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煎邓
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1 第卷第 3 期太赫兹科学与电子信息学报 Vo.No 年 6 月 Jornal of erahertz Scence and Electronc Informaton echnology Jn.203 文章编号 : (203) 基于子空间投影的信道阶数盲估计算法孙有铭刘洛琨杨正举郭虹 ( 解放军信息工程大学信息工程学院河南郑州 ) 摘要 : 根据联合阶数估计最小二乘平滑算法 (J-LSS) 中投影误差矩阵的特点利用其零空间向量形成的特殊矩阵的秩与信道阶数的关系分别构造 2 个阶数估计代价函数将 2 个代价函数归一化后联合构建成新的代价函数新的代价函数较使用单一代价函数提升了在低信噪比下的辨识率仿真结果表明与传统算法相比该算法在较低的信噪比和小样本观测数据条件下有很好的估计性能关键词 : 盲辨识 ; 信道阶数 ; 子空间投影 ; 代价函数中图分类号 :N9.7 文献标识码 :A do:0.805/kyda Blnd channel order estmaton algorthm based on sbspace proecton SUN Yo-mngLIU Lo-nYANG Zheng-GUO Hong (Insttte of Informaton EngneerngInformaton Engneerng Unversty of PLAZhengzho Henan Chna) Abstract:hs paper proposes a blnd channel order estmaton algorthm based on sbspace proecton. In the bass of property of the proecton error matrx n the Jont order detecton and blnd channel estmaton by Least Sqares Smoothng(J-LSS) algorthm and by explotng the ran of the specal matrx formed by the nll space vectors of proecton error matrx contanng the channel order nformaton two order estmaton cost fncton are constrcted separately and then these two normalzed cost fnctons are onted nto a new one. he new cost fncton shows better performance nder low Sgnal Nose ato (SN) compared wth st a sngle cost fncton mentoned above. he smlaton proves that the proposed algorthm can realze the order estmaton nder low SN and small sample observaton data compared wth tradtonal algorthms. Key words:blnd channel dentfcaton;channel order;sbspace proecton;cost fncton [] 随着 ong 等人开创性地提出利用二阶循环统计量进行时不变信道盲辨识之后出现了一系列的盲辨识算法及其扩展应用 [2] [3-4] 信道阶数估计是信道盲辨识的关键环节经典的估计方法是信息论准则和 Lavas 准则及其改进算法 [5-7] 但在低信噪比下其性能并不稳健文献 [8] 提出了一种联合阶数估计和盲信道辨识的最小二乘平滑算法 (J-LSS) 利用得到的投影误差矩阵的零空间向量形成一个特殊 Hanel 矩阵并对其秩检测从而获得信道的有效阶数和信道系数 ; 文献 [9] 在文献 [8] 的基础上提出了一种利用投影误差矩阵的范数信息估计阶数的方法但在较低信噪比时性能恶化本文在文献 [9] 的基础上利用投影误差矩阵的范数信息构建第个代价函数结合投影误差零空间所张成的 Hanel 矩阵的秩与信道阶数的关系构建第 2 个代价函数再将 2 个代价函数归一化提出了一种新的联合代价函数新的代价函数较使用单一代价函数提升了在较低信噪比下的辨识率算法模型考虑单天线以 L 倍波特率进行过采样或 L 根天线以波特率接收则可得到单输入多输出 (Sngle-Inpt Mltple- OtSIMO) 信道在算法建模中将其等效为 M 阶有限脉冲响应 (nte Implse esponsei) 信道收稿日期 : ; 修回日期 : 基金项目 : 国家 863 计划基金资助项目 (2009AA0205) M x( n) = h s ( n ) () = 0

