实分析中的不动点定理及其应用

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基湛
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1 Pure Mathematcs 理论数学 Publshed Onlne July 3 ( Fed Pont Theorem n Real Analyss and Its Applcaton * Dan Wan Yan Lu Ja An Kan Yan Anmn Mao School of Mathematcal Scences Qufu Normal Unversty Qufu Emal: maoam@63.com Receved: May 6 th 3; revsed: May 7 th 3; accepted: Jun. 5 th 3 Copyrht 3 Dan Wan et al. Ths s an open access artcle dstrbuted under the Creatve Commons Attrbuton Lcense whch permts unrestrcted use dstrbuton and reproducton n any medum provded the ornal work s properly cted. Abstract: We present a result whch s used to check the estence and unqueness of fed ponts of a real functon. We also ve a multplcty of fed ponts and a method of how to dvde the nterval nto several parts n whch only one fed pont ests. Furthermore we et all the fed ponts va teraton method. Keywords: Fed Pont; Estence and Unqueness; Iteraton Method * 实分析中的不动点定理及其应用王丹刘岩安家杨康毛安民曲阜师范大学数学科学学院曲阜 Emal: maoam@63.com 收稿日期 :3 年 5 月 6 日 ; 修回日期 :3 年 5 月 7 日 ; 录用日期 :3 年 6 月 5 日摘要 : 本文给出一种判断不动点存在唯一性的结论同时给出一个关于多个不动点的存在性定理最后给出一种区间的分法使得在每个小区间上相应函数存在唯一的不动点进而确定出不动点的个数并用迭代的方法求出不动点关键词 : 不动点 ; 存在唯一性 ; 迭代. 引言 f 使方程 f 成立的叫做函数已知函数 f 的不动点不动点是数学分析中有趣的内容同 [] 时在非线性分析领域也有广泛的应用本文将给出不动点定理的存在唯一定理及多个不动点存在性的定理并确定在给定区间上不动点的个数引理. 设函数 f 在 ab 上连续可导若 ab 使得 f 则存在使得 f 在 a b 上存在反函数证明 : 应用数学分析知识容易证得结论成立过程略引理. 设函数 f 在 ab 上可导且存在不动点若对 ab 有 f 则 f 在 ab 上存在唯一的不动点证明 : 采用反证法即证明如果至少存在两个不动点则与 f 在 ab 中不存在导数为的点相矛盾设为 f 的任意两个不动点不妨设 * 资助信息 : 本文得到了曲阜师范大学国家级大学生创新创业训练计划项目 ( 编号 :4463) 的资助 [] Copyrht 3 Hanspub 77

2 王丹等实分析中的不动点定理及其应用方法一 : ) 当 f f时由达布定理得必存在一个导数值为的点 ) 当 f f时显然存在导数值等于的点 3) 当 f f时即 f 且 f 或 f 且 f 情形之一 : 设 f 且 f 令 F f 则 F f 故存在一个很小的使得时 f 同理可证存在一个很小的使得 F 即时 f () 下证存在使得 f 若否则对有 f F F F 即 f 与上面 () 式矛盾故存在使得 f 在使得 f 与已知假设矛盾情形之二 : 设 f 且 f 类似情形之一的证明同样可得矛盾引理.3 设 f Ca b f : ab mn 且 ab mn 在端点处存在邻域 U a U b 域内可导若满足条件 f a a f b b或 f a a f b b 则 fa fb 则可以通过构造新的函数 G mf 把不动点迭代出来称 m 为压缩系数满足 nf b a m M sup f N nf f 其中为 f M N 的不可导点和导数值为零的点设 a b 即知应用达布定理知必存使 f 在邻 f 必有不动点若 a b f f a a f b b F f f a a f b b 引理.4 设 f 是定义在 ab 上的连续可导函数且 f a a f b b 记 A f 若 f 且 f a a f 则在 ab 中不存在不动点证明 : 若 A 令 f 故 ab 单调又 ab 不妨设 a 在 ab 上恒大于零故不存在不动点若 A 由 ab 不妨设 a 反证若在 ab 中至少存在一个不动点记为则 U 又因为 b 所以 b 使得记 nf b 则使得 ( 若否对所以矛盾故存在 ab 使得 ) 因为在 ab 上连续使得矛盾故在 ab 中不存在不动点 A 或 A 对 A 故且不妨设则因为所以. 主要定理及证明定理. 设函数 f 在 ab 上连续可导 f ab ab f a a f b b 记 A f a b 且对 A f 则 f 在 ab 上有有限个不动点证明 : 由定理条件 : f 在 ab 上连续可导 f ab ab f a a f b b 可知至少存在一个不动点 ( 可令 F f 通过连续函数的介值定理立刻可知 F 有零点即为令 f N a b 则 A N 对 N 即 A f 以 N 又 a f aa b f b b 所以 N a b ab 上 f f 的不动点 ) 所 78 Copyrht 3 Hanspub

