學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B) x 8 (C) x 解答 :B ( ). 設 f ( x ) 除以 x (D) (D) 6 x 9 統測 x 的商式為 Qx, ( ) 餘式為 x, 則 f ( ) (A) (B) (C) 解答 :C ( ). 多項式 deg f( x) 6, deg gx ( ) 7, deg hx ( ), 則 deg[ gx ( ) hx ( )] (A) (B) 解答 :D 解析 : 取 (C) 6 (D) 7 f ( x) 6 x, gx ( ) 7 x, hx ( ) 7 x deg[ x x ] 7 ( ) 6. 已知多項式 f ( x ) 及 gx ( ) 之次數分別為四次及三次, 則下列各式何者正確? 解答 :D (A) f ( x) g( x) 為七次式 (B) f ( x) g( x) 為一次式 (C) f ( x) g( x) 為十二次式 (D) f ( x) g( x) 為一次式 ( ) 7. 已知 a 7,b 7, 則 a b之值為 (A) (B) (C) (D) 解答 :B ( ) 8. 設 ( ab) x (a b) x 8為一次多項式, 且一次項係數為 0, 則 a b之值為 (A)0 (B) (C) (D)6 解答 :C ( ) 9. 已知 ( a) x ( b) x ( c) x d 為零多項式, 求 a bd (A) 0 (B) 解答 :C (C) (D) 解析 : a 0, b 0, c 0, d 0 abd 0 ( ) 0. 設 f( x) ( x x x)(x x x ), 則 f ( x ) 的 (C) (D) x 的係數為何? (A)0 (B) 解答 :A 6 99 ( ). 設 f( x) (8x 9x 7x 9) 之展開式中各項係數之和為 a, 各奇次項係數之和為 解答 :B b, 各偶次項係數之和為 c, 則 a b (A)0 (B) (C) (D)
( ). 設 Qx ( ) R( x ) 分別為 x x 除 x x x 之商式及餘式, 則 Qx ( ) R( x) 為 (A) x (B) x x (C) x (D)x 6 解答 :B ( ). 設 x y 表實數, 若 ( x) ( y) 0, 則 x y 之值為 (A) (B) (C) (D) 解答 :A ( ). 假設在 (x x x) (x x) 的乘積中, x 項之係數為 a, 而 x 項之係數為 b, 則 (A) a (B) a (C) b (D) b 7 解答 :B ( ). 多項式 deg f( x) 6,deg gx ( ) 7,deg hx ( ), 則 (B) (C)8 (D) 解答 :C 6 7 x x 解析 : deg( ) 67 8 x ( ) 6. 下列何者為 x 之多項式? (A) x (B) x (C) 解答 :B f ( x) g( x) 之商為幾次式? (A)7 hx ( ) x (D) x 解析 : x 在絕對值 根號 分母中非函數, x 次方非整數 非函數 ( ) 7. 設 f( x) (a6) x ( b) x ( c) x( d ), 若 f(0) f() f() f() 9, 則 abd (A) (B) (C)6 (D)8 解答 :B ( ) 8. 設 f ( x) x x, gx ( ) x x, 則 f ( x) g( x) (A) x (B) x (C) x (D)x 9 統測 解答 :D ( ) 9. 設 x 除 x x x 8之餘數為, 則 a (A) 0 (B) (C) (D)0 解答 :A ( ) 0. 試求 ( x x x x)(x x x ) 展開式中 x 項係數為 (A)8 (B) 7 解答 :B (C) 6 (D) 解析 : ( ) ( ) 6 7 ( ). 設 x x x x6 x ( ) bx ( ) x ( ) dx ( ) e, 試求 解答 :A abd e (A) (B)6 (C)9 (D) 解析 : 令 x x 把 x 代入 bd e () () 6 ( ). 設 f ( x) 8 x ( ab) x c, gx ( ) ( abx ) x, 若 f ( x) g( x), 則 ab c之值為 解答 :C (A) (B) (C) (D) ( ). 試問下列各式中, 何者不是有理數? (A). (B).7 (C) (D) 7 解答 :C ( ). 解 a b R, 若 f ( x) ( x x ) bx ( x) x x 為一次多項式, 求 a b
