(2) p 或 q 簡記為 p q, 亦可稱為析取選言等 p q p q 例 2: 試求解 x 2 4x 3 0 例 3: 試求解 x 2 4x 3 0 ( 三 ) 否定敘述 : 非 p ( ~ p or p ) 一個與敘述 p 具有相反意義的敘述, 叫做 p 的否定敘述 ( 四 ) 使用真值

Size: px

Start display at page:

Download "(2) p 或 q 簡記為 p q, 亦可稱為析取選言等 p q p q 例 2: 試求解 x 2 4x 3 0 例 3: 試求解 x 2 4x 3 0 ( 三 ) 否定敘述 : 非 p ( ~ p or p ) 一個與敘述 p 具有相反意義的敘述, 叫做 p 的否定敘述 ( 四 ) 使用真值"

玺端郁
7 years ago
Views:

1 第一單元 : 邏輯語句及敘述戀練數學 : 簡單的邏輯概念 1. 何謂邏輯邏輯是英文 Logic 之音譯, 而邏者巡也, 輯者集也, 合邏輯兩字以觀之, 含有條理或軌道之意簡單的說, 邏輯就是推理, 是研究推理規律的科學, 推理規律是邏輯的探討對象 2. 語句及敘述推理須經思考, 思考需要藉助語言一般的語句譬如願望句感嘆句或詢問句等不帶有真假意味的語句, 並不是邏輯要討論的對象換句話說, 邏輯著重探討的是能夠明確判斷出真假的陳述句, 非真即假, 沒有模糊地帶, 而這樣一種帶有真假的語句, 我們稱之為敘述例 1: 下列何者為敘述? (A) 5 是 12 的因數 (B) 三角形三內角和為 180 (C) 你好帥啊! (D) 若 x 為實數, 則 x < 0 (E) 化簡 3 4 (2x + 5) + 8x () 火星上有生物 (G) 秦始皇的父親是呂不韋 3. 敘述的種類 ( 一 ) 簡單敘述 : 平行四邊形的對角線互相平分 ( 二 ) 複合敘述 : 或 ( ), 與且 ( ) 將二個或二個以上的敘述, 用一些邏輯連接詞 ( 且, 或 ) 組合成一個更複雜的新敘述, 稱為複合敘述令 p, q 分別表示兩個敘述 : (1) p 且 q 簡記為 p q, 亦可稱為合取連言等 p q p q

2 (2) p 或 q 簡記為 p q, 亦可稱為析取選言等 p q p q 例 2: 試求解 x 2 4x 3 0 例 3: 試求解 x 2 4x 3 0 ( 三 ) 否定敘述 : 非 p ( ~ p or p ) 一個與敘述 p 具有相反意義的敘述, 叫做 p 的否定敘述 ( 四 ) 使用真值表檢驗分配律與狄摩根律 : (1) 分配律 :(i) p q r p p r (ii) p q r p p r p q r q r p q r p q p r p p r (2) 狄摩根律 :(i) ~ p ~ p ~ (ii) ~ p ~ p ~ p q ~ p ~ p ~ q ~ p ~

3 戀練數學 : 簡單的邏輯概念學習單一班級 : 座號 : 姓名 : 1. 下列各敘述何者為真? 何者為假? (1) 33 為 3 的倍數且 33為 3 的倍數 (2) 5 為質數或 15 為質數 (3) 孔子是美國人的否定敘述是孔子是中國人 (4) 等腰直角三角形是等腰三角形或直角三角形 (5) 等腰三角形或直角三角形是等腰直角三角形 2. 下列各敘述之否定敘述為何? (1) a 3 (2) a 3 或 a 3 (3) 0 a 1 (4) a 0 且 b 0 (5) 本班有些人的數學不及格 3. 設 p 表你去台北, q 表我去台中, r 表他去台南試以邏輯符號為組合表出下列各敘述 : 例如, 你不去台北或我去台中 ~ p q (1) 你去台北或我不去台中 (2) 你不去台北或他去台南 (3) 你不去台北而且我也不去台中 (4) 你去台北而且我去台中, 而且他不去台南 (5) 你不去台北或我不去台中, 而且他去台南 4. 莊豐麥莎兩人是魔法學院的警衛兩人之中, 一個從不說真話, 另一個從不說謊話想要進入學院的人, 必須先猜對哪個人說真話哪個人說謊話, 否則不僅會吃到閉門羹, 還會受到嚴厲的懲罰某天, 笑維想要進入學院, 他早已耳聞兩個警衛的特性, 想出對策, 指著麥莎問莊豐說 : 請你幫我問她: 你是說謊的人嗎? 然後告訴我她的答案而莊豐回答說 : 她說是請問 : 你能依此判斷出到底誰是說謊的人嗎? 是誰呢?

