投稿類別 : 數學類 篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡 作者 : 藍崧文 國立武陵高中 高三 班 吳玟秀 國立武陵高中 高三 班 陳宗蔚 國立武陵高中 高三 班 指導老師 : 吳明霞老師
壹 前言 在此作品 笛卡兒的十三封情書 中, 我們探討了任意三角形的重心 G 與其對各邊對稱所 得到的三點 G,G 2,G 形成的軌跡 使三角形二頂點固定, 一頂點於單位圓上繞行, 並探討 重心 G,G,G 2,G 這些點形成的軌跡 我們發現了許多有趣的性質, 在這些軌跡中我們找出了近似於蚶線 心臟線 類似彎月等各種奇妙的現象, 我們深感有趣, 因此繼續深入探討 下發現了許多有趣的結論 貳 研究過程或方法 一 B 點位於 (,0),C 點在單位圓 O 上繞行 ( 恆為直角三角形 ) ( 一 )G,G,G 2,G 軌跡為圓形 ( 二 ) 證明 G,G,G 2,G 軌跡為圓形 : 不失一般性, 令 A(,0),B(,0),C(cosθ, sinθ), 重心 G 軌跡為圓形 : 由於 A(,0),B(,0),C(cosθ, sinθ), 故重心 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ), 顯然重心 G 所形成的軌跡為一圓, 其圓心為 (0,0), 半徑為
2 G 軌跡為圓形 :. 已知 G 點軌跡為圓, 由於對稱軸為 x 軸不改變, 故 G 軌跡必定為圓,. 其 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ),. 因此重心 G G 之軌跡為同一圓 G 2 軌跡為圓形 :. 已知 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ), 且 CG = 2,. 令 GG 2 交 BC 於 H 點,. 則 CH = BC = ( cos θ)2 + sin 2 θ = 2 2cos θ.gh = CG 2 CH 2 = 2 2 2 2cos θ ( ) 2 =. 故 GG 2 =.. 又 2 2+2 cos θ, AC cos θ+ =( AC, sin θ ), 2+2 cos θ 2+2 cos θ. 則 G 2 點座標 = G 點座標 + GG 2 AC. = ( cosθ, sinθ. = (cos θ + 2, sinθ) AC 2 2+2 cos θ ) + ( 2+2 cos θ cos θ+, sin θ ) 2+2 cos θ 2+2 cos θ.. 因此 G 2 點座標為 (cos θ + 2, sinθ),. 顯然 G 2 所形成的軌跡為一圓,. 其圓心為 ( 2, 0), 半徑為 4 G 軌跡為圓形 : 已知 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ), 且 CG = 2,. 令 GG 交 AC 於 H 點,.. 則 CH = AC = ( + cos θ)2 + sin 2 θ = 2+2cos θ. GH = CG 2 CH 2 = 2 2 2+2cos θ ( ) 2 = 2 2 2 cos θ
. 故 GG =. 又 2 2 2 cos θ, BC cos θ =( BC, sin θ ), 2 2 cos θ 2 2 cos θ. 則 G 點座標 = G 點座標 + GG BC. = ( cosθ, sinθ. = (cos θ 2, sinθ) BC 2 2 2 cos θ ) + ( cos θ, sin θ ) 2 2 cos θ 2 2 cos θ.. 因此 G 點座標為 (cos θ 2, sinθ),.. 顯然 G 所形成的軌跡為一圓,.. 其圓心為 ( 2, 0), 半徑為 5 經由上述證明, 發現 G 2,G 所形成的軌跡圓全等 ( 三 )G G 2 中點 F 之軌跡為橢圓 : ( 四 ) 證明 G G 2 中點 F 之軌跡為橢圓 : 不失一般性, 令 A(,0),B(,0),C(cosθ, sinθ), 則由 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ),G 2 點座標為 (cos θ + 2, sinθ),
可得 F 點座標 = G G 2 2 = [(cosθ, sinθ )+(cos θ+2,sinθ] 2 = ( 2cosθ +, sinθ ) 顯然 F 所形成的軌跡為一橢圓, 其橢圓中心為 (, 0), 兩焦點分別為 ( + 半長軸 a = 2, 半短軸 b =, 0),(, 0), ( 五 ) 同理 G G 中點之軌跡亦為橢圓 二 B 點位於 x 軸上且在單位圓 O 內,C 點在圓 O 上繞行 ( 一 ) 觀察重心 G 對 BC 作對稱點 G 2 之軌跡, 發現其近似蚶線 ( 二 ) 反推基圓 : 因為重心 G 對 BC 作對稱點 G 2 之軌跡不是由蚶線標準定義繪圖而成, 所以只能猜測跟蚶線或許有些許關係, 所以我們用軌跡反推基圓, 重新繪出蚶線和先前軌跡進行比較. ( 下圖為反推蚶線之作圖 ) 4
2 作法: 軌跡上取與 x 軸相交之點, 由右至左分別為 O Q R, 以 RQ 中點 S 為圓心,RS 為半徑作圓 以 SO 中點 B 為圓心,RB 為半徑作圓, 此圓為基圓, 接著以蚶線作圖方式得到的蚶線和原軌跡有極相似的路徑 ( 上圖 ) 紅綠色線段為 G 2 之軌跡, 紫色軌跡為反推基圓所得之蚶線圖形 5
