Microsoft PowerPoint - Chapter 1 [相容模式]

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盎歪姚
7 years ago
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1 邏輯是研究人類思維法則合理陳述的科學 ; 它是全人類自古至今共通的科學語言, 只要是與陳述表達, 推理思考有關係的一切論證, 不論是用那一種語言文字來敘述, 其語句的結構或事件的描述都有確切的架構與運作模式, 以用來分辨事件陳述的合理性, 明確引導推論的過程, 以達到嚴謹地判斷事件陳述的真偽

2 第 1 章邏輯概要邏輯的基本精神, 在於追求思維推理的一致性合理性明確性和論證過程的嚴謹性無論事件陳述問題是多麼複雜, 邏輯學就是以簡單清楚理性明確為出發, 運用可操作的程序模式方法以及法則, 逐一逐次釐清真假對錯, 找出解決問題的合理方法

3 第一節邏輯是什麼邏輯是研究純粹理念的科學, 透過思維法則的分析, 讓思考過程更加嚴謹與合理化, 使得推理後的結論更具有說服力我們可以說邏輯是提供一種正確的思考方法, 精細推導法則的思維模式

4 中文中的邏輯在理解過程也產生多種含義, 其中較廣為運用的有 : (1) 理念觀點 ; (2) 客觀性 ; (3) 思維原則 ; (4) 推演的合理法則

5 第二節命題命題 (proposition) 是一種陳述句 (statement), 它所敘述的不是肯定, 就是否定 ; 不是真實的, 就是虛假的換句話說, 命題就是可以判斷出是非真偽的語句

6 壹直言命題若一命題只是單一語句, 而不是由二個或以上之語句組合而成, 則稱其為直言命題其構造形式為 : 量詞 + 主詞 + 動詞 + 述詞

7 例 : 所有諾貝爾得主都是傑出的科學家例 : 沒有人誠實例 : 邏輯學這門課有些地方有趣例 : 邏輯學這門課有些地方不怎麼有趣

8 例題 1.1 命題所有 S 是 P 與命題所有 P 是 S 兩者不同, 例如所有哲學系的學生都學邏輯顯然不同於所有學邏輯的學生都是哲學系的學生但等邊三角形是等角三角形與等角三角形是等邊三角形兩命題為同義一般而言, 我們可區分之關係如下 : S P 所有 S 是 P, 且所有 P 是 S P S 所有 P 是 S, 且有些 S 不是 P S P 有些 S 不是 P, 有些 P 不是 S, 且有些既是 S 且是 P S P 所有 S 是 P, 有些 P 不是 S S P 所有的 S 不是 P, 且所有的 P 不是 S

9 例題 1.2 已知所有新鮮人都選修科學思維方與方法, 問有些選修科學思維方法的學生並非新鮮人之真偽如何解 : 有些選修科學思維方法的學生並非新鮮人可能真, 也可能為偽, 我們無法從所有新鮮人都選修科學思維方法合乎邏輯地推演出來

10 貳否定命題將一個命題加以否定, 所得到的敘述稱為原命題的否定命題若以 p 表一個命題, 則其否定命題表為 ~ p, 讀做非 p

11 例題 1.3 令 p 表命題澎湖為台灣的一部分, 則 ~p 表命題澎湖不是台灣的一部分

12 例題 1.4 令 p 表命題有些馬兒不吃草, 則命題 ~p 表所有的馬兒都吃草

13 例題 1.5 令 p 表命題有一個胖子不吃肉, 則其否定命題 ~p 為所有的胖子都吃肉

14 例題 1.6 得令 p 表命題不存在三相異質數 a b c a, b, c 使, 則 ~p 表命題不存在三相異質數 a, b, c 使得, 或對任意三相異質數 a b c a, b, c 恆有 a b c

15 例題 1.7 每一位影評人都喜歡她的某些作品的否定命題為有些影評人不喜歡她的所有作品 ; 有些影評人喜歡她的所有作品的否定命題為所有影評人都不喜歡她的一些作品

16 例題 1.8 有甲乙丙三個抽屜, 其中恰有一抽屜放了一枚戒指, 並且 (a) 甲抽屜上寫著戒指在這個抽屜 (b) 乙抽屜上寫著戒指不在甲抽屜內 (c) 丙抽屜上寫著戒指不在這個抽屜內已知 (a) (b) (c) 三句話中恰有一句為真, 問戒指在那個抽屜內? 解 : (a) 與 (b) 互為否定命題, 由排中律得知兩者中恰有一為真, 另一為偽又已知真話只有一句, 所以 (c) 為偽換言之, 戒指在丙抽屜內