2 430 太赫兹科学与电子信息学报第卷 y( n) = x( n) + v ( n) (2) () (2) ( L) () (2) 式中 : x ( n) = x ( n) x ( n) x ( n) 为无噪的观测向量 ; s ( n) 是统计独立发射信号序列 ; h = h ( ) h ( ) ( L ) () () () () h ( ) = 02 M 其中 h = h (0) h () h ( M) = 2 L 为第子信道的冲激响应 ; v ( n) = v ( n) v ( n) v ( n) 为独立于发送信号的高斯白噪声 ; y ( n) 为叠加了噪声后的观测向量将连续 w 个采样向量 ( n) [ ] 2 L Yw y n y n y n w 可得 : y 放在一起即 ( ) = ( ) ( ) ( + ) 式中 : ( ) Yw = Η ws + V (3) = ( n) ( n ) ( n w+ ) S = s( n) s( n ) s ( n w M + ) ; 滤波矩阵 Η w 是一个 Lw ( M + w) h0 h hm 维的 oepltz 矩阵 Η w = 假定发射信号 s ( n) 满足线性复杂度要求 Η w 满足信道可辨 h0 h hm 识性条件 [8] 本文辨识的目标就是 h= hm h h 0 V v v v ; ( ) 2 信道阶数估计算法 2. 投影误差矩阵的构建参考文献 [8] 给出相关的关键变量子空间和同构关系的定义定义输入符号行向量 s [ s ( ) s+ ( ) ] 噪的输出符号矩阵 x [ ( ) ( ) ] 将长度为 w ( 0) 和无 x x+ w > 的向量张成的输入空间 S w 和输出空间 χ w 定义如下其中 w 为预测窗口长度 s s+ w sp{ w+ } = oepltz S s s s = { [ sw( ) sw( + ) ]} s w+ (4) x ( ) x ( + ) χw sp{ x x x w+ } = Bloc = { [ xw( ) xw( + ) ]} x( p + ) oepltz 式中 : sp{ s s2 s n} 表示由向量 s s2 s n 张成的线性子空间 ; ( A ) 和 C( A ) 分别表示由矩阵 A 的行张成的空间和列张成的空间由输入输出空间的同构关系即 χw S M + w 定义 S = sp{ s } sp{ s+ } = S S + 为包含了过去和未来的输入数据张成的子空间当信道阶数 M 已知时可将输出数据投影到 S 空间得到投影误差矩阵 : x M + M S h.. E = sˆ S = hsˆ S (5) x h + S h0 由于输入空间与输出空间存在同构关系则投影误差矩阵可以等价为将 x 投影到输出空间 χ E h ˆ (6) 当信道阶数未知仅知上界为 M ( M > M )l 为平滑参数 ( l = 0 M ) 则可推导得 : 0 l < M hm sˆ + l M χ ˆ l s+ l M χ l El Hl( h) = h0 hm l M sˆ ˆ s s l s l h0 l M+ 列 s χ (7)

3 第 3 期孙有铭等 : 基于子空间投影的信道阶数盲估计算法 43 实际中对于样本总数为的接收数据窗长为 w 的观测数据矩阵 Z 为 : y(2w+ l+ ) y( ) y( w+ l+ 2) y( w+ l+ ) Zwl = Ywl (8) y( w + ) y( w) P () y 式中 : 表示 " 将来的数据 "; Y 表示 " 现在的数据 "; P 表示 " 过去的数据 "; Dwl 表示 " 过去和将来的 Pwl 数据 " 并且 D 的秩满足式 (9) 2w+ l+ M + l < M ran( D ) = (9) 2w+ 2M M l w 由于真实阶数 M 未知 D 的秩在有噪情况下不能精确获得可将 ran( D ) = 2w+ 2M作为 D 的秩的近似值为了计算简便选取 w= l 在无噪声情况下且 l M 时满足 : C{ Ell } = C{ Hl( h )} (0) 对 D 进行奇异值分解可求得 D 的行空间正交基为 4l 个右奇异向量 { V V2 V 4l} 根据正交投影定理将 " 现在数据 " 矩阵 Y ll 投影到 sp{ V V2 V 4l} 由 Ell = P D { Y } ll ll 可得 : Ell = Yll Yll V ' V () 式中 V = ( V ) V2 V 4l 令 Q = { Q0 Q Q l} 为 E ll 的 Ll ( + ) ( l M+ ) 个较小的左奇异向量定义 : Q0 Q ( Q) = Bloc 其中 0 l 仅当 = M 时 ( Q ) 有非平凡解其他情况 ( Q ) 为列满秩 Hanel Ql 文献 [8] 给出了式 (9) 和 ( Q ) 的秩的证明 2.2 阶数估计算法描述按照上述算法建立第个观测矩阵 Z (0 l M w= M) 由式 (7) 不难得到在无噪情况下的 2 个结论 : ) 对于任意 l 满足 0 l < M 则 ran( E wl) = 0 即 E = 0 2) 对于任意 l 满足 M l M 则 ran( Ewl) = ( l M + ) 即 E > 0 基于上述分析定义第个代价函数 ( + ) J () l = Ε E / E 0 l M 使 J () l 取得最大的 l 满 E w l w l w l 足 l = M 图为在一个实际阶数为 7 的信道条件下第个代价函数在 l=6 处出现了一个最大值由此可确定信道的阶数为 M = l+ = 7 在信噪比较低的情况下第个代价函数在阶数欠估计 ( 0 l < M ) 时投影误差矩阵 E 的零奇异值受噪声影响而不为零 ( E 的取值反映出噪声引起的波动性 ) 导致 J () E l 可能取较大的值而这种波动性对于阶数过估计和正确估计影响较小故第个代价函数在低信噪比下趋向于阶数的欠估计选定 w' = l' = M 建立第 2 个观测矩阵 Z w' l' 当 = M 时 ( Q ) 有非平凡解其他情况下 ( Q ) 列满秩定义 H 矩阵 Q = ( Q) ( Q ) 由矩阵理论可知 Q 的秩与 ( Q ) 的列秩相等 [0] H 对 Q 进行特征值分解 Q = USV 令 λ 和 λ 为 Q 的最小特征值和次小特征值当 ( Q ) 有非平凡解 ( = M) 时对应 Q 的零空间是一维的即在理想情况下 Q 有个最小的特征值 λ = 0 而 λ > 0 考虑噪声影响后 λ 不再为零但非零特征值和零特征值之间存在明显的分界线即 λ / λ 会取比较大的值 ( Q ) 列满秩 ( M) 时 Q 是满秩矩阵即不存在零特征值 λ 和 λ 数值在同一数量级所以 λ / λ 相对不会很大 E

