 典 范 形 式, 惯 性 指 标, 符 号 差, 正 定 二 次 型, 正 定 矩 阵, 主 子 式 5.2 常 用 方 法 求 二 次 型 的 矩 阵 秩 的 方 法 对 于 数 域 F 上 n 阶 对 称 矩 阵 A, 求 A 的 相 似 标 准 形 的 方 法 求 实 二 次 型 的 典 范 形 式 的 方 法 求 实 二 次 型 的 惯 性 指 标 符 号 差 的 方 法 判 断 实 二 次 型 ( 实 对 称 矩 阵 ) 是 否 正 定 的 方 法 求 实 二 次 型 的 正 交 相 似 标 准 形 的 方 法 5.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 六 章 线 性 空 间 (10 学 时 ) 6.1 基 本 内 容 线 性 空 间, 子 空 间, 线 性 组 合, 线 性 表 示, 线 性 相 关, 线 性 无 关, 向 量 组 的 等 价, 极 大 无 关 组, 基, 维 数, 子 空 间 的 和, 直 和, 坐 标, 过 渡 矩 阵, 同 构 6.2 常 用 方 法 证 明 向 量 空 间 的 一 个 子 集 是 一 个 子 空 间 的 方 法 判 断 向 量 组 线 性 相 关 或 线 性 无 关 的 方 法 确 定 子 空 间 的 维 数 的 方 法 求 向 量 关 于 一 个 基 的 坐 标 的 方 法 求 一 个 基 到 另 一 个 基 的 过 渡 矩 阵 的 方 法 求 向 量 组 的 极 大 无 关 组 的 方 法 构 作 两 个 同 维 数 的 向 量 空 间 的 同 构 映 射 的 方 法 6.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 七 章 线 性 变 换 (10 学 时 ) 7.1 基 本 内 容 线 性 变 换, 线 性 变 换 的 矩 阵 多 项 式, 线 性 变 换 的 和 数 乘 乘 积, 线 性 变 换 ( 矩 阵 ) 的 特 征 多 项 式 特 征 值 ( 特 征 根 ) 特 征 向 量, 矩 阵 的 相 似, 线 性 变 换 的 值 域 核 秩 零 度, 不 变 子 空 间, 最 小 多 项 式, 线 性 变 换 ( 矩 阵 ) 的 对 角 化, 特 征 子 空 间 7.2 常 用 方 法 求 一 个 线 性 映 射 的 核 像 及 其 维 数 线 性 变 换 的 加 法 减 法 纯 量 乘 法 乘 法 等 运 算 求 线 性 变 换 关 于 一 个 基 的 矩 阵 求 线 性 变 换 作 用 下 一 个 向 量 关 于 一 个 基 的 坐 标 求 线 性 变 换 的 特 征 值 特 征 向 量 求 矩 阵 的 特 征 多 项 式 特 征 根 特 征 向 量 矩 阵 的 对 角 化 线 性 变 换 的 对 角 化 7.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 八 章 λ 矩 阵 (8 学 时 ) 8.1 基 本 内 容 λ 矩 阵, 行 列 式 因 子, 不 变 因 子, 初 等 因 子, Jordan 块, Jordan 标 准 形 8.2 常 用 方 法 求 λ 矩 阵 的 标 准 形 的 方 法 求 矩 阵 的 初 等 因 子 的 方 法 求 矩 阵 的 标 准 形 的 方 法 8.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 第 九 章 欧 氏 空 间 (10 学 时 ) 9.1 基 本 内 容 欧 氏 空 间, 向 量 的 长 度 夹 角 正 交 距 离, 正 交 组, 标 准 正 交 组, 正 交 基, 标 准 正 交 基, 正 交 矩 阵, 欧 氏 空 间 的 同 构, 正 交 变 换, ( 实 ) 对 称 变 换, 对 称 矩 阵 9.2 常 用 方 法 求 向 量 的 长 度 夹 角 距 离 的 方 法 利 用 Schmidt 正 交 化 方 法 求 正 交 组 标 准 正 交 组 正 交 基 标 准 正 交 基 的 方 法 n 阶 正 交 矩 阵 的 判 断 方 法 有 限 维 欧 氏 空 间 中 正 交 变 换 的 确 定 方 法 求 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 标 准 形 式 9.3 例 题 选 讲 ( 略 ) 五 教 学 设 备 和 设 施 黑 板 板 示 和 多 媒 体 教 学 相 结 合 六 课 程 考 核 与 评 估 考 核 分 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 七 附 录 教 学 参 考 文 献 目 录 1. 北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数 教 研 室 前 代 数 小 组. 高 等 代 数. 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,2003 2. 张 禾 瑞, 郝 鈵 新. 高 等 代 数 ( 第 四 版 ). 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,2000 3. 王 品 超. 高 等 代 数 新 方 法. 济 南 : 山 东 教 育 出 版 社, 1989 3

4. 毛 纲 源. 线 性 代 数 方 法 和 解 题 技 巧. 长 沙 : 湖 南 大 学 出 版 社,1980 教 学 网 络 提 示 湖 南 理 工 学 院 高 等 代 数 精 品 课 程 : http://jpkc.hnist.cn/ec/c12/zcr-1.htm 制 定 人 : 李 凤 高 审 核 人 : 李 松 华 4

高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 考 核 大 纲 一 适 应 对 象 修 读 完 高 等 代 数 和 抽 象 代 数 课 程 规 定 内 容 的 数 学 与 应 用 数 学 信 息 与 计 算 科 学 专 业 的 本 科 学 生 二 考 核 目 的 考 核 学 生 对 高 等 代 数 的 基 本 概 念 基 础 知 识 基 本 理 论 的 掌 握 情 况, 考 核 学 生 运 用 高 等 代 数 理 论 和 方 法 技 巧 处 理 实 际 问 题 的 能 力 三 考 核 形 式 与 方 法 考 核 分 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 期 末 考 核 是 本 课 程 全 部 所 学 内 容 的 考 核, 采 用 闭 卷 考 试 方 法 四 课 程 考 核 成 绩 构 成 课 程 考 核 成 绩 由 平 时 成 绩 和 期 末 考 试 成 绩 两 部 分 构 成, 其 中 平 时 成 绩 占 40%, 期 末 考 试 成 绩 占 60% 五 考 核 内 容 与 要 求 第 一 章 多 项 式 考 核 内 容 利 用 多 项 式 的 带 余 除 法 求 商 式 和 余 式, 并 判 断 是 否 有 f(x) g(x); 利 用 辗 转 相 除 法 求 多 项 式 u(x),v(x) 使 得 u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x)); 最 大 公 因 式 的 求 法 : 辗 转 相 除 法 和 典 型 分 解 式 法 ; 最 大 公 因 式 的 判 别 法 ; 多 项 式 互 素 的 判 别 法 ; 多 项 式 重 因 式 的 判 定 方 法 ; 重 因 式 及 求 法 ;Lagrange 插 值 公 式 的 应 用 ; 综 合 除 法 ; 利 用 Eisenstein 判 断 法 判 断 整 系 数 多 项 式 在 有 理 数 域 上 是 否 可 约 考 核 要 求 掌 握 : 高 等 代 数 中 的 关 于 多 项 式 处 理 问 题 的 方 法 与 技 巧 第 二 章 行 列 式 考 试 内 容 求 排 列 的 逆 序 数, 判 断 排 列 的 奇 偶 性 ; 利 用 行 列 式 的 定 义 计 算 或 证 明 ; 把 行 列 式 化 为 三 角 形 行 列 式 计 算 或 证 明 ; 利 用 行 列 式 的 性 质 计 算 或 证 明 ; 化 成 箭 形 行 列 式 计 算 或 证 明 ; 利 用 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开 公 式 计 算 或 证 明 ; 利 用 Vandermonde 行 列 式 计 算 或 证 明 ; 利 用 降 阶 公 式 和 递 推 关 系 计 算 或 证 明 ; 利 用 Cramer 法 则 计 算 或 证 明 考 核 要 求 掌 握 : 行 列 式 证 明 或 计 算 的 常 用 方 法 与 技 巧 熟 练 掌 握 : 行 列 式 的 基 本 性 质 第 三 章 线 性 方 程 组 考 试 内 容 利 用 初 等 行 变 换 求 线 性 方 程 组 的 一 般 解 的 方 法 ; 线 性 方 程 组 可 解 ( 即 相 容 ) 判 别 法 ; 含 有 待 定 常 数 的 线 性 方 程 组 的 解 法 ; 求 齐 次 线 性 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 及 全 部 解 的 方 法 ; 求 一 般 线 性 方 程 组 的 全 部 解 ( 通 解 ) 的 方 法 考 核 要 求 掌 握 : 线 性 方 程 组 的 解 的 基 本 理 论, 利 用 线 性 方 程 组 的 理 论 解 决 问 题 的 方 法 与 技 巧, 会 用 这 些 方 法 解 决 相 应 的 实 际 问 题 第 四 章 矩 阵 考 试 内 容 把 一 个 n 阶 可 逆 矩 阵 写 成 初 等 矩 阵 的 乘 积 ; 求 逆 矩 阵 的 方 法 : 伴 随 矩 阵 法 ; 初 等 变 换 法 ( 包 括 元 素 为 块 的 情 形 ); 矩 阵 秩 的 求 法 : 直 接 求 矩 阵 的 非 零 最 高 阶 子 式 ; 用 初 等 变 换 化 矩 阵 成 阶 梯 形 ; 利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 把 矩 阵 化 为 阶 梯 形 矩 阵 和 简 化 阶 梯 形 矩 阵 考 核 要 求 掌 握 : 矩 阵 的 基 本 运 算 计 算 方 法 与 技 巧, 会 用 这 些 方 法 证 明 关 于 矩 阵 的 秩 行 列 式 等 题 目, 会 用 矩 阵 方 法 与 技 巧 解 决 相 关 的 实 际 问 题 第 五 章 二 次 型 考 试 内 容 求 二 次 型 的 矩 阵 秩 的 方 法 ; 对 于 数 域 F 上 n 阶 对 称 矩 阵 A, 求 A 的 相 似 标 准 形 的 方 法 ; 求 实 二 次 型 的 典 范 形 式 的 方 法 ; 求 实 二 次 型 的 惯 性 指 标 符 号 差 的 方 法 ; 判 断 实 二 次 型 ( 实 对 称 矩 阵 ) 是 否 正 定 的 方 法 ; 求 实 二 次 型 的 正 交 相 似 标 准 形 的 方 法 考 核 要 求 掌 握 : 惯 性 定 律 的 广 泛 应 用, 掌 握 正 定 二 次 型 的 判 定 方 法 与 技 巧 熟 练 掌 握 : 二 次 型 的 基 本 理 论 计 算 方 法 与 技 巧 第 六 章 线 性 空 间 考 试 内 容 证 明 向 量 空 间 的 一 个 子 集 是 一 个 子 空 间 的 方 法 ; 判 断 5

