03.tpf

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2 74 品質管理 第 3 章 統計流程管制

3 第 3 章統計流程管制 前言 3.2 統計流程管制之原理 3.3 計量值管制圖 3.4 短流程 SPC 3.5 計數值管制圖 3.6 管制圖之選擇

4 76 品質管理 統計流程管制 (statistical process control, SPC) 之目的為監控流程之狀態, 當發現流程不穩定時可以及時找出異常原因, 在必要時採取適當之矯正行動, 以排除異常 降低流程之變異, 並使製程恢復穩定狀態 因此, 統計流程管制為一預防性的品質管制手段, 比事後的檢驗更能提升產品品質 本章主要針對統計流程管制之原理 計量值管制圖與計數值管制圖做一扼要性的介紹 3.1 前言 品質為提升公司競爭力重要因素之一 品質大師戴明 (W. Edwards Deming) 將品質改善的觀念由 檢驗 拉至 流程管制 此概念說明品質是製造出來的, 而非檢驗出來的 SPC 主張利用統計方法來管制流程並預防缺失的發生 SPC 是一線上 (on-line) 流程品質改善手法, 主要利用分析抽樣樣本資料來判斷流程是否處於穩定狀態, 當發現流程存在異常時, 能適時採取矯正行動將異常原因排除掉, 目的為使流程平均值能符合目標值, 並持續降低流程變異 圖 3.1 說明整個 SPC 執行過程 首先收集產品品質特性數據資料, 之後針對這些數據進行初步分析與評估, 譬如集中趨勢 離散趨勢之估計及檢驗數據是否符合某一假設的機率分配 ( 如常態 卜氏 ) 等 接下來, 診斷流程是否處於穩定狀態, 常用的診斷工具為管制圖 (control chart) 當管制圖發出警訊顯示流程處於不穩定狀態時, 品管人員需找出造成流程發生異常的原因, 之後構思 規劃改善之措施 當決定好改善方案後, 立即採取矯正行動, 以使得相同流程問題不再發生 圖 3.1 SPC 執行過程

5 第 3 章統計流程管制 統計流程管制之原理 流程變異來源 即使流程上擁有高精密度之機器進行生產, 其所生產出來的產品仍存在著變異 (variation) 簡言之, 同一流程條件下所生產出來的產品不可能完全相同 一般而言, 變異的型態包括 : 件內變異 (within-piece variation) 單一組件下之變異 例如同一塊鈑金不同位置上之粗糙度 噴漆厚度不全然相同 件間變異 (piece-to-piece variation) 同一時間內所生產的數個產品之間的變異 例如同時間充填數瓶飲料, 充填量的水準可能都不一樣 時間上之變異 (time-to-time variation) 產品在不同時間下生產所造成之變異 例如刀具磨損造成切削深度不一 製造流程上之變異, 通常係來自於設備 原物料 環境及操作員所造成的差異 從整個變異來源來看, 產品在設計階段受到參數設定之影響, 在製造過程中受到原物料 設備狀況等之影響, 在產品使用階段受到氣溫 電力不穩等因素之影響, 而隨著時間, 產品可能會磨損 老化, 這些種種原因將導致產品產生變異, 並使得品質特性偏離目標值 修華特 (W. A. Shewhart) 將流程變異原因區分為機遇原因 (chance causes) 和可歸屬原因 (assignable causes) 戴明將機遇原因稱為一般原因(com- mon causes) 或系統錯誤 (system faults), 而稱可歸屬原因為特殊原因 (special causes) 或局部錯誤 (local faults) 朱蘭則將流程變異問題分為長期慣常的問題 (chronic problems) 和偶發的問題 (sporadic problems) 分述如下: 機遇原因機遇原因的變異係指原本即已存在於流程上之自然變異, 這些自然變異或背景干擾是由許多微小的 不可避免的原因所累積造成的 當一流程只存在機遇原因所造成的自然變異, 則我們會認定此流程是處於一穩定 (in-control) 狀態 若要減少機遇原因產生的變異, 通常需要對系統作一改變, 所以只能從管理者的角度來指定及進行改變行動, 譬如更換機台設備 更換原物料供應商 重新產品設計等 這些改變

6 78 品質管理 活動通常都需花費較昂貴之成本 可歸屬原因當可歸屬原因存在於流程時, 將造成流程產生較大的變異, 進而導致產品品質不能達到想要的水準 可歸屬原因之發生通常是由某一特殊原因所造成的, 譬如不適當的參數調整 操作員的失誤或不良的原物料等 當一個流程操作中存在可歸屬原因時, 我們認定此流程是處於失控 (out-of-control) 之狀態 若要排除可歸屬原因, 通常可由第一線的管理者進行局部的調整, 例如更換機台零件等, 因此不需花費昂貴之成本 統計流程管制主要目的是用來確認 局部錯誤 的存在, 在很多不合格品產生之前, 即著手進行適當的調整和矯正措施 管制圖為統計流程管制中最被廣泛使用之線上流程監控的工具 管制圖除了可用於尋找可歸屬原因 預防不必要之流程調整外, 也可用於估計流程參數, 決定流程能力及提供有用之流程相關資訊 下節將介紹管制圖之原理 管制圖之判讀及其發展步驟 管制圖原理 1924 年, 修華特發明管制圖, 它是整個流程品質之紀錄, 工程師可依據管制圖判定流程處於穩定或為失控之狀態 管制圖之原理可視為一連續假設檢定 (hypothesis testing) 之過程, 虛無假設中假設流程處於穩定狀態, 而對立假設中假設流程處於失控狀態 表 3.1 為一決策表, 顯示當流程被判定為穩定狀態, 則我們不需進行任何流程調整, 否則將犯型 I 誤差 (type I error), 這會造成流程變異加大 同樣, 當流程被判定為失控狀態, 則我們必須適時採取矯正行動排除異常原因, 使流程再回到穩定狀態, 否則將犯型 II 誤差 (type II error) 表 3.1 決策表 決策 穩定狀態 失控狀態 調整 型 I 誤差 正確決策 不調整 正確決策 型 II 誤差 典型的管制圖如圖 3.2 所示, 包括一中心線 (central line, CL) 和二條管制界限, 即管制上限 (upper control limit, UCL) 和管制下限 (lower control limit, LCL) 當樣本點落於管制界限內且沒有特殊排列, 則判定流程為一穩定

7 第 3 章統計流程管制 79 的流程 反之, 若有樣本點超出管制界限, 則表示流程為一失控狀態 習慣上, 管制圖上之樣本點是依據時間順序繪製其上, 且點與點之間以直線連接 圖 3.2 樣本數或時間 管制圖的一般性模式 (generic model) 可表示如下 (Montgomery, 2005): UCL= +L CL= (3.1) LCL= -L 其中, 表示流程平均值, 表示流程標準差,L 為管制界限係數, 通常以 幾倍標準差 單位來表示 當 L=3, 就是典型的 3 管制界限 從統計觀點來看,L 設定為 3 時, 表示樣本點落於管制界限內之機率為 99.73%, 也即代表管制圖發生假警訊之機率僅為 0.27% 若依此模式(3.1) 所發展出來的管制圖, 我們稱之為修華特管制圖 修華特管制圖可分為兩類 : 計量值管制圖 (variable control charts) 與計數值管制圖 (attribute control charts) 計量管制圖適用於品質特性屬於連續性之數據 ( 例如長度 重量 溫度等 ) 使用計量值管制圖通常會同時監控集中趨勢 (central tendency) 和離散趨勢 (dispersion tendency); 樣本平均值管制圖 (x chart) 是監控集中趨勢最常用之管制圖, 樣本全距 (R) 移動全距 (MR) 及樣本標準差 (s) 管制圖則是用來管制流程變異 計數值管制圖適用於品質特性屬於離散之數據, 例如缺點數 不合格率 報廢率 重工率等

