年 考 研 数 学 基 础 班 讲 义 高 等 数 学 第 一 章 函 数 极 限 连 续 一 函 数 函 数 的 概 念 : 函 数 的 性 态 : 单 调 性 奇 偶 性 周 期 性 有 界 性 有 界 性 : 定 义 : M >, I, M ; 复 合 函 数 与 反 函 数 函 数 的 复 合, 求 反 函 数 4 基 本 的 初 等 函 数 与 初 等 函 数 基 本 初 等 函 数 : 将 幂 函 数, 指 数, 对 数, 三 角, 反 三 角 统 称 为 基 本 初 等 函 数 了 解 它 们 定 义 域, 性 质, 图 形. 初 等 函 数 : 由 基 本 初 等 函 数 经 过 有 限 次 的 加 减 乘 除 和 复 合 所 得 到 且 能 用 一 个 解 析 式 表 示 的 函 数. 常 考 题 型 : 函 数 有 界 性 单 调 性 周 期 性 及 奇 偶 性 的 判 定 ; 复 合 函 数 ; http://z.5d6d.com 例 cos si e < < + 是 A 有 界 函 数. B 单 调 函 数. C 周 期 函 数 D 偶 函 数. 例 已 知 si, [ ], ϕ 则 ϕ 的 定 义 域 为.
解 : rcsi ; [, ]. 例 设,,, <, 则 g +, >,, g [ ]. +, <, 解 g[ ] +,. 二 极 限 极 限 概 念 数 列 极 限 : lim A : ε >, N >, 当 > N 时, 恒 有 A < ε. 函 数 极 限 : lim A: ε >, X >, 当 > X 时, 恒 有 类 似 的 定 义 A < ε. lim A, lim A + lim A lim lim + A lim A : ε >, δ >, 当 < < δ 时, 恒 有 A < ε 左 极 限 : lim 右 极 限 : lim + 或 + 或 + lim A lim + lim A 几 个 值 得 注 意 的 极 限 : + lim e,lim rct, lim e, lim rct, lim. http://z.5d6d.com 极 限 性 质 有 界 性 收 敛 数 列 必 有 界 ; 有 理 运 算 性 质 若 lim A, lim g B. 那 么 : lim[ ± g ] lim ± lim g A ± B
lim[ g ] lim lim g A B lim lim g lim g A B B 两 个 常 用 的 结 论 : lim 存 在, lim g lim ; g 保 号 性 设 lim lim A,lim lim g ; g A 如 果 A >, 则 存 在 δ >, 当 U, δ 时, >. o 如 果 当 U, δ 时,, 那 么 A. 4 极 限 值 与 无 穷 小 之 间 的 关 系 ; lim A A + α. 其 中 lim α. 极 限 存 在 准 则 夹 逼 准 则 : 若 存 在 N, 当 > N 时, lim. 单 调 有 界 准 则 : 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 4 常 用 的 基 本 极 限 o z, 且 lim lim z, 则 http://z.5d6d.com si lim, lim + e, lim + e l + e lim, lim, lim l + lim α α, lim. 5 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 无 穷 小 量 的 概 念 : 若 lim, 则 称 为 时 的 无 穷 小 量.
