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紊量严
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1 發現克卜勒行星定律的清晰方法項武義張海潮姚珩 * 陳鵬仁美國加州大學柏克萊分校數學系國立臺灣大學數學系國立臺灣師範大學物理系日心說中地球並非靜止, 而是隨時在運動中, 但它卻是滿足面積律的一種規則運動, 利用此特性可建立起行星 - 太陽距離與地球 - 太陽距離的數學關係, 配合觀測所得行星環繞太陽之角速率, 能很自然地以運動中的地球發現出其他行星的面積律接著再使用行星繞日的週期性, 即行星 - 太陽距離可表為角度之週期函數, 配合實測的行星角度位置, 可清晰建立起每顆行星之週期函數, 且得知其形式恰為一橢圓方程, 如此便能完成克卜勒當初歷經迂回困頓所獲致的橢圓律我們以相對簡易的幾何三角及代數運算, 描述了行星運動的不變形式, 並指出複雜行星系統的分析關鍵托勒密 (Ptolemy, AD) 的天文學著作至大論 (Almagest) 確立了希臘三角學理論, 並延續了一千多年, 他以本輪均輪的概念, 相當準確的描繪出行星的運動, 一直被大家接受, 以至於被人們視為絕對真理直到哥白尼 (N. Copernicus, 47-54) 以追求數學的和諧與對稱性為理想, 強烈質疑本輪均輪與偏心點的人為運作與複雜性, 建立了同心圓的地動說, 從而開啟了天文學的革命克卜勒 (J. Kepler, 57-6) 深受哥白尼日心理論的啟發, 並全力支持, 終其一生, 進一步提出了以太陽為中心之行星三定律, 確立了現代天文學的行星理論, 更為牛頓 (I. Newton, 64-77) 的動力學奠定了穩固基礎克卜勒的行星橢圓律壹前言西方在柏拉圖 (Plato, B.C.) 前後, 已開始充分的以數學來描述自然現象, 且認為球面幾何是為天文學而生, 幾何學是宇宙學之一部分, 幾何學原理亦為宇宙結構之實體呈現, 故研究幾何學對了解天文學至為重要 ( 克萊因,97) 與面積律發表於 69 年之新天文學 (Kepler, 69) 一書中, 該書相當晦澀難懂, 常以複雜冗長的幾何形式呈現, 而非以現今易懂的數學表示在哥白尼與克卜勒的天文系統中, 地球不再是恆定不動, 使得行星位置的決定也隨著複雜, 但若建立了地球的運動規則 - 即地球的面積律與橢圓律 ( 項武義, 張海潮, 陳鵬仁, 姚珩, * 為本文通訊作者 ), 則地球反而成為描繪其他行星位置 - 8 -

2 發現克卜勒行星定律的清晰方法的重要有用的起點, 與發現其他行星定律的基礎為了讓克卜勒行星定律的根本精神, 重新再現於學子面前, 本文將以新穎的簡易方法, 僅僅利用一般的三角函數及正弦定律, 來發現及探索行星面積律與橢圓律, 讓原本看似不可能被輕易了解的行星定律之發展, 變成清晰親切並讓學習者從中掌握住幾何天文與物理學的緊密關係與分析方法, 實際地體會出重大科學發展事跡裡的豐富內涵, 浸潤在當初偉大科學家發現科學原理的樂趣裡, 並培養出廣闊深刻的科學視野貳火星的面積律火星繞日週期已知為 687. 天或約 687 天, 即每隔 687 天火星會回到在天體中相同的位置, 而地球繞日週期為 65 天, 由於此二行星的繞日週期並沒有公因數, 彼此互質, 表示每經過一個火星年, 當火星回到原來位置時, 所對應的地球位置卻都不相同如圖一, 若 S 表太陽,M 為火星或次火星年的火星位置,E i E 為相隔一火星年所對應的地球位置如此, 太陽火星與兩個地球位置, 可形成一個四邊形 SE i ME, 其中 SE i 和 SE 線段分別代表太陽到地球在兩個不同位置處的距離 ( 簡稱日地距 ), 並以 r i 與 r 表示,SM 線段則代表太陽至火星之距離 ( 簡稱日火距 ), 以表示 E i μ i r i M α i α θ μ E r S 圖一 : 太陽 S 火星 M 與相距一火星年兩地球位置 E i E 之示意圖一太陽到火星的距離若隨機選取地球在 E i 位置的日期為 95 年 5 月日 5 時, 則在 E 位置的日期為 95 年月日 4 時, 其中 E i 與 E 之時間間隔為一火星年 SE i M=μ i 是地球在 E i 位置觀察太陽 S 和火星 M 的夾角, 從觀測所得 ( 可由 MICA, 軟體系統精確計算所建立的天文資料, 來提供與代表 ), 地球在 E i 處時, 火星 M 為 ( 黃道 ) 經度 7.557, 太陽 S 為經度 5.9, 故 μ i = =.656 同理, 地球在 E 位置時至 S 與 M 所張之角度, SE M =μ = =4.4 此處所謂相對於地球的經度, 是天文學家在地球觀測太陽時, 將太陽在天球上的投影點以黃道經度標定以太陽在春分 - 9 -

