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1 台中縣太平市東平國民小學教學觀摩活動設計 領域名稱 : 數學領域適用年級 : 六年級教材版本 : 南一版教學單元 : 第四單元圓面積教學日期 :96 年 3 月 20 日教學節數 :60 分鐘, 共四節 ( 演示第一節 ) 活動設計 : 朱凱宇輔導教師 : 葉銘軒老師指導教授 : 何慧群教授

2 台中縣太平市東平國民國小實習教師教學演示數學領域教學活動設計 適用年級六年級 主題 ( 單元 ) 第四單元圓面積 教學班級六年五班 設計及教學者朱凱宇 教學時間 60 分鐘, 共四節 輔導教師 葉銘軒老師 ( 演示第一節 ) 指導教授 何慧群教授 教材來源. 南一版, 六下數學 2. 自編教材分析. 第八冊已接觸過圓的組成要素 教 2. 第九冊已認識圓周 直徑和半徑的關係 3. 本單元將深入了解圓周率的意義及求法, 進行直徑及圓周長的估測及實測活 動 並藉助長方形公式推算出圓面積公式, 進而應用圓面積公式求算圓形 學 扇形及複合圖形之面積 每節教學重點 第一節 透過圓周長和直徑的直接比對, 探討其固定倍數關係, 藉此認識圓 研 周率的意義 第二節 了解圓周長和直徑的關係, 並利用直徑和圓周長求算圓周長和直徑 第三節 了解圓面積和以其半徑為邊長的正方形面積的關係, 並藉由方格紙 究 做不規則面積及圓面積的點算活動 第四節 將圓切割成許多等分, 拼成近似長方形, 藉由長方形面積公式推算 出圓面積公式, 並運用圓面積公式求出圓面積 學生經驗. 日常生活中接觸過圓的圖形 2. 了解圓的組成要素有半徑 直徑及圓周 3. 利用圓規畫圓 教 學 理 論 本單元第一節課採用合作學習法 (cooperative learning) 學生在異質團體中一起學習, 鼓勵彼此, 分享經驗 相互幫助 提供資源 分享發現成果, 並且批判修正彼此的觀點 在圓周率的學習中, 大多數學生只知道圓周率為 3.4, 卻不知其所以然 藉由合作學習法, 以學生為主體, 讓學生分組合作, 測量出圓的直徑和圓周長, 主動建構出圓周長與直徑的比值即為圓周率 也藉由分組合作的過程中, 除了能激發彼此間的創造力外, 也能學習尊重他人的意見, 修正自己的觀點

3 教 學 目 標 單元目標. 進行直徑 圓周長的估算與實測活動 2. 了解圓周率的意義及求法 3. 以圓周率進行圓周長及直徑的估測及實測活動 4. 透過各種不同的方法找出圓面積公式 5. 利用圓面積公式求出扇形 圓形及複合面積 行為目標 - 進行圓周長的估測和實測活動 -2 進行直徑的估測和實測活動 2- 知道圓周長大約是直徑的 3.4 倍 2-2 利用直徑和圓周率求出圓周長 2-3 利用圓周長和圓周率求出直徑 3- 以圓周率進行進行圓周長的估測及實測活動 3-2 以圓周率進行進行直徑的估測及實測活動 4- 利用點數圓所佔的方格數, 估算圓面積 4-2 了解圓面積和以其半徑為邊長的正方形面積的關係 4-3 將圓切割成許多等分, 拼成近似長方形, 藉由長方形面積公式推算出圓面積公式 5- 了解扇形與圓的關係 5-2 以圓為基礎, 求出 圓的扇 形面積 5-3 描述複合圖形組成要素間彼此的關係, 經由切割等方式求出面積 主要能力指標十大基本能力 N-3-6 能理解圓面積與圓周長的公五 尊重 關懷與團隊合作式, 並計算簡單扇形面積 九 主動探索與研究 S-3-03 能以適當的正方形單位, 對十 獨立思考與解決問題曲線圍成的平面區域估算其面積 S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式, 並計算簡單扇形面積 具體 目標 教學活動 ( 分為引起動機 發展活動 綜合活動 ) 教學前準備教師 : 圓形實體 長條紙 棉線 鉛筆 圖畫紙 簽字筆學生 : 計算機 長尺 布尺 教學資源 時間 ( 分 ) 效果評量 ( 評量標準 ) 一 引起動機請問有沒有吃過披薩, 一個完整的披薩是什麼形狀的? 日常生活中有哪些東西是 能說出日常生活中圓形 2