8 80 品質管理 管制圖之判讀 當樣本點超出管制界限, 則表示失控, 但即使所有點都落在管制界限內, 若它們呈現系統性或非隨機性之情形, 則流程仍然可能為一失控狀況 西電手冊 (1956) 建議之區域法則 (zone rules) 如下, 若符合其中一項, 則表示流程失控 一點超出 3 界限 連續兩點超出 2 界限 連續 5 點中的 4 點落於 1 之界限外 連續 8 點的上升或下降 資料呈現不尋常或非隨機式 管制圖呈現非隨機形式, 常見的有循環 混合 層化 趨勢及流程水準的改變等, 分述如下 : 循環模型 (recurring cycle) 如圖 3.3 所示, 即使點均落於管制界限內, 但仍有明顯循環之模型 此情況若發生在監控中央趨勢的管制圖上 ( 如 x chart), 其原因可能是屬於比較系統性之原因, 如溫度或其他定期環境因素的變化 操作員疲勞 量測設備使用順序的不同或定期的機器或作業員正規輪調 若發生在監控離散趨勢管制圖上 ( 如 R chart), 其原因可能為工具磨損或規劃中的預防保養活動等 圖 3.3 循環圖形 混合模型 (mixture) 混合模型如圖 3.4 所示 樣本點幾乎落於管制界限附近, 甚至超出管制界限, 而相對的出現在中心線之樣本點數變得很少 此種現象可能是將源自於兩個不同之流程數據繪製在同一張管制圖上, 或是操作員

9 第 3 章統計流程管制 81 過度調整機械參數所導致而成 圖 3.4 混合圖形 層化模型 (stratification) 相對於混合模型, 層化模型 ( 如圖 3.5 所示 ) 顯示樣本點幾乎集中於中心線附近, 明顯顯示此圖形缺少自然變異 其發生原因可能是管制界限計算錯誤, 因而導致管制界限過寬, 或是抽樣時混合不同之平行流程, 也有可能是由於系統化之抽樣所導致而成 圖 3.5 層化圖形 趨勢模型 (trends) 樣本點朝同一方向連續向上或向下, 如圖 3.6 之左方所示 原因通常為設備逐漸老化 工人疲勞 工人之技能改善或退化及物料品質漂移等

10 82 品質管理 圖 3.6 趨勢圖形 流程水準的改變 (jump in process level) 如圖 3.7 所示, 雖然樣本點均落於管制界限內, 但圖中顯示流程平均值已改變 ( 虛線部分 ) 發生原因可能為外力衝擊流程之結果, 如新的供應商 新的操作員 新的設備 新的技術 方法或程序的改變及檢驗儀器或方法的改變 圖 3.7 流程水準改變 管制圖發展步驟 管制圖之發展可分為以下幾個步驟 : 步驟 1: 決定流程特性值 統計流程管制最大的不成功原因乃是選錯變數 通常我們會選擇容易出現品質問題或對顧客是關鍵的特性值進行監控 步驟 2: 決定抽樣方法 一般來說, 大樣本較容易偵測出流程微小的變動, 然就經濟的考量, 這常常是不可行的, 因此我們傾向於使用小樣本且抽樣頻繁之方式, 特別是在大量製造的工業上 建議每次抽樣之樣本大小為 3~5 個連續樣本, 且通常收集 20~ 至 25 個子群體 (sub-

11 第 3 章統計流程管制 83 group) 當流程的品質穩定( 不合格率很低 ) 時, 可採用小樣本且較長的抽樣間隔 步驟 3: 數據收集 在流程中直接收集大約 100 個起始數據, 用以計算試用管制界限 (trial control limits) 步驟 4: 計算試用管制界限 使用收集之子群體資料計算試用管制界限, 以檢測這段時間內流程是否有失控, 並且評估試用管制界限是否能應用於未來流程之監控中, 通常採用 3 管制界限 步驟 5: 畫出管制圖, 決定管制狀態 將子群體資料畫在管制圖中 落在試用管制界限外及具有特殊排列的點將會被調查和找尋可歸屬原因, 並且採取適當矯正行動以排除異常原因 步驟 6: 計算修正後中心線及管制界限 步驟 5 中, 落在試用管制界限外之點將會被剔除掉, 並且重新計算一組新的中心線及管制界限 ; 這可能會需要數個循環步驟來完成, 直到所有點均落於管制界限內且沒有特殊的排列, 最後可得到修正後管制界限 (revised control limits) 步驟 7: 進行流程管制, 定期修正管制界限 修正後管制界限將被運用於對未來流程之監控 換句話說, 新的資料將會被收集並且拿來跟修正後管制界限做比較 此外, 我們需定期修正管制界限, 可能是每月 每季或是每半年修正一次即可 使用管制圖, 可使流程品質達到持續改善之效果 通常管制圖之用法包含兩個階段 在第一階段 ( 過去資料回溯研究 ), 主要目的是將初始不穩定之流程帶回到穩定之流程, 也就是將造成大幅度偏移之可歸屬原因排除掉, 此時使用修華特管制圖可得到不錯之效果 在第二階段中, 則主要強調流程之 監控 由於糟糕的變異都在第一階段被排除掉了, 所以第二階段主要目的為偵測小幅度之流程偏移, 此時使用修華特管制圖會變得較不敏感 為解決這樣的問題, 可使用適合偵測小幅度變動之管制圖, 如累和 (Cusum) 管制圖或指數權重移動平均管制圖 ( 參閱第 節 ) 等 3.3 計量值管制圖 使用計量值管制圖時, 要同時監控品質特性的集中趨勢與離散趨勢, 圖 3.8 說明其重要性 圖 3.8(a) 為一穩定流程之表現, 大部分產出皆可落於規格界限內 圖 3.8(b) 顯示流程平均值已變動至另一水準, 因此產生較多之不合格品 圖 3.8(c) 中, 即使流程平均值在目標值之上, 但是流程變異變大, 同

12 84 品質管理 樣會產生很多的不合格品 計量值管制圖中, 管制集中趨勢通常使用樣本平均數 (x) 管制圖及個別值 (x) 管制圖 ; 而管制離散趨勢則通常使用標準差 (s) 管制圖 全距 (R) 管制圖及移動全距 (MR) 管制圖 本節將介紹一些常用之管制圖, 包括 x-r 管制圖 x-s 管制圖及 x-mr 管制圖 除此之外, 本節亦介紹專用於偵測小幅度流程偏移之 EWMA 管制圖 圖 3.8 管制集中趨勢與離散趨勢 樣本平均數和全距管制圖 (x-r chart) x-r 管制圖經常使用如表 3.2 所示之表格進行初始數據收集 假設共收集 m 個樣本組 ( 通常 m 為 20 至 25), 而每個樣本組包含 n 個連續抽出之樣本 ( 通常 n 為 3 至 5) 因此, 我們可以分別計算各組之樣本平均數與全距 譬如, 第一組樣本平均數可由下式而得 x 1 = x 11+x x 1n n (3.2) 表 3.2 數據收集表格 樣本組 觀測值 統計量 1 2 n x R 1 x 11 x 12 x 1n x 1 R 1 2 x 21 x 22 x 2n x 2 R 2 m x m1 x m2 x mn x m R m 平均值 x R 而第一組全距 ( 樣本內最大值與最小值之差 ) 可由下式而得

