學做物理

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1 1 CH9 質點系統

2 目錄 質心 9.2 動量 9.3 系統的動能 9.4 碰撞 9.5 完全非彈性碰撞 9.6 彈性碰撞 P.

3 3 我們將物體視為質點, 卻忽略了大部分物體其實是由許多小部分所組成的 本章我們要明確地處理由多質點組成的系統, 這些系統包含了剛體 (rigid body) 在內, 例如棒球 汽車與行星, 它們的組成粒子彼此相連且其相對方位幾乎保持不變 另外也包含了其它系統如人體 爆炸的煙火, 或是流動的河水, 它們的組成部位彼此之間做相對運動 P. 146

4 9.1 質心 4 照片中舞者的運動十分複雜, 其身體各個部位沿著不同的運動軌跡移動 然而重疊的影像所串起的曲線顯示出其中一個點的軌跡為拋物線, 其表現出我們所熟悉的拋體運動 (3.5 節 ) 我們稱這個點為質心 (center of mass), 它位在組成舞者之所有質量的平均位置 P. 146

5 9.1 質心 5 上面的方程式將可成為牛頓定律作用於總質量的形式 我 們做下面的定義 P. 147

6 9.1 質心 6 這裡的作用力為作用在此系統之所有質點的合力, 而我們 所要的只是淨外力 (external force), 也就是來自於系統 外面的淨力 我們可以將作用力 進一步寫為 P. 147

7 例題 9.1 一維的質心 : 舉重 7 某槓鈴由分居兩端之 50 kg 與 80 kg 的重物以及長為 1.5 m 的橫槓所組成 若忽略橫槓的質量, 求槓鈴的 質心位置 P. 148

8 例題 9.2 二維的質心 : 太空站 8 圖 9.2 顯示一個正三角形之太空站的簡圖, 其中分居於三個頂點的三個太空艙由長度為 L 的輕質支桿相互連結 已知其中兩個艙體質量為 m, 而另一個為 2m, 求太空站之質心位置 P. 148

9 9.1 質心 9 連續分布的物質 我們可以將物質視為連續分布的狀態, 它由個別的小塊質量 Δm i 所組成, 其位置向量為, 我們稱為質量元素 (mass elements), 如圖 9.3 所示 P. 149

10 例題 9.3 連續物質 : 飛機的機翼 10 某超音速飛機之機翼形狀為等腰三角形, 機翼長為 L, 寬為 w, 其厚度可忽略不計 它的總質量 M 均勻 分布在整個機翼之上, 求質心的位置 P. 149

11 9.1 質心 11 對於更為複雜的物體, 較為方便的做法是先找出各個小部分之質心位置, 然後將其視為質點再算出整個物體的質心位置, 如圖 9.5 所示 P. 151

12 12 P. 151

13 13 P. 151

14 9.1 質心 14 質心運動 當物體僅受重力作用時, 質心沿著單一質點之軌跡運 動 如果所受淨外力為零, 則質心之加速度 零, 因此質心做等速度運動 亦為 P. 151

15 例題 9.4 質心運動 : 馬戲團火車 15 一頭重 4.8 t 的大象, 站在一輛重 15 t 之軌道車的末端 (t 代表公噸,1 公噸等於 1000 公斤 ), 軌道車靜止於無摩擦力之水平軌道上 如果大象走了 19 m 到達車的另一端, 求軌道車移動了多少距離? P. 151

16 9.2 動量 16 當系統質量 M 保持固定時, 根據定義, 質心運動遵守牛頓第二定律 :, 其中為作用於系統之淨外力, 因此我們可以簡單地將上式寫為 P

17 9.2 動量 17 動量守恆 在淨外力為零的特殊條件下, 方程式 9.6 變成, 因此 方程式 9.7 描述線動量守恆 (conservation of linear momentum ) 定律, 它為最基本物理定律之一 : P. 153