4 432 太赫兹科学与电子信息学报第卷 vale of the frst cost fncton vale of smoothng factor g. Performance of the frst cost fncton 图第个代价函数示意图 vale of the second cost fncton vale of smoothng factor g.2 Performance of the second cost fncton 图 2 第 2 个代价函数示意图基于上述分析定义第 2 个代价函数 JQ( ) = λ / λ 0 M 其中 λ 和 λ 分别为不同的取值下对应的 Q 的最小特征值和次小特征值使 JQ ( ) 取得最大的即为真实的信道阶数图 2 为在图条件下第 2 个代价函数随参数的变化图可以看到在 =7 处有一个很大的值这是在 Q 秩亏为时其最小非零特征值和零特征值的比值对应的位置就是真实的信道阶数在较低信噪比情况下受噪声以及估计误差引起的矩阵扰动影响 Q 的零特征值此时不为零导致最小非零特征值和零特征值的值很接近判决的阶数趋向于过估计基于前述分析联合使用 2 个代价函数以提升在较低信噪比时的辨识率为联合使用上述 2 个代价函数首先将 2 个代价函数做归一化处理即 : M E E E m= J () l = J ()/ l J ( m)0 l M (2) M Q( ) Q( )/ Q( ) 0 m= J = J J m M (3) 定义如下简单加权形式下的联合代价函数 : J( ) = J ( ) + J ( + ) 0 M 不难得到当 = M 时 J ( ) 取得最大值通过找到 J ( ) 的最大值来确定真实信道阶数 E Q 3 仿真分析为验证算法的性能选取最小描述长度准则 (Mnmm Descrpton LengthMDL) 算法 [4] Lavas 算法和文献 [9] 提出的阶数估计算法 ( 简称 DK 算法 ) 做性能对比仿真时采用文献 [9] 中 2 组实信道模型如表和表 2 所示信道的实际阶数为 4 信道 2 的实际阶数为 7 发射信号为均匀分布的 6QAM 信号叠加的噪声为高斯白噪声每次的实验结果均为 00 次蒙特卡罗实验后取平均值表信道系数 able Channel coeffcents of channel h(0) h() h(2) h(3) h(4) 表 2 信道 2 系数 h(0) able2 Channel coeffcents of channel 2 h() h(2) h(3) h(4) h(5) h(6) h(7) 辨识率随信噪比的变化实验从图 3 中可见在信道条件下本文提出的算法在较低信噪比下 (>6 db) 辨识率就能达到 00% 比 DK 算法对信噪比的要求降低了约 5 db Lavas 算法要在 20 db 以上的信噪比条件下才能使辨识率达到 00%;MDL 算法需在较高信噪比下 (>20 db ) 才能准确辨识并且性能仍不稳定从图 4 中可以看出在样本数目一定的情况下信道 2 的阶数正确估计需要较高的信噪比原因在于子信道存在近零点 MDL 算法在较低信噪比下失效在较高信噪比下性能仍然浮动 Lavas 算法准确辨识所需信噪比大于 30 dbdk 算法对信噪比的要求比 Lavas 算法降低了约 6 db 而本文提出的算法完成准确辨识所需的信噪比较 DK 算法降低了约 4 db 且性能稳定

