Microsoft Word - 第九章-ver3.doc

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玄栾
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1 向量微分計算梯度, 發散度, 旋度空氣動力學航空學畢氏定理向量函數向量場 3 3 純量 : 只有大小向量 : 大小 + 方向 (+ 指向 )

2 ψ θ 向量會以小寫之粗體字表示! 向量可以任意平移, 或沿直線前後移動 ( 決不可轉動 )

3 分量 Q(x 2, y 2, z 2 ) a P(x 1, y 1, z 1 ) 2 = ( 分量 ) 和位置向量參考點可為任意點卡笛兒座標系統 ( 直角座標系統 ) 利用投影觀念求分量

4 兩向量相等的條件 : 個別分量均對應相等三角形定理與平行四邊形定理兩向量相加 ( 減 ): 個別對應分量相加 ( 減 ) b c = a b a

5 兩向量相加 ( 減 ): 個別對應分量相加 ( 減 )

6 代表 x 方向的向量= x 方向分量 ( 大小 )+ 方向單位向量代表方向向量空間標準基底維度 `

8 內積 ( 點積 ) 正交性或 γ=90 即 a b 內積為純量, 非向量兩向量內積 ( 點積 ): 個別對應分量相乘且相加

9 a b = a b cos γ 0< Cosγ<1 Cosγ=0-1< Cosγ<0 2 = ( 分量 ) 和 = a + a + a

10 a 性質! b a + b a b = a b cos γ a b = ab 1 1+ ab 2 2+ ab 3 3

11 65 o 力 25 o 位移繩索的向量 b b 的負單位向量 a 在 u 方向的投影量以向量內積法計算以三角幾何法計算

12 求投影量 ( 重要性質 ) a b = a b cos γ a 在 b 方向的投影量 = ( 知道夾角 γ 時 ) = a b a a b a 在 b 方向的投影量 = ( 不知道夾角 γ 時 ) = a i ( b的單位向量, 代表 b的方向 ) b =b 在 a 方向的投影量 ( 見補充資料!)

20 向量積 ( 外積 )( 叉積 ) 外積為向量, 非純量重要性質! v = a b = 0 的條件 : 1. a = 0 或 b = 0 2. a 與 b 的夾角 0 或 180 度外積的大小 = 平行四邊形面積見 (2**) 式

21 a sinγ v = a b : v 同時與 a 和 b 垂直外積的大小 = 平行四邊形面積 b a sinγ 右手螺旋法則

22 1 2 ( 1) + 重要公式! 對第一列 ( i, j, k ) 降階展開 i j k 逆時針 (+) 順時針 ( )

23 ( 見補充資料!) 靜力學與動力學學習內容!!

24 求力矩求轉動物體的切線速度

25 純量三重積為一純量, 非向量 = ( a b) c ( 與符號可對調 ) ( 1) b b a2 c 1 c 3 ( abc) = ( bca) = ( cab) = ( bac) = ( acb) = ( cba) a b c 逆時針 (+) 順時針 ( ) 重要公式! 對第一列降階展開 = ( b c) a = ( b c a) 0代表 a, b, c彼此線性獨立 ( 見補充資料!)

26 b c a cos β = 平行四邊形面積高 = b c sinθ h = 平行六面體的體積 β a cos β = h = 高 θ 平行六面體 1 四面體 ( 四角錐 ): 體積為 ( ) 6 a b c = 平行六面體體積的 1/6

30 三重積的應用 : 力對某一軸的力矩 Ma = ua ( r F) i j k = ( u i + u j + u k) r r r ax ay az x y z u u u ax ay az = r r r x y z F F F x y z ( 靜力學第四章 : 力系合成 ) F F F x y z 場導函數 P 為空間中一點, 向量 v 會隨著 P 點變化 (P(t)) 而改變

31 代表 P 點 ( 在直角座標系統上 ) 了解場的觀念場 : 一種相同物理量的集合, 可以函數形式表示之 P(x, y, z) f ( P ) P 與 P 0 間的距離 P 0 (x 0, y 0, z 0 )

