-1 運動學概論 運動學 (Kinemics) 探討物體的運動狀態如位置 速度 加速度與時間之關係, 在運動學中並不考慮物體之質量 ; 換句話說, 導致物體運動狀態改變之原因 外力的作用, 並非運動學所要探討的對象 外力與運動狀態間之關係將在第三章 牛頓第二定律中進行探討 Dynmics Chp.
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- 瑜 吴
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1 第二章 質點運動學 運動學之定義 質點之直線運動 質點之相對運動 質點之相依運動 質點之曲線運動
2 -1 運動學概論 運動學 (Kinemics) 探討物體的運動狀態如位置 速度 加速度與時間之關係, 在運動學中並不考慮物體之質量 ; 換句話說, 導致物體運動狀態改變之原因 外力的作用, 並非運動學所要探討的對象 外力與運動狀態間之關係將在第三章 牛頓第二定律中進行探討 Dynmics Chp.
3 質點或剛體 若物體之形狀大小或幾何尺寸不會影響運動狀態分析的結果, 則此物體可以假設為質點, 否則即應以剛體來假設物體 質點與剛體最大之不同點在於剛體可以旋轉而質點不會 F F 質點 剛體 Dynmics Chp. 3
4 - 質點之直線運動 x O = X() X (+ ) X 位移 (displcemen) x x' ( ) x( ) 平均速度 (ege elociy) 位移所經時間 x x'( ) x( ) Dynmics Chp. 4
5 速度與速率 當時間 趨近於零時, 則在時刻 之平均速度成為瞬時速度 (Insnneous elociy) x dx lim 一般簡稱之 速度 指的是瞬時速度, 並非平均速度 另一與運動距離有關之物理量稱為速率 (speed) 距離 s 時間 位移與速度均屬於向量, 而距離與速率為純量 Dynmics Chp. 5
6 平均與瞬時加速度 若質點在時刻 及 + 之速度分別為 () 及則平均加速度 (ege cceleion) ( ) ( ) ( ) 同理, 當時間 趨近於零時, 則在時刻 之平均加速度成為瞬時加速度 (Insnneous cceleion) ( ) ( ) lim lim d Dynmics Chp. 6
7 運動學之方程式 因速度為位移對時間之一次微分, 故由上式可知加速度亦為位移對時間之二次微分 d d dx ( ) 由速度為位移對時間的一次微分可得下式 dx 加速度亦可表示為 d d x dx d ( dx ) d dx Dynmics Chp. 7
8 質點之運動方程式 dx d d dx d x Dynmics Chp. 8
9 重要叮嚀 動力學所討論之質點運動均為非等速度或非等加速度運動, 請勿再使用等速度或等加速度之運動方程式 x s 1 s Dynmics Chp. 9
10 例題 -3 已知一質點之運動軌跡為直線, 且其加速度 與速度 之關係式為 =-k 試求 :() 速度 () 為何?(b) 位置 x() 為何?(c) 速度 (x) 為何? 此質點之運動 =-k 並非等加速度 ( 勿再用等加速度方程式 ) 根據題目以及所欲求之物理量來決定應使用之運動方程式 () 欲求速度 () 則由,, 可知應使用 由 k 兩邊積分 最後可得 ln d d k d k 或 k d Dynmics Chp. 1 e k
11 例題 -3( 續 ) (b) 欲求位置 x() 則由,x, 可知應使用 由 e 兩邊積分 k 最後可得 x k x dx dx dx e k k 或 ( e 1) x k (1 e (c) 欲求速度 (x) 則由,,x 可知應使用 最後可得 d k dx e k d 由 k d kdx dx 兩邊積分 x 或 kx kx Dynmics Chp. 11 k ) dx d dx
12 例題 -4 已知距地表高度為 y 之重力加速度值 g 為, 現將一物體自地球表面分別以如下之速度垂直向上發射, 試求其最大可能到達之高度為何?()m/s (b)m/s (c)11.18km/s 由題目可知重力加速度 g 與最大高度 y 發射速度 有關, d 故應使用 由 g d dy 移項整理得 g dy (1 9.81dy d y ( y ) 6 ) 9.81 g y ( Dynmics Chp. 1 ) 6
13 Dynmics Chp. 13 例題 -4( 續 ) ) ( ) ( ) ( mx 6 mx 6 6 mx mx mx y y y y y dy d y y 兩邊積分
14 例題 -4( 續 ) 最後得 ymx 將題目所給的 3 個不同初速度分別代入上式可得 () 以 =m/s 代入得 y mx =.4km (b) 以 =m/s 代入得 y mx =11km (c) 以 =11.18km/s 代入後分母趨近於零, 故 y mx =, 物體將脫離地球之引力範圍, 此速度即是所謂的脫離速度 (escpe elociy) Dynmics Chp. 14
15 -4 質點間之相依運動 相依運動 (Dependn Moion) 意指不同質點間之運動並非獨立 換言之, 不同質點間之運動狀態存在著某種特定的關係, 此特定的關係即是所謂的拘束條件 (Consin Condiion), 一般而言拘束條件定義的是質點與質點間之位置 長度 或距離的關係 相依運動之分析最關鍵的即是決定拘束條件, 在拘束條件定義之後, 即可利用對時間之微分求得相依運動質點間之速度或加速度之關係 Dynmics Chp. 15
