فصل: ریاضیات رمزنگاری ١ اهداف فصل بررسی علم حساب اعداد صحیح با تمرکز روي تقسیم پذیري و پیداکردن بزرگترین مقسوم علیه مشترك با استفاده از الگوریتم اقلیدسی. چگونگی استفاده از الگوریتم اقلیدسی توسعه یافته جهت حل معادلات خطی دیوفانتین معادلات هم ارزي خطی و پیداکردن معکوس ضربی. تاکید بر اهمیت حساب پیمانه اي و عملگرهاي پیمانه اي چرا که به طور گسترده در رمزنگاري استفاده می شوند. ٢ ١
اهداف فصل ادامه... تاکید و بررسی ماتریس ها و عملیات روي ماتریس باقیمانده که به طورگسترده در رمزنگاري استفاده می شود. حل مجموعه اي از معادلات هم ارزي با استفاده از ماتریس باقیمانده. ٣ حساب اعداد صحیح مجموعه اعداد صحیح جمع تفریق ضرب ۴ ٢
- بسته بودن مجموعه اعداد صحیح نسبت به عمل های جمع و تفریق و ضرب Z =,,,,,, b + Operations Z =,,,,,, ۵ ADD = 5+9=4 (-5)+9=4 5+(-9)=-4 (-5)+(-9)=-4 SUB = 5-9=- (-5)-9=-4 5-(-9)=4 (-5)-(-9)=+4 MUL = 5 9=45 (-5) 9=-45 5 (-9)=-45 (-5) (-9)=45 مثال ۶ ٣
a r n q تقسیم اعداد صحیح ) تقسیم شونده- مقسوم ( dividend a: ) خارج قسمت ( quotient q: ) باقی مانده ( remainder r: (مقسوم علیه ( divisor n: ٧ Two Restrictions in Cryptography دو محدودیت در رمزنگاری در عمل تقسیم همیشه می باشد. a n = x + r ( positive ) ( nonnegative ) q ٨ ۴
دو محدودیت در رمزنگاری ادامه... مثال: - 3 = -4 -+=9 تبدیل: ٩ تقسیم پذیری a/n = q n عدد a را بخش می کند. n یک بخش کننده a است. n یک مضرب a است. a n را عاد میکنه یا می شمارد n عاملی از a است. ١٠ ۵
a) b) تقسیم پذیری ادامه... 3 78 7 98-6 4 4 44 (-33) 3 7 7 5-6 3 4 4 (-3) مثال ١١ خواص: خاصیت : ۱ n a r ١٢ ۶
خواص ادامه... خاصیت : ۲ b a a b r r ١٣ خواص ادامه... خاصیت : ۳ b a c b c a r r r ١۴ ٧
خواص ادامه... خاصیت : ۴ where m and n are arbitrary integer b a c a m b + n c a r r r ١۵ نکته: - عدد یک تنها یک مقسوم علیه داره که خودشه - هر عدد صحیح مثبت حداقل دو تقسیم کننده دارد:.عدد یک و خود آن عدد مثال : مقسوم علیه های عدد ۳۲ ۱, ۲, ۴, ۸, ۱۶, ۳۲ ١۶ ٨
بزرگترین مقسوم علیه مشترک Divisors of 4 Divisors of 4 5 7 7 3 5 4 8 4 3 6 Common Divisors of 4 and ١٧ الگوریتم اقلیدسی دو عدد صحیح بزرگ به روش قبلی دشوار است. محاسبه ی به روش الگوریتم اقلیدسی ١٨ ٩
الگوریتم محاسبه ١٩ Process = = gcd ( a, b ) = r r الگوریتم اقلیدسی ادامه... مثال: gcd ( 36, ) =? gcd (36, ) r=6 gcd (, 6) r=4 gcd (6, 4) r= gcd (4, ) r= gcd (, ) = ٢٠ ١٠
الگوریتم اقلیدسی ادامه... gcd ( 74, 76 ) =? مثال: q 3 9 74 76 76 98 98 78 78 8 8 gcd ( 74, 76 ) = r 98 78 8 ٢١ الگوریتم اقلیدسی ادامه... مثال: q 5 6 5 5 6 5 5 r 5 5 ٢٢ ١١