解答 :D (A) 0 (B) (C) (D) 解析 : f ( x) ( ab) x ( ) x ( b) xb b0 a 0 b ab ( ). 下列何者為 x 的多項式? (A) x (B) x x (C) x x (D) x 解答 :B ( ) 6. 試問多項式 x x x 0除以 x 的結果, 何者正確? (A) 商式為 x (B) 商式為 x 6x 6 (C) 餘式為 (D) 餘式為 0 解答 :A x 二 填充題 :. 已知 f ( x) ( a) x ( b) x ( c) x 表常數多項式, 則 a b c 之值為 解答 :. 已知 x y 為實數, 若 (x) (y) 0, 則 x y 之值為 解答 :. 設 f ( x) x x, gx ( ) x ( )( x) bx ( )( x) x ( )( x ), 若不論 x 為任意實數, 恆使 f ( x) g( x), 求 b c ( 代值法 ) 解答 : 解析 : x 代入, b( )( ) b x 代入, ( ) b. 設 ( x x) x bx x dx e, 其中 a b c d e為常數, 則 abd e ( 代值法 ) 解答 : 解析 : x 代入 ( ) abd e bd e. 以 x 除 6x x x x 的商式為, 餘式為 解答 : x x ; 6 x
0 6 609 0 0 0 解析 : 0 0 6 6. 已知 7 x, 則 x7 x 之值為 解答 : 0x 7x c 7. 若 f( x) x x, 求 f ( x), c 解答 : x ; 0 7 解析 : 08 商 f ( x) x, 餘 c 8. 以 x 除 x x x 8x 的商式為, 餘式為 解答 : x x x ; 0 8 解析 : 60 9. 若 (x ) 除多項式 f ( x ) 之商為 解答 :8 解析 : f( x) (x)( x x6) 8 x x 6, 餘式為 8, 則 f ( ) f ( ) 08 8 0. 設多項式 f ( x) 6x x kx 7除以 x 的餘式為 6, 則 k 之值為 解答 : 三 計算題 :. 設 x x 8x x ( ) bx ( ) x ( ) d, 求 a b c d 之值
解答 : 8 0 0 d a, b a, b, c, d. 設 f( x) ( x x x ), 則試求 f ( x ) 的 () 各項係數和 () 偶次項係數和 () x 的係數 解答 :() 各項係數和 f () () 0 () f ( ) ( ) 6 f() f( ) 0 6 偶次項係數和 8 () f ( x) ( x x x)( x x x ) x 的係數為 ()() ( )( ) ()(). 試求 (x 8x x 6) 除以 (x ) 之商式及餘式 86 解答 : 餘式 商式為 x x, 餘式為 解析 : 商式須再除以一次項係數. 設 f ( x) ( x x x)(8x 9x x 7), 其各項係數和為何? 解答 : 各項係數和 f () ( )(8 9 7) 0. 設 f ( x) x ( ab) x, gx ( ) x x c, 若 f ( x) g( x), 則 a b? 解答 : f ( x) g( x) b b ab 6. 設 x x ax ( ) bx ( ) cx ( ) d, 其中 a b c d R, 則 abd? 解答 : 把 x 代入得 a bd 解析 : 令 x x 7. 求 x 除 ( x 7x x ) 之商式及餘式 07 解答 : 96 餘式 [ ]