4 - -2 圓形的?( 學生自由發表 ) 二 發展活動活動一 : 圓來如此 --- 複習圓的構成要素. 如何在沒有圓規的情形下, 畫出一個工整的圓? ( 以鉛筆當圓心, 並套上棉線, 另一端綁上粉筆 由老師固定圓心, 請依位小朋友上台協助畫圓 ) 2. 剛剛完成了一個圓, 請問畫一個圓需要哪些條件?( 固定的點和固定的距離 ) 3. 所謂固定的點, 代表什麼東西? ( 圓心 ) 4. 所謂固定的距離, 代表什麼東西? ( 半徑 : 也就是圓心到周長的距離 ) 5. 教師歸納 : 組成一個圓的要素有哪些?( 圓心 半徑 圓周 直徑 ) 活動二 : 找出圓周率 --- 實測圓周長和直徑, 探討兩者倍數關係. 教師提供各組各一個圓形的實體, 另備長條紙 棉線及圖畫紙供記錄之用 2. 各組分工合作, 想一想有哪些方法可以測量出圓形實體的圓周? 並將測量的數據紀錄在圖畫紙上 學生可能的說法如下 : () 用棉線繞圓周一圈, 再用尺量 (2) 選定圓周上一點, 將它對齊桌面紙條起點, 滾一周後, 在紙條上做上記號, 再用尺量 (3) 其他 3. 各組分工合作, 想一想有哪些方法可以測量出圓形實體的直徑? 並將測量的數據紀錄在圖畫紙上 學生可能的說法如下 : () 剪剪看 : 把圓描在紙上, 剪下來再對摺 (2) 量量看 : 選定圓周上一點, 將棉線固定在此點上, 移動另一 棉線 鉛筆 長條紙棉線圖畫紙簽字筆 的物品 能說出圓的構成要素 能正確實測出圓周的長度 能正確實測出直徑的長度 3

5 2-2-2 端, 找出圓內最長的一條線段, 就是直徑 (3) 夾夾看 : 拿兩塊三角板夾住圓的兩側, 測量兩塊三角板之間的垂直距離 (4) 其他 4. 請各組將紀錄表張貼於黑板上, 並由老師檢查各組測量出的數據是否正確 ( 儘可能降低誤差, 以免影響圓周率的計算結果 ) 5. 請各組利用計算機算出圓周長 直徑的值, 並寫在黑板上 三 綜合活動. 教師歸納 : 每組算出圓周長 直徑的值都不大一樣, 但大多都接近 3.4, 我們將 圓周長除以直徑的值 稱為 圓周率, 也就是圓周長大約是直徑的 3.4 倍 2. 結算小組競賽分數 3. 教師發下學習單, 並讓學生填寫, 於下課收回 學習單 2 7 能正確計算出圓周長和直徑的比值 能填寫學習單, 並完成試題練習 --- 第一節課完 一 引起動機教師發問 : 上一節課用到哪些方法測量一個圓的直徑 周長?( 各組搶答並加分 ) 二 發展活動活動一 : 認識圓周率. 利用習作附件 (p.)5 和 0 公分的圓, 量量看圓周長大約是多少公分? 學生可能的作法如下 : () 用細鐵絲複製圓的周長 (2) 把圓滾一周, 測量滾動的距離 2. 利用習作附件 (p.3 5)8 2 和 5 公分的圓, 量出各圓的圓周長大約是多少公分? 並紀錄於表格 圓形甲乙丙 課本 習作附件 2 能說出測量直徑和圓周長的方法 能正確量出圓周長, 並減少誤差 能正確測量出圓周長, 並紀錄於表格上 4