32 任一位置向量 = (0i + 0 j + ωk ) 形成速度場 ( 不同位置有不同速度 ) 萬有引力 ( 大小 ) 距離 ( 純量 ) 距離 ( 位置向量 ) 向量向量的大小萬有引力 ( 向量場表示 ) 單位向量, 代表方向 ( 負號代表 P 指向 P 0 )

33 M r m (x 0, y 0, z 0 ) (x, y, z) 向量微積分收斂連續性可微分性 = v( t ) 0

34 limvt () = v( t ) = v ( t ) i + v ( t ) j + v ( t ) k t t 若此式的極限值存在, 則代表可微分若 Δt 0, 則 v () t 代表曲線該點之斜率或切線 dv() t = = v 1() t i + v 2() t j + v 3() t k dt 向量的微分 = 個別分量的微分

35 偏導數 ( 微分 ) vt (, t) 為多變數函 m l 數, 故取偏導數 ( 微分 ) 一階偏導數 : v t m, v t 二階偏導數 : l v v v,, t t t t 2 2 m l m l 對 t m 變數取偏導數對 t, t 變數取偏導數 m l

36 微分幾何學大地量測學地理學空間旅行相對論參數表示法空間中的曲線方程式 t 為參數 t 增加, 正向性位置向量 t 減少, 負向性代表曲線投影在 x-y 平面上的方程式

37 短軸(1) 式比 (2) 式的優點 t 增加, 正向性定向 t 減少, 負向性注意以下特殊曲線的參數表示式! x + y = a x = acost y = asin t 0 t 2π 圓參數表示式 x y a b x = acost = y = bsin t 0 t 2π 橢圓參數表示式 z rt () 長軸 rt () z y x 距 A 的長度 x y 直線參數表示式 L 上任一點 A( 的位置向量 ) L 的方向向量

38 方向向量 =[1,1,0]=b u b 向量 = 大小 B B x y B z = i + j + k B B B = cosαi + cos β j + cosγk rt () tb ( 位置向量 ) Δ Slope=1= y Δx t (3, 2) a rt () z y 平面曲線 x 扭曲曲線螺線參數表示式右手螺旋,C > 0 左手螺旋,C < 0 沒有曲線交錯相切之點

39 rt () 必須先找出 by 參數表示法 P 與 Q 很接近時 dr () t = 切線向量, 代表曲線上 dt 某點的斜率單位切線向量 ( 代表切線方向 ) 切線方程式注意解題步驟! 步驟 1: rt () 步驟 2: r () t 步驟 3: 由 P 點求出對應的角度 t = π /4

40 步驟 4: q( ω) = r( t) + ω r ( t) 見補充資料 l 為曲線長度, 是為常數可求長 ( 度 ) 的 s () t = r r ds dr = = = r dt dt 等號兩邊取微分 s 為曲線長度, 是為 t 的函數 ( 找 s 與 t 的關係式用 )

41 dr dx dy dz = i + j + k dt dt dt dt ds = dr = dr ds 單位切線向量 2 K = st () = r rdt = = Kt s 故 t = K 2 K dt 步驟 3: 找出 s 與 t 的關係 by (11) 式步驟 2: r () t 步驟 1: rt () 步驟 4: 得到以 s 為變數之 r() s C: r( t) 曲線向量表示式 by 參數表示法切線速度取微分取微分 ds 速度大小 v = r = r r = dt = a + a 加速度 t n

42 對大小微分 ( a ) tan d ds ( us ( ) ) dt dt du ds = + us () dt d t dt 2 ds 2 單位向量, 代表方向鏈鎖定則純量, 指速度大小 du ds ds ds dt dt du ds = ( ) ds dt 對方向微分 ( a norm) 2 切線方向的單位向量向心加速度圓參數表示式離心力 v v a v atan uv = a = v v v v v a 在 v 方向的投影量切線速度速度大小 ( 常數 ) 角速率大小 ω = v R ( 常數 ) 加速度 2 2 = ω [ Rcos ωt i + Rsin ωt j] = ω r

43 v 大小為常數微分為切線加速度 = 0 v的方向為切線方向, 方向的改變率相同 2 微分為法線 ( 向心 ) 加速度 = ω r 2 2 向心加速度大小 a = ω r = ω R 發射體經線 rt () ω b 隨地球轉動, 為時間 t 之函數 ωtt : 轉動角度 γ > 0 位置向量 γt : 發射體運行角度