18 18 觀念題 9.1 動量守恆 : 乘坐皮艇 Jess( 質量 53 kg) 與 Nick( 質量 72 kg) 乘坐一艘重 26 kg 靜止於無摩擦水面的小皮艇上 Jess 以相對於水面之水平速度 3.1 m/s 將 17 kg 重的背包丟給 Nick, 求在 Nick 接到背包後小船的速率為何? 為何回答此問題不需要做任何計算呢? P. 153

19 例題 9.5 動量守恆 : 放射性衰變 19 當鋰 5( 5 Li) 以 1.6 Mm/s 的速率移動時, 它衰變為一個質子 ( 1 H, 或 p) 與一個 α 粒子 ( 4 He) [ 上標為核子的總數, 大約等於以統一原子質量單位 (u) 所表示之質量 ] 如果測得 α 粒子以 1.4 Mm/s 的速率移動, 其方向與 5 Li 原子核的初始速度夾 33 角, 求質子速度的大小與方向各為何? P. 154

20 例題 9.6 動量改變 : 滅火 20 消防隊員將水柱射向起火建築物的窗戶, 想要衝破窗戶使水柱得以到達起火點 已知消防水管的供水率為 45 kg/s, 而水柱以 32 m/s 的水平速度射向窗戶, 當水柱打到窗戶後, 水流垂直掉下 求水柱作用於窗戶的水平作用力為何? P. 155

21 9.3 系統的動能 21 任一質點的速度可以寫為質心速度與該質點相對於 質心的速度對質心的向量和 :, 因此系統 的總動能為 : 該項代表一個質量為 M 的質點以速度 ν cm 移動的動能, 因 此我們稱為質心動能 (kinetic energy of the center of mass), 以 K cm 表示 P. 156

22 9.3 系統的動能 22 方程式 9.8 中第三項, 乃代表隨質心移動的參考系中系統所有質點的總動能, 我們稱為內動能 (internal kinetic energy), 以 K int 表示 P. 156

23 9.4 碰撞 23 碰撞 (collision) 為物體之間短暫且激烈的交互作用 相關的例子俯拾皆是 : 汽車間的碰撞, 撞球在球桌上的碰撞, 網球與球拍之間 棒球與球棒之間, 或足球與腳之間的碰撞, 小行星與行星之間的碰撞, 以及為了探討物質之基本結構而進行的高能粒子碰撞 P. 157

24 9.4 碰撞 24 衝量 如果為碰撞時作用於其中一個物體的平均作用力, 而且其作用時間為 Δt, 則牛頓第二定律為, 或者 此方程式中平均作用力與時間的乘積稱為衝量 (impulse), 以符號表示, 單位為牛頓 - 秒 P. 157

25 9.4 碰撞 25 碰撞中的能量 在碰撞過程中, 動能可能守恆也有可能不守恆 ; 若動能守恆則為彈性碰撞 (elastic collision), 若動能不守恆則為非彈性碰撞 (inelastic collision) P. 157

26 9.5 完全非彈性碰撞 26 在完全非彈性碰撞 (totally inelastic collision) 中, 碰撞物 體於碰撞後將嵌合在一起而形成一個個體, 儘管如此, 動 能通常並沒有完全耗損掉 P. 158

27 例題 9.7 非彈性碰撞 : 曲棍球 27 一位主修物理的曲棍球隊隊長, 打算測量橡皮圓盤 ( 冰球 ) 的移動速率 他將一個小的保麗龍容器填入沙子使其總質量為 6.4 kg, 並將它放在無摩擦的冰面上 他揮擊質量為 160g 的冰球使其擊中容器並嵌入保麗龍內, 兩者以 1.2 m/s 的速率移動, 求冰球在碰撞前的速率為何? P. 158

28 例題 9.8 動量守恆 : 核融合 28 在核融合反應中, 兩個重氫原子核 ( 2 H) 結合形成氦 ( 4 He) 起初其中一個重氫原子核以 3.5 Mm/s 的速率移動, 另一個則以 1.8 Mm/s 的速率移動且其方向與第一個原子核夾 64 角, 求融合後氦原子核移動的速度大小與方向 P. 158

