第二章矩陣. 矩陣運算. 矩陣運算特性. 反矩陣. 基本矩陣.5 矩陣運算的應用 Eleety Lie lge 投影片設計編製者 R. Lse et l. Editio 淡江大學電機系翁慶昌教授. 矩陣運算 矩陣 Mti [ ] M 第 i,j 個元素 : 列 : 行 : 大小 : 線性代數 :. 節 p.58 /95
/95 第 i 個列向量 ow veto 第 j 個行向量 olu veto i i i i j j j j 列矩陣 ow ti 行矩陣 olu ti 方陣 : = 線性代數 :. 節 p.59 /95 對角矩陣 digol ti,,, d d d dig M d d d 跡數 te [ ] 若 T 則線性代數 :. 節補充
範例 : 5, 5 5,, 5 線性代數 :. 節補充 5/95 相等 equl 矩陣 若 [ ], B [ ] 和 B 的大小必須相同 則 B 若且唯若 i, j 範例 : 相等矩陣 B d 若 B 則,,, d 線性代數 :. 節 p.58 /95
7/95 矩陣相加 ti dditio B ] [, ] [ 若 B ] [ ] [ ] [ 則 範例 : 矩陣相加 5 線性代數 :. 節 pp.59- 和 B 的大小必須相同 8/95 矩陣相減 ti suttio B B 純量積 sl ultiplitio [ ], [ ] : 若則常數 範例 : 純量積與矩陣相減 與 B 求, -B, -B 線性代數 :. 節 p.
5 9/95 B 9 B 解 : 9 7 線性代數 :. 節 p. /95 矩陣乘法售出物品的數量花生熱狗汽水銷售價格南販賣部 5 5. 花生 北販賣部 7 9. 熱狗 西販賣部 9 9.75 汽水 南部銷售額 =. 5. 5.75 88.75. 5 5. 88.75.75 線性代數 :. 節 p.
北部銷售額 = 7.. 9.75 98.5 西部銷售額 = 9.. 9.75 9.5 5 5. 7 9. 9 9.75. 5. 5.75 88.75 7.. 9.75 98.5 9.. 9.75 9.5 /95 第 5 5..8.. 7 9..75.5.8 9 9.75.5.8. 88.75. 88.5 855. 98.5 85..9. 9.5 857. 958.9 9. 第二季第三季第四季一季第一季第二季第三季第四季/95
7 /95 矩陣相乘 ti ultiplitio p B ] [, ] [ 若 p p B ] [ ] [ ] [ 則相等 B 的大小 j i k j i j i kj ik 其中 i i i j j j i i i 線性代數 :. 節 p.&p /95 5 與 B 範例 : 求解下列兩矩陣的乘積解 : 5 5 B 5 9 線性代數 :. 節 pp.-
範例 5 5 5 7 8 9 7 8 9 7 8 9 8 線性代數 :. 節補充 5/95 範例 5 9 7 8 5 5 7 8 矩陣乘法不滿足交換律 B B 線性代數 :. 節補充 /95 8
9 7/95 線性方程式系統之矩陣形式 = = = 條線性方程式單一矩陣方程式 線性代數 :. 節 p. 8/95 分割矩陣 ptitioed ties 子矩陣 線性代數 :. 節補充
9/95 矩陣 之行向量的線性組合 lie oitio 之行向量的線性組合 線性代數 :. 節 /95 摘要與複習. 節之關鍵詞 ow veto: 列向量 olu veto: 行向量 digol ti: 對角矩陣 te: 跡數 equlity of ties: 相等矩陣 ti dditio: 矩陣相加 sl ultiplitio: 純量積 ti ultiplitio: 矩陣相乘 ptitioed ti: 分割矩陣