اقلیدسی ادامه... #include<stdio.h> #include<conio.h> #include<iostream.h> main(){ int a,b, gcd,i; cout<<"enter number = "; scanf("%d",&a) ; cout<<"enter number = "; scanf("%d",&b) ; for( i= ; i<= a ; i++ ) if (( a % i == ) && ( b % i == )) gcd= i ; cout<<"-------------- \n gcd ("<<a<<","<<b<<")="<<gcd; getch();} ٢٣ الگوریتم الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی The Extended Euclidian Algorithm = = r = = s t = t = t r s t t t s t t t t t gcd ( a, b ) = S = t = t ٢۴ ١٢
الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... مثال: ٢۵ مثال ادامه... q r s t t 5 3 6 8 7 8 7 7 - - 4-4 -5 6-5 6-3 -5 6-3 x + x 8 = 7 ٢۶ ١٣
; ; ; ; t ; t ; () شبه کد الگوریتم بسط یافته اقلیدسی ( > ) { q / ; ; ; ; Updating r s ; ; ; Updating s s ; ; ; Updating t s } g, ; ; ٢٧ الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... مثال gcd ( 7, ) = 7 ( x 7 ) + ( x ) = 7 q r s t 7 ٢٨ ١۴
الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... مثال gcd (, 45) = 45 ( x ) + ( x 45 ) = 45 q r s t 45 45 ٢٩ معادلات خطی دیوفانتین دو حالت : ۱- اصلا جواب ندارد. ۲- بی نهایت جواب دارد. اگر d c معادله بی نهایت جواب دارد., = باشد. فرض : - اگرc d معادله جواب ندارد. Particular Solution General Solution جواب خصوصی جواب عمومی ٣٠ ١۵
معادلات خطی دیوفانتین ادامه... جواب خصوصی ) ax + by = c + = (c) ) + = s =?, t =? = 3) Particular solution = ( ) s, = ( ) t ٣١ معادلات خطی دیوفانتین ادامه... جواب های عمومی ٣٢ ١۶
معادلات خطی دیوفانتین ادامه... معادله ی روبرو را حل کنید: d = gcd (,4) = 7, 7 35 3x + y = 5 حل معادله =t a s+b برای 3s+t= به کمک الگوریتم توسعه یافته اقلیدسی q ٣٣ 3 r = - q r s = - q r=, s=, t = - + = = + = - s - t = t - q t - t - 3-3 معادلات خطی دیوفانتین ادامه... جواب خصوصی = ( ) s, = ( ) t = = 5 =5 & = (-) = - 5 جواب عمومی = + ( ) = ( ) x = 5 + k ( ) = + k ( 5, -5 ), ( 7, - 8 ), ( 9, - ), + ٣۴-3 & y = - 5 - k = 5 k 3 ١٧
معادلات خطی دیوفانتین ادامه... مثال کاربردی : خرد کردن صد تومان به ۵ تومانی و ۲۰ تومانی = 5y x + d = gcd (,5) = 5, 5 4x + y = حل معادله =t a s+b برای 4s+t= به کمک الگوریتم توسعه یافته اقلیدسی q 4 r = - q 4 r s = - q s t = t - q t t ٣۵ r=, s=, t = + = = + = معادلات خطی دیوفانتین ادامه... جواب خصوصی = ( ) s, = ( ) t = = = & = () = جواب عمومی = + ( ) = ( ) x = + k ( ) = + k & y = - k = k 4 (, ), (, 6), (, ), (3, 8), (4, 4), (5, ) ٣۶ ١٨
معادلات خطی دیوفانتین ادامه... تمرین : ٣٧ حساب همنهشتی ) پیمانه ای ( Z = {,,,,,, } n ( positive ) a = x + q r Relation ( nonnegative ) n Z = {,,,,,, } ( positive ) a r Operator ( nonnegative ) ٣٨ ١٩
حساب همنهشتی ادامه... عملگر همنهشت به هنگ همنهشت به پیمانه و بنا به قضیه تقارن همنهشت به هنگ است. است. است. ٣٩ حساب همنهشتی ادامه... مثال : حاصل عبارت زیر چیست ۴٠ ٢٠