5 第 3 期孙有铭等 : 基于子空间投影的信道阶数盲估计算法 433 probablty of correct channel order MDL algorthm 算法 Lavas algorthm 算法 DK DK algorthm 算法 proposed 本文算法 algorthm SN /db g.3 Probablty of correct channel order detecton for channel 图 3 信道条件下辨识率随信噪比变化曲线 probablty of correct channel order MDL algorthm 算法 Lavas algorthm 算法 DK DK algorthm 算法 proposed 本文算法 algorthm SN /db g.4 Probablty of correct channel order detecton for channel 2 图 4 信道 2 条件下辨识率随信噪比变化曲线 3.2 辨识率随样本个数的变化图 5 为在 SN =20 db 时信道 2 条件下 Lavas 算法 MDL 算法 DK 算法和本文提出算法的辨识率随样本个数变化的情况从图 5 中可以看出 Lavas 算法性能已经失效 ;MDL 算法在 =700 时辨识率达到 00% 且在样本数继续增加时辨识率存在浮动 ; DK 算法的性能随着样本数目的增加不断提高当 =500 时 DK 算法的辨识率达到 00% 相比之下本文算法在 =300 处辨识率就已经达到 00% 并且辨识率不随样本个数的变化而变化性能稳定 4 结论本文根据投影误差矩阵的特点利用其零空间向 g.5 Channel order detecton performance wth changng 量形成的 Hanel 矩阵的秩与信道阶数的关系分别构 npt data length(channel 2 SN =20 db) 图 5 辨识率随样本数目变化曲线图 ( 信道 2 造 2 个阶数估计代价函数将 2 个代价函数归一化后 SN =20 db) 联合构建成新的代价函数新的代价函数中 2 个归一化代价函数在较低信噪比条件下一定程度可以相互纠正阶数错判较使用单一代价函数提升了辨识率通过理论分析和仿真结果证明 : 该算法在较低信噪比和样本数目较小时对信道阶数的辨识率要优于 MDL 算法 Lavas 算法和 DK 算法对于信噪比的变化有较好的鲁棒性但本文算法需要构建 2 个观测矩阵和相应的奇异值分解较 DK 算法的计算量有所增加参考文献 : Lavas 算法 algorthm MDL 算法 algorthm DK 算法 algorthm proposed 本文算法 algorthm [ ] ong LX G HKalath. Blnd dentfcaton and eqalzaton based on second-order statstcs:tme doman approach[j]. IEEE rans. on Inform. heory99440(2): [ 2 ] 熊彦铭魏旻龚耀寰等. 一种新的基于子空间的盲信道估计方法 [J]. 信息与电子工程 20075(6): (XIONG YanmnWEI MnGONG Yaohanet al. A Novel Sbspace-Based Channel Estmaton Method[J]. Informaton and Electroncs Engneerng 20075(6): ) [ 3 ] Aae H. A New Loo at the Statstcal Model Identfcaton[J]. IEEE rans. on Atomatc Control 9749(6): [ 4 ] ssanen J. A Unversal Pror for Integers and Estmaton by Mnmm Descrpton Length[J]. Ann. Stat 983(2): [ 5 ] Lavas A Pegala P A. On the behavor of nformaton theoretc crtera for model order selecton[j]. IEEE rans. on Sgnal Processng 20049(8): [ 6 ] Zhao. A Channel Order Determnaton Scheme Based on Nose Power Estmaton[C]// Proceedngs of 4 th Internatonal Conference on Mcrowave and Mllmeter Wave echnology. NanngChna:[s.n.] 2004: [ 7 ] 刘媛涛葛临东王彬. 一种基于噪声功率的信道有效阶数盲估计算法 [J]. 计算机工程 (9): (LIU YantaoGE LndongWANG Bn. Blnd Channel Order Estmaton Based on Nose Power[J]. Compter Engneerng (9):33-35.) probablty of correct channel order

434 太赫兹科学与电子信息学报第卷 [ 8 ] ong LZhao Q. Jont order detecton and blnd channel estmaton by least sqares smoothng[j]. IEEE rans. on Sgnal Processng 99947(9):2345-2355. [ 9 ] Kotolas DKoolas PKaloptsds N.