29 例題 9.9 衝擊擺 29 衝擊擺可以用來量測快速移動之物體 ( 例如子彈的速率 ), 它由一個懸掛在垂直細繩而質量為 M 的木塊所組成 ( 圖 9.15) 若質量為 m 的子彈水平射入木塊並嵌於其中, 隨後木塊向上擺動至高度 h 處, 求子彈入射的速率 P. 159

30 9.6 彈性碰撞 30 我們考慮兩個物體其質量分別為 m 1 與 m 2, 分別以初 速度為和移動, 它們碰撞後的末速度為與, 則動量守恆與動能守恆的方程式為 與 P. 160

31 9.6 彈性碰撞 31 一維彈性碰撞 當兩個物體正面碰撞時, 它們之間的內力沿著運動速度的方向相互作用, 因此接下來物體的運動方向也會沿著同一條線, 如圖 9.16a 所示 P. 160

32 9.6 彈性碰撞 32 在一維碰撞的情形下, 動量守恆方程式 9.12 只有一個分量 式中 ν 代表速度分量, 而非速度大小, 因此可以為正或負 若我們將方程式 9.12a 與 9.13 中具有同質量的項結合起來, 則我們有 P. 160

33 9.6 彈性碰撞 33 由於 a 2 b 2 = (a + b)(a b), 因此方程式 9.13a 可以寫為 將方程式 9.13b 的左邊與右邊分別除以方程式 9.12b 對應 的部分, 我們得到 移項後得到 P. 161

34 9.6 彈性碰撞 34 從方程式 9.14 可以得到 ν 2f : 將其代入方程式 9.12a: 由此解出 ν 1f 可得 P. 161

35 9.6 彈性碰撞 35 同樣的我們也可求出 ν 2f 為 方程式 9.15 正是我們所要的解答, 也就是將物體的末速度 單獨以初速度來表示 P. 161

36 36 P. 161

37 例題 9.10 彈性碰撞 : 核子工程 37 核能反應器包括一個稱為緩化劑 (moderator) 的裝置, 其功能在於降低從核分裂過程所釋出之中子的速率, 使它們更容易誘發其它的分裂以維持核能連鎖反應 一個加拿大所設計的反應器使用重水作為緩化劑, 在重水中原本組成水的氫原子被重氫 ( 氘 ) 所取代 氘是氫的稀有同位素, 其原子核由一個質子和一個中子所組成, 因此氘核的質量大約為 2 u, 中子的質量為 1 u 如果中子與靜止的氘核進行正面彈性碰撞, 求中子傳遞給氘核之動能與其原來動能的比例 P. 162

38 9.6 彈性碰撞 38 二維彈性碰撞 分析二維彈性碰撞需要使用動量守恆定律的向量式 ( 方程式 9.12) 以及動能守恆定律 ( 方程式 9.13), 但這些方程式所提供的資訊仍不足以解決問題 就一般巨觀物體的碰撞而言, 所缺少的資訊可由碰撞參數 (impactparameter) 獲得 它是用來量度碰撞與正面碰撞的差異 ( 圖 9.18) P. 163

39 39 P. 163

40 例題 9.11 二維彈性碰撞 : 槌球 40 一槌球撞擊同質量且靜止的另一個球, 入射球在碰撞 後沿著與入射方向夾 30 角離開, 如果為彈性碰撞, 求另一個球碰撞後的移動方向為何? P. 163

41 9.6 彈性碰撞 41 質心坐標系 碰撞僅涉及內力而不影響質心運動, 所以初始與終了動量形成一對大小相同方向相反的向量, 如圖 9.20 所示 在彈性碰撞中, 動能守恆進一步要求初始動量與終了動量大小相等, 因此單一數值如圖 9.20 所示的角度 θ 就可以完全地描述這個碰撞 P. 164

42 42 P. 164

43 43 觀念題 9.2 質心坐標系 圖 9.21 呈現了在質心坐標系下, 兩個等質量物 體在碰撞前後的初始速度與終了速度, 則在 m 2 初始靜止不動的坐標系下, 此碰撞相對應的圖 示為何? P. 165

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