. 矩陣運算的性質 三種矩陣基本運算 : 矩陣相加 純量積 矩陣相乘 零矩陣 zeo ti: 階單位矩陣 idetity ti of ode : I 線性代數 :. 節 pp.75-8 /95 矩陣相加與純量積的性質若, B,C M,,d : 純量則 +B = B + + B + C = + B + C d = d = 5 +B = + B +d = + d 線性代數 :. 節 p.75 /95
零矩陣的性質 注意 : 若 M, : 純量 則 - o : 所有 矩陣的加法單位矩陣 -: 矩陣 的加法反元素 dditive ivese 線性代數 :. 節 p.77 /95 矩陣相乘的性質 BC = BC B+C = B + C +BC = C + BC B = B = B 單位矩陣的性質 若 M 則 I I 線性代數 :. 節 p.78&p8 /95
5/95 矩陣乘冪 M I k' k s /95 矩陣的轉置 tspose M 若 T M 則線性代數 :. 節 p.8
7/95 範例 : 求下列每一個矩陣的轉置 8 9 8 7 5 解 : 8 8 T 9 8 7 5 9 8 5 7 T T 線性代數 :. 節 pp.8-8 8/95 T T T T T T T T T T B B B B 轉置矩陣的性質和的轉置純量積的轉置矩陣乘積的轉置線性代數 :. 節 p.8
5 9/95 對稱矩陣 syeti ti 若 = T, 則方陣 被稱為對稱矩陣 範例 : 5 若為對稱矩陣, 則,, 為何? 解 : 5,, 5 5 T T 線性代數 :. 節 /95 範例 : 若為反對稱矩陣, 則,, 為何? 解 :,,, T T 線性代數 :. 節 p.8 若 T = -, 則方陣 被稱為反對稱矩陣 反對稱矩陣 skew-syeti ti
注意 : T 是對稱矩陣證明 : T T T T T T 為對稱矩陣 T /95 實數 = 矩陣 B B p 乘法交換律 三種可能情形 若 p 則 若 p, 若 p 線性代數 :. 節補充 B 有定義 B沒有定義 則 則 B M B M B M B M 矩陣大小不同 矩陣大小相同, 但未必相等 說明見範例 /95
7 /95 範例 : 無交換性的矩陣相乘對下列的矩陣證明 B 和 B 不相等 與 B 解 : 5 B 注意 : B B 7 B 線性代數 :. 節 pp.79-8 /95 摘要與複習. 節之關鍵詞 zeo ti: 零矩陣 idetity ti: 單位矩陣 tspose ti: 轉置矩陣 syeti ti: 對稱矩陣 skew-syeti ti: 反對稱矩陣
. 反矩陣 反矩陣 ivese ti 考慮 M 若存在一矩陣 B 使得 B B I M 則 是可逆 ivetile 或非奇異 osigul 矩陣 B 為 的反矩陣 注意 : 若矩陣沒有反矩陣則稱此矩陣為不可逆 oivetile 或奇異 sigul 矩陣 線性代數 :. 節 p.9 5/95 定理.7: 反矩陣的唯一性 證明 : 注意 : 若 B 與 C 都是 的反矩陣, 則 B = C B I C B CI C B C IB C B C 因此 B=C, 所以一矩陣的反矩陣是唯一的 的反矩陣被表示成 I 線性代數 :. 節 pp.9-9 /95 8
實數 =, 乘法消去律 矩陣 C BC C 若 C 是可逆, 則 =B 若 C 是不可逆, 則 B 消去法不成立 線性代數 :. 節 p.8 7/95 範例 5: 消去法不成立的範例對下列的矩陣證明 C=BC 解 : C BC 因此 但是, C BC B B, C 線性代數 :. 節 p.8 8/95 9
利用高斯 - 喬登消去法求一矩陣的反矩陣 高斯喬登消去法 I I 範例 : 求下列矩陣的反矩陣 解 : X I 線性代數 :. 節 p.9 9/95 高斯 喬登消去法,, 高斯 喬登消去法,, 所以 X 線性代數 :. 節 p.9 /95
