第三节能量量子化 声子 学习内容 : 33 能量量子化 33 声子
晶格振动 格波 简谐 近似 独立的振动模式 由 B--K 边界条件 分立值 晶格振动能量量子化 声子
33 能量量子化声子 33 能量量子化 一维单原子链的情况 x A, i a 3 3 x, A i a x 由玻恩 - 卡门周期性边界条件 : 可以取 N 个值 x A i a
根据经典力学, 系统的总能量为势能 U 和动能 T 之和 令 H T U m x x x x ia, Nm 则 : T m x U x x, * ia N 0, ' '
x * 证明 : x ia, Nm ia, Nm * * ia x, Nm x ia, Nm X 是实数, x * x *
证明 : ' ' 0, ia N 若, s Na π s Na π h l Na s s Na π π,l,s s 均为整数 iah inah N iah N iah ia N N N N 0 0 0 π π l Na ia l Na ina N, ia N
x m T ia, Nm x i a i a, N T ia, N,, * *
x x U ia a i ia a i Nm ia a i ia a i N m ia ia ia ia ia a i N m
ia ia ia ia ia a i N m, ia ia m a m cos si 4 * a m, ia ia m
广义动量 : L P 哈密顿函数 : P L H 又 : H P 0 k m o x X ma f m x kx 0 x m k x 0 x x 谐振子的振动方程拉格朗日函数 : U T L
由 N 个原子组成的一维单原子链的振动等价于 N 个谐振子 的振动, 谐振子的振动频率就是晶格振动频率 据量子力学, 频率为 i 的谐振子的振动能 : E i i i N 晶格振动能量 : E i i i 三维晶格振动的总能量为 : E N 3 i i i 其中 N 为晶体中的原胞个数, 为每个原胞中的原子个数
晶格振动的能量是量子化的, 能量单位为 格波 晶格振动 的能量量子 ------ 声子 33 声子 声子是晶格振动的能量量子, 其能量为, 准动量 为 声子不是真实的粒子, 称为 准粒子, 它反映的是晶格原子 集体运动状态的激发单元 声子只存在于晶体中, 脱离晶体后 就没有意义了 一个格波 一种振动模式, 称为一种声子 一个, 就是一 种声子, 当这种振动模式处于 i i本征态时, 称为有 i 个声子, i 为这种声子的声子数
3 由于晶体中可以激发任意个相同的声子, 所以声子是玻 色型的准粒子, 遵循玻色统计 i i kbt 4 当电子 或光子 与晶格振动相互作用时, 交换能量以 为单位, 若电子从晶格获得 电子给晶格 能量, 称为发射一个声子 能量, 称为吸收一个声子, 若 在简谐近似下, 声子是理想的玻色气体, 声子间无相互作用 而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞, 正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态
例题一维复式格子中, 如果 m 5 67 0-7 kg M m 4 5 N / m 计算 光学波频率的最大值 o 和最小值 o, 声学波频率 A 的最大值 ; max O E max max O E mi A E max 相应声子的能量, 和 ; mi 3 在 T=300 下, 三种声子数目各为多少? 4 如果用电磁波激发光学波, 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段?
声学波的最大频率 M m 4 5 N / m A m ax 3 0 4 ra d / s 光学波的最大频率 mm m M 0 M O max M 4 5 67 0 rad / s 光学波的最小频率 O mi m 4 60 / rad s
相应声子的能量 E A 0 98 m ax V E O 0 44 m ax V E O 0 3 9 6 m i V
3 某一特定谐振子具有激发能的几率 T k T k B B P / / 根据归一化条件归一化常数 T k / B C P T k / B C P T k / B C T k / T k / B B P
P 频率为 谐振子的平均能量 / T k B ] [ i i 频率为 谐振子的能量 / T k i B i 第 i 个 态的平均数声子玻色统计 T k / T k / B B P P T k / T k / B B
光学波频率的声子数目 O O -8 m ax m ax 4 4 0 E O 0 3 9 6 m i V O O m i m i 4 0-7 声学波频率的声子数目 E A 0 98 m ax V A A m ax m ax 4 93 0-4