向 量 组 线 性 相 关 或 线 性 无 关 的 方 法 ; 确 定 子 空 间 的 维 数 的 方 法 ; 求 向 量 关 于 一 个 基 的 坐 标 的 方 法 ; 求 一 个 基 到 另 一 个 基 的 过 渡 矩 阵 的 方 法 ; 求 向 量 组 的 极 大 无 关 组 的 方 法 ; 构 作 两 个 同 维 数 的 向 量 空 间 的 同 构 映 射 的 方 法 考 核 要 求 掌 握 线 性 空 间 的 基 本 理 论 计 算 方 法 与 技 巧, 掌 握 子 空 间 的 判 定 过 渡 矩 阵 的 求 法 同 构 的 判 定 等, 会 用 线 性 空 间 的 理 论 与 方 法 解 决 相 关 实 际 问 题 第 七 章 线 性 变 换 考 试 内 容 求 一 个 线 性 映 射 的 核 像 及 其 维 数 ; 线 性 变 换 的 加 法 减 法 纯 量 乘 法 乘 法 等 运 算 ; 求 线 性 变 换 关 于 一 个 基 的 矩 阵 ; 求 线 性 变 换 作 用 下 一 个 向 量 关 于 一 个 基 的 坐 标 ; 求 线 性 变 换 的 特 征 值 特 征 向 量 ; 求 矩 阵 的 特 征 多 项 式 特 征 根 特 征 向 量 ; 矩 阵 的 对 角 化 ; 线 性 变 换 的 对 角 化 考 核 要 求 掌 握 : 线 性 变 换 的 基 本 理 论 计 算 方 法 与 技 巧, 线 性 变 换 在 某 个 基 下 的 矩 阵 的 求 法, 线 性 变 换 在 子 空 间 上 的 作 用 所 产 生 的 一 系 列 结 果 和 方 法 第 八 章 λ 矩 阵 考 试 内 容 求 λ 矩 阵 的 标 准 形 的 方 法 ; 求 矩 阵 的 初 等 因 子 的 方 法 ; 求 矩 阵 的 标 准 形 的 方 法 考 核 要 求 掌 握 矩 阵 或 线 性 变 换 的 Jordan 标 准 形 的 求 法 第 九 章 欧 氏 空 间 考 试 内 容 求 向 量 的 长 度 夹 角 距 离 的 方 法 ; 利 用 Schmidt 正 交 化 方 法 求 正 交 组 标 准 正 交 组 正 交 基 标 准 正 交 基 的 方 法 ;n 阶 正 交 矩 阵 的 判 断 方 法 ; 有 限 维 欧 氏 空 间 中 正 交 变 换 的 确 定 方 法 ; 求 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 标 准 形 式 考 核 要 求 掌 握 欧 氏 空 间 的 基 本 理 论 计 算 方 法 与 技 巧, 掌 握 正 交 变 换 和 正 交 矩 阵 的 相 关 理 论 与 方 法, 会 用 这 些 理 论 与 方 法 技 巧 解 决 相 关 的 实 际 问 题 六 样 卷 数 学 学 院 高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 考 试 试 题 学 年 第 学 期 班 级 时 量 : 120 分 钟 总 分 100 分 考 试 形 式 闭 卷 1.(20 分 ) 设 f ( x ) 是 数 域 P 上 的 一 个 n 次 多 项 式, 这 里 n > 1, 且 设 f ( x ) 的 一 阶 微 商 可 以 整 除 f ( x ). 证 明 : f ( x) = a( x b) n, 这 里 ab, Pa, 0. 2.(20 分 ) 解 方 程 组 x1+ x2 + x3 = 1 ax + bx + cx = d ax bx cx d 1 2 3 2 2 2 2 1+ 2 + 3 = 其 中 abcd,,, 为 互 不 相 同 的 常 数. 3. (20 分 ) 设 AB, 均 为 n n矩 阵, 证 明 : 若 AB = 0, 则 rank( A) + rank( B) n. 4. (20 分 ) 设 A 是 数 域 P 上 一 个 n n 矩 阵, F( A) = { f( A) f( x) P[ x]}. 证 明 : n n (1) F( A ) 是 P 的 一 个 子 空 间 ; 2 m (2) 可 以 找 到 非 负 整 数 m, 使 EAA,,,, A 是 F( A ) 的 一 组 基 ; (3) F( A ) 的 维 数 等 于 A 的 最 小 多 项 式 的 次 数. 2 5.(20 分 ) 设 R 是 实 数 域 R 上 2 维 向 量 空 2 间, σ :( x1, x2) ( x2, x1) 是 R 的 线 性 变 换. (1) 求 σ 在 基 α1 = (1, 2), α2 = (1, 1) 下 的 矩 阵 ; 2 a11 a12 (2) 设 σ 在 R 的 某 一 组 基 下 的 矩 阵 为 a21 a22 证 明 : 乘 积 a12a 21 不 等 于 零. 制 定 人 : 李 凤 高 审 核 人 : 李 松 华 6

数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 简 介 课 程 名 称 英 译 名 称 数 学 分 析 方 法 选 讲 Mathematical Analysis 课 程 代 码 A6D00126 开 设 学 期 六 安 排 学 时 72 赋 予 学 分 4 课 程 类 型 公 共 基 础 课 学 科 基 础 课 专 业 课 人 文 科 技 素 质 课 必 修 课 选 修 课 授 课 教 研 室 数 学 与 应 用 数 学 教 研 室 负 责 人 余 德 民 开 设 单 位 数 学 学 院 教 材 名 称 教 材 出 版 信 息 数 学 分 析 学 习 指 导 裘 兆 泰 等, 科 学 出 版 社,2008,ISBN 978-7-03-012219-3 教 材 性 质 部 优 省 优 部 级 规 划 省 级 规 划 自 编 其 他 考 核 形 式 考 试 考 查 开 卷 闭 卷 课 程 设 计 学 期 论 文 其 他 课 程 成 绩 构 成 平 时 成 绩 40% 期 末 考 核 60% 主 要 教 师 基 本 情 况 姓 名 性 别 学 历 学 位 职 称 从 教 时 间 孙 明 保 男 博 士 研 究 生 博 士 教 授 1983.7 涂 建 斌 男 本 科 学 士 副 教 授 1988.6 张 志 红 男 本 科 学 士 副 教 授 1986.7 李 松 华 男 博 士 研 究 生 博 士 副 教 授 1997.7 刘 朝 才 男 硕 士 研 究 生 硕 士 讲 师 2000.7 课 程 简 介 : 本 课 程 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 和 信 息 与 计 算 科 学 专 业 的 主 要 专 业 选 修 课 程, 帮 助 学 生 进 一 步 掌 握 数 学 分 析 中 相 关 知 识, 提 高 学 生 运 用 分 析 方 法 解 决 问 题 的 能 力, 为 进 一 步 深 造 打 好 扎 实 的 基 础 7

数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 教 学 大 纲 一 课 程 的 基 本 信 息 适 应 对 象 : 数 学 与 应 用 数 学 专 业 信 息 与 计 算 科 学 专 业 本 科 层 次 课 程 代 码 :A6D00126 学 时 分 配 :72 学 时 赋 予 学 分 :4 先 修 课 程 : 数 学 分 析 后 续 课 程 : 实 变 函 数, 泛 函 分 析, 数 学 物 理 方 程 等 二 课 程 性 质 与 任 务 数 学 分 析 方 法 选 讲 是 数 学 类 专 业 的 一 门 重 要 的 选 修 课, 对 数 学 分 析 这 门 重 要 基 础 课 程 有 很 大 的 提 升 作 用 开 设 本 课 程 的 主 要 任 务 是 让 学 生 加 深 数 学 分 析 课 程 中 基 本 概 念 基 本 理 论 及 基 本 运 用 技 能, 一 方 面 为 后 续 课 程 的 学 习 提 供 必 要 的 基 础 知 识, 同 时 还 为 培 养 学 生 的 独 立 研 究 能 力 提 供 必 要 的 训 练, 特 别 是 能 进 一 步 培 养 学 生 的 数 学 素 养 数 学 技 巧 与 方 法, 及 数 学 严 谨 性 思 维 三 教 学 目 的 与 要 求 使 学 生 能 够 掌 握 数 学 分 析 的 重 要 理 论 和 方 法 ; 准 确 理 解 并 能 灵 活 应 用 极 限 的 理 论 与 思 想 ; 培 养 学 生 抽 象 思 维 空 间 想 象 逻 辑 推 理 和 熟 练 地 运 算 能 力 ; 培 养 学 生 的 学 习 方 法 和 学 习 兴 趣, 培 养 自 学 能 力 ; 培 养 学 生 的 创 新 能 力, 应 用 数 学 方 法 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ; 培 养 学 生 将 来 从 事 教 学 工 作 和 科 研 工 作 所 必 备 的 数 学 素 质 打 下 一 个 良 好 的 基 础 四 教 学 内 容 与 建 议 学 时 安 排 第 一 章 极 限 (14 学 时 ) 1.1 数 列 极 限 数 列 极 限 N 定 义 的 证 明, 迫 敛 准 则 的 应 用, 单 调 ε 有 界 原 理 的 应 用,Cauchy 收 敛 准 则 的 应 用, 数 列 极 限 的 计 算 与 Stolz 定 理 及 应 用 1.2 函 数 极 限 用 定 义 证 明 函 数 极 限 问 题, 证 明 函 数 极 限 的 其 它 方 法 (Heine 归 结 原 理 Cauchy 收 敛 准 则, 迫 敛 准 则 单 侧 极 限 ), 函 数 极 限 的 计 算 1.3 实 数 连 续 性 定 理 确 界 与 聚 点 的 定 义, 确 界 存 在 定 理 单 调 有 界 数 列 收 敛 定 理 闭 区 间 套 定 理 致 密 性 定 理 Cauchy 收 敛 准 则 有 限 覆 盖 定 理 聚 点 定 理 第 二 章 一 元 函 数 连 续 与 一 致 连 续 (4 学 时 ) 2.1 连 续 与 一 致 连 续 函 数 连 续 性 与 一 致 连 续 性 的 证 明 2.2 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 的 应 用 与 证 明 第 三 章 一 元 函 数 微 分 学 (12 学 时 ) 3.1 导 数 与 微 分 可 导 性 判 断 与 导 数 计 算, 导 数 有 关 证 明, 高 阶 导 数 的 计 算 方 法 与 技 巧 3.2 微 分 中 值 定 理 及 应 用 L Hospital 法 则 与 极 限 计 算 技 巧, 极 限 与 连 续 性 问 题, 零 点 问 题, 中 值 ( 介 值 ) 问 题 3.3Taylor 公 式 及 应 用 3.4 导 数 在 函 数 研 究 中 的 应 用 函 数 的 单 调 性, 函 数 的 极 值 与 最 值, 函 数 的 凸 凹 性, 曲 线 的 渐 近 线 第 四 章 一 元 函 数 积 分 学 (14 学 时 ) 4.1 不 定 积 分 不 定 积 分 的 定 义, 不 定 积 分 的 计 算 4.2 定 积 分 定 积 分 的 概 念 与 计 算, 函 数 可 积 性 及 其 应 用, 几 个 重 要 的 积 分 不 等 式, 积 分 估 计, 积 分 中 值 定 理 及 应 用 4.3 反 常 积 分 反 常 积 分 的 概 念 与 计 算, 反 常 积 分 的 敛 散 性 判 别, 反 常 积 分 的 证 明 4.4 含 参 变 量 积 分 含 参 变 量 积 分 的 性 质 及 应 用, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 一 致 收 敛, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 性 质 及 应 用, 两 个 特 殊 积 分 及 应 用 第 五 章 级 数 (10 学 时 ) 5.1 数 项 级 数 上 极 限 与 下 极 限 的 定 义 基 本 性 质 及 运 算 法 则, 数 项 级 数 的 敛 散 性 判 别, 任 意 项 级 数 的 敛 散 性 判 别 5.2 函 数 列 与 函 数 项 级 数 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 判 别, 一 致 收 敛 函 数 列 ( 或 函 数 项 级 数 ) 的 极 限 函 数 ( 或 和 函 数 ) 分 析 性 质 5.3 幂 级 数 8

幂 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域, 函 数 展 开 为 幂 级 数, 幂 级 数 求 和 5.4Fourier 级 数 Fourier 级 数 展 开,Fourier 级 数 收 敛 性 判 别 第 六 章 多 元 函 数 微 积 分 学 (18 学 时 ) 6.1Euclid 空 间 上 的 极 限 和 连 续 Euclid 空 间 上 的 基 本 定 理, 多 元 函 数 极 限 与 累 次 极 限, 多 元 函 数 的 连 续 性 与 一 致 连 续 性 6.2 多 元 函 数 微 分 学 偏 导 数 与 全 微 分, 中 值 定 理 及 Taylor 公 式, 偏 导 数 的 应 用 : 隐 函 数 的 存 在 性 几 何 问 题 极 值 问 题 6.3 多 元 函 数 积 分 学 重 积 分 的 概 念 与 计 算, 曲 线 积 分, 曲 面 积 分 与 场 论 五 教 学 设 备 和 设 施 黑 板 板 书 与 多 媒 体 教 学 相 结 合 六 课 程 考 核 与 评 估 考 核 分 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 七 附 录 参 考 文 献 1. 裘 兆 泰 等, 数 学 分 析 学 习 指 导, 科 学 出 版 社,2008 2. 吴 良 森 等, 数 学 分 析 学 习 指 导 书 ( 上 下 ), 高 等 教 育 出 版 社,2009 3. 吉 米 多 维 奇, 数 学 分 析 习 题 集 题 解 (1 2 3 4 5 6), 山 东 科 学 技 术 出 版 社,2005 4. 陈 纪 修 等, 数 学 分 析 ( 上 下 ), 高 等 教 育 出 版 社, 2004 5. 张 筑 生, 数 学 分 析 新 讲 ( 一 二 三 ), 北 京 大 学 出 版 社,2008 教 学 网 络 提 示 1.http://jpkc.hnist.cn/ec/C539/zcr-1.htm, 湖 南 理 工 学 院 数 学 分 析 校 级 精 品 课 程 2.http://www.math.ecnu.edu.cn/jpkc/sxfx/, 华 东 师 范 大 学 数 学 分 析 国 家 级 精 品 课 程 3.http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/analysis/, 北 京 大 学 数 学 分 析 国 家 级 精 品 课 程 制 定 人 : 李 松 华 审 核 人 : 张 映 辉 9