مجموعه ی باقیمانده ها: ۴١ هم ارزی نگاشت mod = ( mod ) mod = ( mod ) mod = ( mod ) ۴٢ ( mod ) ٢١
نمایش دایره ای z -(n- ) (n-) (n-) (n-) a (mod n) z ۴٣ کلاس های باقیمانده n = Mod Mod Mod Mod = {,,,, 9 } = {, -8,,,, } = n = { b: b a mod n } = a + n x Z -8 ( mod ) Congruence Relationship ۴۴ ٢٢
کلاس های باقیمانده - ادامه... مثال : ۴۵ عمل ها در Z or a b n +, -, mod = {,,,, (n-) } c Operations (a + b) mod n=c (a - b) mod n=c (a b) mod n=c ۴۶ ٢٣
عمل ها در - ادامه... مثال: (7 + 4) in =? 4 + 7 5 5 = 6 (7 - ) in =? 7 3 4 3 = 9 (7 ) = in 4 7 77 = 7 ۴٧ خواص ۴٨ ٢۴
نمایش خواص عمل Z or a b +, -, Z or a b n mod mod n a mod n b mod n +, -, n mod n mod = {,,,, (n-) } c = {,,,, (n-) } c ۴٩ a. Original Process b. Applying Properties نمایش خواص عمل - mod ادامه... مثال:. (,73,345 +,4,945) mod = (8 + 9) mod = 6. (,73,345,4,945) mod 6 = (8 9) mod = 3. (,73,345,4,945) mod 6 = (8 9) mod = 6 ۵٠ ٢۵
نمایش خواص عمل - mod ادامه... مثال یا - لذا به طور کلی داریم: ۵١ اثبات: a mod 3 = ( + + + ) 3 = ( ) 3+ + ( ) 3 + ( ) 3 = ( 3) ( 3) + + ( 3) ( 3)+ ( 3) ( 3) = 3 + + 3 + 3 = ( + + + ) 3 نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد به ۳ برابر باقیمانده تقسیم جمع ارقام آن عدد بر ۳ است. ۵٢ ٢۶
نمایش خواص عمل - mod ادامه... مثال : ۵٣ نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۱۰ برابر است با رقم یکان آن عدد اثبات: ۵۴ ٢٧
نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۱۰۰۰ برابر است با : یکان + ) ۱۰ دهگان ( + ) ۱۰۰ صدگان ( اثبات: a mod = ( + + + ) = [ + + + + a + (a ) + (a )] = a + (a ) + (a ) ۵۵ نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۵ برابر است با حاصل باقی مانده تقسیم عدد یکان بر عدد ۵ اثبات: ۵۶ ٢٨
نمایش خواص عمل - mod ادامه... باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۲ برابر است با حاصل باقی مانده تقسیم عدد یکان بر عدد ۲ اثبات: ۵٧ نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۴ برابر است با : یکان + ) ۱۰ دهگان ( اثبات: a mod = ( + + + ) 4 = [ + + + + (a ) + (a )] 4 = (a ) + (a ) 4 ۵٨ ٢٩
نمایش خواص عمل - mod ادامه... باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۸ برابر است با : نکته: صدگان ( دهگان ( + ) ۱۰۰ یکان + ) ۱۰ اثبات: a mod = ( + + + ) 8 = [ + + + + a + (a ) + (a )] 8 = a + (a ) + (a ) 8 ۵٩ ۹ نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد ارقام آن عدد تقسیم بر ۹ باقی با است برابر بر مانده جمع اثبات: ۶٠ ٣٠
نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۷ برابر است با: =[ +a 5 (-)+a 4 (-3)+a 3 (-)+a ()+a (3)+a () ] mod 7 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 6345367 mod 7 =? مثال: =[ 6 ()+3 (3)+ () +4 (-)+5 (-3)+3 (-)+6 ()+7 (3)+ () ] mod 7 [+9+8-5-3+++] mod 7 3 mod 7 = 3 ۶١ نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۱۱ برابر است با: =[ +a 3 (-)+a ()+a (-)+a ()] mod a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 6345367 mod =? مثال: =[ 6 ()+3 (-)+ () +4 (-)+5 ()+3 (-)+6 ()+7 (-)+ () ] mod [6-3+-4+5-3+6-7+] mod 3 mod = 3 ۶٢ ٣١
نمایش خواص عمل - mod ادامه... نکته: باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۱۳ برابر است با: =[ +a 5 (4)+a 4 (3)+a 3 (-)+a (-4)+a (-3)+a () ] mod 3 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a 6345367 mod 3=? مثال: =[ 6 (-4)+3 (-3)+ () +4 (4)+5 (3)+3 (-)+6 (-4)+7 (-3)+ () ] mod 3 [-4-9++6+5-3-4-+] mod 3-47 mod 3 = -8-8 + 3 = 5 ۶٣ معکوس معکوس جمع: هم ارز است. مجموع یک عدد صحیح با معکوس جمع خود با ۶۴ ٣٢
معکوس جمع ادامه... مثال: اگر باشد معکوس جمع را بدست بیاورید. ۶۵ معکوس جمع ادامه... مثال: تمامی جفت معکوس های جمع در را بیابید : ۶۶ ٣٣
و ۳ معکوس ضرب تعریف: ( ۷ معکوس ضربی یکدیگر مثال: نتیجه: هر عدد ممکنه الزاما معکوس ضربی نداشته باشد. ۶٧ معکوس ضرب ادامه... قضیه: آنگاه دارای معکوسی مثل می باشد. - اگر در این صورت و نسبت به هم اولند. ۶٨ ٣۴
معکوس ضرب ادامه... مثال معکوس ضربی عدد ۸ در را بدست آورید چون: لذا معکوس ضربی ندارد ۶٩ معکوس ضرب ادامه... مثال معکوس ضربی اعضای مجموعه ی برابر است با: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ٧٠ ٣۵
پیدا کردن معکوس ضربی یک عدد با استفاده از الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی s a + t b = gcd (a, b) گام ۱ b) s n + t b = gcd (n, if gcd (n, b) = ٧١ s n + t b = (s n + b t) mod n = mod n [ (s n) mod n ] + [ (b t) mod n ] = mod n + [ (b t) mod n ] = (b t) mod n = گام ۲ گام ۳ گام ۴ گام ۵ پیدا کردن معکوس ضربی یک عدد با استفاده از الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... q 3 r = - q 6 4 4 3 3 r 4 3 t = t - q t t - - 5-5 -7 5-7 6-7 6 مثال ٧٢ ٣۶
پیدا کردن معکوس ضربی یک عدد با استفاده از الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... q 4 3 3 8 8 7 7 7 r = - q r 8 7 t = t - q t -4-4 9 9-3 -3 t -4 9-3 مثال ٧٣ پیدا کردن معکوس ضربی یک عدد با استفاده از الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... مثال q 6 r = - q r 6 t = t - q t t - - 3-3 ٧۴ ٣٧
پیدا کردن معکوس ضربی یک عدد با استفاده از الگوریتم بسط یافته ی اقلیدسی ادامه... تمرین ٧۵ الگوریتم و فرآیند بدست آوردن معکوس ضربی = = r r = = t t ; ; ; ; ( > ) { q / ; t ; ; ; gcd ( n, b ) = if =, = ; ; ; } if ( = ) then a. Process b. Algorithm ٧۶ ٣٨
