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座蒋
5 years ago
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1 04 高中數理學科比賽數學日期 : 04 年 5 月 7 日總頁數 : 時間 : 上午 9 時 30 分至 0 時 45 分 ( 小時 5 分鐘 ) 總分 : 76 ( 多項選擇題每題分 ). 在多項選擇題答題紙和乙部答題紙的適當位置分別填寫考生編號考場編號考生姓名 ( 英文和中文 ) 學校名稱年級日期性別卷別語言和科目. 當宣布開卷後, 考生須檢查試題是否缺漏, 最後一題之後應有試卷完字樣 3. 甲部所有題答均須作答為便於修正答案, 考生宜用 H 鉛筆把甲部答案填畫在多項選擇題答題紙上 4. 甲部每題只可填畫一個答案 ; 若填畫兩個或多個答案, 則該題不給分 5. 乙部包含部部及 3 部考生只需選答其中一部, 並在該部中選答四題 6. 乙部題目的答案均須以真確值或數學數式表示 7. 本卷答案錯誤, 不另扣分 8. 本試卷的附圖不一定依比例繪成 04 香港理工大學保留版權

2 參考公式 ) ( ) ( sin sin ) ( ) ( ) sin( ) sin( sin sin sin sin sin sin sin sin sin tan tan tan tan ) tan( sin sin ) ( sin sin ) sin( = = = = = = = ± = ± = ± ± = ± 第頁

3 甲部本部各題均須作答選出每題最佳的答案. 若 a = 3, 則 a 3 3 a a =.. 8 C. 7 D. 36. 設 k 為一實常數方程 x k( x) = 0 有多少個相異實根?.. C. 0 D. 由於不知道 k 的值, 所以未能判斷 3. 設 a b 及 c 為實數, 且 abc > 0 f ( x) = ax bx c 的圖像? 下列哪一個可能是函數.. C. D. 第頁

4 4. 圖中顯示 y = ax bx c 的圖像, 其中 a b c 是實數圖像的頂點坐標為 (3, ) c 的值是 y y = ax bx c O (3, ) 4 x.. 7 C. D 已知 f (x ) = x x 3 求 f ().. 3 C. 7 D. 6. 已知 = h k p = 5 00, 其中 h k 及 p 為非零實數求 p p 的值 h k.. C. log 7 D. log 7 第 3 頁

5 7. 圖中顯示 a y = 4x 的圖像, 其中 a 為常數 y y = 4x a O x 下列哪圖代表 log x 及 log y 的關係? 4 4. log 4 y O log 4 x. log 4 y O log 4 x C. log 4 y O log 4 x D. log 4 y O log 4 x 第 4 頁

6 x 8. 設方程 log 7 x = 0 及 log x = 的根分別為 α 及 β 下列哪項正確?. 0 < αβ <. αβ = C. < αβ < 3 D. αβ 設 f ( x) = x ax bx c, 其中 a b 及 c 為實數若 f ( ) = f () = f (3) = 0, 求 c 的值. 6. C. D. 6 7 x 0. 設 p q 及 r 為實數若 x 4x 6 px 4qx r 能被 x x 9x 3 整除, 則 ( p q) r = C. 5 D. 45. 當多項式 f (x) 除以 ( x ) 時, 餘數是 3 當 f (x) 除以 ( x 3) 時, 餘數是 5 求 (x). x. x C. x D. x f 除以 ( )( x 3) x 的餘數第 5 頁

7 . 解方程 5 = 5 x x.. C. D. 5 5 或 5 5 或 3. 若 0 x < 360, 方程 x x = 的根的數目是 C. 5 D 設 x 及 y 為兩個變量下表顯示一些 x 及 y 的對應值 : x 4 8 y 若 x = 56, 求 y 的正數值 C. 4 D 已知 z 部分與 x 正變, 及部分與 y 正變當 x = y =, z = 當 x = y =, z = 9 求當 x = y = 4 時 z 的值 C. 76 D. 8 第 6 頁

8 6. 在圖中, C 是圓的直徑, 直線 Q 垂直於 C,C 與圓交於 P, 而 PQ 是圓的切線下列哪些項正確? P Q C I. PQ 平分 II. PQ 是等腰三角形 III. C = CP. I 與 II. I 與 III C. II 與 III D. I II 與 III 7. 圖中, CDE 為一圓形 C = 00 ED = 0, 及 DC = a 求 a 的值 a 00 0 C E D C. 60 D. 70 第 7 頁

9 8. 圖中, 一半圓內接於 C O 是半圓的圓心, = C = 8 及 C = 5 O C 共線及 C 與半圓相切求 O 的長度. 0. C. D 設 m c 為實數, 其中 m 0 線 L: y = mx c 沿它的 x 軸截距逆時針旋轉 90 至線 L L 的方程是 c. y = x m m c. y = x m m c C. y = x m m c D. y = x m m 0. 直線 L 通過 (6, 0) 並與 x 軸相交於另一直線 L : x y 0 = 0 與 x 軸相交於 L 與 L 相交於 C 若 C = C, 求 C 的坐標 (6, 0) x C L L. (3., 8.4). (0, 5) C. (7,.5) D. (8, ) 第 8 頁