17 例題 1.9 甲乙丙丁四人對戊先生的集郵數量做估計 : 甲說 : 戊有三百枚郵票乙說 : 戊至少有五百枚郵票丙說 : 戊的郵票不到五百枚丁說 : 戊至少有一枚郵票已知四句話中只有一句是對的, 問戊先生有多少枚郵票? 解 : 首先, 甲說不對, 理由是 : 若甲說為真, 則丁說亦真, 這樣就與已知只有一句話是對的不合同理, 乙說也不對, 否則丁說也真其次, 由排中律得知乙說與丙說恰有一為真但已證乙說不真, 故丙說為真最後再利用已知只有一句是對的推知丁說不真, 因此, 戊先生一枚郵票也沒有

18 參複合命題 3.1 聯言命題 3.2 選言命題 3.3 假言命題 3.4 雙條件命題

19 3.1 聯言命題設 P 與 Q 為二命題, 則它們的聯言命題為 P Q, 讀做 P且 Q, 意思是 : 只有在 P 與 Q 同時為真時, 才為真, 即其真值表如下 : P Q P Q T T T T F F F T F F F F

20 例題 1.10 若令 P 表澎湖為台灣的一部分 ; Q 表高雄市在台南縣, 則 P Q 表澎湖為台灣的一部分且高雄市在台南縣, 雖然 P 為真, 但 Q 卻為偽, 所以為偽 P Q

21 P 例題 1.11 若令表獅子是肉食動物 ; Q 表老虎是肉食動物, 則 P Q P Q P Q 表獅子與老虎都是肉食動物, 因與皆為真, 所以為真

22 3.2 選言命題設 P 與 Q 為二命題, 則它們的選言命題為 P Q, 讀做 P 或 Q, 意思是 : 只要 P 與 Q 兩者中有一為真, 則為真, 即其真值表為 : P Q P T T T T F T F T T F F F Q

23 P 例題 1.12 若表澎湖為台灣的一部分 ; Q 表高雄市在台南縣, P Q 則表澎湖為台灣的一部分或高雄市在台南縣雖然為偽, 但 Q 為真, 所以 P Q 為真 P

24 例題 1.13 張三是李四的表哥或表弟是何種命題? 試判別其真偽解 : 張三是李四的表哥或表弟為張三是李四的表哥與張三是李四的表弟兩命題之選言命題, 除非張三既不是李四的表哥, 也不是李四的表弟, 這個選言命題才為偽, 在其他狀況下都為真

25 聯言命題 P Q 之否定命題為 ~ P ~ Q 選言命題 P Q 之否定命題為 ~ P ~ Q

26 例題 1.14 他喜歡上英文課也喜歡上數學課之否定命題如何? 解 : 他不喜歡上英文課或數學課

27 例題 1.15 張三與李四都喜歡翹課之否定命題如何? 解 : 張三或李四不喜歡翹課

28 例題 1.16 教務處公告學期成績中邏輯或微積分不及格者, 不准選修下學期的管理數學, 請問這公告的否定命題如何? 解 : 學期成績中邏輯與微積分都及格者准予選修下學期的管理數學

29 例題 1.17 處女座的人喜歡邏輯或數學之否定命題如何? 解 : 處女座的人不喜歡邏輯與數學

30 3.3 假言命題 P Q 表二命題, 則命題若 P, 則 Q 稱為假言命題或條件命題, 記做 P Q, 並稱為前提, 為結論只有在前提 P 為真而結論 Q 為偽時, P Q 才為偽, 即其真值表為 : P Q P Q T T T T F F F T T F F T

31 例題 1.18 設真理大學的學生只有兩類 : 一為永遠說真話的紳士, 另一類為永遠說假話的無賴, 某天一位訪客在南台科大的校園內碰到一位學生, 這位學生對訪客說了兩句話 : (a) 我愛校長 (b) 若我愛校長, 則歡迎你到校訪問問學生是否愛校長? 是否歡迎訪客到校訪問? 解 : 若這位學生為無賴, 則 (a) 不真由於 (a) 為 (b) 的前提, 因而 (b) 為真於是這位無賴學生說了一句真話, 此為不可能, 所以學生為紳士, 即 (a) (b) 兩句話皆為真因此, 學生愛校長也歡迎訪客到校訪問

32 P 3.4 雙條件命題設 P 與 Q 為二命題, 則它們雙條件命題為 Q, 讀做 P 若且唯若 Q, 意思是 : 只有在 P 與 Q 有相同真值時才為真, 即其真值表為 : P Q P Q T T T T F F F T F F F T

33 例題 1.19 在實數系上, 令表命題 : x ; P 1 表命題 : 1 因為使為真的實數 Q 2 x P x 也使 Q 為真 ; 反之, 使 Q 為真的實數 x, 也使 P 為真所以 P Q 為真, 即在實數系上, 敘述 x 1 2 若且唯若為真 x 1

34 例題 1.20 在實數系上, 令 P 表命題 : x 1 ; Q 2 表命題 x 1 因為 x 1 時, P 為真, 但 Q 為偽, 所以命題 x 1 2 若且唯若 2 x 1 為偽 x 1