3 科學教育月刊第 9 期中華民國九十九年六月 ( 月日或日 ) 時, 地球觀察太陽的方向訂為經度, 夏至 (6 月或日 ) 時, 太陽的經度為 9 等等, 不過又因為太陽與地球的位置相差 8, 所以在春分的時刻, 太陽看地球的經度變成 8, 夏至時刻太陽看地球的經度變成 7, 依此類推 ( 圖二 ) 量, 及地球的面積律, 試著尋找出日火距若 E MS=α, E i MS=α i, 由四邊形內角和為 6, 則 μ i +μ +θ+ (α i +α )=6 或 α i = 6 -μ i - μ -θ-α, 令 β=6 -μ i -μ - θ,β 則為一可觀測值, 且 α i =β-α () π+θ 另一方面, 四邊形 SE i ME 可視為由 SE i M 與 SE M 所組成,SM 為共邊, 利太陽 S 用正弦定律, 地球 E θ 春分點 sin i = r i sin i sini sin = sin ri r = sin i sin r sin () (4) 圖二 : 自地球看太陽與自太陽看地球的角度關係圖一中 E i SE =θ 是以太陽 S 為參考點, 觀察地球在 E i E 處所張的角度, 由此觀之, 它似乎為不可觀測量, 但藉上述地球與太陽彼此觀看角度的相對關係,θ 將為可觀測值因為, 若地球在 E i 處觀測到太陽 S 的經度為 5.9, 在 E 處觀測到 S 的經度為 9.47, 則自太陽 S 觀測到地球在 E i 處之經度為 ( ), 在 S 處觀測到 E 的經度為 ( ), 故 E i SE =θ =( )-( ) = =4.48 () θ 值於是可被確定底下將利用 μ i μ 及 θ 此三可觀測且日火距為 sin = sin r (5) 若地球面積律已建立 ( 項武義, 張海潮, 陳鵬仁, 姚珩,), 一如克卜勒在新天文學一書中所完成的前半段工作, 即 r i r = ω ω i (6) 此表示原本難以直接量測出來太陽與不同地球位置的距離比值, 能夠藉著地球在不同位置的角速率 ( 即地球角度對時間的變化大小 ) 之比值推得, 而地球角度的變化在天文觀測中正是能夠天天實測的基本數據因此,r i r 之值可知,μ i μ 也已知, 由式 (4) 可得 sinα i sinα, 設此比值為 k, 即 - -