4 第二單元 : 條件敘述及命題 p q ( 五 ) 條件敘述 : 若, 則 ; 若且為若, 則 (1) : 若 p, 則 q 此處一般稱 p 為前提, q 為結論例 4: p : 我領薪水 q : 我請客 p q p q (2) : 若且為若 p, 則 q ( 或稱雙向條件敘述 ) p q p q 例 5: 設 ABC 為一三角形, 則 C 90 c a b ( p q) ( ~ p q) ( ~ p),( p q) ( ~ p q), 例 6: 外婆思念我們兄弟媽媽對我和弟弟說 : 你們兩個總是要有人去看外婆我說 : 好吧! 如果不是我去, 就是你去弟弟說 : 如果你去, 那麼我就去問 ; 誰的回話比較符合媽媽的期待! ( 六 ) 推演敘述 : p q 若 p 則 q 例 7: p : 氣象局報告明天會下雨 q : 明天會下雨在例題 7 中, 有 (a) 前提真而結論假之可能 ; 或者 (b) 依據條件敘述的真假定義, 前提假而結論必真以上兩種情況, p 與 q 未必具有必然的推演關係, 也就是說,(a) 由前提 p 之為真想要推出結論 q 必定為真在這裡顯然無效 ; 或者 (b) 前提為假呢, 則相當於甚麼也沒說在推論時, 我們並不希望這樣的情形發生

5 換句話說, 我們希望的是 : 前提為真時, 須保證結論必定為真 ; 或者, 結論為假時, 前提須不可能為真此時, 我們才可以根據前提之為真來判斷結論必定為真這裡我們用記號 p q 表示推演敘述, 雖也具有若, 則形式的敘述, 其真值表僅強調二種情況 ( 前提 p 為假時不予考慮 ) p q p q 敘述再加上邏輯連接詞 : 且 ( ), 或 ( ), 否定 ( ~ ),,,, 等連接起來的複合敘述, 亦可統稱為命題 4. 充分條件必要條件與充要條件 ( 一 ) 充分條件必要條件 : 如果命題 p q 為真成立 ( 即 p 蘊含 q ), 則稱 p 為 q 成立的充分條件, 簡稱 p 為充分條件 ; 而 q 為 p 成立的必要條件, 簡稱 q 為必要條件例 8: 設 xy, 是實數 (1) x 0 是 xy 0 的條件 (2) xy 0 是 x 0 的條件 ( 二 ) 充要條件 : 如果命題 p q 為真成立, 且命題 p 為真亦成立, 則稱 p 為 q 的充分且必要條件 ( 簡稱充要條件 ), 或 q 為 p 的充要條件, 或稱 pq, 互為充要條件 ; 而以符號 p q 表示之 ( 有時或稱 pq, 等價, 用記號 p q表之 ) 例 9: 設 xy, 是實數 (1) xy 0 x 0 或 y 0 (2) xy 0 (3) x 2 y 2 0 (4) x 2 y 2 0 (5) x 2 y 2 0 是 xy 0 的條件

6 戀練數學 : 簡單的邏輯概念學習單二班級 : 座號 : 姓名 : 1. 請填以下真值表以檢驗分配律 : p q r p p r p q r q r p q r p q p r p p r 2. 下列各小題中 p 是 q 的什麼條件? ( 充分必要充要皆不是 ) (1) x 是實數, p : x 1; q : x 2 1 (2) xy, 是實數, p : x y x y ; q : xy 0 (3) xy, 是無理數, p : x y是無理數 ; q : x y是無理數 (4) n 是正整數 : p : n 是偶數 ; q : n 2 是偶數 (5) ABC 中 : p : C 90 ; q : ABC 是鈍角三角形 (6) p : A, B, C 三點滿足 AB BC AC ; q : A, B, C 三點在一直線上 3. 甲乙丙三人每天中午都會到餐廳一起吃午餐已知三人不是吃滷肉飯, 就是吃肉燥麵, 而且 : (1) 如果甲吃滷肉飯, 則乙一定吃肉燥麵 (2) 甲和丙兩人不會同時吃同樣的食物 (3) 乙和丙兩人不會同時都吃肉燥麵請問 : 甲乙丙三人中, 誰有可能昨天吃滷肉飯, 今天吃肉燥麵?