35 肆同義命題兩個命題 P 與 Q, 若有相同的真值, 則稱它們為同義命題或等價命題例如 P 與 ~(~P) 為同義命題, 這可從它們的真值表看出 : P ~ P ~(~ P ) T F T F T F

36 例題 1.21 試以真值表說明 P Q 與為同義命題 P 解 : 因為 P Q 與 ~ P Q Q 行與 ~ P Q 為同義命題 ~ P Q P Q P Q ~ P T T T T T F F F F T T T F F T T 行下之 T F 分布狀況完全一樣, 所以 Q

37 例題 1.22 南台科大崑山科大與遠東科大舉行校際棒球比賽, 張三為贏得賭注, 到南鯤鯓五府千歲問神求卜, 結果神明的指示為 : 南台科大將打敗崑山科大或遠東科大張三為更確定起見, 也到安平天后宮請示媽祖, 結果媽祖的神諭為 : 若南台科大沒有打敗崑山科大, 則南台科大將打敗遠東科大, 問兩個神明的指示是否相同? 解 : 命 P 表命題南台科大打敗崑山科大 ;Q 表命題南台科大打敗遠東科大, 則南鯤鯓五府千歲之神示為 : P Q ; 安平天后宮的神示為 : ~ P Q 由例 1.21 得知 ~ P Q 與 ~(~ P) Q 同義, 亦即 ~ P Q 與 P Q 同義, 所以兩個神明的指示是相同的

38 例題 1.23 試以真值表說明 P 為同義命題解 : 所以 P 因為 P Q行與 ~ Q ~ P Q 與 ~ Q ~ P Q 與 ~ Q ~ P P Q ~ P ~ Q T T F F T T T F F T F F F T T F T T F F T T T T 行下的 T F 分布狀況完全一樣, 為同義命題 P Q ~ Q ~ P

39 例題 1.24 某候選人對選民宣誓 : 若我賄選, 則受天打雷劈, 問這句話的否定命題如何? 解 : 我賄選且不受天打雷劈

40 例題 1.25 若我有海角七億, 則全台灣人都不吃牛肉之否定命題如何? 解 : 我有海角七億且至少有一台灣人吃牛肉

41 第三節充要條件命題 P Q 可衍生其他形式的命題

42 壹條件命題之衍生命題給定命題 : 若 P, 則 Q, 則 1. 原命題 : 若 P, 則 Q 2. 逆命題 : 若 Q, 則 P 3. 轉命題 : 若 ~P, 則 ~Q 4. 轉逆命題 : 若 ~Q, 則 ~P

43 例題 1.26 原命題 : 若兩整數都是偶數, 則它們的和也是偶數 ( 真 ) 轉逆命題 : 若兩個整數和不是偶數, 則這兩個整數不全是偶數 ( 真 ) 逆命題 : 若兩整數之和為偶數, 則這兩個整數都是偶數 ( 偽 ) 轉命題 : 若兩整數不全是偶數, 則它們的和不是偶數 ( 偽 )

44 例題 1.27 原命題 : 若地濕, 則天下雨 ( 偽 ) 轉逆命題 : 若天不下雨, 則地不濕 ( 偽 ) 逆命題 : 若天下雨, 則地濕 ( 真 ) 轉命題 : 若地不濕, 則天不下雨 ( 真 )

45 貳充要條件當一命題 P Q 為真時, 則稱 P 為 Q 的充分條件,Q 為 P 的必要條件, 若原命題 P Q 與其逆命題 Q P 兩者皆真時, 則稱 P 與 Q 互為充要條件, 或稱 P Q 為真

46 例題 1.28 從例 1.27 中, 我們可以看出, 天下雨為地濕的充分條件, 但非必要條件

47 例題 1.29 命 P 表敘述三角形中有二內角相等, Q 表敘述三角形是等腰三角形, 由於 P Q 為真, 所以三角形中有二內角相等, 與三角形是等腰三角形互為充要條件

48 參條件式日常語言日常語言中的條件型, 如除非, 否則只有, 才與只要, 就等等係將必要條件置於句子的前半段, 所以有下列的同義命題 : 除非 P, 否則 Q 表示唯有 P, 才不會 Q, 即若非 P, 則 Q, 因此它與若非 Q, 則 P 同義; 而只有 P, 才 Q 與只要 P, 就 Q 則皆同義於若 Q, 則 P 與若非 P, 則非 Q

49 例題 1.30 除非太陽從西邊出來, 否則我今天不去上課乃表示若我今天去上課, 則太陽從西邊出來

50 例題 1.31 媽媽對哭鬧的小孩子說 : 只要你不再哭鬧, 就帶你上麥當勞乃表示若你要去麥當勞, 則不要再哭鬧

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0