/95 注意 :, I I 喬登消去法高斯若矩陣 不能夠用列運算將其化成單位矩陣 I, 則矩陣 為奇異矩陣 線性代數 :. 節 p.9 /95 範例 : 求下列矩陣的反矩陣 解 : R +-R ->R I 線性代數 :. 節 p.9
/95 - R R - - - - R R R R R R R - R R 線性代數 :. 節 p.9 /95 所以矩陣 是可逆的, 其反矩陣為 我們可以藉由 和的相乘來得到以確認其為反矩陣 注意 : I R R R ] [ I 線性代數 :. 節 pp.9-95
方陣的冪次 powe I k k個 k s s, s : 整數 s s d D d D d k k d d k k d 線性代數 :. 節補充 5/95 定理.8: 反矩陣的性質 若 是可逆矩陣, 則有下列的性質 : 是可逆且 k 是可逆且 k k k 是可逆且 是可逆且 ks ' T T T, 線性代數 :. 節 p.97 /95
定理.9: 乘積的反矩陣若 和 B 為大小為 的可逆矩陣, 則 B 為可逆且證明 : 注意 : 所以 B是可逆的因為反矩陣有唯一性 所以 B B B B BB BB I I B B B B B I B B IB B I B I 線性代數 :. 節 pp.99-7/95 定理.: 相消性質若 C 為可逆矩陣, 則以下的性質成立 若 C=BC, 則 =B 右相消性質 若 C=CB, 則 =B 左相消性質 證明 : C BC CC BC BCC CC I BI B 注意 : 若 C 不是可逆, 則相消法是不成立的 C 因為 C 是可逆 即 C 存在 線性代數 :. 節 p. 8/95 -
定理.: 有唯一解的方程式系統若 為一可逆矩陣, 則此線性方程式系統 = 有唯一解 證明 : I 為一非奇異矩陣 若 則 和 為 = 的兩個解 左相消性質 此解為唯一 線性代數 :. 節 pp.- 9/95 注意 : I I 線性代數 :. 節 5/95 5
摘要與複習. 節之關鍵詞 ivese ti: 反矩陣 ivetile: 可逆 osigul: 非奇異 sigul: 奇異 powe: 冪次 5/95. 基本矩陣 列基本矩陣 ow eleety ti 一 矩陣稱為列基本矩陣若它可以將單位矩陣 I 進行一次基本列運算來獲得 三項列基本矩陣 R I R R k i k k i k I I 兩列互換 k 一列乘以一非零常數某一列的倍數加到另一列 列基本矩陣單位矩陣基本列運算 注意 : 只能做 一次 " 列運算 線性代數 :. 節 p.7 5/95
範例 : 基本矩陣與非基本矩陣 d 是 I 不是 非方陣 不是 必須乘上 是 I 一個非零常數 e f 是 I 不是 必須只做一次列運算 線性代數 :. 節 p.7 5/95 定理.: 基本列運算的表示令 E 為對 I 做基本列運算所得到的基本矩陣 若要對一 的矩陣 進行相同的基本列運算, 則所得到的矩陣可以表示成 E 的相乘 注意 : R k R i k R I E E k i k 線性代數 :. 節 p.9 5/95 7
8 55/95 R 範例 : 基本矩陣與基本列運算 5 5 5 R R 線性代數 :. 節 p.8 5/95 範例 : 使用基本矩陣求一序列的基本矩陣以將下列矩陣化簡成列梯形形式 5 解 : I E I E I E 線性代數 :. 節 p.9
9 57/95 5 5 E 5 5 E 5 5 E = B E E E B B 或 列梯形矩陣 線性代數 :. 節 p. 58/95 若存在有限數目的基本矩陣使得 E E E E B k k 則稱 B 列等價於 列等價 ow-equivlet 線性代數 :. 節 p.
59/95 E 定理.: 基本列矩陣是可逆若 E 為一基本矩陣, 則存在且為一基本矩陣 注意 : R R k i k i R R R k k R 線性代數 :. 節 p. /95 範例 : 基本矩陣反矩陣 E R R E R E R E E R R E R R R 線性代數 :. 節 p.
