微分方程是经典数学的一个重要分支, 常用来描述随时间变化的动态系统, 被广泛应用于物理学工程数学和经济学等领域. 实际上, 系统在随时间的变化过程中, 经常会受到一些

不确定微分方程研究综述李圣国, 彭锦华中师范大学数统学院, 湖北 4379 黄冈师范学院不确定系统研究所, 湖北 438 pengjin1@tsinghua.org.cn 摘要 : 不确定微分方程是关于不确定过程的一类微分方程, 其解也是不确定过程. 本文主要总结了不确定微分方程的研究现状. 文章介绍了几类重要的不确定微分方程, 归纳了一些求解方法, 概括了解的存在唯一性和稳定性方面的工作. 最后总结了不确定微分方程在经济金融等方面的应用. 关键字 : 不确定理论 ; 不确定过程 ; 不确定分析 ; 不确定微分方程 1 引言现实生活中, 人们经常用大约 1km 大概 8kg 年轻快速等语言来描述不精确的量, 很多学者把这类不精确的量归于主观概率或模糊概念的范畴. 然而, 大量调查表明, 它们呈现出来的既非随机性也非模糊性, 即它们不能用概率测度容度模糊测度可能性测度等来度量. 为了描述这类不确定现象,Liu [6] 创立了基于规范性对偶性次可加性和乘积公理的一门新的数学分支, 即不确定理论. 作为处理主观判断或专家数据等不精确信息的新工具, 不确定理论取得了一系列相当大的成就 ( 见文献 Liu [9] Liu [1]). 为了描述随时间变化的不确定现象,Liu [7] 于 28 年开始了对不确定过程的研究. 不确定过程是随时间变化的一族不确定变量. 在研究工作中, Liu [8] 首先给出了一类重要的不确定过程即典范过程, 典范过程是样本轨道满足李普希兹连续且具有稳态独立增量的不确定过程, 其增量服从不确定正态分布. 同时 Liu [8] 定义了关于典范过程的不确定积分称之为 Liu 积分, 并建立了第一类研究不确定变量函数的积分和微分的分析即 Liu 分析. 有时一些突发的事件, 像战争经济危机等可能导致不确定过程出现突然的改变, 产生带跳的不确定过程, 为了研究这类带跳的不确定现象,Liu [7] 提出了不确定更新过程, 不确定更新过程的样本轨道是取值为非负整数单增且右连续的阶梯函数. 接下来,Yao [2] 定义了一类基于不确定更新过程的不确定积分称之为 Yao 积分并建立了相应的不确定分析. 此外,Chen [3] 研究了样本轨道为有界变差函数的不确定有界变差过程. 既然李普希兹连续函数和阶梯函数均是有界变差函数, 所以有界变差过程可视为典范过程和更新过程的一种推广. 随后,Chen [3] 建立了基于有界变差过程的不确定分析. 目前, 不确定分析共有三类 :Liu 分析 Yao 分析和 Chen 分析. 1