44 向心加速度 ( 與 b 有關 ) ( 地球旋轉所造成 ) 向心加速度 ( 與 γ 有關 ) ( 發射體在旋轉地球的經線上旋轉所造成 ) 在北半球,sinγ t > 0 ( t > 0, γ > 0), 因此, a Cor 相反, 物體自經線偏向右 ( 在南半球,sinγ t < 0 故偏向左 ) 柯氏加速度 ( 與 γ 與 b 有關 ) ( 兩個旋轉交互作用所造成 ) 的方向為 b, 亦即與地球旋轉方向柯氏加速度怎麼產生的呢? 在質點的相對運動公式中有一項 2ω vrel 稱之為柯氏加速度 (Coriolis acceleration), 其中 ω 為參考體的角速度, 而 v rel 為欲分析點相對於參考體的相對速度很明顯地, 柯氏加速度為 ω 與 rel v 交互作用而產生的加速度乃是速度變化而產生, 而速度變化包含了大小及方向的變動柯氏加速度就是源於參考體旋轉及質點相對於參考體的相對速度而造成

46 鏈鎖定則微積分基本觀念自行複習

47 x, yz, 為多變數函數, 故取偏導數 ( 微分 ) 中間變數自 ( 獨立 ) 變數因 ( 相依 ) 變數 x, yz, 為單一變數函數, 故取常微分

48 ϖ x ϖ y ϖ z = + + x x y x z x f f g = x z x

49 均值定理 df dx = f ( x0 + h) f ( x0) h 純量場之梯度將純量場變成向量場方向導函數

50 梯度的應用純量函數 f gradient( 梯度 ) 向量函數 f 梯度即為法線向量 Px (, y, z ) 向量函數 f ( 法線向量 ) 向量 b 微分運算子純量函數 f ( 空間中的曲線或曲面 ) 方向導函數代表在 ( 指定的 )b 向量方向, 其單位長度之 f 變化率

51 sb p r() s 0 dr dx dy dz = i + j + k ds ds ds ds = xi + yj + zk = b 取單位向量直線 L 的參數表示式 dx ds dz ds 鏈鎖定則 dy ds df df df = ( x i + yj + zk ) ( i + j + k) dx dy dz = b( 單位向量 ) f 的梯度 = b f 重要公式! ( 見補充資料!) 單位向量 Step1: 取梯度 f Step2: 點代入 f ( P) a Step3: 算單位向量 ea = a Step4: 算出 D f = e f( P) a a

52 Da f = b grad f = b f( P) Px (, y, z ) 向量函數 f ( 法線向量 ) γ γ= 0 o, Df b 有最大值, 即表示曲線 ( 面 ) 上 P 點處的梯度方向 ( 亦即法線方向 ), 為 f 在 P 點方向導數最大增加之方向向量 b 純量函數 f ( 空間中的曲線或曲面 ) 梯度為曲面的法線向量曲面方程式曲線 C 方程式 C 的切線方程式 dr dx dy dz = i + j + k dt dt dt dt 取微分

53 dx dt dy dt dz dt f f f dx dy dz = ( i + j + k) ( i + j + k) x y z dt dt dt 重要意義! f f f 法線向量梯度 f = i + j + k x y z 單位法線向量

54 v( P) = grad f ( P) vp ( ): 向量函數 ; f ( P ): 純量函數 ;P: 任何一位置點 f ( P ) 稱為 vp ( ) 的 potential 若可以發現 f ( P ) 的存在, 則 vp ( ) 稱為能量守恆的 ( 保守場 ) 潛位位勢已知 f求出 v v( P) = grad f ( P) 能量守恆的 ( 保守場 ) 已知 v求出 f 第十章的範圍向量 (P ) 純量 (given) 拉譜拉斯運算 0 c c f f f 梯度 f = i + j + k x y z c c 三者相加滿足 (8) 式 c c