4 發現克卜勒行星定律的清晰方法 sinα i =k sinα (7) 合併式 () 與 (7), 可得 sinβcosα -cosβsinα =k sinα 兩邊同除 sinα 整理後有 α = k cos cot sin (8) 由於 β 及 k 均為可觀測量, 故 α 亦為一可觀測量代入式 (5), 最後日火距將直接可以日地距 r 表示對於隨意選取五個不同的觀測日期, 由式 (5) 與 (8) 所求得之日火距列於下表一, 其中設 95 年月日的日地距大小 r =r =( 圖三 ) 表一 : 隨意選取五個不同日期計算所得之日火距 ( 括號內日期與無括號日期相差一火星年 ) 日期 μ i μ θ β k α r (95..) ( ) ( ) ( ) (96..4) M E r E i r i E E i r i r S r E r i M E i M 圖三 : 日火距可以日地距 r 來表示, 並以 r =r = 當作標準 - -

5 科學教育月刊第 9 期中華民國九十九年六月二火星的角速率 ω 火星繞日的角速率 ω, 代表火星於某段時間內 ( 如一日內 ) 相對於太陽的角度變化, 它亦無法直接由觀測得知, 必須嘗試尋找它與觀測值的間接關係 M SE =8 - SE M - SM E = =5.887 同理, 對第二天太陽地球與火星所形成之 SE M M M SE M =8 - SE M - SM E = =5.68 E i E i φ 太陽 S 至地球位置 E, 及次日地球位置 E, 所張角度 E SE, 類似圖一中之 θ, b a E c E 可由式 () 及觀測值, 得知 E SE = =.988 所以, 在一日內火星相對於太陽所經過的角度 ( 圖四 ) S 圖四 : 太陽 S 地球 E 與火星 M 在間隔一日後, 所分別形成的四邊形 SE i M E 和 SE i M E 則火星一日內所行經的角度 φ=b+c-a 圖四為間隔一日, 太陽 S 地球 E 和火星 M 所分別形成的兩組四邊形 SE i M E 與 SE i M E 火星每日的角速率 ω 即為火星相對於太陽 S 自 M 移動至 M 所張的角度 φ 在四邊形 SE i M E 中, SE i M SE M 和 E i SE 的角度, 如圖一中之 μ i μ 和 θ, 為可觀測量, 且 E M S 如圖一中之 α, 可由式 (7) 得到對 SE M 而言, 由內角和關係 ( 參考表一 ), φ= M SE + E SE - M SE =b+c-a = =.469 (9) 即為火星在該日的角速率 ω 表二列出火星在表一中所選取五個不同日期, 計算所得之火星角速率 ω 表二 : 對於表一所選取五個不同日期火星角速率 ω 之計算值日期 ω

6 發現克卜勒行星定律的清晰方法三行星面積律行星之面積律意謂行星與太陽連線在相同時間掃過相等面積, 如圖五所示所以面積速率 A = t A = t 式中 ω 是行星繞日的角速率 S θ 圖五 : 地球面積律示意圖故欲發現面積律, 即在檢視 : 不同行星位置至太陽之距離平方, 與在該點所對應的行星角速率 ω 之乘積恆為定值, 即 i ω i = ω () 或者檢視 i 之比值與 ω i ω 之值是否會相等結合表一與表二所提供在不同日期的日火距及火星角速率 ω, 可得 i 與 ω i ω 兩比值 ( 表三 ) A 其中 i 與 ω i 都取 95 年 5 月日的數據為比較標準由表三最後兩行可以看得出來, 火星的 i 之值與 ω i ω 之值幾乎恆等, 相差不超過 %, 代表了由公認的天文觀測資料, 火星確實嚴格遵行著克卜勒面積律, 此為讓人感到振奮, E s E 又不出意外的結果表三 : 五個不同日期火星日火距平方 / i 比值與對應角速率 ω i /ω 比值日期 ω / i ω i /ω 參火星的橢圓律由於火星繞日運轉為週期性運動, 代表日火距為火星與太陽連線角度 ψ 的週期函數而對任一週期函數或其倒數 / 均可以傅利葉級數表示 (Knopp, 996), 即 a a n cosn bn sin n n 茲考慮在最理想情況, 此週期函數足以單角 ψ 的正餘弦項來充分代表 a a cos b sin () 欲確定上式中的 a a 及 b 三個未知係數, 需要三組數據, 形成三元一次聯立方程式後求得 - -