6 3-3-2 直徑 圓周長 乙圓的周長大約是直徑的幾倍? (3.4 倍 ) 丙圓的周長大約是直徑的幾倍? (3.4 倍 ) 3. 教師歸納 : () 每一個圓的周長大約是直徑的 3.4 倍 (2) 圓周和直徑成正比例, 它的比值稱為圓周率, 大約等於 3.4 (3) 記作 : 圓周長 直徑 3.4 活動二 : 找出圓周長. 題目 : 一個直徑 5 公分的圓盤, 它的圓周長大約是多少公分? 學生可能的作法如下 : () 用繩子量出圓盤的周長, 再用尺量繩子的長度 (2) 教師帶領學生利用圓周率及直徑的關係, 算出圓周長,5 3.4 = 47.cm 2. 題目 : 一個直徑 30 公分的大批薩, 它的圓周長大約是多少公分? ( = 94.2cm) 3. 例題練習 : 一個圓形水泥蓋直徑是 40 公分, 它的圓周長大約是多少公分?( = 25.6cm) 活動三 : 找出直徑. 題目 : 一個圓形鐵蓋的周長是 25.6 公分, 鐵蓋的直徑大約是多少公分? 學生可能的作法如下 : () 直接用尺量出鐵蓋的直徑 (2) 描繪在紙上, 把圓剪下來對摺 (3) 教師帶領學生利用圓周率及圓周長的關係, 算出直徑, = 40cm 2. 例題練習 : 爸爸買了一張圓桌, 圓周長是 公分, 圓周的直徑大 7 7 能發現圓周長與直徑的關係 能利用圓周率和直徑正確計算出圓周長 能了解 直徑 3.4 圓周長 能利用圓周率和圓周長正確求出直徑 能了解 圓周長 3.4 5

7 約是多少公分?( = 90cm) 3. 教師歸納 : () 一個圓的圓周長大約是直徑的 3.4 倍, 並且成正比例 (2) 直徑 3.4 圓周長 (3) 圓周長 3.4 直徑三 綜合活動. 學生練習 : 習作甲本 p 第二節課完 --- 習作甲本 5 直徑 能正確完成習作練習題 4-2 一 引起動機請學生將習作附件 p.7 圖形撕下, 並且估估看三者之間面積的關係 二 發展活動活動一 : 圓面積的認識. 比比看 : 將剛才撕下的圖形比較其面積大小 () 甲圖和乙圖, 哪一個面積比較大? (2) 甲圖和丙圖, 哪一個面積比較大? 習作附件 課本 7 能說出三個圖形之間的大小關係 2. 歸納 : () 以圓直徑為邊長的正方形 > 面面積 > 以圓直徑對角線的正方形 (2) 圓面積介於大 小正方形之間 大正方形面積 :20 20=400cm 2 小正方形面積 : =200cm 2 400cm 2 > 圓面積 >200cm 2 5 能利用圖形的大小關係, 知道圓面積的範圍 6

8 4- 活動二 : 利用方格點算圓面積 ( 更精確的算出圓面積 ). 半徑 0 公分的圓, 面積大約是多少平方公分? 你是如何知道的? 5 能正確數出圓面積所佔的格數 () 利用方格點算出圓的面積, 4 在乘以 4 (2) 完整的格子 : 69=69 不完整的格子 :7 0.5= 圓 :69+8.5= 全圓 :77.5 4=30 平方公分 2. 歸納 : 這個數方格的方法, 比剛才的面積範圍更為精準, 也知道圓面積大約是 30 平方公分 3. 例題練習 : () 邊長 0 公分的正方形面積是多少公分?00 cm 2 (2) 半徑 0 公分的圓, 面積大約是邊長 0 公分的正方形的多少倍?30 00=3. 倍活動三 : 圓面積的公式. 利用習作附件 p.9, 將半徑 0 公分的圓分別切成 等分, 並分別黏貼至習作附件 p.3 5, 排列成甲 乙 丙圖 習作附件課本 2 2 能正確計算出兩者的倍數關係 能拼湊出指定的圖形 甲 乙 丙 2. 甲 乙 丙圖, 哪一個比較接近 7