无 穷 小 的 比 较 : 设 lim α, limβ, 且 β. α 高 阶 : 若 lim ; 记 为 α ο β ; β α 同 阶 : 若 lim C ; β α 等 价 : 若 lim ; 记 为 α ~ β ; β α 4 无 穷 小 的 阶 : 若 lim C, 称 α 是 β 的 k 阶 无 穷 小. k [ β ] 常 用 的 等 价 无 穷 小 : 当 时, ~ si ~ t ~ rcsi ~ rct ~ l + ~ e ; cos ~, + α ~ α, ~ l,, 4 等 价 无 穷 小 代 换 α 若 α ~ α, β ~ β, 且 lim 存 在, β 则 α α lim lim β β 5 无 穷 小 的 性 质 : 有 限 个 无 穷 小 的 和 仍 是 无 穷 小. 有 限 个 无 穷 小 的 积 仍 是 无 穷 小. http://z.5d6d.com 无 穷 小 量 与 有 界 量 的 积 仍 是 无 穷 小. 6 无 穷 大 量 的 概 念 : 若 lim, 称 为 时 的 无 穷 大 量 ; 7 无 穷 大 量 与 无 界 变 量 的 关 系 : 无 穷 大 量 无 界 变 量 8 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 的 关 系 : 无 穷 大 量 的 倒 数 是 无 穷 小 量 ; 无 穷 小 量 恒 不 为 零 的 倒 数 是 无 穷 大 量 ; 4
常 考 题 型 : 求 极 限 ; 无 穷 小 量 阶 的 比 较 ; 求 极 限 : 方 法 有 理 运 算 si + cos 例 lim. + cos + 例 lim. + 方 法 基 本 极 限 例 lim + + c 方 法 等 价 无 穷 小 代 换 si t e e 例 lim. l + + 例 lim. + 方 法 4 夹 逼 原 理 例 例, 其 中 >, >, c >. c lim + + L + + + + + + + lim + + http://z.5d6d.com 例 lim + + L + m. 其 中 i >, i,, Lm m i 方 法 5 单 调 有 界 准 则 例 设 >, >,,, L. + +, 求 极 限 lim. 5
无 穷 小 量 阶 的 比 较 例 当 时, α k 与 β + rcsi cos 是 等 价 无 穷 小, 则 k. 4 例 设 当 时 cos l + 是 比 si 高 阶 的 无 穷 小, 而 si 是 比 e 高 阶 的 无 穷 小, 则 正 整 数 等 于 B A. B. C. D4. 三 连 续 连 续 的 定 义 : 若 lim, 则 称 在 处 连 续 左 右 连 续 定 义 : 若 lim, 则 称 在 处 左 连 续 若 lim, 则 称 在 处 右 连 续 + 连 续 左 连 续 且 右 连 续 间 断 点 第 一 类 间 断 点 : 左, 右 极 限 均 存 在 的 间 断 点 可 去 间 断 点 : 左 极 限 右 极 限 跳 跃 间 断 点 : 左 极 限 右 极 限 第 二 类 间 断 点 : 左 右 极 限 中 至 少 有 一 个 不 存 在 的 间 断 点 无 穷 间 断 点 : 时, http://z.5d6d.com 振 荡 间 断 点 : 时, 振 荡 连 续 函 数 性 质 连 续 函 数 的 和 差 积 商 分 母 不 为 零 及 复 合 仍 为 连 续 函 数 ; 基 本 初 等 函 数 在 其 定 义 域 内 处 处 连 续 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 内 处 处 连 续 ; 6