55 c c c 三者相加滿足 (9) 式 2 = 3 3r r + r = d d d = i + j + k dx dy dz 靜電學與牛頓重力定律相同形式

56 發散度 (Divergence) 的物理意義 : 一個無限小封閉曲面放在向量場中, 則由內向外發出的 " 力線數 "( 向量和該通過面積的內積 ) 即為散度 Divergence 不為零時, 大於零對應 source, 小於零對應 sink, 等於零則滿足連續方程式例如若指的是水,Divergence=0 之處就是沒有水源出口 (source) 或排水孔 (sink) 的空間. 若指的是電位, 則沒有電荷處 Divergence=0, 該點電位恰好就是四周所有點電位的平均值 ( 連續 ), 也就是電力線連續沒有新電力線的產失或消失.

57 發散度發散度向量純量 v= [ v( xyz,, ), v( xyz,, ), v( xyz,, )] 發散度比較旋度 v = Curl v

58 f = = 2 f =Δ f (P ) c p = grad( ) = grad f r div p = div grad f = f =Δ f = 2 ( ) 0 發散度在流體力學的應用耗損 kg m kg ( i = ) 3 2 m s m s 流通量 y 面流入一短時間 Δ t 內流進 ΔΔ z x面之流體質量 ( kg ) 質量變化率=流出與流入的差值 ( kg ) = ΔΔΔ x y z 流出流入 y+ Δ y面流出

59 同理可得 Δu Δ Δ Δ Δ = Δx Δu Δ Δ Δ Δ = Δ Δ Δz 1 u1 y z t ΔVΔt 3 u3 x y t V t 三式相加相等在時間 Δ t 內 Box B 之總質量損失 kg 2 3 ( msi m i s = kg ) m Δu Δu Δu ρ + + ΔVΔ t = ΔVΔt Δx Δy Δz t ( ) if Δx, Δy, Δz 趨近於 0 u1 u2 u3 ρ + + = x y z t ρ u = ( ρv) = div u = div ( ρv) = t y Box B 內之質量損失來自其密度的時間變化率 ( 注意單位 ) kg 3 3 ( m i m i s = kg ) s y + Δ y 1. 可壓縮流體 ( 氣體 ) 流動之連續方程式 ( 密度 ρ 會改變 ) 2. 質量守恆之條件 ρ + div ( ρv) = 0 t 0 + ρdiv ( v) = 0 div ( v) = 0 流體為不可壓縮 ( 水油 ) 之條件 ( 密度 ρ 為常數 )

60 旋度旋度向量仍為向量發散度 v = 比較 div v 旋度 v v + x z ( 1) ( )

62 證明證明 ( 見補充資料!) p = [ p ( x, y, z), p ( x, y, z), p ( x, y, z)] 梯度函數若 Curl p = 0, 則 p 稱為能量守恆的

63 視類似為微分符號 ( f v ) = ( f g) = div( f ) = f = ( f v ) = f v + f v = ( u v) = = div( fg) = div[ f g + g f ] = [ f g+ g f] 2 2 f g f g + g f + g f = +

64 觀念補充 Let k a j a i a A = be a constant vector, and k z j y x i R + + =, Find (a) ( ) R A ; (b) ( ) R A ; (c) ) ( A R. Solution 另解 ) ( ) ( ) ( ] ) ( ) ( ) [( = + + = + + = = a z z a y y a x x k a z j a y i a x k z j y i x 另解一般運算 A k a j a i a k a a j a a i a a ya xa za xa za ya z y x k j i A R k ya xa j za xa i za ya a z y x k j i A R ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = = + + = = + = = a a 公式解

66 (98 中山光電 10%) (100 台師大機電 20%)

67 (96 中山機械 16%)

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Microsoft Word - 第十章-ver2.doc 積分定理各種轉換公式 ( 重要!) 必須了解三者間的關係 Green s 定理 : 線積分面積分 ( 雙重積 ) Gauss s 定理 : 面積分體積分 ( 三重積 ) Stokes s 定理 : 線積分面積分事實上為曲線積分 : 沿著 x 軸對 f(x)( 被積分項 ) 積分, 起始點 a, 終點 b = rb ( ) 箭頭表示積分方向 C ra= ( ) 封閉路徑積分 C 被積分項