٣٩ رد برض و عمج لوادج 9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 5 4 3 3 9 8 7 6 5 4 4 3 9 8 7 6 5 5 4 3 9 8 7 6 6 5 4 3 9 8 7 7 6 5 4 3 9 8 8 7 6 5 4 3 9 9 8 7 6 5 4 3 8 6 4 8 6 4 7 4 8 5 9 6 3 6 8 4 6 8 4 5 5 5 5 5 4 8 6 4 8 6 3 6 9 8 4 7 4 6 8 4 6 8 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Addition Table in Multiplication Table in ٧٧ برض و عمج لامعا یور فلتخم یاه هعومجم حیحص دادعا هعومجم - هنامیپ هب اه هدنامیقاب نیرتکچوک هعومجم - هعومجم ریز -.دنراد اتکی بیرض سوکعم نآ یاضعا هک نامه - هکنیا زج هب تسا.تسا لوا ددع نامه - هکنیا زج هب تسا.تسا لوا ددع Different sets for addition & multiplication ٧٨
مجموعه های مختلف روی اعمال جمع و ضرب ادامه.. خواص هر مجموعه Operations Multiplication Inverse Some All (Except Zero) All All Additional Inverse All All Some All ٧٩ مجموعه های مختلف روی اعمال جمع و ضرب ادامه.. مثال ٨٠ ۴٠
ماتریس ها ٨١ ماتریس ها ادامه... ٨٢ ۴١
عملیات روی ماتریس ها جمع و تفریق ٨٣ عملیات روی ماتریس ها ادامه... ضرب دو ماتریس ٨۴ ۴٢
عملیات روی ماتریس ها ادامه... the product of a 3 matrix by b 3 4 matrix. The result is c 4 matrix. ٨۵ عملیات روی ماتریس ها ادامه... ضرب عددی ٨۶ ۴٣
دترمینان i+j ij ij Where A ij is a matrix obtained from A by deleting the ith row and jth column ٨٧ دترمینان ادامه... مثال : دترمینان ماتریس i+j ij ij Where A ij is a matrix obtained from A by deleting the ith row and jth column ٨٨ ۴۴
دترمینان ادامه... مثال : دترمینان ماتریس i+j ij ij Where A ij is a matrix obtained from A by deleting the ith row and jth column ٨٩ خلاصه محاسبه دترمینان h ٩٠ ۴۵
خلاصه محاسبه دترمینان ادامه... h h h h ٩١ شده معکوس جمع یک ماتریس معکوس جمع ماترس بطوری که ماتریس دیگری چون می شود معکوس جمع ماتریس توسط بدست می آید. - ٩٢ ۴۶
معکوس ضربی یک ماتریس معکوس ضربی برای ماتریس های مربعی تعریف می شود - ٩٣ مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس مثال : ۱ مطلوب است محاسبه معکوس ماتریس در گام : ۱ محاسبه دترمینان A) = 3 ٩۴ ۴٧
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس ادامه... و محاسبه معکوس دترمینان گام : ۲ محاسبه r = - q t = t - q t - - ٩۵ مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس ادامه... گام ۳: محاسبه ماتریس کمکی یا الحاقی گام ۴: محاسبه معکوس ماتریس - ٩۶ ۴٨
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس ادامه... گام ۵: پیمانه گیری از ماتریس مرحله قبل در پیمانه ۱۰ - گام ۶: امتحان درستی کار - ٩٧ مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس مثال : ۲ مطلوب است محاسبه معکوس ماتریس در گام : ۱ محاسبه دترمینان A) = ٩٨ ۴٩