( 三 ) 極座標表示法 : 假設 OB = x BC =y OC = R CBO = θ 由餘弦定理 :R 2 = x 2 + y 2 2xy cos θ y= 2x cos θ± 4x2 cos θ 2 4(x 2 R 2 ) 2 R > x 故 SSA 有唯一 y 值 負不合 y= 2x cos θ+ 4x2 cos θ 2 4(x 2 R 2 ) 2 =xcos θ + R 2 x 2 sin θ 2 2 接著 AB 對稱 BC 得 CA, 因為 R X= 定值, 使 θ 與之相符 極座標方程 : r=y 2(R x)sin θ = x cos θ 2R cos θ R 2 x 2 sin θ 2 r= x 2R cos θ R2 x 2 sin θ 2 極座標原點 ( R 4x,0) 同理 () 假設 OB = x BC =y OC = R CBD = θ y = xcos θ + R 2 x 2 sin θ 2 (2) 接著 AB 對稱 BC 得 CA, 因為 R+X= 定值, 使 θ 與之相符 極座標方程 : r=y 2(R+x)cos θ = xcos θ 2Rcos θ+ R 2 x 2 sin θ 2 r= x 2R cos θ+ R2 x 2 sin θ 2 () 極座標原點 ( R+4x,0) 從以上所得之極座標方程, 我們和蚶線極座標方程 : r = a cos t + b 比較, 因為 類蚶線存在 R2 x 2 sin θ 2 中角度的影響, 在 x=0 時, 角度的影響會消失並 可將 R 併入前項, 此時圖形即為蚶線, 在 x 0 圖形並不是蚶線, 而是我們所 命名與蚶線圖形極為相似的類蚶線, 而且在 R x 時, 圖形會越近似蚶線 6
( 四 ) 反推心臟線之基圓 : 2 作法: 軌跡上取與 x 軸相交之點, 由於根據蚶線的定義知, = 2acos θ +, 最右方為極座標原點, 中間座標與原點距離為 (2a-k), 左方則為 (2a+k), 若為心臟線時,2a=k, 即中間點與右方點重合 作圖得 2a 跟 k, 再由蚶線的作圖法得到以此定義出的蚶線, 與原探討的軌跡相異不大 ( 上圖 ) 紅綠色線段為 G 2 之軌跡, 紫色軌跡為反推基圓所得之心臟線圖形 7
三 B 點不位於 x 軸上但在單位圓 O 上,C 點在圓 O 上繞行 ( 一 )G,G,G 2,G 之軌跡為圓形 ( 二 ) 證明 G,G,G 2,G 軌跡為圓形 : 證明 : 分三次對稱, 重心 G 座標為圓心加上三分之一的 OA 向量 OB 向量 OC 向量, 其中 A 為動點,O 對 AC 對稱得 O, 又 CO //AO, 故 O 軌跡亦為圓 而三分之一的 OA 向量對 AC 對稱得 故 O A 只造成 O 軌跡圓平移 8 恆平行 OC ( 因四邊形 OAO C 為菱形 ) O A
又最後剩下三分之一的 OB 向量, OC 向量 ( 即三分之一 OB ) 對 AC 對稱, 因 B,C 為定點故向量不變, 當 A 沿著圓 O 移動時,( 不失一般性, 設逆時針走 ) 則 ACO 減少 θ, OB 對稱後的向量逆時針旋轉 2θ, 而 OA 亦逆時針旋轉 2θ, 且 //AO CO, 故加上 OB 對稱後的向量後仍旋轉對稱, 即為圓, 證畢 上圖中, 顯然可見 OB 對稱後的向量 O B " 與 CO 恆夾一角度, ( ) 但此圖未取其向量之三分之一以方便說明 9
參 結論 一 當 A,B 兩點固定時, 一點 C 繞著一圓之圓周移動, 其重心 G 及分別對 AB,AC 對稱所 得的兩點 G,G, 其軌跡皆為圓形, 且重心 G 與 G 之軌跡圓全等 二 當 A,B,C 三點共圓時, 重心 G,G,G 2,G 之軌跡皆為圓形, 且重心 G 與 G 之軌跡 圓全等,G 2,G 之軌跡圓全等 三 當 B 點位於 x 軸上且在單位圓 O 內,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡為類蚶線 四 當 B 點位於 x 軸上且在單位圓 O 外,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌 跡為弦月線 五 當 B 點不位於 x 軸上且在單位圓 O 內,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡為偏類蚶線, 但此類蚶線和前述所提及之稍有不同, 因為受到 AB,x 軸夾角影響, 造成軌跡上下不對稱的偏類蚶線 六 當 B 點不位於 x 軸上且在單位圓 O 外,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡大多為偏弦月線, 因為受到 AB,x 軸夾角影響, 造成軌跡除了上下不對稱的偏弦月線外, 還有過度內偏而產生軌跡相交的情形 肆 引註資料 一 趙文敏 何謂心臟線 科學月刊第二十一卷第五期 (2000) 二 數學知識 - 蚶線 :http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_2_07_/index.html 三 阿波羅尼奧斯 圓錐曲線論.. ( 卷 Ⅰ-Ⅳ) 陝西科學技術出版社 (2007) 四 張景中 彭翕成 繞來繞去的向量法 科學出版社 (200) 五 左銓如 初等解析幾何研究 九章出版社 (200) 0