数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 考 核 大 纲 一 适 用 对 象 分 别 修 读 完 数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 相 应 规 定 内 容 的 数 学 与 应 用 数 学 专 业 信 息 与 计 算 科 学 专 业 的 学 生 ; 提 出 并 获 准 免 修 本 课 程 申 请 进 行 课 程 水 平 考 核 的 数 学 与 应 用 数 学 专 业 信 息 与 计 算 科 学 专 业 的 学 生 二 考 核 目 的 考 核 学 生 对 数 学 分 析 的 重 要 概 念, 重 要 理 论, 重 要 方 法 的 掌 握 情 况, 考 核 学 生 灵 活 运 用 数 学 分 析 理 论 和 方 法 对 数 学 问 题 进 行 综 合 运 算, 对 数 学 问 题 推 理 和 论 证 能 力 三 考 核 形 式 与 方 法 期 末 成 绩 评 定 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 四 课 程 考 核 成 绩 构 成 课 程 考 核 成 绩 由 平 时 成 绩 和 期 末 考 试 成 绩 两 部 分 构 成, 其 中 平 时 成 绩 占 40%, 期 末 考 试 成 绩 占 60% 五 考 核 内 容 与 要 求 第 一 章 极 限 考 核 内 容 数 列 极 限 N 定 义 的 证 明, 迫 敛 准 则 的 应 用, 单 调 ε 有 界 原 理 的 应 用,Cauchy 收 敛 准 则 的 应 用, 数 列 极 限 的 计 算 与 Stolz 定 理 的 应 用 用 定 义 证 明 函 数 极 限 问 题, 证 明 函 数 极 限 的 其 它 方 法 (Heine 归 结 原 理 Cauchy 收 敛 准 则, 迫 敛 准 则 单 侧 极 限 ), 函 数 极 限 的 计 算 确 界 与 聚 点 的 定 义, 确 界 存 在 定 理 单 调 有 界 数 列 收 敛 定 理 闭 区 间 套 定 理 致 密 性 定 理 Cauchy 收 敛 准 则 有 限 覆 盖 定 理 聚 点 定 理 考 核 要 求 理 解 : 实 数 连 续 性 定 理 掌 握 : 计 算 各 种 形 式 极 限, 用 定 义 证 明 数 列 极 限 和 函 数 极 限, 证 明 各 种 形 式 极 限 的 存 在 性, 实 数 连 续 性 定 理 的 证 明 及 应 用 第 二 章 一 元 函 数 连 续 与 一 致 连 续 考 核 内 容 一 致 连 续 的 概 念, 函 数 连 续 性 与 一 致 连 续 性 的 证 明, 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 的 应 用 与 证 明 考 核 要 求 理 解 : 一 致 连 续 的 概 念 掌 握 : 函 数 连 续 性 与 一 致 连 续 性 的 证 明, 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 的 应 用 与 证 明 第 三 章 一 元 函 数 微 分 学 考 核 内 容 可 导 性 判 断 与 导 数 计 算, 导 数 有 关 证 明, 高 阶 导 数 的 计 算 方 法 与 技 巧 L Hospital 法 则 与 极 限 计 算 技 巧, 极 限 与 连 续 性 问 题, 零 点 问 题, 中 值 ( 介 值 ) 问 题 函 数 的 单 调 性, 函 数 的 极 值 与 最 值, 函 数 的 凸 凹 性, 曲 线 的 渐 近 线 考 核 要 求 理 解 : 导 数 与 微 分 的 概 念, 高 阶 导 数 与 高 阶 微 分 的 概 念 掌 握 : 导 数 与 微 分 的 计 算, 微 分 中 值 定 理 及 应 用,Taylor 公 式 及 应 用, 导 数 在 函 数 单 调 性 极 值 与 最 值 凸 凹 性 等 性 质 研 究 中 的 应 用 第 四 章 一 元 函 数 积 分 学 考 核 内 容 不 定 积 分 的 定 义, 不 定 积 分 的 计 算 定 积 分 的 概 念 与 计 算, 函 数 可 积 性 及 其 应 用, 几 个 重 要 的 积 分 不 等 式, 积 分 估 计, 积 分 中 值 定 理 及 应 用 反 常 积 分 的 概 念 与 计 算, 反 常 积 分 的 敛 散 性 判 别, 反 常 积 分 的 证 明 含 参 变 量 积 分 的 性 质 及 应 用, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 一 致 收 敛, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 性 质 及 应 用, 两 个 特 殊 积 分 及 应 用 考 核 要 求 理 解 : 不 定 积 分 的 概 念, 定 积 分 的 概 念, 反 常 积 分 的 概 念, 含 参 变 量 积 分 的 概 念 掌 握 : 上 述 四 类 积 分 的 计 算, 函 数 的 可 积 性, 积 分 中 值 定 理 及 其 应 用, 反 常 积 分 的 敛 散 性 判 别, 含 参 变 量 积 分 的 性 质 及 应 用, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 一 致 收 敛, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 性 质 及 应 用, 两 个 特 殊 积 分 及 应 用 第 五 章 级 数 考 核 内 容 上 极 限 与 下 极 限 的 定 义 基 本 性 质 及 运 算 法 则, 数 项 级 数 的 敛 散 性 判 别, 任 意 项 级 数 的 敛 散 性 判 别 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 判 别, 一 致 收 敛 函 数 列 ( 或 函 数 项 级 数 ) 的 极 限 函 数 ( 或 和 函 数 ) 分 析 性 质 幂 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域, 函 数 展 开 为 幂 级 数, 幂 级 数 求 和 Fourier 10

级 数 展 开,Fourier 级 数 收 敛 性 判 别 考 核 要 求 理 解 : 上 极 限 与 下 极 限 的 定 义 掌 握 : 数 项 级 数 的 敛 散 性 判 别, 任 意 项 级 数 的 敛 散 性 判 别, 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 判 别, 一 致 收 敛 函 数 列 ( 或 函 数 项 级 数 ) 的 极 限 函 数 ( 或 和 函 数 ) 分 析 性 质, 幂 级 数 的 收 敛 半 径 和 收 敛 域, 函 数 展 开 为 幂 级 数, 幂 级 数 求 和,Fourier 级 数 展 开,Fourier 级 数 收 敛 性 判 别 第 六 章 多 元 函 数 微 积 分 学 考 核 内 容 Euclid 空 间 上 的 基 本 定 理, 多 元 函 数 极 限 与 累 次 极 限, 多 元 函 数 的 连 续 性 与 一 致 连 续 性 偏 导 数 与 全 微 分, 中 值 定 理 及 Taylor 公 式, 偏 导 数 的 应 用 : 隐 函 数 的 存 在 性 几 何 问 题 极 值 问 题 重 积 分 的 概 念 与 计 算, 曲 线 积 分, 曲 面 积 分 与 场 论 考 核 要 求 : 理 解 :Euclid 空 间 上 的 基 本 定 理, 多 元 函 数 的 连 续 性 与 一 致 连 续 性, 场 论 初 步 掌 握 : 多 元 函 数 极 限 与 累 次 极 限, 偏 导 数 与 全 微 分 的 计 算, 中 值 定 理 及 Taylor 公 式 的 应 用, 偏 导 数 的 应 用 : 隐 函 数 的 存 在 性 几 何 问 题 极 值 问 题, 重 积 分 的 概 念 与 计 算, 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 的 计 算 六 样 卷 数 学 学 院 数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 考 试 试 题 学 年 第 学 期 班 级 时 量 : 120 分 钟 总 分 100 分 考 试 形 式 闭 卷 一 计 算 与 简 答 题, 计 算 题 需 写 出 必 要 的 计 算 步 骤, 每 题 6 分, 共 60 分. (1) 用 ε N 间 I 上 一 致 收 敛 的 定 义 ; (2) (3) lim 语 言 叙 述 函 数 项 级 数 1 1 1 + + + + 1 + n 2 2 2 n n n n 1 2 2 lim x a dx a 0 + ; 1 n= 1 ; u ( x n ) 在 区 (4) 设 f ( x) = xsin(arctan x), 求 函 数 f ( x ) 的 二 阶 导 数 f "( x ) ; (5) + x 0 1 2 x sin x lim x x d x 3 x 3x+ 2 ; (6) ; ln 2 x (7) e 1dx ; (8) 0 1 1 2 y x e x ; d d y 0 (9) 求 第 一 型 曲 线 积 分 ( x + y )d s L, 其 中 L 是 以 A (0,0), B (1, 0) 与 C (0,1) 为 顶 点 的 三 角 形 ; 域 (10) 计 算 二 重 积 分 x y dxd y 2 2 2 x + y a. 二 解 答 题 ( 共 40 分 ) (11)(8 分 ) 用 ε N 语 言 证 明 D ( n n) lim + 1 = 0. n (12)(8 分 ) 判 别 积 分 是 条 件 收 敛. 1 + sin 2x d x (13)(8 分 ) 设 函 数 f ( x ), gx ( ) 在 [, ] 且 g'( x) 0. 证 明 ξ ( ab, ), 使 f ( a) f( ξ ) f '( ξ ) =. g( ξ ) g( b) g'( ξ ) x, 其 中 D 为 圆 是 绝 对 收 敛 还 ab 上 可 导, (14)(8 分 ) 证 明 : 若 函 数 f ( x ) 在 [ a, + ) 连 续, 且 lim f ( x) 存 在, 则 函 数 f ( x ) 在 [ a, + ) 上 一 致 连 续. x + 明 : (15)(8 分 ) 设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [0,1] 上 连 续, 证 h + x π 2 1 lim f( x) d x f (0) + 2 2 h 0 =. 0 h 制 定 人 : 李 松 华 审 核 人 : 张 映 辉 11

数 学 分 析 课 程 简 介 课 程 名 称 英 译 名 称 数 学 分 析 Mathematical Analysis 课 程 代 码 14D00111,14D00212,14D00313 开 设 学 期 一 二 三 安 排 学 时 264=72+96+96 赋 予 学 分 16=4+6+6 课 程 类 型 公 共 基 础 课 学 科 基 础 课 专 业 课 人 文 科 技 素 质 课 必 修 课 选 修 课 授 课 教 研 室 数 学 与 应 用 数 学 教 研 室 负 责 人 余 德 民 开 设 单 位 数 学 学 院 教 材 名 称 数 学 分 析 ( 第 四 版 ) 教 材 出 版 信 息 华 东 师 范 大 学 数 学 系 编, 高 等 教 育 出 版 社,2010 年,ISBN 978-7-04-029566-5 教 材 性 质 部 优 省 优 部 级 规 划 省 级 规 划 自 编 其 他 考 核 形 式 考 试 考 查 开 卷 闭 卷 课 程 设 计 学 期 论 文 其 他 课 程 成 绩 构 成 平 时 成 绩 40% 期 末 考 核 60% 主 要 教 师 基 本 情 况 姓 名 性 别 学 历 学 位 职 称 从 教 时 间 孙 明 保 男 博 士 研 究 生 博 士 教 授 1983.7 涂 建 斌 男 本 科 学 士 副 教 授 1988.6 张 志 红 男 本 科 学 士 副 教 授 1986.7 李 松 华 男 博 士 研 究 生 博 士 副 教 授 1997.7 刘 朝 才 男 硕 士 研 究 生 硕 士 讲 师 2000.7 课 程 简 介 数 学 分 析 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 重 要 的 专 业 基 础 课, 是 基 础 课 程 的 重 中 之 重, 是 培 养 数 学 与 应 用 数 学 专 业 学 生 的 数 学 素 养 的 核 心 课 程 这 门 课 共 开 设 3 个 学 期, 数 学 分 析 研 究 的 主 要 对 象 是 函 数, 贯 穿 于 始 终 的 工 具 是 极 限, 微 积 分 的 思 想 理 论 和 方 法 是 众 多 学 科 的 基 础 通 过 对 本 课 程 的 学 习, 使 学 生 掌 握 基 本 概 念 基 本 理 论 和 基 本 计 算 方 法, 灵 活 运 用 本 课 程 介 绍 的 思 想 方 法 推 理 论 证 有 关 数 学 问 题, 特 别 是 培 养 学 生 的 数 学 素 养 与 思 想 12