有 界 性 : 若 在 [, ] 上 连 续, 则 在 [, ] 上 有 界 4 最 值 性 : 若 在 [, ] 连 续, 则 在 [, ] 上 必 有 最 大 值 和 最 小 值 5 介 值 性 : 若 在 [, ] 连 续, 则 在 [, ] 上 可 取 到 介 于 它 在 [, ] 上 最 小 值 与 最 大 值 之 间 的 一 切 值. 6 零 点 定 理 : 若 在 [, ] 连 续, 且 <, 则 必 ξ,, 使 ξ 常 考 题 型 讨 论 函 数 的 连 续 性 及 间 断 点 的 类 型 ; 有 关 闭 区 间 上 连 续 函 数 性 质 的 证 明 题 ;. / cos,, 例 已 知 在 处 连 续, 则.. e, 例 讨 论 的 连 续 性 并 指 出 间 断 点 类 型. e + l si 例 函 数 的 可 去 间 断 点 的 个 数 为 A B C D 例 4 设 在 [, ] 上 连 续, < c < d <. 试 证 对 任 意 的 正 数 p, q, 至 少 存 在 一 个 ξ [ c, d], 使 p c + q d p + q ξ. http://z.5d6d.com 第 二 章 一 元 函 数 微 分 学 一 导 数 与 微 分 导 数 概 念 : + Δ lim Δ Δ lim ; 7
左 导 数 : 右 导 数 : + + Δ lim ; Δ + Δ lim ; + Δ 可 导 左 右 导 数 都 存 在 且 相 等 微 分 的 概 念 : Δ Δ 若 Δ + Δ AΔ + ο Δ, 则 称 在 处 可 微 d Δ d 导 数 与 微 分 的 几 何 意 义 : 会 求 切 线, 法 线 方 程. 4 连 续, 可 导, 可 微 之 间 的 关 系 5 求 导 公 式 6 求 导 法 则 有 理 运 算 法 则 : 复 合 函 数 求 导 法 : 隐 函 数 求 导 法 : 4 参 数 方 程 求 导 法 : 5 对 数 求 导 法 : 常 考 题 型 6 高 阶 导 数 : π si si + ; u ± v u ± v ; 4 uv. 导 数 定 义 ; cos cos + ; π k k k Cu v k http://z.5d6d.com.. 复 合 函 数 隐 函 数 参 数 方 程 求 导 ;. 高 阶 导 数 ; 例 设 函 数 在 处 可 导, 且, 则 lim 8
A. B. C. D 例 设 在 的 某 个 邻 域 内 有 定 义, 则 在 处 可 导 的 一 个 充 分 条 件 是 A lim h[ + ] 存 在 ; B lim [ + ] 存 在 ; h + h + h h h C lim 存 在 ; D lim 存 在 ; h h h h 例 设 F g, 其 中 可 导, 且, g 有 界, 求 F 例 4 已 知 函 数 由 方 程 e + 6 + 确 定, 则. [] l + t d d 例 5 已 知 求, rctt, d d. 例 6 设 e, 求. 例 7 设 函 数!, 则.. + + 二. 微 分 中 值 定 理 罗 尔 定 理 若 在 [, ] 连 续, 在, 内 可 导, 且, 则 至 少 ξ, 拉 格 朗 日 定 理 http://z.5d6d.com ξ. 使 若 在 [, ] 连 续,, 可 导, 则 至 少 存 在 一 个 ξ,, 使 柯 西 定 理 ξ. 9
若, g 在 [, ] 连 续, 在, 内 可 导, 且 g, 那 则 至 少 存 在 一 个 ξ,, 使 g g 4 泰 勒 公 式 ξ. g ξ 定 理 拉 格 朗 日 余 项 设 在 的 邻 域 I 内 + 阶 可 导, 那 么 对 I, 至 少 存 在 一 个 ξ 使 + + + L + + R!! + ξ + 其 中 R, ξ 在 与 之 间. +! 定 理 皮 亚 诺 余 项 设 在 点 阶 可 导, 那 么 + + + L + + R!! 其 中 R ο, 常 考 题 型 中 值 定 理 证 明 题 例 设 在 区 间 [, ] 上 连 续, 在, 上 二 阶 可 导, 且 c < c <, 证 明 存 在 ξ,, 使 ξ. http://z.5d6d.com 例 设 在 [, ] 上 二 阶 可 导,, 且 存 在 c, 使 c <. 试 证 : ξ, η,, ξ <, η >. 三 导 数 应 用