Matrx Analyss and applcatons[m]. Beng:sngha Unversty Press 2004.) 作者简介 : 孙有铭 (988-) 男湖南省邵阳市人在读硕士生研究生主要研究方向为信道盲辨识和盲均衡.emal:snyomng0@sna.com. 刘洛琨 (963-) 男河南省洛阳市人博士教授主要研究方向为卫星通信无线自组织网络超宽带无线通信系统.

6 434 太赫兹科学与电子信息学报第卷 [ 8 ] ong LZhao Q. Jont order detecton and blnd channel estmaton by least sqares smoothng[j]. IEEE rans. on Sgnal Processng 99947(9): [ 9 ] Kotolas DKoolas PKaloptsds N. Sbspace proecton based blnd channel order estmaton of MIMO systems[j]. IEEE rans. on Sgnal Processng (4): [0] 张贤达. 矩阵分析与应用 [M]. 北京 : 清华大学出版社 (ZHANG Xanda. Matrx Analyss and applcatons[m]. Beng:sngha Unversty Press 2004.) 作者简介 : 孙有铭 (988-) 男湖南省邵阳市人在读硕士生研究生主要研究方向为信道盲辨识和盲均衡.emal:snyomng0@sna.com. 刘洛琨 (963-) 男河南省洛阳市人博士教授主要研究方向为卫星通信无线自组织网络超宽带无线通信系统. 杨正举 (983-) 男云南省大理市人硕士主要研究方向为通信信号处理. 郭虹 (975-) 女云南省玉溪市人博士主要研究方向为无线移动自组织网络网络与通信. ( 上接第 423 页 ) [ 2 ] Aoa J S. reqency-scan Antennas[C]// Johnson C. Antenna Engneerng Handboo. New Yor:McGraw-Hll 993. [ 3 ] Soln M I. Introdcton to adar Systems[M]. New Yor:McGraw-Hll 200: [ 4 ] Anton PWcs M CGrffths H Det al. reqency dverse array radars[c]// IEEE Conference on adar. New Yor:[s.n.] 2006: [ 5 ] Anton PWcs M CGrffths H Det al. Mlt-msson mlt-mode waveform dversty[c]// IEEE Conference on adar. New Yor:[s.n.] 2006: [ 6 ] Anton PWcs M CGrffths H Det al. ange-dependent Beamformng Usng Element Level Waveform Dversty[C]// Internatonal Waveform Dversty and Desgn Conference. HawaUSA:[s.n.] 2006:7-76. [ 7 ] Hang Jngngong Kn-aBaer C J. reqency Dverse Array wth Beam Scannng eatre[c]// Antennas and Propagaton Socety Internatonal Symposm. San DegoCA:[s.n.] 2008:-4. [ 8 ] Hang Jngngong Kn-aWoodbrdge Karl. reqency Dverse Array:Smlaton and Desgn[C]// IEEE Conference on adar. CalfornaUSA:[s.n.] 2009: [ 9 ] Bazert PHale Bemple M Aet al. orward-loong radar GMI benefts sng a lnear freqency dverse array[j]. Electroncs Letters (22):3-32. [0] arooq Jawademple Mchael ASavlle Mchael A. Applcaton of reqency Dverse Arrays to Synthetc Apertre adar Imagng[C]// Electromagnetcs n Advanced ApplcatonsInternatonal Conference on radar. ornoitaly:[s.n.] 2007: [] arooq Jawademple Mchael ASavlle Mchael A. Explotng freqency dverse array processng to mprove SA mage resolton[c]// IEEE adar Conference. omeitaly:[s.n.] 2008:-5. 作者简介 : 张福丹 (987-) 男江苏省无锡市人在读硕士研究生主要研究方向为阵列信号处理.emal: zhangfdan2008@63.com.

24 26,,,,,,,,, Nsho [7] Nakadokoro [8],,,, 2 (Tradtonal estmaton of mage Jacoban matrx), f(t 1 ) p(t 2 ) : f(t 1 ) = [f 1 (t 1 ), f 2 (t 1 ),, f m (t

24 26,,,,,,,,, Nsho [7] Nakadokoro [8],,,, 2 (Tradtonal estmaton of mage Jacoban matrx), f(t 1 ) p(t 2 ) : f(t 1 ) = [f 1 (t 1 ), f 2 (t 1 ),, f m (t 26 1 2009 1 Control Theory & Applcatons Vol 26 No 1 Jan 2009 : 1000 8152(2009)01 0023 05, (, 200240) :,,,,,,,, : ; ; : TP24 : A The estmaton of mage Jacoban matrx wth tme-delay compensaton for uncalbrated