微分方程是经典数学的一个重要分支, 常用来描述随时间变化的动态系统, 被广泛应用于物理学工程数学和经济学等领域. 实际上, 系统在随时间的变化过程中, 经常会受到一些未知因素的影响. 基于随机分析理论, 随机微分方程被提出并被广泛研究. 现在随机微分方程在物理学系统科学管理科学和金融学等领域都占有重要的地位. 不确定微分方程的概念最早由 Liu [7] 提出, 是处理不确定环境下动力系统的一个重要工具. 不确定微分方程是由不确定过程驱动的一类微分方程, 其解也是不确定过程. 28 年,Liu [7] 首先给出了一类由典范过程驱动的不确定微分方程. 为了很好地了解此类不确定微分方程的性质, 很多学者对它进行了研究. Chen 和 Liu [1] 在系数函数满足全局李普希兹条件下给出了一个解的存在唯一性定理,Gao [5] 证明了在局部李普希兹条件下该定理也成立,Liu,Fei 和 Liang [11] 对一类系数函数非李普希兹的不确定微分方程给出了一个解的存在唯一性定理. 为了使不确定微分方程能在现实中更好的应用,Liu [8] 提出了稳定性的概念,Chen [4] 给出了线性不确定微分方程的几个稳定性定理. 在求解不确定微分方程方面,Chen 和 Liu [1] 求得了线性不确定微分方程的解析解,Liu [12] 和 Yao [18] 分别求解了一类非线性不确定微分方程的解析解. 很多情况下, 我们并不能求出不确定微分方程的解析解, 为此,Yao 和 Chen [19] 提出了一种求解数值解的方法. 由于不确定环境下动力系统具有多样性的特点,Yao [2] 定义了不确定更新过程驱动的不确定微分方程用来描述带跳的动力系统,Chen [3] 在 Chen 分析的基础上给出有界变差过程驱动的不确定微分方程并讨论了其诸多性质. 本文主要对不确定微分方程的研究现状进行总结, 介绍了几类重要的不确定微分方程, 概括了不确定微分方程在解的求法解的存在性唯一性和稳定性方面的工作, 并总结了不确定微分方程在经济金融等方面的应用. 文章结构安排如下, 第 2 部分介绍了不确定理论方面的基础知识 ; 第 3 部分引入不确定微分方程的概念, 重点介绍了不确定微分方程及其研究进展 ; 第 4 部分介绍了其他几类不确定微分方程及其研究状况 ; 第 5 部分总结了不确定微分方程在经济金融等方面的应用 ; 最后一部分对文章进行简短的小结. 2 基础知识不确定理论由 Liu [6] 于 27 年建立, 是基于规范性对偶性次可加性和乘积公理这四条公理的一套数学系统. 不确定理论最核心的概念是不确定测度不确定变量不确定分布和期望值. 不确定理论正是在这些核心概念的基础上发展成为了研究不确定性现象的数学分支. 为了描述随时间变化的不确定现象,Liu [7] 于 28 年开始了对不确定过程的研究, 提出了不确定过程的概念. 定义 1 (Liu [7]) 如果 T 表示时间,(Γ, L, M) 是一个不确定空间, 那么一个不确定过程是从 T (Γ, L, M) 到实数集上的可测函数, 即, 对任意 t T 和 Borel 集合 B, {X t B} = {γ Γ X t (γ) B} 是一个事件. 2

由定义可知, 不确定过程是随时间变化的一族不确定变量,Liu [7] 28 年提出了第一个重要的不确定过程, 称之为典范过程. 基于典范过程,Liu [8] 建立了不确定分析, 它是研究不确定变量函数的积分和微分的一个数学分支. 定义 2 (Liu [7]) 一个不确定过程 C t 称为典范过程, 如果它满足以下三条 (i) C =, 几乎所有样本轨道是 Lipschitz 连续的 ; (ii) C t 具有有稳态独立的增量 ; (iii) 对于时间 t, 增量 C s+t C t 是一个具有期望和方差 t 2 的正态不确定变量, 其不确定分布是 Φ(x) = ( ( )) πx 1 1 + exp, x R. 3t 定义 3 (Liu [8]) 假设 X t 是一个不确定过程,C t 是一个典范过程,a = t 1 < t 2 < < t k+1 = b 是 [a, b] 的任意一个分割. 设作和式若极限 = max 1 i k t i+1 t i, X ti (C ti+1 C ti ), lim X ti (C ti+1 C ti ) 几乎处处存在且有限, 则称该极限是不确定过程 X t 关于 C t 的 Liu 积分, 记为 b 此时称不确定过程 X t 关于 C t 是可积的. a X t dc t = lim X ti (C ti+1 C ti ), 假设 h(t, c) 是一个连续可导的二元函数, 那么 X t = h(t, C t ) 是一个不确定过程. Liu [8] 证明了如下基本定理 dx t = h t (t, C t)dt + h c (t, C t)dc t, 从而得到了链式法则换元积分和分部积分公式. 3 不确定微分方程不确定微分方程是由不确定过程驱动的一类微分方程, 其解也是不确定过程. 28 年,Liu [7] 首先提出不确定微分方程的概念并给出了一类由典范过程驱动的不确定微分方程. 定义 4 (Liu [7]) 设 C t 是一个典范过程, f,g 是两个给定的函数,X t 是一个未知的不确定过程, 则称 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t (1) 为不确定微分方程, 它的解是满足 (1) 的不确定过程. 3