洛 必 达 法 则 : 若 lim lim g ; 在 点 的 某 去 心 邻 域 内 可 导, 且 g ; g lim A g 或 ; 则 lim lim. g g 单 调 性 若 在 [, ] 上 >, 则 在 [, ] 上 单 调 增 ; 若 在 [, ] 上 <, 则 在 [, ] 上 单 调 减 ; 极 值 与 最 值 极 值 : 极 值 的 必 要 条 件 : ; 极 值 的 充 分 条 件 : 若, 在 两 侧 变 号, 则 在 处 取 得 极 值 ; 若,, 则 在 处 取 得 极 值 ; 最 值 : 求 连 续 函 数 在 [, ] 上 的 最 值 ; 应 用 题 4 曲 线 的 凹 向 与 拐 点 凹 向 : http://z.5d6d.com 定 义 : 判 定 : 若 在 区 间 I 上 > <, 则 曲 线 在 I 上 是 凹 凸 的 拐 点 : 定 义 :
判 定 : 5 渐 近 线 水 平, 垂 直, 斜 渐 近 线. 若 lim A 或 lim A, 或 lim A 那 么 A是 曲 线 水 平 渐 近 线. + 若 lim, 那 么 是 曲 线 的 垂 直 渐 近 线. 若 lim 且 lim, 那 么 + 是 曲 线 的 斜 渐 近 线. 6 曲 率 与 曲 率 半 径 : 数 三 不 要 求 曲 率 K + 直 角 ; K 参 数. / + 曲 率 半 径 R K 常 考 题 型. 洛 比 达 法 则 求 极 限 ;. 求 函 数 的 极 值 和 最 值, 确 定 曲 线 的 凹 向 和 拐 点 ;. 求 渐 近 线 ; 4. 方 程 的 根 ; 5. 不 等 式 的 证 明 ; π 例 lim t. si cos 例 lim. 4 π http://z.5d6d.com e 例 二 阶 可 导,, lim 求 例 4 已 知 在 的 某 个 邻 域 内 连 续, 且,lim, 则 在 点 cos
处 A 不 可 导. B 可 导, 且. C 取 得 极 大 值. D 取 得 极 小 值. 例 5 在 半 径 为 R 的 球 中 内 接 一 直 圆 锥, 试 求 圆 锥 的 最 大 体 积. π R 8 例 6 曲 线 + l + e 渐 近 线 的 条 数 为 A. B. C. D. [ ] l + 例 7 利 用 导 数 证 明 : 当 >, 时 >. l + 例 8 求 证 : 方 程 + p + qcos 恰 有 一 个 实 根, 其 中 p, q 为 常 数, 且 < q <. 例 9 设 + + L +, 求 证 : 方 程 + + L + 在, 内 至 少 有 一 个 实 根. 一 不 定 积 分 第 三 章 一 元 函 数 积 分 学 两 个 概 念 : 原 函 数 : F 基 本 积 分 公 式 : 三 种 主 要 积 分 法 不 定 积 分 : d F + C http://z.5d6d.com 第 一 类 换 元 法 凑 微 分 法 若 udu F u + C, 则 ϕ ϕ d F ϕ + C 第 二 类 换 元 法 : d ϕ t ϕ t ϕ t dt F t + C F ϕ + C i, si t cost ii +, tt iii, sect
分 部 积 分 法 uv p e e α α d, cosβd, 4 三 类 常 见 可 积 函 数 积 分 有 理 函 数 积 分 R d udv vdu 适 用 两 类 不 同 函 数 相 乘 α p siαd, p cosα, e si βd p l d, p rc t d, p rcsi d, 部 分 分 式 法 一 般 方 法 ; 简 单 方 法 凑 微 分 绛 幂 ; 三 角 有 理 式 积 分 Rsi,cos d 万 能 代 换 一 般 方 法 令 t t 简 单 方 法 三 角 变 形, 换 元, 分 部 + 简 单 无 理 函 数 积 分 R, d c + d 令 常 考 题 型 + c + d t 求 不 定 积 分 换 元 分 部 d 例. e,, 例 设 则 cos, <, d. http://z.5d6d.com 例 计 算 d >. rcte 例 4 计 算 I d. e 4
http://z.5d6d.com 例 5 计 算. si si + d 二. 定 积 分 定 义 Δ Δ k k k lim d ξ λ 可 积 性 必 要 条 件 : 有 界 ; 充 分 条 件 : 连 续 或 仅 有 有 限 个 第 一 类 间 断 点 ; 计 算 d F F 换 元 法 分 部 积 分 法 4 利 用 奇 偶 性, 周 期 性 5 利 用 公 式 π π π π π d si d si 奇, 偶, d cos d si π 4 变 上 限 积 分 t t d 定 理 : 设 上 连 续, 则 在 上 可 导 且 ], [ 在 t t d ], [. d t t 变 上 限 求 导 的 三 个 类 型 : t t t t t t d, d, d ψ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ψ ψ 5