商式為 x x x, 餘式為 8. 設 f ( x) (x x x)( x x ), 求展開化簡後的 : () 次數 () 常數項 () 偶次項係數和 () x 項係數 解答 :() deg f( x) () f (0) (0 0 0 )(0 0 ) ( ) () f () ()( ) ( ) f ( ) ( )( ) ( ) 60 f() f( ) 偶次項係數和 ( ) ( 60) () x 項係數 ( ) ( ) 9. 設 f ( x) ( a) x ( ab) x bx a 為一次多項式, 求 f ()? 解答 : deg f( x ) 0 且 b 0 b 0 b 故 f ( x) x, f () 9 0. 設 f ( x) ( a) x ( ab6) x x b為一次多項式, 試求 :() f ( x ) () deg f ( x ) () f () 之值 解答 :() f ( x ) 為一次多項式 x 的係數 0 x 的係數 b 6 0 b 6 b 得 f( x) xb6x () deg f( x) () f () 6 8. 設 f ( x) x x gx ( ) x x, 求 : () f ( x) g( x) () f ( x) g( x) () f ( x) g( x) 之商式和餘式 解答 :() f ( x) g( x) ( x x) ( x x ) x x x 6 () 直式 : 6
x 0 x x x ) x x x 0 8x x x 0 x x 0 6 x x x x x 7 0 8 6 () 利用長除法 : x x x x 0 x x x x x x x x6 x 8 商式 x 餘式 x 8 6x x 8x8. 設 a b c d R, (x ) a b c x (x) (x) 7 d (x ) 之值 解答 : 將上式乘以 (x ), 得 6x x 8x8 a(x) b(x) (x) d x 0 運算因子為 ( 綜合除法 ) 6 8 8 80 9 608, _ 7 8 0 9 7 8, _ 6 7, 9 6 x x 8x8 (x) 9(x) 6(x) 7 即 a, b 9, c 6, d 7 abd. 設 x y 表整數, 若 x y, 則數對 ( x, y ) 的解有多少組? 解答 : x y 為整數 x, y 亦為整數若 y 0 x y 且 x 或, 求 a bd
( x, y ) 有 組解若 y x y 0 或 且 x 或 ( x, y ) 有 組解故知數對 ( x, y ) 共有 6 組解 x x 6x cx d. 若 a b R, 且 ( ax b) x x x x, 求 a b d 之值 解答 : 由除法定理可知, x x 6x 為被除式, x x 為除式 ( ax b) 為商式, ( cx d) 為餘式利用長除法 : x b 6 x d 故 a, b, c 0, d abd 0. 試求 () ( x)( x)( x ) () (x y)(x 6xy 9 y ) 解答 :() 所求 ( x )( x ) ( x ) x 6 () 所求 ( x) ( y) 8x 7y 解析 : 可利用乘法公式 6. 設 f ( x) (a) x ( b) x x x gx ( ) ( d) x x e, 若 f ( x) g( x) abd e之值 解答 : f ( x) g( x) deg f( x) deg g( x) 0 b 0 d e 故 abd e b d e 7 7. 求 6x 0x 6x 70x x 0 除以 x 所得之餘式為何? 6 0 6 70 0 解答 : 60 0 8 6 0 0 餘式 8, 求
餘式為 8. 設 f ( x) x x x x, 求 f (.00) 解答 : x 0 運算因子為 ( 綜合除法 ) 6 7 7, f( x) ( x) ( x) 故 f (.00) ( x ) ( x ) 之近似值到小數第四位 (0.00) (0.00) (0.00) (0.00) (0.00) (0.00).00.00 9. 設 f ( x) x x 6 gx ( ) bx x c, a b c R 若 f () g(), f () g(), f( ) g( ), 求 ab c之值 解答 : f ( x ) 和 gx ( ) 的次數最高為 次 但有相異 個數,, 使 f ( x) g( x) 故 f ( x) g( x), x R b 即 c 6 b 6 故 ab 0. 試以分離係數法, 求 x 7 解答 : 0 706 0 7 7 0 6 6 0 6 6 0 除 x 7x x 6的商式及餘式 商式為 x 7x 餘式為 6x 0. 設 f ( x) x x, gx ( ) x x, 試求 f ( x) g( x) 之值 9