7 科學教育月刊第 9 期中華民國九十九年六月 M 表四 : 依照表一中數據計算所得對應之火星至太陽連線所張之角度 ψ E i E θ S ψ E i θ E M 日期 ψ ( 取 95 年 5 月日火星至太陽連線為角作參考 ) 將 95 年 6 月日,954 年 8 月圖六 : 兩次火星衝之火星相對於太陽的角度變化 ψ 現選取火星 M 在 95 年 5 月日位置作起始參考 ( 如圖六及表一 ), 在 SE M 中, SE M =μ 為可觀測值, S M E =α 為計算值, 可由式 (8) 得知, 並列於表一中, 故 θ =8 -μ - α = = 再次觀測火星 M 在表一中 95 年 6 月日之位置, 同理可得 θ = =8.85 由觀測地球與太陽之相對角度, 也可知地球自 E 移動到 E 所經過的角度 E SE = 8.94, 故 M SM =ψ= E SE +θ -θ = = 4. 若取 M 至 S 的連線為水平軸, 或角, 則 ψ 即為火星在不同位置 M 至 S 連線所張之角度以類似方法, 可求得表一中其他兩天 954 年 8 月 5 日及 956 年月日火星至太陽連線之角度 ψ( 表四 ) 5 日及 956 年月日三天之日火距及對應之火星角度 ψ, 代入週期關係式 (), 有 a a a a cos b sin a cos b sin a cos b 解此三元一次方程組, 得 a =.66, a =-.4, b =.47 sin 因此火星繞日運動距離倒數的週期函數為 = cosψ +.47 sinψ () 為證實上述四個火星位置所建立之此週期函數為一普遍式可再任取五個不同日期, 由數據求得該日期所對應火星至太 - 4 -

8 發現克卜勒行星定律的清晰方法陽所張之角度 ψ, 並列於表五由週期關係式 () 求得其日火距, 與在尋找面 y 積律中所引用之日火距式 (5) 中之比較, 與二值幾乎完全相等, 可證實式 () 所表角度 ψ 之週期函數 / 之正確有效性 a F r ae F ψ x 表五 : 隨意選取五個不同日期, 比較週期關係式所求得之日火距及由式 (5) 利用正弦定律所計算之日火距圖七 : 與 x 軸重疊之橢圓的座標表示日期 ψ ( -)/ (%) y r ψ F ψ x 圖八 : 與 x 軸不重疊之橢圓的座標表示 () 是否會描繪出一橢圓軌道? 若假定橢圓的長軸與座標 x 軸重疊, 則橢圓方程式為 a( e ) r ecos 其中,a 為半長軸長,e 為離心率 ( 圖七 ) (Harris, 998;Lawrence, 97;Symon, 97) 此橢圓方程式亦可寫成其中 ecos A Bcos () r a( e ) A a( e, ) e B a( e ), 如果橢圓長軸與 x 軸不重疊 ( 圖八 ), 則式 ( ) 得改寫成 A B cos A n cos n sin (4) r 此處 n +n =B, = =e - 5 -

9 科學教育月刊第 9 期中華民國九十九年六月式 () 或 () 因此已具備橢圓方程式 (4) 的形式, 可確認火星的確是沿著以太陽為焦點的橢圓軌道運動, 結合此三式, 火星離心率 e 之計算值為 e = a b a 此結果與火星軌道離心率的公認值.9 完全相同, 再次證實火星繞日運動的週期函數與橢圓方程式對等, 且其運行軌道滿足橢圓律對於其他四顆行星 - 木星土星水星金星可完全以相同方法, 發現其面積律與橢圓律 ( 項武義, 張海潮, 姚珩, ), 在此僅再舉木星為例, 描述其所遵循的行星規則肆木星的行星定律一面積律參考圖一與圖二, 木星與太陽之日木距也可由日地距 ( 此處取 96 年 8 月 6 日之值 )r =r 為為參考值則其他隨意選取四個不同日期計算所得之日木距, 同理可由式 (5) 及式 ( 8) 求得, 並列於表六利用圖四關係, 可自木星在表六中所選取不同日期之觀測值, 求得所對應之木星角速率 ω, 如此可檢視 ω 是否為常數, 或 i =ω i ω, 而建立起木星之面積律 ( 如表七所示 ) 表六 : 隨意選取五個不同日期計算所得之日木距日期 μ i μ θ β k α r