5 性 质 不 等 式 : 若 g, 则 d g d. 若 在 [, ] 上 连 续, 则 m d M. d d. 中 值 定 理 : 若 在 [, ] 上 连 续, 则 d c < c < 若, g 在 [, ] 上 连 续, g 不 变 号, 则 常 考 题 型 定 积 分 计 算 ; 变 上 限 积 分 ; 定 积 分 定 义 求 极 限 ; g d c g d c 例 d. π 4 π 例 π + si cos d. π 8 例 计 算 http://z.5d6d.com rcsi d. si t 例 4 设 dt, 计 算 π t π 例 5 设, 求 t dt. d. d 例 6 设 连 续, 则 t t dt d π 8 6
A B C D 例 7 求 极 限 lim [ + + + ] 三. 反 常 积 分 L. + 无 限 区 间 ; d lim d. 常 用 结 论 : A + d lim d. A A A 若 + d 和 都 收 敛, 则 称 收 敛 d + d + P > 收 敛 d;, > P P 发 散 无 界 函 数 : 设 为 的 无 界 点, d lim + 常 用 结 论 : 常 考 题 型 反 常 积 分 计 算 ; P 例 下 列 结 论 中 正 确 的 是 A C dt + + d + + P < d P 收 敛 发 散 d 与 都 收 敛 + B dt + + + http://z.5d6d.com 发 散, + d 收 敛 D d ε + + ε d d 与 都 发 散. + 收 敛, + d 发 散 d 例 +. + 7 [ π ] 例 计 算 + d π I. + e + e 4e 7
四. 定 积 分 应 用 一 几 何 应 用 ;. 平 面 域 的 面 积 : 直 角 ; 极 坐 标 ; 参 数 方 程. 体 积 : 已 知 横 截 面 面 积 的 体 积 V S d 旋 转 体 的 体 积 V π d ; V π d. 曲 线 弧 长 数 三 不 要 求 C :,. s + d t C : α t β. s dt t β + α C : ρ ρ θ, α θ β. s ρ + ρ dθ 4. 旋 转 体 表 面 积 数 三 不 要 求 S π + d 二 物 理 应 用 数 三 不 要 求. 压 力 ;. 变 力 做 功 ;. 引 力 常 考 题 型 平 面 域 面 积 和 旋 转 体 体 积 的 计 算 例 过 坐 标 原 点 作 曲 线 l 的 切 线, 该 切 线 与 曲 线 l 及 轴 围 成 平 面 图 形 D. 求 D 的 面 积 A ; e [ ] 求 D 绕 直 线 e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 V. π [ 5e e + ] 6 β α http://z.5d6d.com 第 四 章 多 元 函 数 微 分 学 一 重 极 限 连 续 偏 导 数 全 微 分 概 念, 理 论 8
重 极 限 lim, A,, 是 以 任 意 方 式 连 续 lim,, 偏 导 数 + Δ,, d 定 义 :, lim, Δ Δ d, + Δ, d, lim, Δ Δ d 例 设, + + rct, 求,,,. + 几 何 意 义 : 4 全 微 分 定 义 : 若 Δ z + Δ, + Δ, AΔ + BΔ + o 判 定 : ρ 必 要 条 件 :, 与, 都 存 在 ; 充 分 条 件 :, 和, 在, 连 续 ; 用 定 义 判 定 :, 与, 是 否 都 存 在? [, Δ +, Δ] http://z.5d6d.com Δz lim Δ Δ Δ + Δ 是 否 为 零? 计 算 : 若, 可 微, 则 dz d + d 5 连 续 可 导 可 微 的 关 系 9