数 学 分 析 (1 2 3) 课 程 教 学 大 纲 一 课 程 的 基 本 信 息 适 应 对 象 : 数 学 与 应 用 数 学 专 业 本 科 层 次 课 程 代 码 :14D00111 14D00212 14D00313 学 时 分 配 :72+96+96=264 学 时 赋 予 学 分 :4+6+6=16 先 修 课 程 : 中 学 数 学 后 续 课 程 : 实 变 函 数 复 变 函 数 微 分 方 程 概 率 论 泛 函 分 析 数 学 物 理 方 程 等 二 课 程 性 质 与 任 务 数 学 分 析 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 重 要 的 专 业 基 础 课, 是 基 础 课 程 的 重 中 之 重, 是 培 养 数 学 与 应 用 数 学 专 业 学 生 的 数 学 素 养 的 核 心 课 程 这 门 课 共 开 设 3 个 学 期, 数 学 分 析 研 究 的 主 要 对 象 是 函 数, 贯 穿 于 始 终 的 工 具 是 极 限, 微 积 分 的 思 想 理 论 和 方 法 是 众 多 学 科 的 基 础 通 过 对 本 课 程 的 学 习, 使 学 生 掌 握 基 本 概 念 基 本 理 论 和 基 本 计 算 方 法, 灵 活 运 用 本 课 程 介 绍 的 思 想 方 法 推 理 论 证 有 关 数 学 问 题, 特 别 是 培 养 学 生 的 数 学 素 养 与 思 想 开 设 本 课 程 的 主 要 任 务 是 让 学 生 掌 握 数 学 中 一 些 基 本 概 念 基 本 理 论 及 基 本 运 用 技 能, 一 方 面 为 后 续 课 程 的 学 习 提 供 必 要 的 基 础 知 识, 同 时 还 为 培 养 学 生 的 独 立 工 作 能 力 提 供 必 要 的 训 练 ; 并 为 实 变 函 数 复 变 函 数 常 微 分 方 程 泛 函 分 析 等 后 续 课 程 的 学 习 打 下 基 础 三 教 学 目 的 与 要 求 使 学 生 能 够 掌 握 数 学 分 析 的 基 本 理 论 和 方 法 ; 准 确 理 解 并 能 灵 活 应 用 极 限 的 理 论 与 思 想 ; 培 养 学 生 抽 象 思 维 空 间 想 象 逻 辑 推 理 和 熟 练 地 运 算 能 力 ; 培 养 学 生 的 学 习 方 法 和 学 习 兴 趣, 培 养 自 学 能 力 ; 培 养 学 生 的 创 新 能 力, 应 用 数 学 方 法 解 决 实 际 问 题 的 能 力 ; 学 会 使 用 数 学 软 件 进 行 科 学 计 算 ; 培 养 学 生 将 来 从 事 教 学 工 作 和 科 研 工 作 所 必 备 的 数 学 素 质, 同 时 为 后 继 课 程 的 学 习 打 下 一 个 良 好 的 基 础 四 教 学 内 容 与 安 排 数 学 分 析 (1) 72 学 时 第 一 章 实 数 集 与 函 数 (6 学 时 ) 1 实 数 实 数 及 其 性 质, 绝 对 值 与 不 等 式 2 数 集 确 界 原 理 区 间 与 邻 域, 有 界 集 确 界 原 理 3 函 数 概 念 函 数 的 定 义, 函 数 的 表 示 法, 函 数 的 四 则 运 算, 复 合 函 数, 反 函 数, 初 等 函 数 4 具 有 某 些 特 性 的 函 数 有 界 函 数, 单 调 函 数, 奇 函 数 和 偶 函 数, 周 期 函 数 第 二 章 数 列 极 限 (12 学 时 ) 1 数 列 极 限 的 概 念 数 列 极 限 的 概 念 无 穷 小 数 列 与 无 穷 大 数 列 的 概 念 2 收 敛 数 列 的 性 质 收 敛 数 列 的 性 质 : 唯 一 性 有 界 性 保 号 性 保 不 等 式 型 迫 敛 性, 收 敛 数 列 的 四 则 运 算, 子 列 的 概 念 3 数 列 极 限 存 在 的 条 件 单 调 有 界 原 理, 致 密 性 定 理,Cauchy 收 敛 准 则 第 三 章 函 数 极 限 (18 学 时 ) 1 函 数 极 限 概 念 x 趋 于 时 函 数 的 极 限, x 趋 于 x 0 时 函 数 的 极 限 2 函 数 极 限 的 性 质 函 数 极 限 的 性 质 : 唯 一 性 有 界 性 保 号 性 保 不 等 式 型 迫 敛 性, 函 数 极 限 的 四 则 运 算 3 函 数 极 限 存 在 的 条 件 Heine 归 结 原 理,Cauchy 收 敛 准 则 4 两 个 重 要 的 极 限 5 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 无 穷 小 量, 无 穷 小 量 阶 的 比 较, 无 穷 大 量, 曲 线 的 渐 近 线 第 四 章 函 数 的 连 续 性 (8 学 时 ) 1 连 续 性 的 概 念 函 数 在 一 点 的 连 续 性, 间 断 点 及 其 分 类, 区 间 上 的 连 续 函 数 2 连 续 函 数 的 性 质 连 续 函 数 的 局 部 性 质, 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 基 本 性 质, 反 函 数 的 连 续 性, 一 致 连 续 性 3 初 等 函 数 的 连 续 性 指 数 函 数 的 连 续 性, 初 等 函 数 的 连 续 性 第 五 章 导 数 与 微 分 (10 学 时 ) 13

1 导 数 的 概 念 导 数 的 定 义, 导 函 数, 导 数 的 几 何 意 义 2 求 导 法 则 求 导 的 四 则 运 算, 反 函 数 的 导 数, 复 合 函 数 的 导 数, 基 本 求 导 法 则 与 公 式 3 参 变 量 函 数 的 导 数 4 高 阶 导 数 5 微 分 微 分 的 概 念, 微 分 的 运 算 法 则, 高 阶 微 分, 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 第 六 章 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用 (18 学 时 ) 1 拉 格 朗 日 定 理 和 函 数 的 单 调 性 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理, 单 调 函 数 2 柯 西 中 值 定 理 和 不 定 式 极 限 柯 西 中 值 定 理, 不 定 式 极 限 3 泰 勒 公 式 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 泰 勒 公 式, 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式, 在 近 似 计 算 上 的 应 用 4 函 数 的 极 值 与 最 大 ( 小 ) 值 极 值 判 别, 最 大 值 与 最 小 值 5 函 数 的 凸 性 与 拐 点 6 函 数 图 像 的 讨 论 数 学 分 析 (2) 96 学 时 第 七 章 实 数 的 完 备 性 (6 学 时 ) 1 关 于 实 数 集 完 备 性 的 基 本 定 理 区 间 套 定 理, 聚 点 定 理 与 有 限 覆 盖 定 理, 实 数 完 备 性 基 本 定 理 之 间 的 等 价 性 第 八 章 不 定 积 分 (14 学 时 ) 1 不 定 积 分 的 概 念 与 基 本 积 分 公 式 原 函 数 与 不 定 积 分, 基 本 积 分 公 式 2 换 元 积 分 法 语 分 部 积 分 法 换 元 积 分 法, 分 部 积 分 法 3 有 理 函 数 和 可 化 为 有 理 函 数 的 不 定 积 分 有 理 函 数 的 不 定 积 分, 三 角 函 数 有 理 式 的 不 定 积 分, 某 些 无 理 根 式 的 不 定 积 分 第 九 章 定 积 分 (12 学 时 ) 1 定 积 分 概 念 2 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式 3 可 积 条 件 可 积 的 必 要 条 件, 可 积 的 充 要 条 件, 可 积 函 数 类 4 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 基 本 性 质, 积 分 中 值 定 理 5 微 积 分 学 基 本 定 理 定 积 分 计 算 ( 续 ) 变 限 积 分 与 原 函 数 的 存 在 性, 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法, 泰 勒 公 式 的 积 分 型 余 项 第 十 章 定 积 分 的 应 用 (10 学 时 ) 1 平 面 图 形 的 面 积 2 由 平 行 截 面 面 积 求 体 积 3 平 面 曲 线 的 弧 长 与 曲 率 平 面 曲 线 的 弧 长, 曲 率 4 旋 转 曲 面 的 面 积 微 元 法, 旋 转 曲 面 的 面 积 5 定 积 分 在 物 理 中 的 某 些 应 用 6 定 积 分 的 近 似 计 算 第 十 一 章 反 常 积 分 (10 学 时 ) 1 反 常 积 分 概 念 2 无 穷 积 分 的 性 质 与 收 敛 判 别 无 穷 积 分 的 性 质, 非 负 函 数 无 穷 积 分 的 收 敛 判 别 法, 一 般 无 穷 积 分 的 收 敛 判 别 法 3 瑕 积 分 的 性 质 与 收 敛 判 别 法 第 十 二 章 数 项 级 数 (12 学 时 ) 1 级 数 的 收 敛 性 2 正 项 级 数 正 项 级 数 收 敛 性 的 一 般 判 别 原 则, 比 式 判 别 法 和 根 式 判 别 法, 积 分 判 别 法 3 一 般 级 数 交 错 级 数, 绝 对 收 敛 级 数 及 其 性 质, 阿 贝 尔 判 别 法 和 狄 利 克 雷 判 别 法 第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数 (12 学 时 ) 1 一 致 收 敛 性 函 数 列 及 其 一 致 收 敛 性, 函 数 项 级 数 及 其 一 致 收 敛 性, 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 判 别 法 2 一 致 收 敛 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 性 质 第 十 四 章 幂 级 数 (10 学 时 ) 1 幂 级 数 幂 级 数 的 收 敛 区 间, 幂 级 数 的 性 质, 幂 级 数 的 运 算 2 函 数 的 幂 级 数 展 开 泰 勒 级 数, 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 第 十 五 章 傅 里 叶 级 数 (10 学 时 ) 1 傅 里 叶 级 数 三 角 级 数 正 交 函 数 系, 以 2π 为 周 期 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数, 收 敛 定 理 14

2 以 2l 为 周 期 的 函 数 的 展 开 式 以 2l 为 周 期 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数, 偶 函 数 与 奇 函 数 的 傅 里 叶 级 数 3 收 敛 定 理 的 证 明 数 学 分 析 (3) 96 学 时 第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续 (8 学 时 ) 1 平 面 点 集 与 多 元 函 数 平 面 点 集, 2 上 的 完 备 性 定 理, 二 元 函 数,n 元 函 数 2 二 元 函 数 的 极 限 二 元 函 数 的 极 限, 累 次 极 限 3 二 元 函 数 的 连 续 性 二 元 函 数 的 连 续 性 概 念, 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学 (18 学 时 ) 1 可 微 性 可 微 性 与 全 微 分, 偏 导 数, 可 微 性 条 件, 可 微 性 几 何 意 义 及 应 用 2 复 合 函 数 微 分 法 复 合 函 数 的 求 导 法 则, 复 合 函 数 的 全 微 分 3 方 向 导 数 与 梯 度 4 泰 勒 公 式 与 极 值 问 题 高 阶 偏 导 数, 中 值 定 理 和 泰 勒 公 式, 极 值 问 题 第 十 八 章 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 (12 学 时 ) 1 隐 函 数 隐 函 数 的 概 念, 隐 函 数 存 在 性 条 件 的 分 析, 隐 函 数 定 理, 隐 函 数 求 导 举 例 2 隐 函 数 组 隐 函 数 组 的 概 念, 隐 函 数 组 定 理, 反 函 数 组 与 坐 标 变 换 3 几 何 应 用 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线, 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面, 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 4 条 件 极 值 第 十 九 章 含 参 变 量 积 分 (12 学 时 ) 1 含 参 量 正 常 积 分 2 含 参 量 反 常 积 分 一 致 收 敛 性 及 其 判 别 法, 含 参 量 反 常 积 分 的 性 质 3 欧 拉 积 分 Γ 函 数, B 函 数, Γ 函 数 与 B 函 数 之 间 的 关 系 第 二 十 章 曲 线 积 分 (10 学 时 ) 1 第 一 型 曲 线 积 分 第 一 型 曲 线 积 分 的 定 义, 第 一 型 曲 线 积 分 的 计 算 2 第 二 型 曲 线 积 分 的 性 质 第 二 型 曲 线 积 分 的 定 义, 第 二 型 曲 线 积 分 的 计 算, 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 第 二 十 一 章 重 积 分 (20 学 时 ) 1 二 重 积 分 的 概 念 平 面 图 形 的 面 积, 二 重 积 分 的 定 义 及 其 存 在 性, 二 重 积 分 的 性 质 2 直 角 坐 标 系 下 二 重 积 分 的 计 算 3 格 林 公 式 曲 线 积 分 与 路 线 的 无 关 性 格 林 公 式, 曲 线 积 分 与 路 线 的 无 关 性 4 二 重 积 分 的 变 量 变 换 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式, 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 5 三 重 积 分 三 重 积 分 的 概 念, 化 三 重 积 分 为 累 次 积 分, 三 重 积 分 换 元 法 6 重 积 分 的 应 用 曲 面 的 面 积, 质 心, 转 动 惯 量, 引 力 第 二 十 二 章 曲 面 积 分 (16 学 时 ) 1 第 一 型 曲 面 积 分 第 一 型 曲 面 积 分 的 概 念, 第 一 型 曲 面 积 分 的 计 算 2 第 二 型 曲 面 积 分 曲 面 的 侧, 第 二 型 曲 面 积 分 的 概 念, 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算, 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 3 高 斯 公 式 与 斯 托 克 斯 公 式 高 斯 公 式, 斯 托 克 斯 公 式 五 教 学 设 备 和 设 施 黑 板 板 书 与 多 媒 体 教 学 相 结 合 六 课 程 考 核 与 评 估 本 课 程 考 试 分 三 个 学 期 进 行, 分 期 计 算 成 绩 每 学 期 的 考 核 分 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 七 附 录 教 学 参 考 文 献 目 录 1. 华 东 师 范 大 学 数 学 系, 数 学 分 析 ( 第 四 版 ), 高 等 教 育 出 版 社,2010. 2. 吴 良 森 等, 数 学 分 析 学 习 指 导 书 ( 上 下 ), 高 等 教 育 出 版 社,2009. 3. 邝 荣 雨 等 编, 微 积 分 学 讲 义 ( 上 下 ), 北 京 师 范 大 学 出 版 社,2005 4. 吉 米 多 维 奇, 数 学 分 析 习 题 集 题 解 (1 2 3 4 5 15

6), 山 东 科 学 技 术 出 版 社,2005 5. 裘 兆 泰 等, 数 学 分 析 学 习 指 导, 科 学 出 版 社,2008 6. 陈 纪 修 等, 数 学 分 析 ( 上 下 ), 高 等 教 育 出 版 社, 2004 7. 张 筑 生, 数 学 分 析 新 讲 ( 一 二 三 ), 北 京 大 学 出 版 社,2008 教 学 网 络 提 示 1.http://jpkc.hnist.cn/ec/C539/zcr-1.htm, 湖 南 理 工 学 院 数 学 分 析 校 级 精 品 课 程 2.http://www.math.ecnu.edu.cn/jpkc/sxfx/, 华 东 师 范 大 学 数 学 分 析 国 家 级 精 品 课 程 3.http://www.math.pku.edu.cn:8000/misc/course/analysis/, 北 京 大 学 数 学 分 析 国 家 级 精 品 课 程 制 定 人 : 李 松 华 审 核 人 : 张 映 辉 16