13 第 3 章統計流程管制 85 R 1 =max(x 11,x 12,, x 1n )-min(x 11,x 12,, x 1n ) (3.3) 如此可得 m 組樣本平均數 (x 1, x 2,, x m ) 與全距 (R 1,R 2,,R m ) 進一步分別計算 m 組樣本統計量 (x 與 R) 之平均值 x= x 1+x 2 + +x m m R= R 1+R 2 + +R m m (3.4) (3.5) 其中 x 為 x 管制圖之中心線, 而 R 為 R 管制圖之中心線 x 管制圖之管制界限可由下式而得 UCL=x+A 2 R LCL=x-A 2 R (3.6) A 2 是隨樣本大小 (n) 變化之常數, 可由附錄 B 中查得 R 管制圖之管制界限如下 : UCL=D 4 R LCL=D 3 R (3.7) D 4 與 D 3 是隨樣本大小變化之常數, 可由附錄 B 中查得 x 管制圖主要是用以偵測群組間 (between subgroup) 平均數之變化, 而 R 管制圖則是用於偵測群組內 (within subgroup) 變異之變化 此外, 使用 x-r 管制圖時, 最好先判斷 R 管制圖是否在管制狀態下, 因為若 R 管制圖不在管制狀態下, 代表所得之 R 即不具代表性, 則建構出之 x 管制界限 ( 式 (3.6)) 也就不具代表性 例題 3.1 從某流程中抽取 20 組樣本, 每組樣本有 5 個觀測值, 用來量度某品質特性, 希望建立 x-r 管制圖來管制該流程, 所收集的資料如表 3.3 所示 首先分別計算各組樣本平均數 (x) 與全距 (R), 如表 3.3 之右邊二個欄位 接著, 計算試用管制界限 樣本大小 n=5, 查表 ( 附錄 B) 可得 x-r 管制圖係數 :A 2 =0.577 D 4 =2.115 D 3 =0, 因此 x 管制圖 : UCL=x+A 2 R= = CL=x= LCL=x-A 2 R= =14.007

14 86 品質管理 表 3.3 數據收集 樣本組 觀測值 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x R 平均 x= R=2.535 R 管制圖 : UCL=D 4 R= =5.360 CL=R=2.535 LCL=D 3 R= =0 將樣本點與管制界限繪於管制圖中 圖 3.9 為利用 Minitab 所繪之管制圖, 從圖中可知 x 與 R 管制圖分別在第 6 樣本點與第 19 樣本點超出管制界限 因此必須將此兩個樣本點剔除, 並重新計算管制圖中心線與管制界限 修正後管制圖如圖 3.10 所示, 可知 x-r 管制圖都在管制下, 因此所得之修正後管制界限可用於對未來流程之監控

15 第 3 章統計流程管制 87 Sample Mean Observation UCL= X= LCL= Sample Range Observation UCL=5.360 R=2.535 LCL=0 圖 3.9 初始 x-r 管制圖 Sample Mean Sample Range Sample Sample UCL= X= LCL= UCL=5.110 R=2.417 LCL=0 圖 3.10 修正後 x-r 管制圖

16 88 品質管理 樣本平均數和標準差管制圖 (x-s chart) x-s 管制圖之使用時機為當樣本大小 nù10 及欲偵測小幅度流程變動時 表 3.4 說明了對於小樣本 (nø6), 利用 R 估計流程, 可得不錯之效果 但是, 當 nù10, 全距估計效率相對的喪失許多 傳統上,R 管制圖較受廣泛使用, 因為容易計算, 但因電腦的普及化,s 管制圖相對變的重要 因此, 本節將介紹 x-s 管制圖之使用方法 表 3.4 全距估計流程標準差之相對效率 (Montomery, 2005) 樣本大小相對效率 假設每次抽樣樣本大小為 n, 則樣本標準差之定義為 s= n i=1 (x i -x) 2 n-1 (3.8) 同樣可得 m 組樣本標準差 (s 1,s 2,,s m ), 進ㄧ步取其平均值可得 s= s 1+s 2 + +s m m (3.9) 上式所得之 s 為 s 管制圖之中心線, 而其管制界限可由下式所得 UCL=B 4 s LCL=B 3 s (3.10) 其中,B 4 與 B 3 是隨樣本大小變化之常數, 可查附錄 B 而得 x 管制圖中心線為 x( 如式 (3.4)) x 管制界限為 UCL=x+A 3 s LCL=x-A 3 s (3.11) 其中,A 3 為隨樣本大小變化之常數, 可由附錄 B 中查得

17 第 3 章統計流程管制 89 例題 3.2 從某流程中抽取 20 組樣本, 每組樣本有 15 個觀測值, 用來量度某品質特性, 希望建立 x-s 管制圖來管制該流程, 經整理計算後的統計量資料如表 3.5 所示 表 3.5 建構 x-s 管制圖之資料 樣本組 統計量 x s 平均 x= s=1.889 x 與 s 分別計算如下 : x= =

18 90 品質管理 s= = 本例之樣本大小 n=15, 查附錄 B 得 x-s 管制圖係數 :A 3 =0.789 B 4 =1.572 B 3 =0.428, 因此計算試用中心線與管制界限如下 : x 管制圖 : s 管制圖 : UCL=x+A 3 s= = CL=x= LCL=x-A 3 s= = UCL=B 4 s= =2.969 CL=s=1.889 LCL=B 3 s= =0.809 將樣本點與管制界限繪於管制圖 圖 3.11 為利用 Minitab 所繪之管制圖, 圖中顯示流程處於管制狀態 因此, 此試用管制界限可用於對未來流程之監控 Sample StDev Sample Mean Observation Observation UCL= X= LCL= UCL=2.969 s=1.889 LCL=0.809 圖 3.11 x-s 管制圖

19 第 3 章統計流程管制 個別值和移動全距管制圖 (x-mr chart) 此節將介紹當 n=1 時之管制圖發展 此管制圖適用於許多情況, 如使用自動化檢測設備逐一檢測每一產品, 或是生產速率低之流程 ( 化工 煉油等產業 ) 個別值和移動全距(moving range) 管制圖主要是利用 連續兩個觀測值 的移動全距 MR i = x i -x i-1 來估計流程 換句話說, 是利用 MR= n MR i 來取代 x-r 管制圖中之 R n-1 因此, 移動全距管制圖 (MR chart) 之中心線與 3 管制界限如下 : i=2 UCL=D 4 MR CL=MR (3.12) LCL=D 3 MR 其中 D 4 =3.267 D 3 =0 為查附錄 B, 樣本數 n=2( 連續兩個觀測值 ) 所得之數值 個別值管制圖 (x-chart) 之中心線及 3 管制界限可由下式而得 : 其中,d 2 =1.128 為查附錄 B, 樣本數 n=2 之數值 UCL=x+3 MR d 2 CL=x (3.13) LCL=x-3 MR d 2 例題 3.3 某化學流程資料取得不易, 每次抽樣只有 1 個樣本值, 共得 20 個樣本, 如表 3.6 今計算每個樣本移動全距統計量 MR i = x i -x i-1, 如表 3.6 中之最右一欄位 樣本平均數 (x) 與平均移動全距 (MR) 計算如下 : 因此, 試用中心線與管制界限為 x= = MR= =

20 92 品質管理 表 3.6 建構 x-mr 管制圖資料 樣本 i x i x i-1 MR i = x i -x i 平均 x= MR=1.528 x 管制圖 : MR 管制圖 : UCL=x+3 MR = d = CL=x= LCL=x-3 MR = d = UCL=D 4 MR= =4.994 CL=MR=1.528 LCL=D 3 MR= =0 將樣本點與管制界限繪於管制圖 圖 3.12 為利用 Minitab 所繪之管制圖,

21 第 3 章統計流程管制 93 圖中顯示流程處於管制狀態 因此, 此試用管制界限可用於對未來流程之監控 Individual Value Moving Range Observation Observation UCL= X= LCL= UCL=4.994 MR=1.528 LCL=0 圖 3.12 x-mr 管制圖 指數權重移動平均管制圖 (EWMA chart) 修華特管制圖僅考慮當前時間點觀測值之資訊, 而忽略以往觀測值之資訊 此項缺點導致傳統修華特管制圖通常只適用於偵測大幅變動之流程偏移, 而比較無法有效地偵測小幅度 (ø1.5 ) 之流程偏移 本節介紹一可有效偵測小幅度流程偏移之管制圖 指數權重移動平均 (exponentially weighted moving-average, EWMA) 管制圖 EWMA 管制圖由 Roberts(1959) 所提出, 當時稱為幾何移動平均 (geometric moving-average, GMA) 管制圖 EWMA 之統計量, 定義如下 : z i = x i +(1- )z i-1 (3.14) 其中 x i 表示時間點 i 之觀測值 ; 稱為平滑參數 (smoothing parameter) 或加權參數 (weighting parameter), 其範圍為 0< ø1 z i 之起始值可為流程目標值, 即