一 元 函 数 多 元 函 数 连 续 可 导 连 续 可 导 可 微 可 微 常 考 题 型 连 续 可 导 可 微 的 判 定 及 其 之 间 的 关 系,,, 例 二 元 函 数, +, 在 点, 处,,, 偏 导 数 连 续 A 连 续 偏 导 数 存 在 ; B 连 续 偏 导 数 不 存 在 ; C 不 连 续 偏 导 数 存 在 ; D 不 连 续 偏 导 数 不 存 在. 例 二 元 函 数, 在 点, 处 两 个 偏 导 数,,, 存 在, 是, 在 该 点 连 续 的 A 充 分 条 件 而 非 必 要 条 件 ; B 必 要 条 件 而 非 充 分 条 件 ; C 充 分 必 要 条 件 ; D 既 非 充 分 条 件 又 非 必 要 条 件. http://z.5d6d.com 4 + 例 设, e, 则 函 数 在 原 点 处 偏 导 数 存 在 的 情 况 是 A,,, 都 存 在 ; B, 不 存 在,, 存 在 ; C, 存 在,, 不 存 在 ; D,,, 都 不 存 在. 二 偏 导 数 与 全 微 分 的 计 算
复 合 函 数 求 导 法 设 u u,, v v, 可 导, z u, v 在 相 应 点 有 连 续 一 阶 偏 导 数, 则 z u v + u v z u v + u v 全 微 分 形 式 不 变 性 u http://z.5d6d.com z v 设 z u, v, u u,, v v, 都 有 连 续 一 阶 偏 导 数. 则 z z z z dz d + d, dz du + dv u v 隐 函 数 求 导 法 由 一 个 方 程 所 确 定 的 隐 函 数 方 法 : 设 F,, z 有 连 续 一 阶 偏 导 数, F z, z z, 由 F,, z 所 确 定. z F 公 式 :, F 等 式 两 边 求 导 F + F z z z F ; F z z, 利 用 微 分 形 式 不 变 性 : F d + 由 方 程 组 所 确 定 的 隐 函 数 F + F z z. F d + F z dz F,, u, v 设 u u,, v v, 由 所 确 定 G,, u, v 方 法 : 等 式 两 边 求 导 u v F + Fu + Fv u v G + G + G u v
微 分 形 式 不 变 性 F d + Fd + Fu du + Fv dv G d + G d + G du + G u vdv 常 考 题 型. 复 合 函 数 偏 导 数 和 全 微 分 的 计 算. 隐 函 数 偏 导 数 和 全 微 分 的 计 算 z 例 设 z + e, 则., + 例 设, e + + l +,, 则 dz,. [ + l ] [ ed + e + d] 例 由 方 程 e + z + z l + + z 所 确 定 的 函 数 z z, 在 点,, 处 的 全 微 分 dz. u u u 例 4 已 知 u + e u, 求,,. + e ; + e [ d + d] ; + e e + e [ u u u u 例 5 设,, z e z, 其 中 z z, 是 由 + + z + z 确 定 的 隐 函 数, 则,,. http://z.5d6d.com u ] z 例 6 设 u, v 为 二 元 可 微 函 数, z,, 则. [ ] [ + l ]
z z 例 7 设 + z ϕ, 其 中 ϕ 为 可 微 函 数, 则. z z ϕ zϕ [ ] z z ϕ 例 8 设 u,, z 有 连 续 偏 导 数, 和 z z 分 别 由 方 程 e 和 du e z z 所 确 定, 求. d z [ + + ] z z z 例 9 已 知 z u, v, u +, v, 且 u, v 的 二 阶 偏 导 数 都 连 续, 求. [ + + + + ] 三 极 值 与 最 值 无 条 件 极 值. 定 义 : 极 大 :,, ; 极 小 :,, ; 极 值 的 必 要 条 件,,, 极 值 的 充 分 条 件 极 值 点 ; 驻 点 http://z.5d6d.com 设,, 且,. 当 AC B > 时, 有 极 值, A > A < 极 小 值 极 大 值 ;. 当 AC B < 时, 无 极 值. 当 AC B 时, 不 一 定 一 般 用 定 义 判 定.