例 1 设 a, b 是两个实数, 则是一个不确定微分方程, 解为 dx t = adt + bdc t (2) X t = X + at + bc t. 例 2 设 µ t, ν t 两个可积的不确定过程, 不确定微分方程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t (3) 称为齐次方程, 解为 ( t X t = X exp µ s ds + t ν s dc s ). 3.1 解法给定一个不确定微分方程, 求出它的解是一个重要的问题, 下面我们介绍可求解析解的几类方程. Chen 和 Liu [1] 首先求解了如下线性方程 dx t = (µ 1t X t + µ 2t )dt + (ν 1t X t + ν 2t )dc it (4) 其中 µ 1t, µ 2t, ν 1t, ν 2t 是可积的不确定过程. 当 µ 2t =, ν 2t = 时, 方程退化为齐次方程 (3). 当系数函数不是线性函数时,Liu [12] 解了如下两类方程 : dx t = f(t, X t )dt + σ t X t dc t, (5) dx t = α t X t dt + g(t, X t )dc t (6) 其中 f 和 g 是一个二元函数,σ t 和 α t 是可积的不确定过程. 在上面两类方程的基础上,Yao [18] 更加具体了方程的系数, 得到了如下方程 : dx t = f(t, X t )dt + σ t dc t, (7) dx t = µ t dt + g(t, X t )dc t (8) 其中 f 和 g 是一个二元函数,σ t 和 µ t 是可积的不确定过程. 在很多情况下, 求不确定微分方程的解析解是一件很困难的事, 为此 Yao 和 Chen [19] 设计了一个求不确定微分方程数值解的方法, 称为 Yao-Chen 方法. Yao-Chen 方法引入了 α- 轨道的概念, 把求不确定微分方程问题转化为求经典微分方程的问题. 下面我们来介绍一下 Yao-Chen 方法, 该方法是在下面概念和定理上建立起来的. 定义 5 (Yao 和 Chen [19]) 设 α (, 1) 是一个实数, 我们说不确定微分方程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t (9) 4

有一个 α 轨道 X α t, 如果 X α t 是一般微分方程 dx α t = f(t, X α t )dt+ g(t, X α t ) Φ 1 (α)dt (1) 的解, 其中 Φ 1 (α) 是标准正态不确定变量的逆分布函数, 即 3 Φ 1 (α) = π ln α 1 α, < α < 1. 定理 1 ([19]) (Yao-Chen 定理 ) 设 X t 和 X α t 分别是不确定微分方程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t (11) 的解和 α- 轨道, 对任意的 t, 我们有 M{X t X α s } = α, 即 X t 有如下逆不确定分布 Ψ 1 t (α) = X α t, < α < 1. 基于上面 α- 轨道的概念和 Yao-Chen 定理, 我们给出求解不确定微分方程数值解的步骤. Yao-Chen 方法步骤 : 步骤 1: 选取 α (, 1). 步骤 2: 解普通微分方程 dx α t = f(t, X α t )dt+ g(t, X α t ) Φ 1 (α)dt 得到 X α t. 解析解不易求时可用如下递推法 X α i+1 = X α i + f(t i, X α i ) + g(t i, X α i ) Φ 1 (α) 其中是步长. 步骤 3: 得到解 X t 的逆不确定分布 Ψ 1 t (α) = X α t, < α < 1. 以上介绍的是关于不确定微分方程及其求解法, 下面我们来看一下有关解的存在性唯一性方面的研究. 3.2 存在唯一性定理这一部分我们介绍几个重要的解的存在唯一性定理. 第一个解的存在唯一性定理由 Chen 和 Liu [1] 给出, 该定理的条件中要求系数满足全局李普希兹条件和线性增条件. 以后,Liu,Fei 和 Liang 5