9 長方形? 3. 假如把圓切成 64 等分, 在排成丁圖, 是不是更接近長方形?( 也就是說切割的份數越多時重新排列出來的圖形就越接近長方形 ) 丁 4. 這個長方形的長和圓的什麼一樣長?( 圓周長的一半 ) 寬和圓的什麼一樣長?( 半徑 ) 能說出長方形的長即為圓周長的一半能說出長方形的寬即為半徑 5. 公式推演 () 長方形面積 : 長 寬 (2) 圓周長的一半 半徑 (3) 直徑 半徑 (4) 半徑 半徑 3.4 (5) 得到圓面積 = 半徑 半徑 例題練習 : 一個披薩的半徑是 5 公分, 面積大約是多少平方公分?( =706.5 平方公分 ) 三 綜合活動. 重點歸納 : 圓面積 = 半徑 半徑 習作練習 : 甲本 p.2 3. 作業 : 乙本 p.9 能理解圓面積公式的由來 能應用圓面積公式正確算出面積大小 能完成習作試題 --- 第三節課完 --- 一 引起動機 習作附件 2 8

10 5-5-2 將習作附件 p.7 9 的兩個圓剪下, 分別在圓上剪出一條半徑, 由切口處將兩個圓交疊在一起, 使圓心重疊 二 發展活動活動一 : 扇形的認識. 旋轉其中一個圓, 使兩條半徑互相垂直, 它所形成的角度是從哪裡到哪裡? 是幾度?(90 度 ) 2. 當兩個半徑形成一條直線時, 它所形成的角度是從哪裡到哪裡? 是幾度?(80 度 ) 3. 當兩個半徑重疊時, 它所形成的角度是從哪裡到哪裡? 是幾度?(360 度 ) 4. 由兩個全等的圓交叉疊合圍成的綠色部份, 像什麼形狀?( 學生回答 ) 5. 歸納 : 由兩條半徑和圓周的一段所圍成的圖形, 叫做扇形 在扇型中, 以圓心為頂點, 兩半徑為邊所形成的角, 叫做圓心角 ( 扇形必須是從圓心出發, 由兩條半徑為成的圖形 ) 活動二 : 扇型面積與圓面積的關係. 一張半徑 0 公分的圓形紙, 對摺再對摺後, 請問這個圖形是扇形嗎? 這個扇形面積是原來圓 課本 習作附件 5 0 能說出所形成的角度是從哪裡到哪裡 能說出疊合而成的部份像什麼形狀 能說出扇形是兩條半徑和圓周的一段所圍成的圖形 能說出扇形為原來圓面 積的 4 面積的幾分之幾?( 2 2 = 4 ) 2. 圓的扇形面積大約是多少平分 4 公分? = = 圓心角 20, 半徑是 30 公分的扇形, 面積大約是多少平方公分? () 20 是全圓的多少 :20 能正確算出扇形面積 9

11 360= 3 (2) 一個圓的面積 : = (3) 3 圓的面積 : = 教師歸納 : () 求扇形面積, 必須先知道這個扇形部分到底占全部圓的幾分之幾, 才能知道扇形占全部圓面積的多少 圓心角 (2) 扇形面積 = 圓面積 360 活動三 : 複合圖形. 下圖的面積是多少? 說說看, 你是怎麼做的? 0 能了解扇形面積的計算方法 能說出扇形面積公式 能說出如何求出扇形面積 () 用一個圓減去圓心角 20 扇形的面積 = = = =209 3 (2) 圓心角 240 的扇形面積 = = = = 例題練習 : 下圖是一個直徑 0 公尺的圓,ABCD 為一正方形 能正確計算出著色面積 0