10 . 設 m n 為實數 ( a, b) 及 C ( c, d) 是直線 y = mx n 上相異的兩點若 a > c, 則 C =. ( a c) m. a c m C. ( a c)( m ) a c D. m. x 4 x x x 及 x 4 的方差是. 0. C. D 考慮實數 a b 已知這六個數的平均值為 6 若使這六個數的標準差達至其最小可能值, 那麼 a 和 b 的積是多少?. 6. C. 4 D. 5 第 9 頁

11 4. 圖顯示一個內半徑 5 cm 的半圓球容器, 它裝滿了水一個底半徑 4 cm 及斜高 0 cm 的實心圓錐被直立地放入該容器內, 如圖所顯示, 使一些水溢出求容器內所餘水的體積, 答案須準確至 3 位有效數字. 5 cm cm 3 C. 54 cm 3 D. 55 cm 3 圖圖 5. 在圖中, C 與 CDE 是等邊三角形 DE 與 C 及分別交於 P 及 Q, 而 EC 與交於 R DC C, 而 C = 求四邊形 PQRC 的面積 D Q P E R C. 3 sin5. 3 tan5 C. D. 3 sin 30 3 tan 30 第 0 頁

12 6. 若為一正整數使 ( )( 3) =, 求的值 C. D. 7. 若 p q 是質數且 p 5 q = 97, 求 q p 的值 C. 37 D 在圖中,CD 是一長方形, = 0, C = 6 E 和 F 分別是及 D 的中點 G 是 EF 上的點, 且 FG = 3GE 求 CEG 的面積 D C F G E.. C. D 第頁

13 9. 一份測驗卷有 5 題若答案正確每題得 5 分, 不正確每題扣分, 沒有答題則不扣分若有 m 個可能的總分, 求 m C. 8 D 在 6 進制中, 設字母至 Z 分別代表數碼 0 至 5 設 4 α = HPPY 6 SD 6, 其中 HPPY 6 = 及 SD = 若以進數表示 α, 它有多少個位? C. 36 D. 37 甲部完第頁

乙部只需選部部或 3 部其中一部作答部選答四題 3. 等差與等比數列設 a 為某等差數列的第 n 項已知 a = 及 a a = n 3 6 9 (a) 以 n 表 a n a a3 a (b) 求 a n, 答案以 n 表示 n 4 3.

14 乙部只需選部部或 3 部其中一部作答部選答四題 3. 等差與等比數列設 a 為某等差數列的第 n 項已知 a = 及 a a = n (a) 以 n 表 a n a a3 a (b) 求 a n, 答案以 n 表示 n 4 3. 等差與等比數列在圖 - 中, 一物件以螺旋方式移動每次它分別水平移動及鉛垂移動, 此被視為一關起初每次水平移動及鉛垂移動的距離都是下一關每次移動的距離是上一關的兩倍圖 - (a) (b) (c) 求第 5 關時水平移動的距離求第 6 關時鉛垂移動的距離求完成第 8 關時該物件所移動的總距離第 3 頁

15 33. 圓方程 y C x L 圖 - 在圖 - 中, 直線 L: 3 x 3y 3 = 0與 x 軸及 y 軸分別相交於和一圓形通過及 C, 且 C 是等邊三角形 (a) (i) 求 C 的坐標 (ii) 求該圓形的半徑及圓心的坐標 (b) 求該圓形的方程, 答案以標準式表示第 4 頁

16 34. 軌跡在圖 -3 中, 圓形 C 的圓心是 (8, 4) 而半徑是, 圓形 C 的圓心是 (4, 6) 而半徑是. PQ 是 C 及 C 的共切線, 而與 PQ 的延線相交於 C 假設 P 的 x 坐標大於 8 圖 -3 (a) (b) 求 C 的坐標求 PQ 的斜率答案需準確至 3 位小數 (c) 使用 (b) 的結果, 求 PC 答案需準確至位小數 35. 概率排列與組合 9 個座位被排成一行供來自 3 個不同班別的 8 個學生就坐有個學生來自 5,3 個來自 5,3 個來自 5C (a) (i) 求該 8 個學生就座的方法的數目 (ii) 5 的個學生必須相鄰地就座, 求所有人就座的方法的數目 ( 兩個學生相鄰地就座即他們之間沒有其他人或空座 ) (b) 這 9 個座位現在被排列成 3 個分開的行, 每行有 3 個座位 5 的個學生必須相鄰地就座, 求所有人就座的方法的數目第 5 頁

17 36. 概率排列與組合 7 男 5 女隨機地分成 4 組, 且每組人數相等求 (a) 其中一組全是女生的概率 ; (b) 各組中至少有一名女生的概率部完第 6 頁