数 学 分 析 (1 2 3) 课 程 考 核 大 纲 一 适 用 对 象 分 别 修 读 完 数 学 分 析 (1 2 3) 课 程 相 应 规 定 的 内 容 的 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 学 生 ; 提 出 并 获 准 免 修 本 课 程 申 请 进 行 课 程 水 平 考 核 的 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 学 生 ; 提 出 并 获 准 副 修 第 二 专 业 申 请 进 行 课 程 水 平 考 核 的 非 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 学 生 二 考 核 目 的 考 核 学 生 对 数 学 分 析 的 基 本 概 念, 基 本 理 论 基 础 知 识 的 掌 握 情 况, 考 核 学 生 运 用 数 学 分 析 课 程 中 的 理 论 和 方 法 对 数 学 问 题 进 行 运 算 推 理 和 论 证 的 能 力 三 考 核 形 式 与 方 法 数 学 分 析 (1 2 3) 每 学 期 的 期 末 成 绩 评 定 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 四 课 程 考 核 成 绩 构 成 数 学 分 析 (1 2 3) 每 学 期 的 期 末 成 绩 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 五 考 核 内 容 与 要 求 数 学 分 析 (1) 第 一 章 实 数 集 与 函 数 考 核 内 容 实 数 及 其 性 质, 绝 对 值 与 不 等 式, 区 间 与 邻 域 的 概 念, 有 界 集 确 界 的 定 义, 确 界 原 理, 函 数 的 概 念, 函 数 的 表 示 法, 函 数 的 四 则 运 算, 复 合 函 数, 反 函 数, 初 等 函 数, 有 界 函 数 的 定 义, 单 调 函 数 奇 函 数 和 偶 函 数 周 期 函 数 的 定 义 考 核 要 求 理 解 : 邻 域 的 概 念 和 一 些 常 用 的 邻 域, 函 数 的 概 念, 函 数 的 单 调 性, 周 期 性, 奇 偶 性 复 合 函 数 和 反 函 数 概 念 基 本 初 等 函 数 的 定 义 域, 几 何 图 形 及 其 一 些 几 何 特 性 掌 握 : 确 界 的 定 义, 确 界 原 理 的 应 用 第 二 章 数 列 极 限 考 核 内 容 数 列 极 限 的 概 念 无 穷 小 数 列 与 无 穷 大 数 列 的 概 念 收 敛 数 列 的 性 质 : 唯 一 性 有 界 性 保 号 性 保 不 等 式 型 迫 敛 性, 收 敛 数 列 的 四 则 运 算, 子 列 的 概 念, 极 限 1 lim 1+ = e n n n 的 证 明 与 应 用 单 调 有 界 原 理, 致 密 性 定 理,Cauchy 收 敛 准 则 考 核 要 求 理 解 : 数 列 极 限 的 概 念, 无 穷 小 数 列 与 无 穷 大 数 学 的 概 念, 无 穷 小 数 列 和 无 穷 大 数 列 的 关 系, 数 列 极 限 的 性 质, 子 列 的 概 念 及 其 与 原 数 列 的 关 系, 单 调 有 界 原 理,Cauchy 收 敛 准 则 极 限 掌 握 : ε N 定 义 证 明, 数 列 极 限 的 运 算 ( 四 则 运 算 ), 1 lim 1+ = e n n n 的 证 明 与 应 用, 单 调 有 界 原 理 和 Cauchy 收 敛 准 则 的 应 用 第 三 章 函 数 极 限 考 核 内 容 函 数 极 限 的 六 种 形 式 的 概 念, 函 数 极 限 的 性 质 : 唯 一 性 有 界 性 保 号 性 保 不 等 式 型 迫 敛 性, 函 数 极 限 的 四 则 运 算,Heine 归 结 原 理, 单 侧 极 限 的 单 调 有 界 原 理, Cauchy 收 敛 准 则, 极 限 1 lim 1+ = e x x x sin x lim 1 x 0 x = 和 的 证 明 与 应 用, 无 穷 小 量, 无 穷 小 量 阶 的 比 较, 无 穷 大 量, 曲 线 的 渐 近 线 考 核 要 求 理 解 : 函 数 极 限 六 种 形 式 的 概 念, 性 质 和 运 算, 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 的 概 念 和 二 者 之 间 的 关 系, 无 穷 小 量 的 阶, 曲 线 的 渐 近 线 的 概 念 掌 握 : 利 用 函 数 极 限 定 义 的 证 明, 函 数 极 限 的 运 算, Heine 归 结 原 理 及 Cauchy 收 敛 准 则 的 应 用, 两 个 重 要 极 限 的 应 用, 无 穷 小 量 阶 的 应 用, 曲 线 渐 近 线 的 求 法 第 四 章 函 数 的 连 续 性 考 核 内 容 函 数 连 续 性 的 概 念, 间 断 点 的 定 义 及 其 分 类, 区 间 上 连 续 函 数 的 定 义, 连 续 函 数 的 局 部 性 质, 闭 区 间 上 连 续 函 17

数 的 基 本 性 质, 反 函 数 的 连 续 性, 一 致 连 续 性 的 定 义, 初 等 函 数 的 连 续 性 考 核 要 求 理 解 : 函 数 连 续 性 的 概 念, 间 断 点 的 定 义 及 其 分 类, 区 间 上 连 续 函 数 的 定 义, 连 续 函 数 的 局 部 性 质, 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 基 本 性 质, 反 函 数 的 连 续 性, 一 致 连 续 性 的 定 义, 初 等 函 数 的 连 续 性 掌 握 : 函 数 的 连 续 开 拓, 连 续 函 数 的 局 部 性 质 的 应 用, 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 基 本 性 质 的 证 明 与 应 用, 一 致 连 续 的 证 明 第 五 章 导 数 与 微 分 考 核 内 容 导 数 的 定 义, 导 函 数, 导 数 的 几 何 意 义, 极 值 的 概 念, 费 马 定 理, 求 导 的 四 则 运 算, 反 函 数 的 导 数, 复 合 函 数 的 导 数, 基 本 求 导 法 则 与 公 式, 参 变 量 函 数 的 求 导, 高 阶 导 数 的 概 念, 高 阶 导 数 的 求 法, 微 分 的 概 念, 微 分 的 运 算 法 则, 高 阶 微 分, 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 考 核 要 求 理 解 : 导 数 概 念 及 几 何 意 义, 极 值 的 概 念, 费 马 定 理, 微 分 的 定 义 几 何 意 义, 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性 掌 握 : 初 等 函 数 的 导 数, 求 导 四 则 运 算, 反 函 数 的 导 数, 复 合 函 数 的 求 导 法 则, 参 变 量 函 数 的 求 导, 高 阶 导 数 的 常 用 求 法,Leibniz 公 式, 一 阶 与 高 阶 微 分 求 法 第 六 章 微 分 中 值 定 理 及 其 应 用 考 核 内 容 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理, 单 调 函 数 的 判 定, 柯 西 中 值 定 理, 不 定 式 极 限 的 种 类 与 求 法 带 有 佩 亚 诺 型 余 项 的 泰 勒 公 式, 带 有 拉 格 朗 日 型 余 项 的 泰 勒 公 式, 极 值 的 判 别, 最 大 值 与 最 小 值 的 求 法 函 数 的 凸 性 与 拐 点 的 概 念 及 其 判 定 考 核 要 求 理 解 : 罗 尔 中 值 定 理, 拉 格 朗 日 中 值 定 理 及 其 推 论, 达 布 定 理, 柯 西 中 值 定 理, 泰 勒 公 式, 函 数 的 图 像 掌 握 : 微 分 中 值 定 理 的 应 用, 泰 勒 公 式 的 应 用, 各 种 不 定 式 极 限 的 求 法, 函 数 单 调 性 的 判 定, 函 数 极 值 与 最 值 的 求 法, 函 数 凸 性 判 定 与 拐 点 的 求 法, 函 数 作 图 数 学 分 析 (2) 第 七 章 实 数 的 完 备 性 考 核 内 容 区 间 套 定 理, 聚 点 定 理 与 有 限 覆 盖 定 理, 实 数 完 备 性 基 本 定 理 之 间 的 等 价 性 考 核 要 求 理 解 : 闭 区 间 套 定 理, 聚 点 的 概 念, 聚 点 定 理, 有 限 覆 盖 定 理 掌 握 : 实 数 完 备 性 的 六 个 基 本 定 理 之 间 的 等 价 性 及 其 应 用 第 八 章 不 定 积 分 考 核 内 容 原 函 数 与 不 定 积 分, 基 本 积 分 公 式 换 元 积 分 法, 分 部 积 分 法 有 理 函 数 的 不 定 积 分, 三 角 函 数 有 理 式 的 不 定 积 分, 某 些 无 理 根 式 的 不 定 积 分 考 核 要 求 理 解 : 原 函 数 与 不 定 积 分 的 定 义, 基 本 积 分 公 式, 不 定 积 分 的 运 算 法 则 掌 握 : 不 定 积 分 的 计 算 方 法 : 换 元 法, 分 部 积 分 法, 有 理 函 数 的 积 分, 三 角 函 数 有 理 分 式 的 积 分, 可 有 理 化 的 简 单 类 型 积 分 第 九 章 定 积 分 考 核 内 容 定 积 分 的 概 念, 定 积 分 的 几 何 意 义, 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式, 可 积 的 必 要 条 件, 可 积 的 充 要 条 件, 可 积 函 数 类, 定 积 分 的 基 本 性 质, 积 分 中 值 定 理, 变 限 积 分 与 原 函 数 的 存 在 性, 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法, 泰 勒 公 式 的 积 分 型 余 项 考 核 要 求 理 解 : 定 积 分 概 念 及 几 何 意 义, 定 积 分 的 性 质 掌 握 : 定 积 分 的 计 算, 定 积 分 存 在 的 条 件, 牛 顿 莱 布 尼 茨 公 式, 换 元 法, 分 部 积 分 法 第 十 章 定 积 分 的 应 用 考 核 内 容 计 算 平 面 图 形 的 面 积, 利 用 平 行 截 面 面 积 计 算 体 积, 平 面 曲 线 的 弧 长 与 曲 率 的 计 算, 微 元 法, 旋 转 曲 面 的 面 积, 定 积 分 的 近 似 计 算 : 矩 形 法 梯 形 法 抛 物 线 法 考 核 要 求 理 解 : 质 心, 平 均 值, 功, 定 积 分 的 近 似 计 算 掌 握 : 平 面 图 形 的 面 积 曲 线 的 弧 长 体 积 旋 转 曲 面 的 面 积 的 求 法 第 十 一 章 反 常 积 分 考 核 内 容 无 穷 积 分 和 瑕 积 分 的 概 念, 无 穷 积 分 的 性 质, 非 负 函 数 无 穷 积 分 的 收 敛 判 别 法, 一 般 无 穷 积 分 的 收 敛 判 别 法, 瑕 积 分 的 性 质, 非 负 函 数 瑕 积 分 的 收 敛 判 别 法, 一 般 瑕 积 分 的 收 敛 判 别 法 考 核 要 求 18