x 0x x x x x x x 解答 : x 0x 8x x x 0x x x 0 6 x x x x x 0 6 6. 求 x x x 除以 x 的商式和餘式 解答 : 綜合除法 : x 0 運算因子為, 0 商式 x x, 餘式 0 ( 整除 ). 設 f ( x) x 0x gx ( ) xx, 求 : () f ( x) g( x) () f ( x) g( x) () f ( x) g( x) 解答 :() f ( x) g( x) ( x 0x ) ( x x ) x x x x 0 x x x () 分離係數法 : 00 ) 00 000 00 0 f ( x) g( x) x x x 0x x () 分離係數法 : 00 9 6 6 商式 x, 餘式 6x 6. 設 f ( x) ( a) x ( b) x x d, a b c d R 若 f(0) f() f(0) f(), 求 ab d 之值 解答 : f ( x ) 的次數最高為 次 0
但有相異 個數 0,,0, 使 f ( x ) 值皆為 故 f( x) ( 為零次多項式 ) 0 b 0 b 即 0 0 d d 故 abd. 設 x x 除 f ( x ) 的商式為 Qx, ( ) 餘式為 x, 求 f ( ) 之值 解答 : 由除法定理 : f x x x Q x x ( ) ( ) ( ) ( ) 則 f ( ) [( ) ( ) ] Q( ) [ ( ) ] 0 Q( ) ( ) 0 6. 設 f ( x ) 為一多項式, a b r R, 且 a 0 若 f ( x ) 除以 ax 下列各小題的商式和餘式 : b () 以 x 除 f ( x ) () 以 ax b 除 kf ( x ) a 解答 : 由除法定理 : f ( x) ( axb) q( x) r b () f ( x) ( x ) q( x) r a 故商式為 aq( x ), 餘式為 r () kf ( x) k[( ax b) q( x) r] ( ax b) kq( x) kr 故商式為 kq( x ), 餘式為 kr 7. 求 6x x x 除以 x 的商式和餘式 解答 : 綜合除法 : x 0 運算因子為 60 6, 商式 x x x b 的商式為 qx, ( ) 餘式為 r, 求 餘式 8. 設 f( x) ( a) x ( b) x( c ), 且 f() f(7) f(9) 0, 試求 ab c之值 解答 : 由題知 f( x) 0( 零多項式 )
0 b 0 0 b ab 9. 設 f ( x) x x x x x ( ) bx ( ) x ( ) d( x) e, 求 : () a b c d e 之值 () f (.00) 的近似值 ( 到小數點後第三位 ) 解答 :() x 0 運算因子為 ( 綜合除法 ) 0 0 0 0, f( x) ( x) ( x) ( x) ( x ) 即 a, b, c, d, e () f (.00) (0.00) (0.00) (0.00) (0.00) 0.00.996 0. 設 f( x) (0x 98x x ), 求展開化簡後的 : () 常數項 () 各項係數和 () 奇次項係數和 () 偶次項係數和 解答 :() () () 奇次項係數和 f (0) (0 0 0 ) 6 f () (098 ) 8 f ( ) ( 098 ) f() f( ) 8 0 () 偶次項係數和 f() f( ) 8. 設 a b c d e R, 且 x x x 6x9 ax ( ) bx ( ) x ( ) dx ( ) e, 試求 abd e?