22 94 品質管理 當 0 未知, 可以樣本平均數取代之, 即 z 0 =x 將式 (3.14) 展開如下 : z 0 = 0 (3.15) z i = x i +(1- )[ x i-1 +(1- )z i-2 ] = x i + (1- )x i-1 +(1- ) 2 z i-2 (3.16) = x i + (1- )x i-1 + (1- ) 2 x i-2 + (1- ) 3 x i-3 + 由上式可知,EWMA 乃是針對不同時間點之觀測值給予不同之權重而後再進行加總, 當延遲期數越多之觀測值, 所給予之權重值越少 EWMA 可視為所有過去及當前觀測值之加權值, 因此觀測值不需受常態性假設之限制 假設觀測值 x i 為獨立隨機變數, 其變異數為 2, 依式 (3.16) 可推導出 z i 之變異數為 因此,EWMA 管制圖的中心線及管制界限為 2 z i = (2- ) [1-(1- )2i ] 2 (3.17) UCL= 0 +L ( 2- ) [1-(1- )2i ] CL= 0 (3.18) LCL= 0 -L ( 2- ) [1-(1- )2i ] 其中 L 表示管制界限係數 EWMA 管制界限隨時間點 i 而變動, 當時間點 i 趨近無窮大 (i ) 時, 則 1-(1- ) 2i 會趨近於 1, 而式 (3.18) 將近似為一組固定的管制界限, 如下 : UCL= 0 +L ( 2- ) CL= 0 (3.19) LCL= 0 -L ( 2- ) EWMA 管制圖之偵測能力受到與 L 之選擇而影響 Montgomery (2005) 指出, 當值介於 0.05ø ø0.25 時,EWMA 管制圖比起傳統管制圖易於偵測出小幅度流程偏移 ; 而 =0.05 =0.10 及 =0.20 為常用之值 當所設定之值較小時 ( ø0.10), 則 L 建議使用 2.6øLø2.8 當所設定之值較大時 ( ù0.25),l=3 為不錯之選擇 Lucas 與 Saccucci(1990) 針

23 第 3 章統計流程管制 95 對 與 L 之組合選擇已做一深入之研究, 有興趣之讀者可閱讀參考 例題 3.4 某化學流程生產化學溶液, 依歷史資料得知此溶液之濃度平均值為 0 =9, 標準差為 =1 今自流程中抽取 30 個觀測值, 每次抽樣抽取一個樣本, 其數據如表 3.7 所示 EWMA 管制圖之參數設定為 : =0.10 與 L=2.7 表 3.7 例題 3.4 之化學溶液資料 樣本 x i z i UCL LCL

24 96 品質管理 底下說明計算過程, 以第 1 個樣本 x 1 =8.45 為例, 其 EWMA 之值計算如下 : z i = x i +(1- )z 0 =0.1(8.45)+0.9(9)= 其所對應之 UCL 與 LCL, 分別計算如下 : 與 UCL= 0 +L ( 2- ) [1-(1- )2i ] =9+2.7(1) ( 2-0.1) [1-(1-0.1)2(1) ]= LCL= 0 -L ( 2- ) [1-(1- )2i ] =9-2.7(1) ( 2-0.1) [1-(1-0.1)2(1) ]= 其他時間點之資料, 可依此類推進行計算, 結果列於表 3.7 由式(3.19) 可知, 當時間點 i 增大時, 上 下管制界限將分別收斂於 9.62 與 8.38, 讀者可由表 3.7 觀察之 圖 3.13 顯示 EWMA 管制圖監控之結果 由此圖可知, 第 28 個觀測值超出管制界限, 表示此流程存在可歸屬原因 圖 3.13 例題 3.4 之 EWMA 管制圖

25 第 3 章統計流程管制 97 例題 3.5 本例題主要用以比較個別值管制圖 (x chart) 與 EWMA 管制圖之偵測能力 自某流程中抽取 30 個樣本, 如表 3.8 所示 已知前 20 個觀測值為自平均數 0=3.5, 標準差 =0.5 之母體抽取而出 假設母體平均數已偏移至 1=4.0, 即流程偏移 1 ( 小幅度流程偏移 ); 而後 10 筆乃抽自此平均數已經偏移之母體 表 3.8 例題 3.5 之觀測值 樣本 x i z i

26 98 品質管理 首先利用 x i 建構個別值管制圖, 如圖 3.14 所示 由圖可知個別值管制圖並無法有效偵測出流程發生異常 另一方面, 利用 =0.2 及 L=2.8 建構 EWMA 管制圖, 其監控結果如圖 3.15 所示 由此圖可知 EWMA 管制圖於第 26 個時間點即可偵測出流程發生偏移 因此, 針對小幅度之流程偏移,EWMA 管制圖比傳統修華特管制圖要更具有偵測能力 圖 3.14 例題 3.5 之個別值管制圖監控結果 圖 3.15 例題 3.5 之 EWMA 管制圖監控結果

27 第 3 章統計流程管制 短流程 SPC 1978 年, 大維博施 (Davis Bothe) 於通用汽車 (General Motors) 擔任可靠度工程師一職, 在 少量多樣 的製造環境中, 他發現傳統修華特管制圖無法使用 針對此問題, 他於 1985 年致力於發展短流程 SPC(short run SPC) 之方法, 用以克服傳統管制圖僅適用於大量生產流程之問題 目前短流程 SPC 已納入美國國家標準 ( 文號 DAAA08 88M 7649) 當產品批量過小, 管制界限很可能在求出之前生產即已結束, 這種情形最常發生在零工 (job shop) 生產與推行剛好及時 (just-in-time) 系統的企業中 在短流程生產型態中, 生產之產品種類極多, 而若要對每一產品繪製一張管制圖常是不具效率的 本節將介紹幾種適用於短流程 SPC 之方法, 包含規格管制圖 (specification chart) 離差管制圖(deviation chart) Z-W 管制圖 Z-MW 管制圖 前置管制圖 (precontrol chart) 及允差比例前置管制圖 (percent tolerance precontrol chart) 規格管制圖 規格管制圖 (specification chart) 乃利用規格界限來計算管制圖之上 下管制界限, 其步驟如下 : 步驟 1: 給定上規格界限 (USL) 下規格界限(LSL) 及 C p 值 ( 參閱第 節 ), 則母體標準差, 可以下式計算而得 : 步驟 2: 依據所得之, 分別建立下列管制圖 : 集中趨勢管制圖 : = USL-LSL 6C p (3.20) UCL=x 0 +A CL=x 0 LCL=x 0 -A 其中 x 0 表示規格中心值 ( USL+LSL ),A 可由附錄 B 查表而得 2 離散趨勢管制圖 : UCL=D 2 CL=d 2 LCL=D 1

28 100 品質管理 其中,D 2 d 2 和 D 1 可由附錄 B 查表而得 例題 3.6 某飛機零件需進行鑽孔作業, 每批包含 4 個零件, 若其零件口徑規格要求為 25.00±0.12mm 由歷史資料得知, 此流程能力 C p =1, 則其母體標準差為 = USL-LSL = =0.04 6C p 6(1) 建構管制圖如下 : UCL x =x 0 +A = (0.04)=25.06 CL x =x 0 =25.00 LCL x =x 0 -A = (0.04)=24.94 UCL R =D 2 =(4.698)(0.04)=0.19 CL R =d 2 =(2.059)(0.04)=0.08 LCL R =D 1 =(0)(0.04)=0 因為沒有充分的數據, 實際的 C p 值為未知 ; 上面所計算出的界限其實是一流程的最大狀況, 亦即是以拒絕界限 (reject limits) 來表現 但, 因所計算之管制界限比規格界限要來的窄, 此有利於流程之監控, 也就是說當產品變成不合格品 ( 超出規格界限 ) 之前, 規格管制圖即可事先反映出流程之異常狀態, 並採取矯正之行動, 以預防大量不合格品之產生 當有觀測值超出管制界限時, 顯示此流程可能存在可歸屬原因 (assignable causes), 或表示流程能力不足 (C p <1) 離差管制圖 離差管制圖 (deviation chart) 乃利用觀測值與參考點 (reference point) 之 差 來建構管制圖, 而此參考點可為名目值 (nominal value; 通常為規格中心值 ) 或目標值 (target value) 因此, 離差管制圖又稱為名目管制圖 (nominal chart) 或目標管制圖 (target chart) 離差管制圖之實施步驟如下 : 步驟 1: 計算觀測值與名目值 ( 或目標值 ) 之離差, 離差 = 觀測值 - 名目值 步驟 2: 利用所得之離差, 再依傳統管制圖方法計算管制界限 若樣本大小