12 請求出圖色部分面積大約是多少平方公尺? 說說看, 你是怎麼做的? () 將直線 AC 連起來, 正方形可以分為 4 個底和高各為 5 公尺的直角三角形 (2) 正方形面積 : =50 圓面積 : =34=78.5 塗色面積 : =28.5 三 綜合活動. 練習四 2. 作業 : 習作甲本 p 作業 : 習作乙本 p 能將練習四完成 --- 第四節課完 本單元完 ---

13 圓來如此學習單 座號 : 姓名 : 回想一下今天在黑板上畫的圓, 請問一個圓有哪些構成要素? 鉛筆代表一個圓的 綁住鉛筆的線代表一個圓的 粉筆畫的線代表一個圓的 當你在測量圓的直徑和圓周長時, 你是否遇到困難呢? 請寫下你解決的辦法 當我在測量圓的直徑時, 我遇到的問題是, 我解決的方法是 當我在測量圓的圓周長時, 我遇到的問題是, 我解決的方法是 牛刀小試 上完今天的課, 請問一個圓的圓周長大約是直徑的倍 請問一個直徑 0 公分的圓, 它的圓周長大約是多少公分? 公分 2

14 附錄祖沖之與圓周率 摘自 祖沖之生於南北朝 ( 西元 ) 范陽薊縣人, 他曾算出月球繞地球一周為 日, 和現在公認的 日, 在小數第五位才有 的誤差 難怪西方科學家將月球上的一個火山坑命名叫 祖沖之, 這也是月球上唯一用中國人命名的地方 在三千多年前, 周朝的時候, 認為圓周長和直徑的比是三比一, 也就是說, 那個時候的圓周率等於三, 後來, 歷代許多數學家, 像西漢的劉歆 東漢的張衡, 都分別提出新的數值 不過, 真正求出比較精確圓周率的, 是三國時代的劉徽, 而他所用的方法叫做 割圓術 他發現 : 當圓內接正多邊形的邊數不斷增加後, 多邊形的周長會越來越逼近圓周長, 而多邊形的面積也會越來越逼近圓面積 於是, 劉徽利用正多邊形面積和圓面積之間的關係, 從正六邊形開始, 逐步把邊數加倍 : 正十二邊形 正二十四邊形, 正四十八邊形, 一直到正三 七二邊形, 算出圓周率等於三點一四一六 當時數學家利用一種竹片做成的 算籌, 擺放在地上代表數字進行運算, 不但麻煩而且辛苦 祖沖之在劉徽研究的基礎上, 進一步地發展, 經過既漫長又煩瑣的計算, 一直算到圓內接正二四五七六邊形, 而得到一個結論 : 圓周率的值介於三點一四一五九二六和三點一四一五九二七之間 ; 同時, 他還找到了圓周率的約率 :22 7 密率 : 祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值, 把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位, 是很了不起的成就 這當中有三點值得我們注意的 :. 他是自己做的, 因為開平方不能你求小數後第一位到第八位, 同時間, 有另外一人求第九位到第十六位 2. 目前使用的算盤到了十二世紀才出現, 祖沖之那個時代還沒有算盤, 可見其開平方的艱辛 3. 祖沖之不可能使用阿拉伯數字, 阿拉伯數字在十二 十三世紀才傳入中國, 可以想像其計數之麻煩 以上研究結果, 都領先了西方的數學家一千多年呢! 雖然現在電腦發達, 可以在很短的時間之內, 就求出圓周率小數點後面幾千 幾萬個位數 ; 但是, 古人們在完全依靠人工計算的情況下, 為了追求科學真理, 義無反顧地獻身其中的熱情與毅力, 更值得我們學習與尊敬喔! 3

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