[11] 给出了系数非李普希兹条件的存在唯一性定理,Gao [5] 证明了系数满足局部李普希兹条件的存在唯一性定理. 定理 2 (Chen 和 Liu [1]) 设 f, g 是二元函数, 如果系数 f,g 满足 Lipschitz 条件 f(t, x) f(t, y) + g(t, x) (t, y) L x y, x, y R, t 和线性增条件 f(t, x) + g(t, x) L(1+ x ), x R, t, 其中 L 是一个实常数, 则不确定微分方程有唯一的解, 并且解是轨道连续的. 定理 3 (Liu,Fei 和 Liang [11]) 不确定微分方程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t 有唯一的解, 如果系数 f, g 满足 dx t = f(x t )dt + g(x t )dc t f(x) f(y) + g(x) (y) L x y r( x y 2 ), x y < 1 其中 L 是一个实常数, 函数 r : (, 1) [1, + ) 连续且对 a (, 1), 满足 a ds sr(s) = +. 定理 4 (Gao [5]) 设 f(t, x), g(t, x) 是 [, + ) R 二元函数, 不确定微分方程 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t 有唯一的解, 如果系数 f, g 满足 : (1) 局部 Lipschitz 条件, 即对矩形区域 R = {(t, x) t < t < t + a, x X t (γ) }, γ Γ, t [, + ), 存在一个常数 L, 使得 f(t, x) f(t, y) L x y, g(t, x) (t, y) L x y, x, y R, t, (2) 局部线性增条件, 即对任意 T >, 存在一个常数 G T, 使得并且解是轨道连续的. f(t, x) G t (1+ x ), g(t, x) G T (1+ x ), x R, t [, T ], 6

3.3 稳定性定理回顾了不确定微分方程解的存在唯一性方面的工作后, 我们接下来看一下稳定性方面的一些进展. 不确定微分方程稳定性的概念首先由 Liu [8] 提出, 之后 Chen [4] 在稳定性概念的基础上给出了渐进稳定和全局渐进稳定的概念并给出了一些线性不确定微分方程的稳定性定理. 定义 6 (Liu [8]) 对任意 ε >,t >, 如果任意解 X t 和 Y t 满足则称不确定微分方程为稳定的. 定理 5 (Chen [4]) 设 µ t, ν t 是连续函数满足 lim M{ X t Y t > ε} =, X Y sup t t µ s ds < +, + ν t dt < +, 则不确定微分方程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t 是稳定的. 定义 7 (Chen [4]) 设不确定微分方程是稳定的, 如果不同初值满足 X Y < δ 时, lim X t Y t =, a.s. t + 则称不确定微分方程为渐进稳定的. 渐进稳定是稳定的, 所以不确定微分方程渐进稳定一定稳定. 定理 6 (Chen [4]) 设 µ t, ν t 是连续函数满足 t lim t + µ s ds =, + ν t dt < +, 则不确定微分方程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t 是渐进稳定的. 定理 7 (Chen [4]) 设 µ t, ν t 是连续函数, 如果存在 p > 1 满足 lim sup T + t T t t µ s ds ν s ds <, + ν t dt = +, 则不确定微分方程 dx t = µ t X t dt + ν t X t dc t 是渐进稳定的. 7

4 其他不确定微分方程不确定微分方程是描述不确定环境下动力系统的工具, 由于不确定环境下动力系统具有复杂性和多样性的特点, 因此我们需要不同的不确定微分方程来刻画. 这一节我们介绍两类不确定微分方程, 一类是 Yao [2] 定义的由更新过程驱动的不确定微分方程即带跳不确定微分方程, 此类微分方程可用来描述带跳不确定环境下的动力系统, 另一类是 Chen [3] 在 Chen 分析的基础上给出的有界变差过程驱动的不确定微分方程. 4.1 带跳不确定微分方程典范过程是样本轨道李普希兹连续的不确定过程. 有时, 一些突发的事件, 像战争经济危机等可能导致不确定过程出现突然的改变. 为了研究这类带跳的不确定现象,Liu [7] 提出了不确定更新过程. 定义 8 (Liu [7]) 设 ξ 1, ξ 2, 是一列同分布的正不确定变量. 令 S =, S n = ξ 1 + ξ 2 + + ξ n. 不确定过程称为更新过程. N t = max n {n S n t} 从定义可以发现, 不确定更新过程的样本轨道不是连续的, 而是单增右连续且取值为非负整数的阶梯函数. 定义 9 (Yao [2]) 假设 X t 是一个不确定过程,N t 是一个不确定更新过程,a = t 1 < t 2 < < t k+1 = b 是 [a, b] 的任意一个分割. 设作和式若极限 = max 1 i k t i+1 t i, X ti (N ti+1 N ti ), lim X ti (N ti+1 N ti ) 几乎处处存在且有限, 则称该极限是不确定过程 X t 关于 N t 的 Yao 积分, 记为 b a X t dn t = lim X ti (N ti+1 N ti ), 此时称不确定过程 X t 关于 N t 是可积的. 假设 h(t, c) 是一个连续可导的二元函数, 那么 X t = h(t, N t ) 是一个不确定过程. Yao [2] 证明了 Yao 分析基本定理 dx t = h t (t, N t)dt + h(t, N t ) h(t, N t ). 8