条 件 极 值 与 拉 格 朗 日 乘 数 法 函 数, 在 条 件 ϕ, 下 的 条 件 极 值. 令 F,, λ, + λϕ, 函 数,, z 在 条 件 ϕ,, z, ψ,, z 下 的 条 件 极 值. 令 F,, z, λ, μ,, z + λϕ,, z + μψ,, z. 最 大 最 小 值 求 连 续 函 数, 在 有 界 闭 域 D 上 的 最 大 最 小 值. 求, 在 D 内 部 可 能 的 极 值 点. 求, 在 D 的 边 界 上 的 最 大 最 小 值. 比 较 常 考 题 型. 求 极 值 无 条 件 条 件 ;. 求 连 续 函 数, 在 有 界 闭 区 域 D 上 的 最 大 最 小 值 ;. 最 大 最 小 值 应 用 题. 例 设 可 微 函 数, 在 点, 取 得 极 小 值, 则 下 列 结 论 正 确 的 是 A B C, 在 处 的 导 数 大 于 零., 在 处 的 导 数 等 于 零. http://z.5d6d.com, 在 处 的 导 数 小 于 零. D, 在 处 的 导 数 不 存 在. [B] 例 设 函 数 z, 的 全 微 分 为 dz d + d, 则 点, 4
A 不 是, 的 连 续 点. B 不 是, 的 极 值 点. C 是, 的 极 大 值 点. D 是, 的 极 小 值 点. [D] 例 求 二 元 函 数, + 的 极 值. [, 无 极 值 ;, 极 小 值 ] 例 4 求 二 元 函 数, + + l 的 极 值. [, 极 小 值 ] e e 例 5 求 函 数 u z 在 约 束 条 件 + z 和 + + z 5下 的 最 大 值 和 最 小 值. [ 5, 5,5 最 大 值 5;,, 最 小 值 ] 例 6 求, + 在 椭 圆 域 D {, + } 上 的 最 大 值 与 最 小 值 4 [ m ; mi ] 例 7 某 公 司 可 通 过 电 台 及 报 纸 两 种 方 式 做 销 售 某 种 商 品 的 广 告, 根 据 统 计 资 料, 销 售 收 入 R 万 元 与 电 台 广 告 费 用 万 元 及 报 纸 广 告 费 用 万 元 之 间 的 关 系 有 如 下 经 验 公 式 : R 5 + 4 + 8 在 广 告 费 用 不 限 的 情 况 下, 求 最 优 广 告 策 略 ;.75,.5] http://z.5d6d.com [ 若 提 供 的 广 告 费 用 为.5 万 元, 求 相 应 的 最 优 广 告 策 略. [,.5] 第 五 章 二 重 积 分 5
d 定 义, dσ lim ξk, ηk Δσ k D 几 何 意 义 k 性 质 比 较 定 理 : 若, g,, 则, dσ g, dσ. 估 值 定 理 : 若, 在 D 上 连 续, 则 ms, dσ MS. 中 值 定 理 : 若, 在 D 上 连 续, 则, dσ ξ, η S. 4 计 算 直 角 坐 标 : 极 坐 标 : D D http://z.5d6d.com D D 适 合 用 极 坐 标 计 算 的 被 积 函 数 : +,, ; 适 合 用 极 坐 标 的 积 分 域 : 利 用 对 称 性 和 奇 偶 性. 若 积 分 域 D 关 于 轴 对 称,, 关 于 有 奇 偶 性, 则 : D, dσ D, dσ,, 关 于 为 偶 函 数 关 于 为 奇 函 数 若 积 分 域 关 于 轴 对 称,, 关 于 有 奇 偶 性, 则 D σ, d D, dσ, 关 于 为 偶 函 数., 关 于 为 奇 函 数... 4 利 用 变 量 对 称 性 : 常 考 题 型 若 D 关 于 对 称, 则 D, dσ D, dσ.` 6
. 二 重 积 分 计 算. 累 次 积 分 交 换 次 序 或 计 算 例 交 换 累 次 积 分 d, d 的 次 序. 例 设 函 数, 连 续, 则 d, d + d, d 4 A, d. B d 4 d 4 C, d. D 例 累 次 积 分 A d d d π dθ siθ r cosθ, r siθ rdr 可 以 写 成, d B d d C d, d D 例 4 积 分 例 5 积 分 d e d 例 6 设 D {, + } d 的 值 等 于. http://z.5d6d.com 4, d., d. + d 的 值 等 于., 则 dd. D, d, d [ C ] [ A ] [ e 4 ] 6 [ ] 9 [ π ] 4 例 7 设 D 是 O 平 面 上 以,-, 和 -,- 为 顶 点 的 三 角 形 区 域, D 是 D 在 第 一 象 限 的 部 分, 则 + cos si dd等 于 A D A cos si dd. B D D dd. 7
+ C 4 cos si dd. D. D 例 8 计 算 二 重 积 分 dd, 域. 其 中 是 由 直 线 D 例 9 设 区 域 D {, +, } D,, 所 围 成 的 平 面 区, 计 算 二 重 积 分 [ 9 ] + I d d. + + 例 计 算 二 重 积 分 D D [ π l ] + dσ, 其 中 D {,, } π [ ] 4 http://z.5d6d.com 8