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس ادامه... و محاسبه معکوس دترمینان گام : ۲ محاسبه ٩٩ مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس مثال : ۳ مطلوب است محاسبه معکوس ماتریس در 6 5 7 3 7 7 5 4 det h گام : ۱ محاسبه دترمینان a(ei-fh)-b(di-gf)+c(dh-ge) = det(a) = 5 7 4 5 7 7 3 4 7 + 3 5 7 =45 ١٠٠ ۵٠
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 3 3 ادامه... و محاسبه معکوس دترمینان گام : ۲ محاسبه ١٠١ r = - q t = t - q t q r r r t t t 6 45 6 7 45 6 9 6 9 8-9 8-3 8 8-3 3 - - 5 7 3 7 7 5 4 مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 3 3 ادامه... گام ۳: محاسبه ماتریس Cof (A) = + 7 7 5 4 Cof (A) = - 7 5 4 Cof (A3) = + 7 7 7 Cof (A3) = + = 33 Cof (A) = - 3 7 4 = 5 = Cof (A) = + 5 4 = 3 7 5 = 65 Cof (A3) = - 5 7 5 = 5 Cof (A33) = + 5 7 3 7 = 6 ١٠٢ = Cof (A3) = - 5 3 7 = 95 33 5 65 5 95 6 ۵١
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 3 3 ادامه... گام ۴: محاسبه ماتریس کمکی یا الحاقی 33 5 65 5 95 6 Adj(A) = [ cof ( A ij ) ] t ترانهاده = T 33 5 95 65 5 6 A - = det - adj(a) 3 = گام ۵: محاسبه معکوس ماتریس 99 66 363 56 6 85 95 75 8 ١٠٣ مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 3 3 ادامه... گام ۶: پیمانه گیری از ماتریس مرحله قبل در پیمانه ۲۶ 99 66 363 56 6 85 95 75 8 mod 6 A - = 4 8 5 3 3 8 5 7 3 7 7 5 4 ١٠۴-4 8 5 3 3 8 گام ۷: امتحان درستی کار 35 56 6 364 339 494 5 5 57 mod6 = = ۵٢
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس در 3 A= مثال : ۴ مطلوب است محاسبه معکوس ماتریس 5 8 3 5 4 3 4 5 6 8 7 4 3 گام : ۱ محاسبه دترمینان det h h = a - b h +c h -d ١٠۵ det(a)= 5 det 3 4 5 6 7 4 3 مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... - 8 det 4 5 6 8 4 3 ادامه گام : ۱ محاسبه دترمینان + 3 det 4 3 4 6 8 7 3-5 det 5 [3 (5 3-4 6) - (4 3-7 6) +(4 4-7 5)]- 8 [4 (5 3-4 6) - (3-6 8) +(4-5 8)]+ 3 [4 (4 3-6 7) -3 (3-8 6)+(7-8 4)]- 5 [4 (4 4-5 7)-3 (4-8 5)+ (7-8 4)] =7+56-43+34=-764 ١٠۶ 4-3 - -68 4 3 4 5 = 8 7 4 ۵٣
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... و محاسبه معکوس دترمینان گام : ۲ محاسبه ١٠٧ r = - q q r r r t t t 3-764 3 34-764 3 8 3 8 5-3 8 5 3-4 5 3-4 -5 3 4-5 9-5 9 9 - - t = t - q t A= 5 8 3 5 4 3 4 5 6 8 7 4 3 مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... گام ۳: محاسبه ماتریس Cof(A )=(-) det Cof(A 3 )=(-) 4 det Cof(A )=(-) 3 det 3 4 5 6 7 4 3 4 3 4 6 8 7 3 8 3 5 4 5 6 7 4 3 =4 Cof(A )=(-) 3 det =- Cof(A 4 )=(-) 5 det =-353 Cof(A )=(-) 4 det 4 5 6 8 4 3 4 3 4 5 8 7 4 5 3 5 5 6 8 4 3 =3 =68 =3 ١٠٨ ۵۴