定义 1 (Yao [2]) 设 C t 是一个典范过程,N t 是一个不确定更新过程,f,g,h 是给定的函数,X t 是一个未知的不确定过程, 则称 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )dc t + h(t, X t )dn t (12) 为带跳的不确定微分方程, 它的解是满足 (12) 的不确定过程. 例 3 设 a, b, c 是三个实数, 则 dx t = adt + bdc t + cdn t (13) 是一个带跳不确定微分方程, 解为 X t = X + at + bc t + cn t. 4.2 有界变差不确定微分方程定义 11 (Chen [3]) 一个不确定过程 A t 称为有界变差过程, 如果它可以表示成两个非负增过程 U t 和 V t 的差 A t = U t V t. 定义 12 (Chen [3]) 假设 X t 是一个不确定过程,A t 是一个不确定有界变差过程,a = t 1 < t 2 < < t k+1 = b 是 [a, b] 的任意一个分割. 设 = max 1 i k t i+1 t i, 作和式若极限 X ti (A ti+1 A ti ), lim X ti (A ti+1 A ti ) 几乎处处存在且有限, 则称该极限是不确定过程 X t 关于 A t 的 Chen 积分, 记为 b a X t da t = lim 此时称不确定过程 X t 关于 A t 是可积的. X ti (A ti+1 A ti ), 假设 h(t, c) 是一个连续可导的二元函数, 那么 X t = h(t, A t ) 是一个不确定过程. Chen [3] 证明了如下基本定理 dx t = h t (t, A t)dt + h c (t, A t )da t h c (t, A t )(A t A t ) + h(t, A t ) h(t, A t ). (14) 由于典范过程和更新过程都是有界变差过程, 所以当 A t = C t 和 A t = N t 时分别可得到 Liu 积分和 Yao 积分的基本定理. 9

定义 13 (Chen [3]) 设 A t 是一个有界变差过程,f,g 是给定的函数,X t 是一个未知的不确定过程, 则称 dx t = f(t, X t )dt + g(t, X t )da t (15) 为有界变差的不确定微分方程, 它的解是满足 (15) 的不确定过程. 例 4 设 a, b 是两个实数,A t 是一个有界变差过程, 则 dx t = adt + bda t (16) 是一个有界变差不确定微分方程, 解为 X t = X + at + ba t. 有界变差不确定微分方程是由有界变差过程驱动的不确定微分方程, 有界变差过程的样本轨道是有界变差函数. 因为典范过程的样本轨道是李普希兹连续函数从而是有界变差函数, 所以有界变差不确定微分方程可看成是不确定微分方程的推广. Chen [3] 讨论了有界变差不确定微分方程的一些解法并给出几类特殊的不确定微分方程解的存在唯一性定理, 同时对方程的稳定性做了研究. 5 应用如上所述, 自从不确定微分方程 28 年被 Liu [7] 提出以来, 发展至今, 在理论方面已取得了巨大的成就. 此外, 作为处理不确定环境下动力系统的一个重要工具, 不确定微分方程在应用方面也日益显示出了其巨大的威力和优越性. 在不确定环境下,Liu [8] 首次应用不确定微分方程来建立证券模型, 分析证券价格, 此后很多学者给出了其他一些重要的证券模型, 不确定金融得到了很好的发展. 下面我们介绍几个重要的证劵模型. Liu 模型 : 令 X t 是债券价格,Y t 是股票价格, 在股票价格服从几何典范过程的假设下,Liu [8] 给出了如下不确定证券模型. { dxt = rx t dt dy t = ey t dt + σy t dc t, (17) 其中 r 是无风险利率,e 漂移系数,σ 扩散系数,C t 是典范过程. 设交割时间为 s, 执行价格为 K, 则欧式买入期权的收益是 (Y s K) +. 考虑到债券导致的时间价值, 期权收益的现值是 exp( rs)(y s K) +. 因此, 欧式买入期权价格应当是收益现值的期望值 f c = exp( rs)e[(y s K) + ]. (18) 设交割时间为 s, 执行价格为 K, 则欧式卖出期权的收益是 (K Y s ) +. 考虑到债券导致的时间价值, 期权收益的现值是 exp( rs)(k Y s ) +. 因此, 欧式卖出期权价格应当是收益现值的期望值 f p = exp( rs)e[(k Y s ) + ]. (19) 1