理 解 : 无 穷 积 分 与 瑕 积 分 的 概 念 及 其 性 质 掌 握 : 无 穷 积 分 和 瑕 积 分 的 计 算, 非 负 函 数 的 反 常 积 分 的 收 敛 判 别, 一 般 函 数 的 反 常 积 分 的 收 敛 判 别 第 十 二 章 数 项 级 数 考 核 内 容 级 数 收 敛 与 发 散 的 概 念, 级 数 收 敛 的 柯 西 准 则, 收 敛 级 数 的 性 质, 正 项 级 数 收 敛 性 的 一 般 判 别 原 则, 比 式 判 别 法 和 根 式 判 别 法, 积 分 判 别 法, 交 错 级 数, 绝 对 收 敛 级 数 及 其 性 质, 阿 贝 尔 判 别 法 和 狄 利 克 雷 判 别 法 考 核 要 求 理 解 : 级 数 收 敛 与 发 散 的 概 念, 级 数 收 敛 的 柯 西 准 则, 收 敛 级 数 的 性 质, 交 错 级 数 的 概 念, 绝 对 收 敛 级 数 的 概 念 及 其 性 质 掌 握 : 正 项 级 数 的 判 别 法 : 比 式 判 别 法, 根 式 判 别 法, 积 分 判 别 法 ; 一 般 级 数 的 判 别 法 : 绝 对 收 敛 判 别 法, 阿 贝 尔 判 别 法 和 狄 利 克 雷 判 别 法 第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数 考 核 内 容 函 数 列 及 其 一 致 收 敛 性, 函 数 项 级 数 及 其 一 致 收 敛 性, 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 判 别 法 一 致 收 敛 函 数 列 的 性 质 及 其 应 用, 一 致 收 敛 函 数 项 级 数 的 性 质 及 其 应 用 考 核 要 求 理 解 : 函 数 列 及 其 一 致 收 敛 性 的 概 念, 函 数 项 级 数 及 其 一 致 收 敛 性 的 概 念 掌 握 : 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 判 别 法, 一 致 收 敛 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 性 质 及 其 应 用 第 十 四 章 幂 级 数 考 核 内 容 幂 级 数 的 收 敛 区 间, 幂 级 数 的 性 质, 幂 级 数 的 运 算 泰 勒 级 数, 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 考 核 要 求 理 解 : 幂 级 数 的 概 念, 幂 级 数 的 性 质 及 运 算, 泰 勒 级 数 展 开 公 式 及 其 证 明 掌 握 : 幂 级 数 的 收 敛 区 域, 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开, 一 般 函 数 的 泰 勒 级 数 展 开 第 十 五 章 傅 里 叶 级 数 考 核 内 容 三 角 级 数 正 交 函 数 系, 以 2π 为 周 期 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数, 收 敛 定 理, 以 2l 为 周 期 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数, 偶 函 数 与 奇 函 数 的 傅 里 叶 级 数, 傅 里 叶 级 数 收 敛 性 的 证 明 考 核 要 求 理 解 : 三 角 函 数 系 的 正 交 性, 以 2π 为 周 期 或 以 2l 为 周 期 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数 ( 或 余 弦 级 数 正 弦 级 数 ) 展 开 与 收 敛 范 围 的 确 定, 傅 里 叶 级 数 收 敛 性 的 证 明 掌 握 :Fourier 系 数 的 计 算 数 学 分 析 (3) 第 十 六 章 多 元 函 数 的 极 限 与 连 续 考 核 内 容 平 面 点 集, 2 上 的 完 备 性 定 理, 二 元 函 数, n 元 函 数 二 元 函 数 的 极 限, 累 次 极 限 二 元 函 数 的 连 续 性 概 念, 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 考 核 要 求 理 解 : 平 面 点 集 的 分 类 与 定 义, 平 面 点 集 的 几 个 基 本 定 理, 二 元 函 数 的 极 限 与 累 次 极 限 的 概 念, 二 元 函 数 的 连 续 概 念, 有 界 闭 区 域 上 连 续 函 数 的 性 质 掌 握 : 二 元 函 数 的 极 限 和 累 次 极 限 的 计 算 第 十 七 章 多 元 函 数 微 分 学 考 核 内 容 可 微 性 与 全 微 分, 偏 导 数, 可 微 性 条 件, 可 微 性 几 何 意 义 及 应 用, 复 合 函 数 的 求 导 法 则, 复 合 函 数 的 全 微 分, 方 向 导 数 的 定 义, 梯 度 的 定 义, 高 阶 偏 导 数, 中 值 定 理 和 泰 勒 公 式, 极 值 问 题 考 核 要 求 理 解 : 偏 导 数 和 全 微 分 的 概 念, 几 何 意 义, 可 微 和 偏 导 数 存 在 可 微 和 连 续 的 关 系, 各 类 函 数 偏 导 数 的 求 法 掌 握 : 会 利 用 链 式 法 则 求 复 合 函 数 偏 导 数, 会 求 空 间 曲 面 的 切 平 面 与 法 线, 会 用 定 义 计 算 方 向 导 线 梯 度, 泰 勒 公 式, 无 条 件 极 值 的 求 法 第 十 八 章 隐 函 数 定 理 及 其 应 用 考 核 内 容 隐 函 数 的 概 念, 隐 函 数 存 在 性 条 件 的 分 析, 隐 函 数 定 理, 隐 函 数 求 导 隐 函 数 组 的 概 念, 隐 函 数 组 定 理, 反 函 数 组 与 坐 标 变 换, 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线, 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面, 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 拉 格 朗 日 乘 数 法 考 核 要 求 理 解 : 隐 函 数 与 隐 函 数 组 的 概 念 及 其 存 在 性, 反 函 数 组 与 坐 标 变 换 掌 握 : 隐 函 数 与 隐 函 数 组 的 求 导, 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线, 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面, 曲 面 的 切 平 面 与 法 线, 拉 格 朗 日 乘 数 法 第 十 九 章 含 参 变 量 积 分 考 核 内 容 19

含 参 变 量 正 常 积 分 的 概 念, 含 参 变 量 正 常 积 分 的 连 续 性 可 微 性 与 可 积 性, 含 参 变 量 反 常 积 分 的 概 念, 一 致 收 敛 性 及 其 判 别 法, 含 参 量 反 常 积 分 的 性 质,Γ 函 数 的 定 义 与 性 质, B 函 数 的 定 义 与 性 质, Γ 函 数 与 B 函 数 之 间 的 关 系 考 核 要 求 理 解 : 含 参 变 量 正 常 积 分 与 反 常 积 分 的 概 念 和 性 质, Γ 函 数 的 定 义 与 性 质,B 函 数 的 定 义 与 性 质,Γ 函 数 与 B 函 数 之 间 的 关 系 掌 握 : 含 参 变 量 正 常 积 分 与 反 常 积 分 性 质 的 应 用, 一 致 收 敛 性 及 其 判 别 法, Γ 函 数 与 B 函 数 的 应 用 第 二 十 章 曲 线 积 分 考 核 内 容 第 一 型 曲 线 积 分 的 定 义, 第 一 型 曲 线 积 分 的 计 算, 第 二 型 曲 线 积 分 的 定 义, 第 二 型 曲 线 积 分 的 计 算, 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 考 核 要 求 理 解 : 第 一 型 与 第 二 型 曲 线 积 分 的 定 义 掌 握 : 第 一 型 与 第 二 型 曲 线 积 分 的 计 算, 两 类 曲 线 积 分 的 联 系 第 二 十 一 章 重 积 分 考 核 内 容 平 面 图 形 的 面 积, 二 重 积 分 的 定 义 及 其 存 在 性, 二 重 积 分 的 性 质 x 型 区 域 y 型 区 域 和 混 合 型 区 域 的 二 重 积 分 的 计 算, 格 林 公 式, 曲 线 积 分 与 路 线 的 无 关 性, 二 重 积 分 的 变 量 变 换 公 式, 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分, 三 重 积 分 的 概 念, 化 三 重 积 分 为 累 次 积 分, 三 重 积 分 换 元 法, 曲 面 的 面 积, 质 心, 转 动 惯 量, 引 力 考 核 要 求 理 解 : 二 重 积 分 与 三 重 积 分 的 概 念, 格 林 公 式 及 其 证 明, 重 积 分 的 应 用 掌 握 : 二 重 积 分 与 三 重 积 分 的 计 算, 格 林 公 式 的 应 用 第 二 十 二 章 曲 面 积 分 考 核 内 容 第 一 型 曲 面 积 分 的 概 念, 第 一 型 曲 面 积 分 的 计 算 曲 面 的 侧, 第 二 型 曲 面 积 分 的 概 念, 第 二 型 曲 面 积 分 的 计 算, 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 高 斯 公 式, 斯 托 克 斯 公 式 考 核 要 求 理 解 : 第 一 型 曲 面 积 分 与 第 二 型 曲 面 积 分 的 概 念, 高 斯 公 式 与 斯 托 克 斯 公 式 及 其 证 明, 两 类 曲 面 积 分 的 联 系 掌 握 : 第 一 型 曲 面 积 分 与 第 二 型 曲 面 积 分 计 算, 高 斯 公 式 与 斯 托 克 斯 公 式 的 应 用 六 样 卷 数 学 学 院 数 学 分 析 (1) 课 程 考 试 试 题 学 年 第 学 期 班 级 时 量 : 120 分 钟 总 分 100 分 考 试 形 式 闭 卷 一 计 算 与 简 答 题, 计 算 题 需 写 出 必 要 的 计 算 步 骤, 每 题 5 分, 共 50 分. lim 2 (1) 求 极 限 lim ( ) (2) 求 极 限 n n n ; n 1 1 1 + + + n 2 2 2 n + 1 n + 3 n + (2n 1) (3) 求 极 限 (4) 求 极 限 (5) 求 极 限 (6) 求 极 限 (7) 设 (8) 设 y (9) 求 曲 线 与 法 线 方 程 ; (10) 设 2 1 lim 1+ n 2 n 3n ; lim x ln x + x 0 ; 1 1 x x x ; lim 1 ln 1 1 x lim xe ( 1) x + ; ; 2 arcsin (sin x) =, 求 x = 3( t sin t), y = 3(1 cos t), 2 y x 3x 求 n d d d d y 2 2 x ; y 2 2 x ; = 在 点 P(1, 2) 的 切 线 方 程 3 x 1, x 2, f( x) = ax + b, x < 2, 值, 使 函 数 f ( x ) 在 x = 2 处 可 导. 二 解 答 题 ( 共 50 分 ) (11)(8 分 ) 叙 述 函 数 极 限 并 按 函 数 极 限 定 义 证 明 lim f ( x) x x0 3 lim( x 3x 2) 4 x 2 (12)(8 分 ) 叙 述 极 限 lim f ( x) x + + =. 试 确 定 ab, 的 = A的 定 义, 存 在 的 海 涅 归 结 原 20

理, 并 应 用 它 证 明 lim cos x x + 不 存 在. (13)(8 分 ) 设 函 数 f ( x ), gx ( ) 在 [ ab, ] 上 可 导, 且 g'( x) 0. 证 明 ξ ( ab, ), 使 用 柯 西 收 敛 准 则 证 明 数 列 { a n } 收 敛. (15) (8 分 ) 证 明 : 任 一 实 系 数 奇 次 方 程 至 少 有 一 个 实 根. (16)(10 分 ) 叙 述 函 数 f ( x ) 在 区 间 I 上 一 致 连 续 的 a n f ( a) f( ξ ) f '( ξ ) = g( ξ ) g( b) g'( ξ ) a n n (14)(8 分 ) 数 列 极 限 lim. 的 柯 西 收 敛 准 则. 设 cos1 cos 2 cos 3 cos n = + + + +, 3 3 3 3 1 2 3 n 定 义. 并 用 函 数 的 一 致 连 续 定 义 证 明 [,1) c 0< c < 1. 1 f( x) sin x = 在 上 一 致 连 续, 而 在 (0,1) 非 一 致 连 续, 其 中 制 定 人 : 李 松 华 审 核 人 : 张 映 辉 21

高 等 代 数 课 程 简 介 课 程 名 称 英 译 名 称 高 等 代 数 Advanced Algebra 课 程 代 码 14D00411,14D00512 开 设 学 期 一, 二 安 排 学 时 5+6 赋 予 学 分 4+6 课 程 类 型 公 共 基 础 课 学 科 基 础 课 专 业 课 人 文 科 技 素 质 课 必 修 课 选 修 课 授 课 教 研 室 数 学 与 应 用 数 学 教 研 室 负 责 人 余 德 民 开 设 单 位 数 学 学 院 教 材 名 称 教 材 出 版 信 息 高 等 代 数 高 等 教 育 出 版 社, 2003 年 9 月 第 3 版, 书 号 :ISBN 7-04-011915-3 教 材 性 质 部 优 省 优 部 级 规 划 省 级 规 划 自 编 其 他 考 核 形 式 考 试 考 查 开 卷 闭 卷 课 程 设 计 学 期 论 文 其 他 课 程 成 绩 构 成 平 时 成 绩 40 % 期 末 考 核 60 % 主 讲 教 师 基 本 情 况 姓 名 性 别 学 历 学 位 职 称 从 教 时 间 李 凤 高 男 本 科 学 士 教 授 1976.7 周 立 仁 男 本 科 学 士 副 教 授 1981.7 王 英 女 硕 士 研 究 生 硕 士 副 教 授 1995.7 余 德 民 男 博 士 研 究 生 博 士 副 教 授 2001.7 课 程 简 介 高 等 代 数 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 主 干 基 础 课 程, 在 大 学 一 年 级 1-2 学 期 开 设 本 课 程 对 学 生 的 抽 象 思 维 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 的 培 养, 以 及 后 继 课 程 的 学 习 起 着 重 要 的 作 用 高 等 代 数 课 程 的 内 容 包 括 : 多 项 式 理 论, 行 列 式, 线 性 方 程 组, 矩 阵, 二 次 型, 线 性 空 间, 线 性 变 换, 欧 几 里 得 空 间 等 线 性 代 数 理 论 通 过 本 课 程 的 教 学, 使 学 生 掌 握 代 数 方 面 的 基 本 概 念, 基 本 性 质, 基 本 计 算 与 证 明 及 其 应 用, 培 养 其 抽 象 思 维 和 逻 辑 推 理 能 力 22