6 9 0 6 0 6 e 7 7 7 7 d 解答 : 9 9 6 a b abd e ( ) 6 ( ) ( ) 另解 : 令 x x 把 x 代入得 abd e ( ) ( ) ( ) 6( ) 9. 設 f( x) ( a) x ( b) x( c ), 若 f() f() f(), 則 a b? 解答 : 由題知, f( x) 0 b 0 b ab 6 f( x) x 6. 若有一多項式 f ( x ), 滿足 x x x x x, 求 f ( x)? 解答 : 由除法定理及上式可知 f( x) ( x x ) 之商式為 x 餘式為 x 6 則 f( x) ( x x)( x) (x 6) x x x x 6 x x x. 設 f( x) ( a) x ( b) x( c ), 且 f() f() f() 0, 則 a b? 解答 : 由題知 f( x) 0( 零多項式 ) 0 b 0 0 b ab. 設 a b 皆為實數, 且 f( x) ( x) b(x ) 與 gx ( ) x 7相等, 試求 a b之值 解答 : f( x) ( x) b(x) x bx b ( a b) x( b a) b 7 f ( x) g( x) a b b 7 b 6. 設 f ( x) ( a) x ( b) x x x c, gx ( ) ( d) x ( e) x, 若 f ( x) g( x), 試求 abd e之值
解答 : f ( x) g( x) 0 b 0 d e c b 6 d e 6 abd e 7. 設 a b c d R, 且 x x x ax ( ) bx ( ) x ( ) d, 試求 abd? 6 8 7 9 d 解答 : 6 6 6 a 9b ab d ()( 9) () ( ) 另解 : 令 x x 把 x 代入得 abd ( ) ( ) ( ) 8. 設 f ( x) x x b gx ( ) x x, 若 f ( x) g( x), 求 a b c之值 解答 : f ( x) g( x) c b 故 ab 9. 設 f( x) x x, gx ( ) x x, 試以分離係數法求 f ( x) g( x) 之值 0 08 解答 : 0 0 68 所求為 x x x 6x x 8 解析 : 分離係數法 : 取其係數運算即可 0. 試求 x 0x 除以 x x 的商式及餘式 解答 : 令 x x 0 x x 運算因子為 及
商式為 x, 餘式為 6x 6. 試求 x x 除以 x x 的商式及餘式 x 解答 : x x x 0x x x x x x x x x x 商式為 x, 餘式為 x 解析 : 利用長除法 記得缺項補 0. 設 f( x) ( x x a) x x 為二次多項式, 則 () a? () f ( a)? 解答 :() f ( x) x x x x x ( a ) x ( a ) x ax f ( x ) 為二次多項式 a 0 f ( x) x 0x () f ( a) f() 0 78. 設 x x 除以 x x x b之餘式為 x, 求 a b之值 解答 : 令 x x 0 x x 運算因子為 及 a b b 餘式為 x b b b. 設 f( x) ( a b) x ( ab) x( c ) 為零多項式, 則 a b? 解答 : f ( x ) 為零多項式, 表示各項係數為 0 b0 即 b 0 b ab ( ). 設 f ( x) ( ab6) x (ab) x c為零多項式, 求 a b c 之值
解答 : f( x ) 0 b60 b0 0 b 0 故 ab 6 6. 試求 x x 9x 除以 解答 : 令 x x 0 運算因子為 及 x x 的商式及餘式 x x x x 商式為 x, 餘式為 x 7. 試求 f( x) (x x x)( x x ) 乘開後 : () 領導係數 () deg f ( x ) () 各項係數總和 () 偶次項係數和 () 奇次項係數和 (6) x 的係數 解答 :() ( x )( x ) x 領導係數為 () deg f( x) () 各項係數總和 f () ( )( ) () f ( ) ( )() 60 偶次項係數和 f() f( ) ( ) ( 60) f() f( ) ( ) ( 60) () 奇次項係數和 9 (6) x 的係數為 ()() ( )( ) ()() 8. 設 f ( x ) 除以 x x 的商式為 Qx, ( ) 餘式為 x, 求 f ( ) 之值 解答 : 由除法定理 : f ( x) ( x x) Q( x) (x ) 則 f ( ) [( ) ( ) ] Q( ) [ ( ) ] 0 Q( ) 0 9. 已知多項式 f ( x) x x x, 試求 : () 若 f ( x) x ( ) bx ( ) x ( ) d, 求 b c d 之值 () 求 f (0.99) 之近似值 ( 到小數點第二位 ) 解答 : 由綜合除法 6
0 0 d 6 b a () a, b 6, c, d bd 6 () f ( x) ( x) 6( x) ( x ) f (0.99) ( 0.0) 6( 0.0) ( 0.0) 0.0 0.0006 0.00000 0.9 7