18 部選答四題 37. 二項展式指數函數及對數函數已知 x x = a bx cx, 其中 a b 及 c 為實數而 n 為正整 4 n (4 3 ) ( )... 數 (a) 求 a 的值 (b) 若 x 的係數為 46, 求 n 的值 38. 二項展式指數函數及對數函數 (a) 設 n 為正整數在求 n 的值 ( x x n n ) ( ) 的展式中, x 的係數為 3, (b) 計算 C4 C0 C 的值 39. 微分法圖 - 為函數 y = f (x) 的一階導數的圖像圖 - (a) 若 x = x0 是 y = f (x) 的局部極大值, 求 x 0 的值 (b) 求 x 值的範圍使 y = f (x) 的圖像是凹向上 (c) 設直線 L 為曲線 y = f (x) 於 x = 的切線若 f ( ) =, 求 L 的方程第 7 頁

19 40. 微分法在圖 - 中有一個半徑為 cm 及圓心為 O 的圓形 P 和 Q 是圓上的點以 PQ 為底, 設 OPQ 的高為 h cm O h cm P Q 圖 - (a) (i) 若 OPQ 的面積是 cm, 以 h 表 (ii) 求 POQ 使 OPQ 達至最大面積 (b) 頂點 P 和 Q 現在圓上滑行, 使 OPQ 的高 ( 以 PQ 為底 ) 以每秒 3 cm 的率增加 (i) (ii) 求當 h = 0.8 時,PQ 的長度相對於時間的變率求當 h = 0.8 時, 相對於時間的變率第 8 頁

20 4. 積分法圖 -3 3 圖 -3 所示為曲線 y = x x c 的圖像直線 y = x 6 與曲線相切於, 並與曲線相交於求 (a) c 的值 ; 3 (b) 曲線 y = x x c 與直線 y = x 6 所圍成的閉區域的面積 4. 積分法在圖 -4 中,P(a, b) 為曲線 C : y = 8x 3 上的一點由 P 點畫兩直線分別垂直於兩軸並與兩軸相交 y y = b P 0 I II x = a x 圖 -4 區域 I 由 y = b y = 8x 3 及 y 軸所圍成, 而區域 II 由 x 軸 y = 8x 3 y 軸及直線 x = a 所圍成 (a) (b) 求區域 I 的面積並以 a 表示由此, 若區域 I 及區域 II 的面積相等, 求 a 的值部完第 9 頁

21 3 部選答 4 題 43. 二項展式指數函數及對數函數 (a) 設 n 為正整數在求 n 的值 ( x x n n ) ( ) 的展式中, x 的係數為 3, (b) 計算 C 的值 C4 C0 44. 矩陣 (a) 在所有元素為 0 或的矩陣當中, 共有多少個矩陣為可逆 ( 非奇異 ) 的? a b c (b) 已知 det = d e f = α 求 g h i det = a d d g g a b e e h h b c f f i i c, 答案以 α 表示 45. 微分法圖 3- 圖 3- 為 y = f (x) 的一階導數的圖像 (a) 若 x = x0 是 y = f (x) 的局部極大值, 求 x 0 的值 (b) 求 x 值的範圍使 y = f (x) 的圖像是凹向上 (c) 設直線 L 為曲線 y = f (x) 於 x = 的切線若 f ( ) =, 求 L 的方程第 0 頁

22 46. 微分法在圖 3- 中有一個半徑為 cm 及圓心為 O 的圓形 P 和 Q 是圓上的點以 PQ 為底, 設 OPQ 的高為 h cm O h cm P Q 圖 3- (a) (i) 若 OPQ 的面積是 cm, 以 h 表 (ii) 求 POQ 使 OPQ 達至最大面積 (b) 頂點 P 和 Q 現在圓上滑行, 使 OPQ 的高 ( 以 PQ 為底 ) 以每秒 3 cm 的率增加 (i) (ii) 求當 h = 0.8 時,PQ 的長度相對於時間的變率求當 h = 0.8 時, 相對於時間的變率第頁

23 47. 積分法一半徑為的實心球體被鑽出一個半徑為的洞, 且該洞均勻地通過球的中心, 如圖 3-3 所示求被鑽去的物質的體積答案以 π 表示圖積分法 (a) 已知 dx = π 若 0 x 4 數, 求 a 的值, 以分數表示答案 x ( x) d x π = a, 其中 a 為有理 x (b) 利用不等式 x ( x) x ( x) x ( x) < < x, 其中 0< x <, 及 (a) 部的結果, 求 π 的下限及上限, 答案以四位小數表示 3 部完全卷完第頁

Microsoft Word - HKU Talk doc

Microsoft Word - HKU Talk doc In the figure, E is a diameter and E is a straight line. Find x. 圖中, E 是一直徑, E為一直線求 x. 54. 70. 74. 9 E. 94 In the figure, O is the center of the circle. EO and E are straight lines. Find x. 圖中, O 為圓心,