4 如果用电磁波激发光学波, 要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段? 对应电磁波的能量和波长 E O 0 44 m ax V 8 m 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段 Nar IfrardNIR
34 离子晶体的长光学波 声学波中, 相邻原子都沿同一方向振动光学波中, 原胞中不同的原子相对地作振动波长 原胞的线度 长波近似 波长很长的光学波 : 长光学波 波长很长的声学波 : 长声学波 长声学波代表原胞质心的振动 长光学波表示原胞中相邻原子做反位相振动 正负离子组成的晶体, 长光学波使晶格出现宏观极化
长波极限下, 晶格格波可以看作是弹性波 晶格可以看成是连续介质连续媒质中弹性波的波动方程 : d r, K r, d 其中 方程解的形式 : x y z r, 为拉普拉斯算符 A i r 为波矢量, 方向为波的传播方向 ; 为波的角频率或圆频率 色散关系 : K
长光学波的宏观方程 两种正负离子组成的复式格子 半波长内, 正离子组成的布拉伐原胞同向位移, 负离子组成的布拉伐原胞反向位移 使晶体中出现宏观的极化 长光学波 极化波
原胞中的两个正负离子质量 两个正负离子的位移 M ad M ad 描述长光学波运动的宏观量 原胞体积黄昆方程 W W P M M bw b W M M M M be b E b b P ad E 宏观极化强度和宏观电场强度
离子相对运动的动力学方程 正负离子相对运动位移产生的极化和宏观电场产生的附加极化 静电场下晶体的介电极化 W 恒定电场下 0 W b b E P b b b E
因为 0E P 0 0 E P [ 0 ] E 0 和 P b b b E 比较 [ 0 ] b 0 b b 高频电场下晶体的介电极化电场的频率远远高于晶格振动的频率 P P b W [ b E ] 0 E P b W 0 E [ ] b 0
在长光学波下有 W P bw b W be b E b 0 横长光学波的频率 Lydda-Sachs-TllrLST 关系 T 0 L0 0 光频介电常量 静电介电常量
0, Lo To T 0 L0 0 铁电软模 光学软模 / 有些晶体在某种温度下, 0 0, 0 TO 恢复力消失, 发生位移的离子回不到原来平衡位置, 即晶体结 构发生了改变 在这一新结构中, 正负离子存在固定的位移偶 极矩, 产生了所谓的自发极化 0 TO 相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性, 即弹簧 0 变软 称的振动模式为铁电软模 或光学软模
3 极化声子和电磁声子 晶体中存在长光学纵波 LO 和长光学横波 TO 因为长光学波是极化波, 且只有长光学纵波才伴随着宏观 的极化电场, 所以长光学纵波声子称为极化声子 长光学横波与电磁场相耦合, 它具有电磁性质, 称长光学横 波声子为电磁声子
35 晶格振动谱的实验方法 晶格振动的频率 与波矢之间的关系称为格波的色 散关系, 也称为晶格振动谱 实验方法主要有中子的非弹性散射 X 射线和光的散射 35 中子的非弹性散射 原理 中子与晶体 的相互作用 中子吸收或发射声子 非弹性散射 中子与晶体中声 子的相互作用 散射过程满足能量守恒和准动量守恒
入射中子流 : 动量为 p 能量为 P E M 为中子质量 从晶体中出射的中子流 : 动量为 p 能量为 E P M 由能量守恒和准动量守恒得 : P' M P M P' P K h + 表示吸收一个声子 - 表示发射一个声子
测出不同散射方向上的动量, p P E M 固定入射中子流的动量, ; 中子源 仪器 反应堆中产生 的慢中子流 单色器 准直器 样品 p E 准直器 中子谱仪结构示意图 P M 分析器 布拉格反射产生单色 的动量为 P 的中子 探测器 布拉格反射产生单 色的动量为 P 的中子
美国橡树岭国家实验室 ORNL Oak Ridg Naioal Laboraory 散裂中子源 SNSSpallaio Nuro Sourc 是以加速器为基础的中子源 33
35 光的散射和 X- 射线散射 光的散射 光子与晶体 的相互作用 光子吸收或发射声子 非弹性散射 光子与晶体中声 子的相互作用 散射过程满足能量守恒和准动量守恒 Ω Ω k k K h + 表示吸收一个声子 - 表示发射一个声子
Ω Ω k k K h k 和 代表入射光的波矢和能量, k 和 Ω 代表出射光的波矢和能量 可见光范围, 波矢为 0 5 cm - 的量级, 故相互作用的声子的波矢也在 0 5 cm - 的量级, 只是布里渊区中心附近很小一部分区域内的声子, 即长波声子 布里渊散射 : 光子与长声学波声子的相互作用 ; 拉曼散射 : 光子与光学波声子的相互作用 ;
3 斯托克斯散射 : 散射频率低于入射频率的散射 ; 4 反斯托克斯散射 : 散射频率高于入射频率的散射 X- 射线散射 X 光光子能量 ---0 4 V 声子能量 ---0 V 能量变化很少, 不易测量