按照如上欧式期权价格定义,Liu [8] 计算出了交割时间为 s, 执行价格为 K 的欧式期权定价公式 (2),(21). f c = exp( rs)y + K/Y f p = exp( rs)y K/Y ( ( )) π(ln y es) 1 1 + exp dy. (2) 3σs ( ( )) π(es ln y) 1 1 + exp dy. (21) 3σs 此外, 基于该模型,Chen [2] 给出了美式期权价格公式,Liu [8] 给出了不确定市场下多只证券的模型,Yao [17] 给出了一类证劵模型的无套利定理. Peng-Yao 模型 : 令 X t 是债券价格,Y t 是股票价格,Peng 和 Yao [15] 给出了一类新的不确定证券模型. 其中 r m e 和 σ 是给定的正常数. { dxt = r t X t dt, dy t = (m ey t )dt + σy t dc t, 该模型描述的是经济中常见的均值回归现象, 即当 Y t > m/e 时, 股票价格更有可能下跌 ; 当 Y t < m/e 时, 股票价格更有可能上涨. 因此从长期来看, 股票价格在 m/e 附近波动. 而且,Peng 和 Yao [15] 给出了交割时间为 T, 执行价格为 K 的欧式期权定价公式 (23),(24). (22) 其中 f c = 3σ πe ( ( )) πβ exp( rt )(1 exp( et )) ln 1 + exp, (23) 3 β = (ek m exp( et )(ey m))/(σ σ exp( et )). 其中 f p = 3σ πe ( ( ( )) ( ( ))) πβ πγ exp( rt )(1 exp( et )) ln 1 + exp ln 1 + exp, (24) 3 3 β = (ek m exp( et )(ey m))/(σ σ exp( et )), γ = ( m exp( et )(ey m))/(σ σ exp( et )). Liu-Chen 模型 : 设 X t 是本国货币, 利率为 µ,y t 是国外货币, 利率为 ν,z t 是汇率,Liu 和 Chen [13] 给出了汇率服从几何典范过程下的货币模型. 其中 e 漂移系数,σ 扩散系数. dx t = µx t dt dy t = νy t dt + σy t dc t dz t = ez t dt + σz t dc t, (25) 11

式基于该货币模型,Liu 和 Chen [13] 给出了交割时间为 s, 执行价格为 T 的货币期权定价公 f = 1 2 exp( µs)z + 1 2 exp( νs)z + K/Z 1 ( ( )) π(ln y es) 1 1 + exp dy 3σs ( 1 + exp ( )) π(ln(1 y) + es + ln KZ ) 1 dy. 3σs (26) 不确定微分方程在证券市场和货币市场的成功应用使得不确定金融被很好的发展起来了. 优化控制方面,Zhu [22] 应用不确定微分方程应建立了不确定优化控制模型,Yao 和 Qin [21] 提出了一类不确定优化模型并应用于生产库存系统,Xu 和 Zhu [16] 给出了一类特殊的优化控制模型. 现在, 不确定微分方程正被人们广泛地应用于金融经济和控制等领域. 6 小结本文总结了不确定微分方程的研究现状, 介绍了几类不确定过程驱动的不确定微分方程. 重点描述了典范过程驱动的不确定微分方程的研究进展, 此外, 我们还总结了不确定微分方程在经济金融等方面的一些应用. 不确定微分方程是建立在不确定分析的基础之上, 我们可以继续研究更多更广义的不确定分析及与之对应的不确定微分方程. 致谢本文得到国家自然科学基金 (No.687467) 湖北省自然科学基金 (No.21CDB281) 和湖北省教育厅科技创新团队项目 (No.T2111) 支持. 参考文献 [1] Chen XW, and Liu B, Existence and Uniqueness Theorem for Uncertain Differential Equations, Fuzzy Optimization and Decision Making, Vol.9, No.1, 69-81, 21. [2] Chen XW, American Option Pricing Formula for Uncertain Financial Market, International Journal of Operations Research, Vol.8, No.2, 32 37, 211. [3] Chen XW, Uncertain Calculus with Finite Variation Processes, http://orsc.edu.cn/online/ 11613.pdf. [4] Chen XW, Stability Analisis of Linear Uncertain Differential Equation, http://or sc.edu.cn/online/911.pdf.. [5] Gao Y, Existence and Uniqueness Theorem on Uncertain Differential Equations with Local Lipschitz Condition, http://orsc.edu.cn/online/11918.pdf. 12