10 發現克卜勒行星定律的清晰方法表七 : 任取五個不同日期顯示 / i 與 ω i /ω 幾乎完全相等, 證得木星之面積律日期 ω / i ω i /ω 二橢圓律利用圖六, 選取木星在 96 年 8 月 6 日位置作為起始參考, 在表七中其他三個日期之木星至太陽連線所張之角度, 可與火星類似方法求得, 並列於下表八 = cosψ +.58 sinψ (5) 將此距離關係式計算所得之日木距, 與公認的觀測值相比較, 彼此完全相等 ( 表九 ) 可知此週期函數確實可準確描繪出木星之運動軌跡由於式 (5) 亦為一橢圓軌跡方程式, 如式 (4), 證實木星軌道為一橢圓軌道, 且其離心率 e a b a 與木星軌道離心率的公認值.48 相差無幾, 再次顯示木星的運行軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道, 而滿足行星橢圓律表八 : 依照表六中數據計算所得對應之木星至太陽連線所張之角度 ψ ( 取 96 年 8 月 6 日木星至太陽連線為角作參考 ) 日期 ψ 由日木距週期函數式 (), 可求得木星繞日運動的週期關係式為伍結論我們以地球作為發現各個行星定律的基礎, 只是這個地球並非靜止, 而是隨時在運動中, 但它卻是有規律的運動 - 滿足面積規律, 利用它可建立起行星 - 太陽距離與地球 - 太陽距離的數學關係, 如式 (5) 所示, 配合行星環繞太陽之角速率, 便可很自然的發現其他行星之面積律由於行星繞日週期運轉, 代表行星 - 太陽距離可表為角度之週期函數, 利用觀測的行星角度位置, 及由地球的面積律求得之行星至太陽距離, 而能建立起每顆行 - 7 -

11 科學教育月刊第 9 期中華民國九十九年六月星之週期函數式, 且其形式為一橢圓方程式由此, 不僅可發現描繪行星距離的軌跡式, 且證實此行星軌道是以太陽為焦點的橢圓軌道, 因而確立了行星橢圓律我們以相對簡易清晰的幾何關係三角學及基本代數, 描述了行星運動的不變形式, 讓學子體會如何以有力的數學方法, 來分析複雜但重要的行星系統, 從中尋找出自然現象背後的和諧性與簡潔性, 並以此實例, 奠定與擴展日後邁向數理科學研究的基礎與信心陸參考文獻克萊因 (Klein, M. [97], 98): 數學史數學思想的發展台北 : 九章出版社項武義, 張海潮, 陳鵬仁, 姚珩 (), 重訪克卜勒地球的面積律與橢圓律, 台北 : 數學傳播 ( 已接受 ) 項武義, 張海潮, 姚珩 (): 千古之謎幾何天文與物理兩千年台北 : 台灣商務印書館 Harris, J. an Stocker, H. (998). "Ellipse".8.7 in Hanbook of Mathematics an Computational Science. New York: Springer-Verlag, 9. Kepler, J. ( [69] 99). New Astronomy. New York : Cambrige University Press. Knopp, K. (996). "Perioic Functions." Ch. in Theory of Functions Parts I an II, Two Volumes Boun as One, Part II. New York: Dover, Lawrence, J.D. (97). A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, MICA Multiyear Interactive Computer Almanac ( 美國海軍天文台星體位置計算軟體 ), Version. Symon, R. (97). Mechanics. r e. New York: Aison-Wesley,

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲 -1 圓方程式第章二次曲線 38 二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲線合稱為圓錐曲線因為在平面坐標系中其對應的方程式均為二元二次式