7 第三單元 : p q 命題四態與證明的方法 5. 命題 p q 四態設 pq, 為二敘述, 本命題若 p 則 q : 其逆命題為若 q 則 p 其否命題為若 ~ p 則 ~ q 其逆否命題為若 ~ q 則 ~ p 例 10: x 是實數, 若 x 2 5, 則 x 7 試寫出此命題之逆命題否命題以及逆否命題, 並判斷其真偽一般而言, 本命題為真, 其逆命題未必為真命題四態的相互關係圖形如下 : 互若 p 則 q 互互為逆否否逆逆互若 q 則 p 互否否若 ~p 則 ~q 互逆若 ~q 則 ~p 真值表如下 : p q p q p ~ p ~ q ~ ~ p 其中, 對偶命題 p q與 ~ ~ p互為等價, 即 p q ~ ~ p 6. 推理原則 ( 一 ) 遞移律 : 設 p, q, r 為三敘述, 若二命題 p q, r均是對的, 則 p r亦是對的即若能由 p 推得 q, 又能由 q 推得 r, 則必能由 p 推得 r ( 二 ) 交換律 : p q q p, p q q p ( 三 ) 結合律 : p r q p r, p r q p r

8 ( 四 ) 分配律 : p q r p p r, p q r p p r ( 五 ) 同一律 : p p ( 六 ) 矛盾律 : p ~ p為不可能 ( 七 ) 排中律 : p ~ ( 八 ) 狄摩根律 : ~ p ~ p ~, ~ p ~ p ~ p恆成立 ( 九 ) 由且與或的意義知 : p q p, p q q 以及 p p q, q p q 均為真 7. 證明的方法 : 對於一個命題 p q 的證明, 可分為直接證明與間接證明二種證法 ( 一 ) 直接證法 : 由前提 p, 利用已知的公理性質定理以及公式等, 逐步推演到欲證的結論 q 為止例 11: 證明狄摩根律 (i) ~ p ~ p ~ (ii) ~ p ~ p ~ 證明 : 由 p q p ~ p ~ p 與 p q q ~ q ~ p ( 二 ) 間接證法 : 知 ~ p ~ ~ p (1) 由 p p q ~ p ~ p 與知 ~ p ~ p ~ (2) q p q ~ p q ~ q 由 (2) ~ ~ ~ ~ ~ ~ p q p q p q p q 知 ~ p ~ p ~ (3) 由 (1) ~ p ~ ~ p p q ~ ~ p ~ 知 ~ p ~ ~ p (4) 由 (1), (3) 得證 (i), 由 (2), (4) 得證 (ii) (1) 窮舉法 : 結論 q 的反面有多種情形時, 逐一反證 q 以外的諸多情形均不可能發生, 故證得 q 為真 (2) 歸謬法 : 先否定結論 q, 也就是假定結論 q 不成立 ; 再由 q 不成立逐步導出矛盾的現象或不合理的現象例如 : 2 是無理數的證明 (3) 反證法 : 利用 p q 與 ~ ~ p 為同義故意提出結論 q 不正確的論點為前提, 推演至與前提 p 相矛盾的結論, 由此可知結論 q 是正確的 2 例如 : n 為整數, 若 n 是偶數, 則 n 是偶數的證明

9 戀練數學 : 簡單的邏輯概念學習單三班級 : 座號 : 姓名 : 1. 若 AB AC, 則 ABC 是等腰三角形此命題顯然為真試寫出此命題之逆命題否命題以及逆否命題, 並判斷其真偽逆命題 : 或 : 否命題 : 或 : 逆否命題 : 或 : 2. 設命題若作業不遲交, 則作業分數至少 60 分為真, 試判斷下列命題何者必為真? (1) 若作業遲交, 則作業分數不到 60 分 (2) 若作業遲交, 則作業分數剛好 60 分 (3) 若作業分數不到 60 分, 則作業未必遲交 (4) 若作業分數不到 60 分, 則作業必遲交 (5) 若作業分數至少 60 分, 則作業沒有遲交 3. 某音樂性社團中的女同學甲乙丙, 和男同學 A B C D 想組成一個四人樂團於東門城表演但他們之中有些人對某人的加入有意見, 所以就形成如下有趣的現象 : (1) 至多兩名男同學參加 (2) 丙 A 不能同時參加 (3) 甲不願和 B 同隊 (4) 若乙參加, 則丙就不參加 (5) 丙一定要參加此次樂團表演請問 : 這四人樂團的成員由誰組成? 4. 設 ab, 為實數, 試證明 : 若 a b, 則 a b 3 3