[6] Liu B, Uncertainty Theory, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 27. [7] Liu B, Fuzzy Process, Hybrid Process and Uncertain Process, Journal of Uncertain Systems, Vol.2, No.1, 3 16, 28. [8] Liu B, Some Research Problems in Uncertainty Theory. Journal of Uncertain Systems, Vol.3, No.1, 3 1, 29. [9] Liu B, Theory and Practice of Uncertain Programming. Springer-Verlag, Berlin, 29. [1] Liu B, Uncertainty Theory: A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty, Springer-Verlag, Berlin, 21. [11] Liu H, Fei W, and Liang Y, Existence and Uniqueness of Solution for Uncertain Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients, Proceedings of the Third Intelligent Computing Conference, Wuhu, China, May 21-25, 21, pp.6-12. [12] Liu YH, An Analytic Method for Solving Uncertain Differential Equations, http:// orsc.edu.cn/online/1142.pdf. [13] Liu YH, and Chen XW, Currency Models with Uncertain Exchange Rate, http://orsc.edu.cn/online/ 911.pdf. [14] Peng J, A General Stock Model for Fuzzy Markets, Journal of Uncertain Systems, Vol.2, No.4, 248-254, 28. [15] Peng J, and Yao K, A New Option Pricing Model for Stocks in Uncertainty Markets, International Journal of Operations Research, Vol.8, No.2, 18 26, 211. [16] Xu X, and Zhu Y, Uncertain Bang-bang Control for Continuous Time Model, http:// orsc.edu.cn/online/11525.pdf. [17] Yao K, A No-Arbitrage Determinant Theorem for Uncertain Stock Model, http:// orsc.edu.cn/online/193.pdf. [18] Yao K, A Type of Nonlinear Uncertain Differential Equation with Analytic Solution, http://orsc.edu.cn/online/11928.pdf. [19] Yao K, and Chen XW, A Numerical Method for Solving Uncertain Differential Equation, http://orsc.edu.cn/online/11913.pdf. [2] Yao K.: Uncertain Calculus with Renewal Process, Fuzzy Optimization and Decision Making, to be published. [21] Yao K, and Qin ZF, An Uncertain Control Model with Application to Production-Inventory System, Proceeding of the Twelfth Asia Pacific Industrial Engineering and Management Systems Conference, Beijing, China, October 15-17,211, pp.972-977. 13

[22] Zhu Y, Uncertain Optimal Control with Application to A Portfolio Selection Model, Cybernetics and Systems, Vol.41, No.7, 535-547, 21. 14

微 分 方 程 是 经 典 数 学 的 一 个 重 要 分 支, 常 用 来 描 述 随 时 间 变 化 的 动 态 系 统, 被 广 泛 应 用 于 物 理 学 工 程 数 学 和 经 济 学 等 领 域. 实 际 上, 系 统 在 随 时 间 的 变 化 过 程 中, 经 常 会 受 到 一 些

微分方程是经典数学的一个重要分支, 常用来描述随时间变化的动态系统, 被广泛应用于物理学工程数学和经济学等领域. 实际上, 系统在随时间的变化过程中, 经常会受到一些