29 第 3 章統計流程管制 101 為 1, 則可使用 x-mr chart; 若樣本大小為 n, 則使用 x-r 管制圖 請注意, 利用離差所建構之 x 或 x 管制圖, 其中心線通常設為 0 例題 3.7 某機台生產二種不同料號 (A B) 之真空管, 其口徑之目標值分別為 及 每產品各生產 10 批, 每批批量大小為 3, 所得原始數據及計算出之離差和相關監控統計量, 如表 3.9 所示 表 3.9 離差管制圖之數據 批量 產品 目標量測值離差 x R 1 A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B x= ( )+( )+ +( ) =

30 102 品質管理 R= = 查附錄 B 表 V, 得 A 2 =1.023 D 4 =2.575 D 3 =0 計算 x 管制圖如下 : 計算 R 管制圖如下 : UCL=x+A 2 R= CL=x=0 LCL=x-A 2 R= UCL=D 4 R= CL=R= LCL=D 3 R-A 2 R=0 圖 3.16 為利用離差所建立之 x-r 管制圖 由圖可看出此流程處於穩定狀態 圖 3.16 離差 x-r 管制圖

31 第 3 章統計流程管制 103 由上例可知, 利用離差管制圖可將具不同目標值之產品數據繪製於同一張管制圖上 但, 欲使用此法時, 各不同產品之流程變異必須是相近的, 而此可以下式作為判斷之準則 : R product R total ø1.3 (3.21) 其中,R product 表示某一特定產品的平均全距,R total 表示全部產品的平均全距 當各產品之流程變異太大時, 可使用 Z 或 Z 管制圖 例題 3.8 承上之例題, 得知 R= 分別針對產品 A 與 B, 計算其平均全距 : 則, R A R total =0.9626ø1.3 與 同一張離差管制圖上為恰當的 R A = = R B = = R B R total =1.0543ø1.3 此表示將 A B 兩產品繪製於 Z-W 管制圖 Z-W 管制圖非常適用於短流程 SPC, 其中 W 管制圖可由 R 管制圖延伸而出 假設有一穩定流程, 其所計算出之全距需落於管制上 下界限之內, 也即 將上式同時除以 R, 可得下式 : LCL R <R<UCL R D 3 R<R<D 4 R (3.22) D 3 < R R <D 4 (3.23) 以 R 的目標值 (R target ) 取代上式的 R, 則 W 統計量如下所示 : W= R R target (3.24) 由上式可知,W 的期望值為 1, 因此 W 管制圖之中心線為 1, 且上管制界限為 D 4, 下管制界限為 D 3 圖 3.17 顯示一 W 管制圖

32 104 品質管理 圖 3.17 W 管制圖 Z 管制圖可由 x 管制圖延伸而出 假設有一穩定流程, 其所計算出之 x 需落於管制上 下界限之內, 也即 將上式同時減掉 x, 並除以 R 得 LCL x <x<ucl x x-a 2 R<x<x+A 2 R (3.25) -A 2 < x-x R <A 2 (3.26) 以 R 的目標值 (R target ) 取代上式的 R, 並以 x 的目標值 (x target ) 取代上式的 x, 則 Z 統計量如下所示 : Z= x-x target R target (3.27) 由上式可知,Z 的期望值為 0, 因此 Z 管制圖之中心線為 0, 而上管制界限為 A 2, 下管制界限為 -A 2 圖 3.18 為一 Z 管制圖 圖 3.18 Z 管制圖

33 第 3 章統計流程管制 105 上述之 R target 與 x target, 可採用下列方法決定之 : 根據工程人員之經驗法則 根據規格進行計算 : x target = USL+LSL 2 R target = d 2(USL-LSL), 其中 d 6C 2 可由附錄 B 查表而得 p 根據歷史資料進行計算 : x target = m x i i=1 m, 其中 m 表示抽樣次數 R target =d 2 ( s C 4 ), 其中 s= s 1+ +s m m 錄 B 查表而得 表示平均標準差,c 4 與 d 2 可由附 例題 3.9 CNC 車床加工三批零件, 每批量大小為 3 依工程師經驗得知, x target =6.25 與 R target =0.10 今使用 Z-W 管制圖進行監控, 經收集數據並計算相關之統計量如表 3.10 所示 表 3.10 Z-W 管制圖之數據 批量 x 1 x 2 x 3 x R Z W 在表 3.10 中, Z 1 = x 1-x target = =-0.20 R target 0.10 Z 2 = x 2-x target = =0.4 R target 0.10 Z 3 = x 3-x target = =0.80 R target 0.10 W 1 = R 1 = 0.06 R target 0.10 =0.6 W 2 = R 2 R target = =1.6

34 106 品質管理 W 3 = R 3 R target = =0.3 每批量大小為 3, 查附表錄 B 可得 A 2 =1.023 D 4 =2.575 與 D 3 =0 圖 3.19 顯示所建立之 Z-W 管制圖 圖 3.19 Z-W 管制圖 Z-MW 管制圖 由上節可知,Z-W 管制圖是由 x-r 管制圖延伸而出 同樣地, 當批量大小為 1 時,Z-MW 管制圖可由 x-mr 管制圖延伸而出 Z 值之計算如下 : 而 MW 表示 Z 之移動全距 (moving range), 如下 : Z= x-x target R target (3.28) MW i = Z i -Z i-1 (3.29) 3 Z 管制圖之中心線為 0, 上管制界限為 = 3 d =2.66, 下管制界限為 -3 = -3 d = 2.66 MW 管制圖之中心線為 1, 上管制界限為 D 4 =3.27, 下管

35 第 3 章統計流程管制 107 制界限為 D 3 =0 例題 3.10 某零件進行長度加工, 其批量大小為 1 依工程師經驗得知 x target =40.0 與 R target =0.6 量測四個加工件, 得 x 1 =40.6 x 2 =41.5 x 3 =39.2 與 x 4 =40.0 計算相關之統計量如表 3.11 所示 表 3.11 例題 3.10 之數據 批量 x Z MW 在表 3.11 中, Z 1 = x 1-x target = =1.00 R target 0.6 Z 2 = x 2-x target = =2.50 R target 0.6 Z 3 = x 3-x target = =-1.33 R target 0.6 Z 4 = x 4-x target = =0 R target 0.6 MW 2 = Z 2 -Z 1 = =1.50 MW 3 = Z 3 -Z 2 = (-1.33)-2.50 =3.83 MW 4 = Z 4 -Z 3 = 0-(-1.33) =1.33 本例所繪製之 Z-MW 管制圖, 如圖 3.20 所示