3 王丹等实分析中的不动点定理及其应用由定义知在 ab 内的零点即为 f 的不动点故只需证在 ab 内有有限个解若不然假设在 ab 内有无穷个解则它们在 ab 内必有聚点设为显然由于 a b 均不为零故 ab 由于 N 所以 N 则由引理知使得在上存在的反函数即在内不存在异于的零点这与是聚点矛盾综上所述在 ab 内只有有限个零点所以 f 在 ab 上只有有限个不动点定义.( 不动点的存在唯一区间 ) 若 f 是定义在 ) 满足边值条件 f a a f bb ; ab 上的连续可导函数 : ) 在区间 ab 中不存在导数为的点则在 ab 上只存在唯一一个不动点称 ab 为不动点的存在唯一区间定理. 若函数 f 满足定理. 的条件则能够给出区间的分法使得在每个小区间为不动点的存在唯一区间并将定理. 确定的有限个不动点在对应区间上一一迭代出来证明 : 由定理. 可知在 ab 上存在有限个不动点以下 A 如定理. 中定义若 A 为空集则 f 存在唯一的不动点若 A 为非空集现给出以一种不动点的存在唯一区间的分法确定出不动点的个数设 B A a b B f aa f B且 a 取 nf B f aa f B且 a sup B 由的取法可知在内不存在使为不动点的存在唯一区间 ) 记 C A a 若 C 为空集或 b C ( 任意 ) 则由引理.4 可知在 b 中不存在不动点所以 b 为不动点的存在唯一区间因此在 ab B 取导数为零的点 ( 容易验证中没有不动点的存在唯一区间则区间的选取结束故只有区间上存在一个不动点若不为空集且 C b C 对 ( 存在不是任意 ) 取 B f f B且 nf B B f f B且 sup B 的取法可知在内不存在使导数为零的点 ( 容易验证为不动点的存在唯一区间 ) 由记 C A a 若 C 为空集或 b 对 C b 中不存在不动点故只有为不动点的存在唯一区间因此在 [ a b ] 上存在两个不动点若不为空集且 b 对 C ( 存在不是任意 ) 按上述过程依次取 C 记 C A a N 由引理. C 不为空集则由引理.4 可知在 B f f B且取 nf B B f f B且 sup B f 在 k 空集或 b C ( 任意不动点由引理.4 知在 3 N 上有唯一不动点因为 f 有有限个不动点故 kn 使得 Ck 为 ) 而 C k N 故只有在 k 及 a 唯一区间所以在每个区间上存在唯一不动点 ) 从而 3 k 满足引理.3 的条件故可用迭代格式将 k 个不动点一一的迭代出 k 3 k 存在唯一的 b 上不存在不动点 ( 每个区间为不动点的存在 f 存在 k 个不动点显然在每个区间 n tn n tng n t t f n n n n n Copyrht 3 Hanspub 79

4 王丹等实分析中的不动点定理及其应用 3. 相关应用 ^6 3 ^5 5 ^4 6 ^3 ^ f 的图像可知求 R 例 : 求 f 在 R 上的不动点解 : 由 f 在上的不动点即求 f 在.6 上的不动点显然 f C f f 9 f 48^^35^4 ^5 令 f 解得 A B 显然 f 所以 f f.6 f B.6 B且.6 满足定理条件则有上述定理的区间分法得到四个区间取 nf B.653 B f.6.6 f B且.6 取 sup B.6 所以第一个区间为进而第二区间第四个区间以下为使用迭代法求不动点的过程程序如下 : Iterate[f n_inteer] := Module[{t = {} temp = } AppendTo[t temp]; For[ = <= n ++ temp = ( - /)*temp + (/) f[temp]; ] AppendTo[t temp]] t 第三区间.6454 又因为在每一个区间上不动点是唯一的所以存在四个不动点 f[_]: = mf()+ Iterate[f k k] 现对第一个区间.6.653应用引理.3 中的公式进行迭代步骤如下 : 第一步 : 打开软件 Mathematca4 出现一个空白窗口将上述程序复制粘贴到该空白窗口内 ; 第二步 : 依次输入参数值 kmk 即将程序中的参数 k 改为.3m 改为.5k 改为 ; 另由 f 故可构造于 f Copyrht 3 Hanspub

5 王丹等实分析中的不动点定理及其应用第三步 : 将程序中的 F() 改为以下函数表达式 : F ^63^55^46^3^ 第四步 : 将光标置于该程序末尾然后键盘操作 : 按下 Shft 键同时按下 Enter 键 ; 则程序窗口内出现迭代数据行最后几行重复出现的数据即为迭代结果 ; 本次迭代的迭代结果为.3437 对第个区间应用引理.3 中的公式进行迭代选取初值 k =.m =.5k = f 由于 f 因此构造 F 迭代结果为对第 3 个区间应用引理.3 中的公式进行迭代选取初值 k = m =.k = 5 由于 f f 因此构造迭代结果为 F 对第 4 个区间.6454 应用引理.3 中的公式进行迭代选取初值 k =.7m =.5k = 由于 f f 迭代结果为.8498 因此构造 F 参考文献 (References) [] 华东师范大学数学系. 数学分析 ( 上下 )[M]. 北京 : 高等教育出版社. [] 郭大均. 非线性泛函分析 ( 第版 )[M]. 济南 : 山东科学技术出版社. Copyrht 3 Hanspub 8

基于VC++6.0和数据库的案例推理认知引擎

基于VC++6.0和数据库的案例推理认知引擎 Hans Journal of Wreless Communcatons 无线通信, 2013, 3, 110-114 http://dx.do.org/10.12677/hjwc.2013.35017 Publshed Onlne October 2013 (http://www.hanspub.org/journal/hjwc.html) Cogntve Engne of Case-Based