10 第四單元 : 全稱命題與特稱命題 8. 兩個重要的量詞 : ( 一 ) 全稱量詞 : 用符號 ( for All ) 表之 x表 : 所有的 x, 每一個 x, 凡是 x,all x 等例如, 每一個人都及格 ( 令 x 表人, p 表及格 ) 可記為 : x 為 p (all x is p ) ( 二 ) 存在量詞 : 用符號 ( there Exist ) 表之 x 表 : 有些 x, 存在 x, 有一個 x, some x 等例如, 有一個人及格 ( 令 x 表人, p 表及格 ) 可記為 : x 為 p (some x is p ) 9. 量詞命題 : 命題全稱肯定命題全稱否定命題特稱肯定命題特稱否定命題記號 (A) x 為 p (E) x 為 ~ p (I) x 為 p (O) x 為 ~ p 定義所有的 x 都是 p 所有的 x 不是 p 有些 x 是 p 有些 x 不是 p 定義每一個 x 為 p 每一個 x 不為 p 存在 x 為 p 存在 x 不為 p 定義凡是 x 為 p 凡是 x 不為 p 有一個 x 為 p 有一個 x 不為 p Def all x is p No x is p some x is p some x is not p 例子所有的同學都及格所有的同學都不及格有些同學及格有些同學不及格四種命題相互間的關係 : (A) 全稱肯定 x 為 p 相反全稱否定 x 為 ~p (E) 蘊矛矛蘊涵盾盾涵 (I) 特稱肯定 x 為 p 相反特稱否定 x 為 ~p (O)

11 10. 量詞的否定命題 : ( 一 ) ~ ( x 為 p ) x 為 ~ p 例如 : 每個人都有房子否定為 : 有人沒有房子凡是人都會死否定為 : 有些人不會死 ( 二 ) ~ ( x 為 p ) x 為 ~ p 例如 : 有人有房子有人不會死否定為 : 每個人都沒有房子否定為 : 凡是人都會死量詞的否定命題表 : 命題敘述否定敘述每一個 x 為 p 有一個 x 不為 p 全稱肯定 ( x 為 p ) ( x 為 ~ p ) 全稱否定特稱肯定特稱否定每一個 x 不為 p ( x 為 ~ p ) 有一個 x 為 p ( x 為 p ) 有一個 x 不為 p ( x 為 ~ p ) 有一個 x 為 p ( x 為 p ) 每一個 x 不為 p ( x 為 ~ p ) 每一個 x 為 p ( x 為 p ) 例 12: 就期中考試結果的可能情形, 寫出下列敘述的否定敘述 : (1) 每一個人的每一科都及格 (2) 每一個人都有一科及格 (3) 有一個人的每一科都及格 (4) 有一個人有一科及格

12 戀練數學 : 簡單的邏輯概念學習單四班級 : 座號 : 姓名 : 1. 寫出下列敘述的否定敘述 : (1) 集合 A 中的每一個元素都小於 2 (2) 集合 A 中的有一個元素為質數 (3) 集合 A 中至少有一個元素 x 滿足 x 3 10 (4) 集合 A 中存在元素 x, 使得對於集合 B 中的所有元素 y, 都有 x y 2. 設命題若考試試題容易, 則所有學生皆能及格為真, 試判斷下列命題何者必為真? (1) 若考試試題不容易, 則所有學生皆不及格 (2) 若考試試題不容易, 則有些學生不能及格 (3) 若所有學生皆不及格, 則考試試題不容易 (4) 若有些學生不及格, 則考試試題不容易 (5) 若沒有一個學生不及格, 則考試試題必容易 3. 對於我已知的 10 位朋友擁有的汽車房子, 請寫出下列敘述的否定敘述 : (1) 每個人都擁有汽車且擁有房子 (2) 每個人都沒有汽車且沒有房子 (3) 有人擁有汽車且擁有房子 (4) 有人沒有汽車且沒有房子 (5) 每個人都擁有汽車或擁有房子 (6) 每個人都沒有汽車或沒有房子 (7) 有人擁有汽車或擁有房子 (8) 有人沒有汽車或沒有房子 4. 某次, 全校舉行數學大會考, 只知甲乙丙丁戊五人分別得到了前 5 名, 但學校尚未公布詳細的名次於是他們 5 人私下猜測, 且對話如下 : 甲 : 乙是第 3, 丙是第 5 乙 : 丁是第 2, 戊是第 4 丙 : 甲是第 1, 戊是第 4 丁 : 丙是第 1, 乙是第 2 戊 : 丁是第 2, 甲是第 3 結果數學老師聽到了說 : 你們每個人都只猜對了一半! 請問這 5 位同學的名次為何?

4

練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos

(2) p 或 q 簡記為 p q, 亦可稱為 析取 選言 等 p q p q 例 2: 試求解 x 2 4x 3 0 例 3: 試求解 x 2 4x 3 0 ( 三 ) 否定敘述 : 非 p ( ~ p or p ) 一個與敘述 p 具有相反意義的敘述, 叫做 p 的否定敘述 ( 四 ) 使用真值

(2) p 或 q 簡記為 p q, 亦可稱為析取選言等 p q p q 例 2: 試求解 x 2 4x 3 0 例 3: 試求解 x 2 4x 3 0 ( 三 ) 否定敘述 : 非 p ( ~ p or p ) 一個與敘述 p 具有相反意義的敘述, 叫做 p 的否定敘述 ( 四 ) 使用真值