36 108 品質管理 圖 3.20 Z-MW 管制圖 前置管制圖 前置管制圖 (precontrol chart) 為 Rath & Strong 諮詢顧問公司承接 Jones and Lamson 機械公司計畫所獲得之研究成果 1954 年,Satterthwaite 首度整理 Rath & Strong 之技術報告並對前置管制圖作一詳細之描述 以下為建立前置管制圖之步驟 : 步驟 1: 確認流程落於規格界限內 C p 值至少要大於 1, 遠大於 1 更好 步驟 2: 將規格中心值設為前置管制圖之中心線 (precontrol center line, PCL) 步驟 3: 將規格寬度平分為四等分, 如圖 3.21 所示 ; 其中 UPCL= USL+PCL 2 為前置管制上限 (upper precontrol limit),lpcl= LSL+PCL 為前置 2 管制下限 (lower precontrol limit) 步驟 4: 利用顏色將前置管制圖分為綠色安全區 黃色警戒區與紅色拒絕區, 如圖 3.22 所示 在標準常態分配前提下, 若規格上限 (USL) 為 3, 規格下限 (LSL) 為 - 3, 則前置管制上限 (UPCL) 為 1.5, 前置管制下限 (LPCL) 為 樣本落於綠色安全區之機率為 Pr(-1.5< Z<1.5) 0.86; 落於黃色警戒區之機率為 Pr(-3<Z<-1.5)+Pr(1.5< Z<3) 0.14; 而落於紅色拒絕區之機率極小

37 第 3 章統計流程管制 109 圖 3.21 前置管制圖界限 圖 3.22 前置管制圖機率分佈圖 前置管制圖之使用包含兩階段 : 起始 (startup) 與量產 (run) 階段 起始階段主要用來確認流程設定之可適性 ; 量產階段主要為前置管制圖之線上 (online) 監控 起始階段圖 3.23 顯示起始階段前置管制之設計準則 於流程設定 ( 操作人員選定 物料選定 機台參數設定等 ) 完成後, 開始抽取樣本, 若連續五個樣本均落於綠色安全區, 其機率為 (0.86) 5 =0.47, 表示樣本誤判之機率已小於 1/2 換句話說, 流程設定出問題之機率不大, 應可進行量產 若所抽取之樣本落於紅色拒絕區, 則應立即重新設定流程參數 若所抽取之樣本落於黃色警戒

38 110 品質管理 區, 則需再增加一個樣本進行檢驗, 此新樣本若再次落於黃色警戒區, 則應立即重新設定流程參數 若此新樣本落於綠色安全區, 需再測試新樣本, 直到連續五個樣本均落於綠色安全區為止, 始可進入量產階段 圖 3.23 起始階段設計準則 量產階段當流程設定完成後, 便進入到量產階段 ( 或稱 frequency testing stage) 如何利用前置管制圖進行線上監控, 以及如何決定抽樣頻率, 成為兩個重要之議題 進行量產時, 可從抽取之連續兩個樣本 ( 假設為 A B) 進行檢驗, 其判斷準則如表 3.12 所示, 詳述如下 : A B 其中有一個落於紅色拒絕區, 其機率極小, 必須立即停止生產, 並探討發生問題之原因, 且需重新回到起始階段做流程設定

39 第 3 章統計流程管制 111 A B 兩樣本落於不同之黃色警戒區, 其機率為 = 發生此情形主要為流程變異過大所致, 此時必須立即停止生產, 並找出導致流程變異過大之原因 A B 兩樣本均落於相同之黃色警戒區, 其機率為 = 發生此情形主要為流程平均值偏離目標值所致, 此時必須立即停止生產, 並重新回到起始階段做流程設定 A B 兩樣本均落於綠色安全區, 其機率為 =0.7396, 表示流程呈現穩定狀態, 可持續進行量產 A B 兩樣本, 其中有一個樣本落於綠色安全區, 另一個樣本落於任一黃色警戒區, 此時仍視流程呈穩定狀態, 可持續進行量產 表 3.12 線上前置管制圖之判斷準則 狀況 有一樣本落於紅區 兩樣本落於不同黃區 兩樣本落於同一黃區 兩樣本均落於綠區 一樣本落於綠區, 另一樣本落於黃區 紅區 A 黃區 A B AB A B 綠區 AB A B B A 黃區 B A AB B A 紅區 A 決策 停止量產 停止量產 停止量產 停止量產 停止量產 停止量產 量產量產量產量產量產 實務上, 通常會根據歷史數據來決定抽樣頻率 Bhote(1988) 提出前置管制圖之抽樣頻率決定準則, 其準則為連續兩次調整時間點之差距除以 6, 如表 3.13 所示 表 3.13 抽樣頻率決定準則 連續兩次調整時間點之差距 抽樣頻率 6 小時 每 60 分鐘 4 小時 每 40 分鐘 2 小時 每 20 分鐘

40 112 品質管理 當僅存在單邊規格時, 可取約佔 3/4 規格寬度 (i.e. 75%) 當作綠色安全區 圖 3.24 顯示一具上規格界限, 且目標值為 0 之流程 圖 3.24 單邊規格之前置管制圖 前置管制圖可應用於短生產週期, 亦可應用於長生產週期 使用前置管制圖, 僅需利用區間 (zone) 方式來判斷流程狀態, 而不必像傳統管制圖需進行平均數 標準差之計算與繪圖 因此, 前置管制圖容易讓操作員了解與現場應用, 為一便利之流程監控工具 然, 由於前置管制圖未將樣本點繪製於圖形上, 因此無法看出流程之非隨機性變動, 也即無法提供診斷可歸屬原因之資訊 最後, 使用前置管制圖之前, 需事先確認 C p 值要遠大於 1 較佳 允差比例前置管制圖 允差比例前置管制圖 (percent tolerance precontrol chart, PTPCC), 由 Vermani(2000) 所提出 此法主要是先計算允差比例, 並搭配前置管制圖之概念來監控流程 假設存在一個別觀測值 x, 首先利用下式進行資料轉換 : x*= x- 目標值 (USL-LSL) 2 (3.30) 其中, 分子部分表示觀測值與目標值 ( 或名目值 ) 之離差 ; 分母部分表示 1/2 規格寬度 因此,x* 表示觀測值與目標值之離差佔用一半規格寬度之比例

41 第 3 章統計流程管制 113 當 x* 之值為正時, 表示觀測值大於目標值 ; 反之, 當 x* 之值為負時, 表示觀測值小於目標值 圖 3.25 為 x* 所對應之前置管制圖 使用 PTPCC 時, 同樣會從流程中抽取連續兩個樣本以進行檢驗, 而其判斷準則與前置管制圖相同 圖 3.25 允差比例前置管制圖 例題 3.11 某磨床加工兩不同料號之零件 Mill-123 之零件從 14:00 加工至 15:00, 而其規格要求為 3.350±0.005 Mill-456 之零件從 16:00 加工至 17:30, 而其規格為 1.500±0.001 所收集之數據及相關統計量計算如表 3.14 所示 表 3.14 例題 3.11 之數據 料號 時間 USL LSL 目標值 x 1 x 2 x* 1 x* 2 14: Mill : : : Mill : : : 以 14:00 所生產之零件為例, x* 1 = x 1- 目標值 = =0.3 (USL-LSL) ( ) 2 2

42 114 品質管理 將上表所計算出之 x* 1 與 x* 2 繪製於圖 3.26 由圖可知,17:30 所生產之兩零件同時落於黃色警戒區, 顯示流程平均值已開始偏離目標值, 此時需立即停止生產並進行流程調整 圖 3.26 例題 3.11 監控結果 3.5 計數值管制圖 上二節主要介紹計量值管制圖, 然在許多情形下, 產品品質特性並非屬於計量型資料, 譬如晶圓表面缺陷數 電路板刮痕數及生產週期內產品報廢比率等 通常, 我們只能將此產品之品質特性區分為合格 (conforming) 與不合格 (nonconforming), 若資料屬於此種特性者, 則我們稱之為屬性資料或是計數型資料 本節將介紹常用之四種計數值管制圖, 包括不合格率管制圖 (p chart) 不合格品數管制圖(np chart) 缺點數管制圖(c chart) 及單位缺點數管制圖 (u chart) 不合格率管制圖 (p chart) 每一產品可能包含數個品質特性, 並由品管人員檢驗其品質特性, 如果有一個或數個品質特性不符合所訂定之規格標準, 則此產品就被稱為不合格品 ( 或不良品 ) 樣本不合格率(p) 定義為隨機抽取 n 個產品, 不合格品數 (X) 對樣本數之比率, 即 p= X n 其中,X 為符合二項式分配之隨機變數 (E(X)=np Var(X)=np(1-p)) 因而可以分別得到樣本不合格率之平均數與變異數如下 :