高 等 代 数 (1 2) 课 程 教 学 大 纲 一 课 程 的 基 本 信 息 适 应 对 象 : 数 学 与 应 用 数 学 本 科 专 业 课 程 代 码 :14D00411, 14D00512 学 时 分 配 :72+96 赋 予 学 分 :4+6 先 修 课 程 : 初 等 数 学 后 续 课 程 : 抽 象 代 数, 常 微 分 方 程, 高 等 代 数 方 法 选 讲 二 课 程 性 质 与 任 务 高 等 代 数 是 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 一 门 重 要 基 础 课 程, 它 理 论 性 强, 内 容 抽 象, 是 学 习 数 学 专 业 后 继 课 程 如 抽 象 代 数 高 等 代 数 方 法 选 讲 等 的 必 备 基 础, 而 且 在 科 学 技 术 的 许 多 领 域 如 物 理 化 学 生 物 计 算 机 科 学 通 讯 信 息 工 程 中 都 有 着 重 要 的 应 用, 一 直 都 是 数 学 领 域 研 究 的 重 要 工 具 开 设 本 课 程 的 任 务, 就 是 使 学 生 掌 握 为 进 一 步 提 高 专 业 知 识 水 平 所 必 需 的 代 数 基 本 理 论 和 基 本 方 法, 加 深 对 初 等 代 数 内 容 的 了 解, 并 能 处 理 中 学 数 学 的 有 关 研 究 问 题 同 时 培 养 学 生 抽 象 与 科 学 思 维 逻 辑 推 理 以 及 观 察 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力, 培 养 从 事 数 学 教 学 与 研 究 的 能 力 三 教 学 目 的 与 要 求 通 过 本 课 程 的 教 学, 使 学 生 系 统 地 掌 握 本 课 程 的 基 本 理 论, 基 础 知 识, 以 及 代 数 研 究 问 题 的 基 本 方 法 培 养 学 生 的 抽 象 思 维, 逻 辑 推 理, 基 本 运 算 能 力, 以 及 分 析, 解 决 问 题 的 能 力 为 进 一 步 学 习 后 继 课 程 奠 定 坚 实 的 基 础 四 教 学 内 容 与 安 排 第 一 章 多 项 式 (26 课 时 ) 1.1 数 域 数 域 的 概 念 1.2 一 元 多 项 式 多 项 式 的 有 关 概 念, 多 项 式 的 运 算 和 算 律, 多 项 式 的 和 与 积 的 次 数 1.3 整 除 的 概 念 整 除 的 定 义 和 基 本 性 质, 带 余 除 法 1.4 最 大 公 因 式 最 大 公 因 式 的 定 义, 辗 转 相 除 法 最 大 公 因 式 的 重 要 表 达 式, 互 素 的 定 义 和 重 要 性 质 1.5 因 式 分 解 定 理 不 可 约 多 项 式 的 定 义 和 基 本 性 质, 多 项 式 的 唯 一 分 解 定 理, 利 用 典 型 分 解 式 求 最 大 公 因 式 1.6 重 因 式 重 因 式 的 定 义, 多 项 式 的 重 因 式 与 其 导 数 的 关 系, 多 项 式 无 重 音 上 的 充 要 条 件 1.7 多 项 式 的 函 数 余 式 定 理, 多 项 式 的 根, 因 式 定 理, 重 根, 非 零 多 项 式 的 根 的 最 多 个 数 1.8 复 系 数 与 实 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解 代 数 基 本 定 理, 复 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解, 根 与 系 数 的 关 系, 关 于 实 系 数 多 项 式 的 根 的 定 理, 关 于 实 数 域 上 不 可 约 多 项 式 的 定 理, 实 数 域 上 多 项 式 的 因 式 分 解 1.9 有 理 系 数 多 项 式 本 原 多 项 式,Gauss 引 理, 整 系 数 多 项 式 在 有 理 数 域 上 的 可 约 性 定 理,Eisenstein 判 别 法, 有 理 数 域 上 的 多 项 式 的 有 理 根 1.10 多 元 多 项 式 n 元 多 项 式, 多 元 多 项 式 性 质 1.11 对 称 多 项 式 对 称 多 项 式, 初 等 对 称 多 项 式, 对 称 多 项 式 基 本 定 理 第 二 章 行 列 式 (18 课 时 ) 2.1 引 言 2.2 排 列 排 列 及 其 逆 序 数, 偶 排 列 和 奇 排 列, 对 换 及 其 对 排 列 的 作 用 2.3 n 阶 行 列 式 行 列 式 的 定 义 2.4 行 列 式 的 性 质 2.5 行 列 式 的 计 算 矩 阵 的 初 等 行 ( 列 ) 变 换, 方 矩 阵 的 行 列 式 及 利 用 矩 阵 的 初 等 变 换 计 算 行 列 式 2.6 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开 余 子 式, 代 数 余 子 式, 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开 定 理, 范 德 蒙 行 列 式 2.7 Cramer 法 则 Cramer 法 则 2.8 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 规 则 23

k 级 子 式, 拉 普 拉 斯 定 理, 行 列 式 的 乘 法 定 理 第 三 章 线 性 方 程 组 (20 课 时 ) 3.1 消 元 法 线 性 方 程 组 的 初 等 变 换 3.2 n 维 向 量 空 间 n 为 维 向 量 空 间 的 定 义 及 其 运 算 3.3 线 性 相 关 性 向 量 组 的 线 性 组 合 及 其 性 质, 向 量 组 的 线 性 相 关 和 线 性 无 关 的 定 义 及 性 质, 极 大 无 关 组, 向 量 组 的 等 价, 秩 的 概 念 及 其 性 质 3.4 矩 阵 的 秩 矩 阵 的 子 式 和 秩 的 定 义, 矩 阵 的 秩 的 求 法 3.5 线 性 方 程 组 有 解 判 别 定 理 线 性 方 程 组 有 解 判 别 定 理 3.6 线 性 方 程 组 解 的 结 构 线 性 方 程 组 的 解 空 间, 基 础 解 系, 导 出 组, 线 性 方 程 组 的 解 的 结 构 3.7 二 元 高 次 方 程 组 第 四 章 矩 阵 (20 课 时 ) 4.1 矩 阵 的 概 念 4.2 矩 阵 的 运 算 矩 阵 的 有 关 概 念, 矩 阵 的 运 算 和 算 律, 矩 阵 的 转 置 及 其 性 质 4.3 矩 阵 乘 积 的 行 列 式 与 秩 矩 阵 乘 积 的 秩 与 每 个 因 子 的 秩 的 关 系 4.4 矩 阵 的 逆 可 逆 矩 阵 的 定 义 和 简 单 性 质, 伴 随 矩 阵, 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件, 用 公 式 法 求 可 逆 矩 阵 4.5 矩 阵 的 分 块 矩 阵 分 块 的 含 义 及 分 块 矩 阵 的, 数 乘 及 乘 法 运 算, 准 对 角 矩 阵 4.6 初 等 矩 阵 初 等 矩 阵 的 定 义, 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系, 矩 阵 等 价 的 定 义, 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件, 用 初 等 变 换 求 可 逆 矩 阵 的 方 法 4.7 分 块 乘 法 的 初 等 变 换 及 应 用 举 例 第 五 章 二 次 型 (16 学 时 ) 5.1 二 次 型 的 矩 阵 表 示 二 次 型 的 定 义, 二 次 型 的 矩 阵 和 秩, 二 次 型 与 对 称 矩 阵 的 一 一 对 应, 非 退 化 的 线 性 替 换, 二 次 型 的 等 价, 矩 阵 的 合 同 5.2 标 准 形 用 配 方 法 求 二 次 型 的 标 准 形 5.3 唯 一 性 复 ( 实 ) 二 次 型 的 规 范 性 及 其 唯 一 性, 实 二 次 型 的 惯 性 指 数 和 符 号 差 5.4 正 定 二 次 型 正 定 矩 阵 正 定 二 次 型 的 定 义, 正 定 矩 阵 及 正 定 二 次 型 的 判 别 方 法 第 六 章 线 性 空 间 (26 学 时 ) 6.1 集 合 映 射 映 射 的 一 些 基 本 概 念 6.2 线 性 空 间 的 定 义 与 简 单 性 质 线 性 空 间 的 定 义 及 例 子, 简 单 性 质 6.3 维 数, 基 与 坐 标 线 性 组 合, 线 性 相 关, 线 性 无 关, 基 与 坐 标 6.4 基 变 换 与 坐 标 变 换 过 渡 矩 阵, 坐 标 变 换 公 式 6.5 线 性 子 空 间 线 性 子 空 间 的 定 义 及 判 定, 生 成 子 空 间, 基 的 扩 充 定 理 6.6 子 空 间 的 交 与 和 交 与 和 的 定 义, 维 数 公 式 6.7 子 空 间 的 直 和 直 和 的 定 义, 子 空 间 的 和 是 直 和 的 充 要 条 件 6.8 线 性 空 间 的 同 构 同 构 的 定 义 和 性 质, 有 限 维 向 量 空 间 同 构 的 充 要 条 件 第 七 章 线 性 变 换 (24 学 时 ) 7.1 线 性 变 换 的 定 义 线 性 变 换 的 定 义 和 简 单 性 质 7.2 线 性 变 换 的 运 算 线 性 变 换 的 相 等, 线 性 变 换 的 加 法 纯 量 乘 法 与 乘 法 及 其 算 律, 可 逆 线 性 变 换 的 定 义, 线 性 变 换 的 多 项 式 7.3 线 性 变 换 的 矩 阵 线 性 变 换 关 于 一 个 基 的 矩 阵, 线 性 变 换 与 矩 阵 的 同 构 对 应, 线 性 变 换 关 于 不 同 基 的 矩 阵, 矩 阵 的 相 似 7.4 特 征 值 与 特 征 向 量 线 性 变 换 与 矩 阵 的 特 征 值 特 征 向 量 及 其 求 法 特 征 多 项 式 的 概 念, 特 征 子 空 间,Hamilton-Caylay 定 理 7.5 对 角 矩 阵 矩 阵 ( 线 性 变 换 ) 可 对 角 化 的 定 义, 属 于 不 同 特 征 根 的 特 征 向 量 的 线 性 无 关 性, 线 性 变 换 与 矩 阵 可 对 角 化 的 条 件, 化 为 对 角 形 的 方 法 7.6 线 性 变 换 的 值 域 与 核 线 性 变 换 的 值 域 核 秩 零 度 的 概 念, 有 限 维 线 性 24

空 间 的 线 性 变 换 的 秩 与 零 度 的 关 系 7.7 不 变 子 空 间 不 变 子 空 间 的 定 义, 依 Hamilton-Caylay 定 理 将 空 间 按 特 征 值 分 解 成 不 变 子 空 间 的 直 和 7.8Jordan 标 准 形 介 绍 Jordan 块,Jordan 形 矩 阵,Jordan 标 准 形 7.9 最 小 多 项 式 最 小 多 项 式 的 定 义 及 性 质 第 八 章 欧 几 里 得 空 间 (18 学 时 ) 8.1 定 义 与 基 本 性 质 欧 几 里 得 空 间 内 积 的 定 义 和 简 单 性 质, 柯 西 - 布 涅 苛 夫 斯 基 不 等 式, 向 量 的 长 度 夹 角 距 离 及 正 交 的 定 义, 度 量 矩 阵 欧 氏 空 间 的 定 义 8.2 标 准 正 交 基 正 交 向 量 组, 标 准 正 交 基,Schimidt 正 交 化 过 程, 正 交 矩 阵 8.3 欧 氏 空 间 的 同 构 欧 氏 空 间 同 构 的 定 义 与 性 质, 有 限 维 欧 氏 空 间 同 构 的 充 要 条 件 8.4 正 交 变 换 正 交 变 换 的 定 义, 欧 氏 空 间 的 变 换 是 正 交 变 换 的 充 要 条 件 8.5 子 空 间 子 空 间 的 正 交, 正 交 补 8.6 对 称 矩 阵 的 标 准 形 实 对 称 矩 阵 的 性 质, 对 称 变 换, 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 标 准 形 8.7 向 量 到 子 空 间 的 距 离, 最 小 二 乘 法 最 小 二 乘 法, 最 小 二 乘 解 8.8 酉 空 间 介 绍 酉 空 间 酉 变 换 酉 矩 阵 Hermite 矩 阵 的 概 念 五 教 学 设 备 和 设 施 黑 板 板 示 和 多 媒 体 教 学 相 结 合 六 课 程 考 核 与 评 估 本 课 程 考 试 分 两 期 进 行, 分 期 计 算 成 绩 每 学 期 的 考 核 分 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 七 附 录 教 学 参 考 文 献 目 录 1. 北 京 大 学 数 学 系 几 何 与 代 数 研 究 室 前 代 数 小 组 编, 王 萼 芳, 石 生 明 修 订. 高 等 代 数 ( 第 三 版 ). 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,2003 2. 张 禾 瑞, 郝 鈵 新. 高 等 代 数 ( 第 四 版 ). 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社,1997 3. 杨 子 胥. 高 等 代 数 习 题 解 ( 上 下 册 ). 济 南 : 山 东 科 学 技 术 出 版 社,1984 4. 王 品 超. 高 等 代 数 新 方 法 ( 上 下 册 ). 济 南 : 山 东 教 育 出 版 社,2003 教 学 网 络 提 示 1. 博 士 家 园 网 址 :http://www.bossh.net/ 2. 浙 江 大 学 数 学 科 学 研 究 中 心 : http://www.cms.zju.edu.cn/ 3. 湖 南 理 工 学 院 高 等 代 数 精 品 课 程 网 址 : http://jpkc.hnist.cn/ec/c12/zcr-1.htm 制 定 人 : 李 凤 高 审 核 人 : 李 松 华 25