A= 5 8 3 5 4 3 4 5 6 8 7 4 3 مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... ادامه گام ۳: ادامه محاسبه ماتریس Cofactor Cof(A 3 )=(-) 5 det Cof(A 3 )=(-) 4 det Cof(A 33 )=(-) 6 det Cof(A 4 )=(-) 5 det ١٠٩ 5 8 5 4 6 =45 Cof(A 4 )=(-) 6 det 8 7 3 5 8 3 4 5 =-3 8 7 4 8 3 5 5 3 5 3 =-5 Cof(A 3 )=(-) 5 det 4 =3 7 4 3 8 4 3 5 8 5 4 3 =- Cof(A 34 )=(-) 7 det 8 7 3 8 3 5 3 = 9 Cof(A 4 )=(-) 6 det 4 5 6 5 8 3 4 3 =-9 8 7 4 5 3 5 4 =-74 5 6 A= 5 8 3 5 4 3 4 5 6 8 7 4 3 مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... ادامه گام ۳: ادامه محاسبه ماتریس Cofactor Cof(A 43 )=(-) 7 det 5 8 5 4 3 4 6 =49 Cof(A 44 )=(-) 8 det 5 8 3 4 3 4 5 =6 Cof(A)= 4 3 68 353 3 45 3 5 3 9 9 74 49 6 ١١٠ ۵۵
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... Cof(A)= گام ۴: محاسبه ماتریس کمکی یا الحاقی 4 3 68 353 3 45 3 5 3 9 9 74 49 6 Adj(A)=[Cof(A)] T = 4 353 5 9 3 3 3 74 45 49 68 3 9 6 ١١١ مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 4 4 ادامه... A - = det - adj(a) گام ۵: محاسبه معکوس ماتریس 9 ١١٢ 4 353 5 9 3 3 3 74 45 49 68 3 9 6 A - = = 6 377 35 89 88 7 88 566 99 45 98 44 6 88 68 54 گام ۶: پیمانه گیری از ماتریس مرحله قبل در پیمانه ۲۳ 6 377 35 89 88 7 88 566 99 45 98 44 6 88 68 54 mod3= 7 4 4 9 4 4 8 7 ۵۶
مراحل محاسبه معکوس ضربی ماتریس 3 3 ادامه... گام ۷: امتحان درستی کار A A - = 5 8 3 5 4 3 4 5 6 8 7 4 3 7 4 4 9 4 4 8 7 = 57 3 53 345 38 6 69 38 53 38 6 84 78 46 437 668 57 3 53 345 38 6 69 38 53 38 6 84 78 46 437 668 mod3= =I 4 4 ١١٣ Single-Variable Linear Equations معادلات خطی تک متغیره فرم کلی : ١١۴ ۵٧
معادلات خطی تک متغیره ادامه... را حل کنید : مثال : ۱ معادله گام ۱ :محاسبه مقدار گام : ۲ بررسی بخش پذیری بر ١١۵ معادلات خطی تک متغیره ادامه... را حل کنید : مثال : ۲ معادله گام ۱ :محاسبه مقدار گام : ۲ بررسی بخش پذیری بر ١١۶ ۵٨
معادلات خطی تک متغیره ادامه... گام : ۳ تقسیم طرفین بر ۹ و محاسبه جواب خصوصی (x ( - گام : ۴ ضرب طرفین در معکوس ضربی ) a ۷ ( به پیمانه گام : ۵ محاسبه جواب دوم یا ١١٧ معادلات خطی تک متغیره ادامه... را حل کنید : مثال : ۳ معادله گام ۱ :تبدیل معادله به فرم استاندارد 3x+4 6 (mod 3) 3x 6-4(mod 3) 3x (mod 3) گام ۲ :محاسبه مقدار گام : ۳ بررسی بخش پذیری بر ١١٨ d b there are d solution there are solution ۵٩
معادلات خطی تک متغیره ادامه... گام : ۴ تقسیم طرفین بر - گام ۵: ضرب طرفین در معکوس ضربی ) a ۳ ( به پیمانه ۱۳ و محاسبه جواب خصوصی گام : ۶ جایگزینی ۵ بجای در معادله 3x+4 6 (mod 3) 3 5+4 6 (mod 3) 9 mod 3 = 6 ١١٩ ۶٠