43 第 3 章統計流程管制 115 E( p)=e ( X n ) =E(X) n = np n =p (3.31) Var( p)=var ( X n ) =Var(X) = np(1-p) = p(1-p) n n 2 假設從流程中抽出 m 組樣本, 則可得到 m 組樣本不合格率 (p 1, p 2,, p m ) 進一步計算此 m 組樣本不合格率之平均, 可得 n 2 p= p 1+p 2 + +p m m (3.32) p 為 p 管制圖之中心線 若每次抽樣樣本大小為 n i (i=1, 2,..., m), 則變動樣本大小之管制界限有下列三種計算方式 : 變動管制界限直接計算, 可得一組變動寬度之管制界限, 如下列之公式 : UCL=p+3 LCL=p-3 p(1-p) n i (3.33) p(1-p) n i 有時下管制界限算出來會有小於 0 之情況, 但因不合格率不可能有負的, 因此, 當下管制界限小於 0 時,LCL 應設為 0 平均樣本數管制界限 取 m 組樣本數之平均, 即 n= n 1+n 2 + +n m m 所示 : 來建構管制界限, 如下 UCL=p+3 LCL=p-3 p(1-p) n p(1-p) n (3.34) 標準化管制界限分別標準化 m 組樣本不合格率 (p i ), 如下 : Z i = p i-p p(1-p) n i (3.35) 此時標準化後之中心線值為 0, 管制上限為 +3, 管制下限為 -3

44 116 品質管理 例題 次抽樣, 每次抽樣樣本大小與不合格開關數資料如表 3.15, 以此資料建立其 p 管制圖, 看其是否在管制狀態? 表 3.15 不合格開關數資料 樣本樣本數不合格數樣本不合格率 i n i X i p i = X i n i UCL LCL 平均 n= p= 變動管制界限 p 管制圖之中心線為 p= = p 管制圖中, 每組樣本變動管制界限為 UCL=p+3 LCL=p-3 p(1-p) = n i p(1-p) = n i 0.209( ) n i 0.209( ) n i 其中 n i 為每組樣本大小, 計算結果如表 3.15 所示 圖 3.27 為利用 Minitab 所繪製之變動管制界限 p 管制圖, 由此圖可知流程處於一管制狀態

45 第 3 章統計流程管制 UCL= Proportioin CL= LCL= Observation 圖 3.27 變動管制界限 p 管制圖 平均樣本數管制界限平均樣本數 n= =100.5, 因此可得一組固定管制界 10 限如下 : UCL=p+3 UCL=p-3 p(1-p) n = p(1-p) n = ( ) = ( ) = 圖 3.28 為 Minitab 繪製之平均樣本 p 管制圖, 顯示流程處於一穩定管制狀態 標準化管制界限利用式 (3.35) 計算各組樣本不合格率之標準值, 計算結果如表 3.16 圖 3.29 為 Minitab 繪製之標準化 p 管制圖, 中心線為 0, 上限為 3, 下限為 -3; 標準化 p 管制圖同樣顯示流程處於一穩定狀態

46 118 品質管理 UCL= Proportioin CL= Observation LCL= 圖 3.28 平均樣本大小 p 管制圖 樣本 i 表 3.16 樣本數 n i 標準化樣本不合格率 樣本不合格率 p i = X i n i 標準值 Z i = p i-p p(1-p) n i

47 第 3 章統計流程管制 UCL=3 2 1 Z i 0 CL= LCL= Observation 圖 3.29 標準化 p 管制圖 不合格品數管制圖 (np chart) 基本上,np 管制圖與 p 管制圖發展原理是相同的, 主要差別在於 p 管制圖可處理不同樣本大小之情況, 而 np 管制圖必須每組樣本大小 n 是固定的 當 n 為固定時, 常使用 np 管制圖, 主因是 不合格品數 比 不合格品比率 更能容易被操作員瞭解 np 管制圖之中心線與管制界限如下 : UCL=np+3 np(1-p) CL=np (3.36) LCL=np-3 np(1-p) 例題 次抽樣, 每次抽樣樣本大小為 100, 不合格在製品數資料如表 3.17, 以此資料建立其 np 管制圖, 看其是否在管制狀態? 平均樣本不合格率 p= =0.177, 則 np 管制圖之中心線與 管制界限為 UCL=np+3 np(1-p)= ( )=29.15 CL=np= =17.7 LCL=np-3 np(1-p)= ( )=6.25

48 120 品質管理 表 3.17 不合格在製品數資料 樣本 樣本大小 不合格品數 圖 3.30 為 Minitab 繪之 np 管制圖, 顯示流程處於一穩定狀態下 30 UCL= Sample Count CL= Observation LCL=6.25 圖 3.30 np 管制圖 缺點數管制圖 (c chart) 某件產品之任何一項品質特性不符合訂定之規格即代表一項缺點 (defect) 因此, 不合格品可能包含一項或累積多項缺點所造成的 譬如, 黑板上有處小刮痕 ( 缺點 ), 並不太影響寫粉筆字之功能, 但是若累積許多刮痕,

49 第 3 章統計流程管制 121 可能黑板即成為一個不合格品 有時, 品管人員不僅對產品是否為合格品感興趣, 而且更想知道它到底有多少的缺點數, 此時即可以使用缺點數管制圖 (c chart) 與單位缺點數管制圖 (u chart) 進行流程管制 其中,c 管制圖是當樣本大小固定不變時, 用來管制每檢驗單位的總缺點數 ; 若樣本大小是變動的, 則利用 u 管制圖管制每檢驗單位的平均缺點數 本節介紹 c 管制圖 假設每檢驗單位之缺點數 X 符合一卜氏分配 (Poisson distribution), 其機率分配為 : f(x=x)= cx e -c x! (3.37) 其中 c 代表每檢驗單位平均缺點數 卜氏分配之平均數與變異數皆為 c (E(X)=Var(X)=c) 蒐集 m 組樣本, 並記錄每組樣本之缺點數 (c 1,c 2,, c m ), 取其平均, 如下 : c= c 1+c 2 + +c m m (3.38) 則 c 為 c 管制圖之中心線 其 3 管制界限為 : UCL=c+3 c LCL=c-3 c (3.39) 若 LCL<0, 則設 LCL=0 例題 3.14 表 3.18 列出觀測 30 個連續晶圓樣本中所觀測到的缺點數, 繪製 c chart, 判斷其是否在管制狀態? 由表 3.18 可知,30 個樣本中共計有 455 個缺點數, 因此 c= =15.17, 其 3 試用管制界限為 UCL=c+3 c= =26.85 LCL=c-3 c= =3.48 圖 3.31 為 Minitab 所繪之初始 c 管制圖 顯示第 5 個樣本點超出管制界限, 因此將此樣本點剔除, 並重新計算中心線及管制界限, 得修正後管制界限為 UCL=c+3 c= =26.14 CL=c=14.66 LCL=c-3 c= =3.17

50 122 品質管理 表 3.18 晶圓表面缺點數資料 晶圓號碼 缺點數 晶圓號碼 缺點數 UCL=26.85 Sample Count CL= LCL= Observation 圖 3.31 初始 c 管制圖 圖 3.32 為修正後管制圖, 顯示所有樣本點均在管制界限內, 因此修正後管制界限可用於對未來流程之監控