高 等 代 数 (1 2) 课 程 考 核 大 纲 一 适 应 对 象 修 读 完 本 课 程 规 定 内 容 的 数 学 与 应 用 数 学 专 业 的 学 生 ; 提 出 并 获 准 免 修 本 课 程 申 请 进 行 课 程 水 平 考 核 的 非 以 上 专 业 的 学 生 ; 提 出 并 获 准 副 修 第 二 专 业 申 请 进 行 课 程 水 平 考 核 的 非 以 上 专 业 的 学 生 二 考 核 目 的 考 核 学 生 对 高 等 代 数 的 基 本 概 念 基 础 知 识 基 本 理 论 的 掌 握 情 况, 考 核 学 生 的 计 算 与 证 明 能 力 考 核 学 生 运 用 高 等 代 数 的 理 论 与 方 法 解 决 实 际 问 题 的 能 力 三 考 核 形 式 与 方 法 高 等 代 数 (1 2) 每 学 期 的 期 末 成 绩 评 定 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 平 时 考 核 主 要 由 平 时 测 验 (2~3 次 ) 完 成 作 业 情 况 学 生 到 课 率 和 课 堂 表 现 等, 平 时 测 验 与 期 末 考 核 全 部 采 用 闭 卷 考 试 形 式 的 考 核 四 课 程 考 核 成 绩 构 成 本 课 程 开 设 两 期, 分 期 考 核 按 两 门 成 绩 计 算 每 学 期 的 期 末 成 绩 由 平 时 考 核 ( 占 40%) 与 期 末 考 核 ( 占 60%) 两 部 分 组 成 五 考 核 内 容 与 要 求 第 一 章 多 项 式 考 试 内 容 数 域 的 概 念 ; 多 项 式 的 有 关 概 念, 多 项 式 的 运 算 和 算 律, 多 项 式 的 和 与 积 的 次 数 ; 整 除 的 定 义 和 基 本 性 质, 带 余 除 法 ; 最 大 公 因 式 的 定 义, 辗 转 相 除 法 最 大 公 因 式 的 重 要 表 达 式, 互 素 的 定 义 和 重 要 性 质 ; 不 可 约 多 项 式 的 定 义 和 基 本 性 质, 多 项 式 的 唯 一 分 解 定 理, 利 用 典 型 分 解 式 求 最 大 公 因 式 ; 重 因 式 的 定 义, 多 项 式 的 重 因 式 与 其 导 数 的 关 系, 多 项 式 无 重 音 上 的 充 要 条 件 ; 余 式 定 理, 多 项 式 的 根, 因 式 定 理, 重 根, 非 零 多 项 式 的 根 的 最 多 个 数 ; 代 数 基 本 定 理, 复 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解, 根 与 系 数 的 关 系, 关 于 实 系 数 多 项 式 的 根 的 定 理, 关 于 实 数 域 上 不 可 约 多 项 式 的 定 理, 实 数 域 上 多 项 式 的 因 式 分 解 ; 本 原 多 项 式,Gauss 引 理, 整 系 数 多 项 式 在 有 理 数 域 上 的 可 约 性 定 理,Eisenstein 判 别 法, 有 理 数 域 上 的 多 项 式 的 有 理 根 考 核 要 求 理 解 : 带 余 除 法, 辗 转 除 法, 多 项 式 唯 一 因 式 分 解 定 理, 余 式 定 理, 多 项 式 的 根, 因 式 定 理, 关 于 实 系 数 多 项 式 的 根 的 定 理,Eisenstein 判 别 法 掌 握 : 会 用 多 项 式 和 与 积 的 次 数 求 证 有 关 题 目, 会 用 辗 转 除 法 求 最 大 公 因 式 及 最 大 公 因 式 的 重 要 表 达 式, 会 用 典 型 分 解 式 求 最 大 公 因 式, 会 判 定 多 项 式 有 无 重 因 式, 会 用 综 合 除 法 判 定 是 否 为 多 项 式 的 根, 会 用 根 与 系 数 的 关 系 求 满 足 要 求 的 多 项 式, 会 用 Eisenstein 判 别 法, 会 求 有 理 数 域 上 的 多 项 式 的 有 理 根 第 二 章 行 列 式 考 试 内 容 排 列 及 其 逆 序 数, 偶 排 列 和 奇 排 列, 对 换 及 其 对 排 列 的 作 用 ; 行 列 式 的 定 义 ; 矩 阵 的 初 等 行 ( 列 ) 变 换, 方 矩 阵 的 行 列 式 及 利 用 矩 阵 的 初 等 变 换 计 算 行 列 式 ; 余 子 式, 代 数 余 子 式, 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开 定 理, 范 德 蒙 行 列 式 ;Cramer 法 则 考 核 要 求 理 解 :n 阶 行 列 式 的 定 义 掌 握 : 能 灵 活 运 用 n 阶 行 列 式 的 定 义, 行 列 式 的 基 本 性 质 和 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开 公 式 计 算 行 列 式 第 三 章 线 性 方 程 组 考 试 内 容 线 性 方 程 组 的 初 等 变 换 ;n 为 维 向 量 空 间 的 定 义 及 其 运 算 ; 向 量 组 的 线 性 组 合 及 其 性 质, 向 量 组 的 线 性 相 关 和 线 性 无 关 的 定 义 及 性 质, 极 大 无 关 组, 向 量 组 的 等 价, 秩 的 概 念 及 其 性 质 ; 矩 阵 的 子 式 和 秩 的 定 义, 矩 阵 的 秩 的 求 法 ; 线 性 方 程 组 有 解 判 别 定 理 ; 线 性 方 程 组 的 解 空 间, 基 础 解 系, 导 出 组, 线 性 方 程 组 的 解 的 结 构 考 核 要 求 理 解 : 向 量 空 间 的 定 义, 向 量 组 的 线 性 相 关 性, 矩 阵 的 秩 的 定 义 掌 握 : 能 用 定 义 或 定 理 判 别 一 个 向 量 组 的 线 性 相 关 性, 能 证 明 一 个 向 量 组 的 线 性 相 关 性, 能 求 矩 阵 的 秩, 会 判 断 线 性 方 程 组 是 否 有 解, 能 在 线 性 方 程 组 有 解 时 判 定 其 有 多 少 个 解, 对 有 无 穷 多 个 解 的 线 性 方 程 组 能 给 出 其 全 部 解 第 四 章 矩 阵 考 试 内 容 26

矩 阵 的 概 念, 矩 阵 的 运 算 和 算 律, 矩 阵 的 转 置 及 其 性 质 ; 矩 阵 乘 积 的 秩 与 每 个 因 子 的 秩 的 关 系 ; 可 逆 矩 阵 的 定 义 和 简 单 性 质, 伴 随 矩 阵, 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件, 用 公 式 法 求 可 逆 矩 阵 ; 矩 阵 分 块 的 含 义 及 分 块 矩 阵 的, 数 乘 及 乘 法 运 算, 准 对 角 矩 阵 ; 初 等 矩 阵 的 定 义, 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系, 矩 阵 等 价 的 定 义, 矩 阵 可 逆 的 充 要 条 件, 用 初 等 变 换 求 可 逆 矩 阵 的 方 法 考 核 要 求 理 解 : 秩 的 定 义, 求 逆 矩 阵 的 理 论 依 据 掌 握 : 会 进 行 矩 阵 的 运 算, 能 求 矩 阵 的 秩, 能 熟 练 求 一 个 可 逆 矩 阵 的 逆 矩 阵 第 五 章 二 次 型 考 试 内 容 二 次 型 的 定 义, 二 次 型 的 矩 阵 和 秩, 二 次 型 与 对 称 矩 阵 的 一 一 对 应, 非 退 化 的 线 性 替 换, 二 次 型 的 等 价, 矩 阵 的 合 同 ; 用 配 方 法 求 二 次 型 的 标 准 形 ; 复 ( 实 ) 二 次 型 的 规 范 性 及 其 唯 一 性, 实 二 次 型 的 惯 性 指 数 和 符 号 差 ; 正 定 矩 阵 正 定 二 次 型 的 定 义, 正 定 矩 阵 及 正 定 二 次 型 的 判 别 方 法 考 核 要 求 理 解 : 惯 性 定 律 掌 握 : 会 求 一 个 实 二 次 型 的 矩 阵 秩 惯 性 指 数 和 符 号 差, 会 求 二 次 型 的 等 价 标 准 形, 会 判 定 一 个 实 二 次 型 是 否 为 正 定 二 次 型 第 六 章 线 性 空 间 考 试 内 容 映 射 的 一 些 基 本 概 念 ; 线 性 空 间 的 定 义 及 例 子, 简 单 性 质 ; 线 性 组 合, 线 性 相 关, 线 性 无 关, 基 与 坐 标 ; 过 渡 矩 阵, 坐 标 变 换 公 式 ; 线 性 子 空 间 的 定 义 及 判 定, 生 成 子 空 间, 基 的 扩 充 定 理 ; 交 与 和 的 定 义, 维 数 公 式 ; 直 和 的 定 义, 子 空 间 的 和 是 直 和 的 充 要 条 件 ; 同 构 的 定 义 和 性 质, 有 限 维 向 量 空 间 同 构 的 充 要 条 件 考 核 要 求 理 解 : 向 量 空 间 基 的 定 义, 向 量 空 间 同 构 的 定 义, 向 量 组 的 线 性 相 关 性, 向 量 空 间 的 基 应 用 : 能 用 定 义 或 定 理 判 别 一 个 向 量 组 的 线 性 相 关 性, 会 判 断 一 个 向 量 组 是 否 为 向 量 空 间 的 基, 能 证 明 一 个 向 量 组 的 线 性 相 关 性 第 七 章 线 性 变 换 考 试 内 容 线 性 变 换 的 定 义 和 简 单 性 质 ; 线 性 变 换 的 相 等, 线 性 变 换 的 加 法 纯 量 乘 法 与 乘 法 及 其 算 律, 可 逆 线 性 变 换 的 定 义, 线 性 变 换 的 多 项 式 ; 线 性 变 换 关 于 一 个 基 的 矩 阵, 线 性 变 换 与 矩 阵 的 同 构 对 应, 线 性 变 换 关 于 不 同 基 的 矩 阵, 矩 阵 的 相 似 ; 线 性 变 换 与 矩 阵 的 特 征 值 特 征 向 量 及 其 求 法 特 征 多 项 式 的 概 念, 特 征 子 空 间,Hamilton-Caylay 定 理 ; 矩 阵 ( 线 性 变 换 ) 可 对 角 化 的 定 义, 属 于 不 同 特 征 根 的 特 征 向 量 的 线 性 无 关 性, 线 性 变 换 与 矩 阵 可 对 角 化 的 条 件, 化 为 对 角 形 的 方 法 ; 线 性 变 换 的 值 域 核 秩 零 度 的 概 念, 有 限 维 线 性 空 间 的 线 性 变 换 的 秩 与 零 度 的 关 系 ; 不 变 子 空 间 的 定 义, 依 Hamilton-Caylay 定 理 将 空 间 按 特 征 值 分 解 成 不 变 子 空 间 的 直 和 ;Jordan 块,Jordan 形 矩 阵,Jordan 标 准 形 ; 最 小 多 项 式 的 定 义 及 性 质 考 核 要 求 理 解 : 线 性 变 换 的 特 征 根 特 征 向 量 与 特 征 子 空 间 的 定 义, 不 变 子 空 间,Jordan 标 准 形 掌 握 : 会 求 一 个 线 性 变 换 关 于 某 个 基 的 矩 阵, 会 求 线 性 变 换 的 特 征 多 项 式 特 征 根 及 特 征 向 量, 会 把 一 个 矩 阵 ( 线 性 变 换 ) 对 角 化 第 八 章 欧 几 里 得 空 间 考 试 内 容 欧 几 里 得 空 间 内 积 的 定 义 和 简 单 性 质, 柯 西 - 布 涅 苛 夫 斯 基 不 等 式, 向 量 的 长 度 夹 角 距 离 及 正 交 的 定 义, 度 量 矩 阵 欧 氏 空 间 的 定 义 ; 正 交 向 量 组, 标 准 正 交 基, Schimidt 正 交 化 过 程, 正 交 矩 阵 ; 欧 氏 空 间 同 构 的 定 义 与 性 质, 有 限 维 欧 氏 空 间 同 构 的 充 要 条 件 ; 正 交 变 换 的 定 义, 欧 氏 空 间 的 变 换 是 正 交 变 换 的 充 要 条 件 ; 子 空 间 的 正 交, 正 交 补 ; 实 对 称 矩 阵 的 性 质, 对 称 变 换, 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 标 准 形 ; 最 小 二 乘 法, 最 小 二 乘 解 考 核 要 求 理 解 : 内 积 的 定 义, 施 密 特 正 交 化 法 的 理 论 依 据, 正 交 向 量 组 线 性 无 关 掌 握 : 会 求 向 量 的 长 度 向 量 的 夹 角 距 离, 会 把 线 性 无 关 的 向 量 组 化 为 标 准 正 交 组, 会 求 实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 标 准 形 六 样 卷 数 学 学 院 高 等 代 数 (1) 课 程 考 试 试 题 学 年 第 学 期 班 级 时 量 : 120 分 钟 总 分 100 分 考 试 形 式 闭 卷 一 (30 分 ) 判 断 题 ( 正 确 的 在 括 号 内 打, 错 的 打 ) 1. 若 n 阶 矩 阵 A 的 行 列 式 A 0, 则 A 的 伴 随 矩 阵 * A 可 逆. ( ) 27