定理.: 可逆矩陣的性質一方陣 為可逆若且唯若它可以寫成基本矩陣的相乘證明 : 先假設 為一些基本矩陣的相乘 每一基本矩陣均是可逆矩陣, 且可逆矩陣相乘的結果依然是可逆, 所以可以得知 為可逆 假設 為可逆則 只有顯然解 定理. I E k E 線性代數 :. 節 pp.- E E E I E E E k 所以 可以寫成許多基本矩陣的相乘 /95 範例 : 求一序列的基本矩陣, 其乘積為 解 : 8 8 8 I 所以 R R R R I 線性代數 :. 節 p. /95
因此 R R R R R R R R 注意 : 若 是可逆 則 E k E E E I E k E E E E k E E E [ I] [ I ] 線性代數 :. 節 p. /95 定理.5: 等價條件若 為一 矩陣, 則以下這些敘述是等價的 為可逆 對於每一個 行矩陣,= 具有唯一解 = 只有顯然解 列等價於 I 5 可以寫成一些基本矩陣的乘積 線性代數 :. 節 p. /95
LU- 分解 LU-ftoiztio 注意 : 若一 矩陣 可以寫成一下三角矩陣 L 及一上三角矩陣 U 的相乘, 則 LU LU L 是一下三角矩陣 lowe tigul U 是一上三角矩陣 uppe tigul 若只使用一列的倍數加到另一列的列運算就可以將矩陣 化簡為一上三角矩陣 U, 則 具有 LU- 分解 E E E U k E LU E E k U 線性代數 :. 節 p. 5/95 範例 5: LU- 分解 解 : - U R U R U LU L R R 線性代數 :. 節 p. /95
7/95 U U R R LU U R R R R R R L 線性代數 :. 節 p. 8/95 利用 矩陣的 LU 分解求 = 的解 LU LU 則若 兩步驟 : Ly U y 則令 寫出 y=u 並由 Ly= 解得 y 由 U=y 解得 線性代數 :. 節 p.
5 9/95 範例 7: 利用 LU- 分解求解一線性系統 5 解 : LU 線性代數 :. 節 p. 7/95 令 y U 並解系統 Ly 5 y y y 可解得 5 y y 5 y y y 線性代數 :. 節 pp.-7
解系統 U y 可得 線性代數 :. 節 p.7 5 5 5 所以原方程式系統的解為 7/95 摘要與復習. 節之關鍵詞 ow eleety ti: 列基本矩陣 ow equivlet: 列等價 lowe tigul ti: 下三角矩陣 uppe tigul ti: 上三角矩陣 LU-ftoiztio: LU 分解 7/95
.5 矩陣運算的應用 線性代數 :.5 節 p. 7/95 線性代數 :.5 節 p. 7/95 7
線性代數 :.5 節 p. 75/95 線性代數 :.5 節 p. 7/95 8
線性代數 :.5 節 p.- 77/95 線性代數 :.5 節 p.-5 78/95 9
線性代數 :.5 節 p.5 79/95 線性代數 :.5 節 p.5-8/95
線性代數 :.5 節 p. 8/95 線性代數 :.5 節 p.7 8/95
線性代數 :.5 節 p.7 8/95 線性代數 :.5 節 p.8 8/95
線性代數 :.5 節 p.8 85/95 線性代數 :.5 節 p.9 8/95
線性代數 :.5 節 p.9-87/95 線性代數 :.5 節 p. 88/95
線性代數 :.5 節 p.- 89/95 線性代數 :.5 節 p.- 9/95 5
線性代數 :.5 節 p. 9/95 線性代數 :.5 節 p. 9/95
線性代數 :.5 節 p.- 9/95 線性代數 :.5 節 p. 9/95 7
線性代數 :.5 節 p. 95/95 線性代數 :.5 節 p. 9/95 8
線性代數 :.5 節 p. 97/95 線性代數 :.5 節 p.-5 98/95 9
線性代數 :.5 節 p.5 99/95 線性代數 :.5 節 p. /95 5
線性代數 :.5 節 p. /95 線性代數 :.5 節 p.7 /95 5