51 第 3 章統計流程管制 UCL= Sample Count CL= Observation LCL=3.17 圖 3.32 修正後 c 管制圖 單位缺點數管制圖 (u chart) c 管制圖適用於當分組大小為固定不變之情況 ( 一個檢驗單位 ), 但在許多情況下分組大小並非固定不變, 而可能由數個檢驗單位所組成 譬如, 檢驗一本書錯字數, 假設檢驗單位為 100 頁, 則第一次抽樣可能為 1 個檢驗單位, 下一次抽樣可能為 1.5 個單位 (150 頁 ) 若屬於此情況, 即適用單位缺點數管制圖 (u chart) 進行管制 u 代表每檢驗單位的平均缺點數, 即 u=c n, 其中 n 為檢驗單位數 針對大小各為 n i 的 m 組樣本,u 管制圖之中心線如下 : u= c 1+c 2 + +c m n 1 +n 2 + +n m (3.40) 建構 u 管制圖管制界限有下列三種方式 : 變動管制界限以第 i 組樣本的 3 為基礎, 其變動寬度管制界限為 : UCL=u+3 LCL=u-3 u n i (3.41) u n i

52 124 品質管理 平均檢驗單位數管制界限 取 m 組檢驗單位數之平均, 即 n= n 1+n 2 + +n m m 如下 : 來建構管制界限, UCL=u+3 LCL=u-3 u n u n (3.42) 標準化管制界限標準化各組 u i, 如下 : Z i = u i-u u n i (3.43) 此時標準化後之中心線為 0, 管制上限為 +3, 管制下限為 -3 例題 3.15 在某造紙廠裡, 品管人員以每 100 平方公尺的檢驗單位來檢查紙捲上之缺點數, 表 3.19 為 10 捲紙上的缺點數資料, 建立 u 管制圖進行管制 表 3.19 紙缺點數資料 捲號 紙捲面積 ( 平方公尺 ) 總缺點數 c i 每捲檢驗單位數 n i 平均每檢驗單位缺點數 u i = c UCL LCL i n i 平均

53 第 3 章統計流程管制 125 變動管制界限計算 u 管制圖之中心線 u= c 1+c 2 + +c m n 1 +n 2 + +n m = =3.22 每組變動寬度管制界限為 UCL=u+3 LCL=u-3 u = n i u = n i 3.22 n i 3.22 n i 計算結果如表 3.19 圖 3.33 為 Minitab 所繪製的變動管制界限 u 管制圖 7 Sample Count Per Unit Observation UCL=5.912 CL=3.22 LCL=0.528 圖 3.33 變動管制界限 u 管制圖 平均檢驗單位管制界限計算 n= =4.35, 可得一組固定管制界限如下 : 10 UCL=u+3 LCL=u-3 u n = =5.801 u n = =0.639 圖 3.34 為 Minitab 所繪製的平均檢驗單位 u 管制圖

54 126 品質管理 Sample Count Per Unit Observation UCL=5.801 CL=3.22 LCL=0.639 圖 3.34 平均檢驗單位 u 管制圖 標準化管制界限利用式 (3.43) 標準化各組 u i, 計算結果如表 3.20 圖 3.35 為 Minitab 繪製之標準化 u 管制圖, 管制中心線為 0, 管制上限為 3, 管制下限為 -3 表 3.20 標準化 u i 樣本 i 樣本數 n i 平均每檢驗單位缺點數 n i = c i n i 標準值 Z i = u i-u u n i

55 i 第 3 章統計流程管制 UCL=3 2 1 Z 0 CL= Observatioin LCL=-3 圖 3.35 標準化 u 管制圖 3.6 管制圖之選擇 一般而言, 計量值管制圖比計數值管制圖更能提供更多有用之流程資訊 換句話說, 計量值管制圖之優點在於樣本點之非隨機型態常會顯示出即將發生的流程問題, 因此可以使得在不合格品產生前就可以採取適當的矯正行動 計數值管制圖則不會對即將發生之問題做快速之反應, 除非是流程已有許多不合格品產生, 此時管制圖才會顯現非隨機模型或是有樣本點超出管制界限 因此, 當流程偏移時, 計量值管制圖通常比計數值管制圖需要較小的樣本大小就可偵測出流程偏移 這表示使用計數值管制圖需要大量的樣本, 才能獲得等量的產品品質統計資訊 計數值管制圖之優點在於可以同時考慮某一產品之數個品質特性, 並將之繪於一張管制圖上 若是使用計量型管制圖, 則每個品質特性都必須分開量測, 並分別繪製每一品質特性之管制圖 因此, 計量值檢驗每單位的成本與時間較計數值檢驗來的高 現今市面上有很多商業軟體可幫助繪製管制圖, 顯得十分便利 然而, 選擇正確的管制圖進行流程監控才是重要的 當從流程中所獲得之數據沒有自我相關 (auto-correlated), 圖 3.36 為常用管制圖的挑選流程圖, 可供使用者做為參考

56 128 品質管理 品質特性 不良品 計數型 缺點 計量型 p 或 np 是 固定樣本大小? 固定檢驗單位? 是 c n>1? 否 x-mr 否 否 是 變動樣本大小 p 管制圖 u nù10? 否 x-r 是 x-s 圖 3.36 常用管制圖挑選流圖 (Evans and Lindsay, 2005) 課後習題 某公司使用 x-r 管制圖來管制其一重要流程, 今從流程中抽取 25 組樣本, 每組樣本有 4 個觀測值, 用來量度該流程之品質特性, 所收集的資料如下表 請計算試用的管制中心線與管制界限 ; 如果有樣本點不在管制中, 請予以剔除並計算修正的管制中心線與管制界限 樣本組 x R 樣本組 x R

57 第 3 章統計流程管制 129 R 統計量為用以估計流程變異,R 值應當越小越好, 那為何使用 R 管制圖還需要下管制界限? 當所算出之下管制界限小於 0, 將做何解釋? 使用 x-r 管制圖時, 為何要先觀察 R 管制圖是否在管制狀態下? 當管制界限寬度遠小於規格界線, 是否就不需使用管制圖進行流程監控? 請說明之 某公司已經使用 x-r 管制圖於協助製程的管制, 樣本資料一致地分佈於管制界限內, 同時管制界限也在規格界限之內, 可是顧客仍然抱怨有很高比率的不合格品, 該如何解釋此種現象? 某公司使用 x-mr 管制圖來管制其一重要流程, 所蒐集之數據為 : 4.34, 4.65, 4.40, 4.50, 4.55, 4.69, 4.30, 4.58, 4.71, 4.61, 4.66, 4.46, 4.70, 4.65, 4.61, 4.54, 4.55, 4.54, 4.54, 4.47, 4.64, 4.72, 4.47, 4.66, 4.50 試計算試用的管制中心線與管制界限 ; 是否有發現樣本點不在管制狀態中? 請說明為何傳統修華特管制圖無法有效偵測小幅動之流程偏移? 如何選擇 EWMA 管制圖之參數, 與 L? 參考相關文獻資料, 試推導 EWMA 統計量的變異數, 即式 (3.17) 使用問題 1 之數據, 以 =0.10 決定一 EWMA 管制圖 說明 Short Run SPC 與傳統管制圖之差異 將不同料號之零件繪製於同一張管制圖時, 需符合哪一重要之假設? 假設 n=2, 試決定用 Z-W 管制圖的中心線與管制界限 假設 x target =1.50 與 R target =0.07, 試將下列三組樣本數據繪製於 Z-W 管制圖中, 並觀察是否有樣本點不在管制狀態中 樣本組 x 1 x 使用前置管制圖之前提假設為何? 請解釋不合格品與不良品之差異? 使用下列數據構建 p 管制圖, 計算試用的管制中心線與管制界限 ; 如果有樣本點不在管制中, 請予以剔除並計算修正的管制中心線與

58 130 品質管理 管制界限 樣本組 檢驗數 不合格數 樣本組 檢驗數 不合格數 使用問題 16 之數據構建 np 管制圖, 並計算修正的管制中心線與管制界限 p 管制圖中, 當樣本大小不固定時, 如何決定管制界限? c 管制圖與 u 管制圖之差異? 說明計量值管制圖與計數值管制圖之優缺點