16 拘束條件之定義 欲決定相依運動之拘束條件, 首先應定義合適之座標系 座標系之定義並非唯一, 其原則為原點應定義在固定不動之基準點 ( 面 ) 上, 且座標之量測均在相同之方向上 可視實際之狀況定義一個或數個具固定大小之參數 ( 即常數 ), 因這些參數微分後之結果均為零, 故不影響拘束條件之結果 拘束條件之數目與質點間所存在之固定關係的數目相同 不同之座標只要其定義方式符合上述之描述, 且運動參數之定義均正確無誤, 則最後之拘束條件均應相同 Dynmics Chp. 16
17 拘束條件定義實例 如圖所示之裝置, 因繩長不變, 故可依此定義拘束條件 繩長依圖中之所定義之參數可表示為 ( x C C D D x ) ( x x x ) ( x x ) 常數 x D 注意繞著滑輪半圓之繩長部份可忽略不計 將上式對時間微分一次及兩次可分別求得速度及加速度之關係為 由速度 ( 或加速度 ) 之關係可知質點 之速度 ( 或加速度 ) 為質點 之兩倍, 且兩者方向相反 x x C x Dynmics Chp. 17
18 拘束條件定義實例 ( 續 ) 由前述之結果及參數之定義可發現大小不變之參數可不予考慮, 故可將座標原點之位置及參數之定義簡化為圖中所示 拘束條件將成為 x x 常數 x x 基準線 將上式分別對時間微分一次及兩次後可得到相同之速度與加速度之關係 依此方式所定義之座標可獲得相同結果之拘束條件, 但卻更有效率 Dynmics Chp. 18
19 -5,-8 絕對運動與相對運動 絕對運動 以固定之座標系為基準來描述質點或剛體之運動 相對運動 描述質點或剛體運動之座標系不再是固定不動, 而是附著於某一質點或剛體之位置 ( 注意僅座標原點位置移動, 但座標軸之方位仍不變 ), 利用此座標所描述之質點或剛體之運動為相對運動 Dynmics Chp. 19
20 相對運動表示法 ( 直線 ) 對於一度空間之情況, 其中 x 及 x 分別為 及 相對於原點 O 之絕對位置座標 O x x / X 而 x / 則為 相對於 之相對位置座標 其關係式為 x x / x x / 亦可解釋為以 為座標原點所得到之 的位置 x Dynmics Chp.
21 相對運動表示法 ( 平面 ) 在二度空間平面之情況下, 及 為相對於原點 O 之絕對位置 而 / 則為 相對 之位置 ( 或以 為原 點之座標系 X Y 所觀測得到之 的 位置 ), 其表示法為 Y / / 若將上述關係式對時間分別微分一 X 次及兩次, 則可得 相對 之速度及加速度之關係式分別為 X O / / Y Dynmics Chp. 1
22 例題 -5(p.) () 依右圖之座標定義, 因繩長不變, 故拘束條件定義為 x 3x 將上式微分可得速度關係式為 3 常數 將 =6 代入上式, 可得 =-4, 注意負號代表 之速度方向與 相反, 即 之速度為 4mm/s 向上 基準線 x x Dynmics Chp.
23 例題 -5(p.) ( 續 ) (b) 假設繩子拉直成一條直線, 則由任一端至 C 點之距離亦應為常數 若由左端算起至 C 點之長度則為 x x x ) ( C 常數 上式對時間微分後可得 C 故 C = =1mm/s 向下 [ 另解 ] 若由繩子之右端算起至 C 點, 則可得拘束條件為 xc 3x 常數則速度關係式成為 C 3 故 C =-3 =1 為相同之結果 常數基準線 x C x C C 常數 x Dynmics Chp. 3
24 例題 -5(p.) ( 續 ) (c) 利用同樣方式由繩子右端算起至 D 點之繩長為 x x 常數 D 則對時間微分後得 D 故 D =- =4 即 D 點之速度為 4mm/s 向下 [ 另解 ] 由左端算起至 D 點之繩長為 x x ( x xd ) 常數故 D 1 ( 8) 4 (d) 相對於 之速度為 /, 則 / 故 相對於 之速度為 1mm/s 向上 基準線 x x C C D x D x Dynmics Chp. 4
25 例題 -6(p.1) () 依圖中所定義之座標, 可得 x x 常數 對時間微分後可得 xx xx 則 x 4 x x.6.8m / s x 3 即 之速度為.8m/s 向下 x x O (b) 將 x x x x 進一步對時間微分後可得 x x x x x x 以 x.8, x.6, x 代入後可得 x 1 3 故 之加速度為 1 3 m/s 向下 Dynmics Chp. 5
26 例題 -7(p.31) () (b) 由 / 得 q= o 故 64.59mm / s 由 sin(18 q ) / 81 cos sin o / 1mm / s 3 o 18 o -q q 8mm / s O 得 q=15 o 故 5 sinq sin mm / s 55cos15 15 o O q 5mm / s 3 o / mm / 5 s Dynmics Chp. 6
27 -6 質點之曲線運動 假設一個沿曲線運動之質點在時刻 之位置為 P, OXYZ 為固定之參考座標系統, 則由原點 O 至 P 之位置向量為, 即 ( ) OP () 當此質點經 之時間而移動至 P 之位置時, 其位 置向量 '( ) 為 Y '( ) OP' 此質點在 之時間內之位移 為 '( ) ( ) O '( ) () P 質點軌跡 P X Dynmics Chp. 7
28 曲線運動質點之速度 質點由 P 移動至 P 之平均速度 為 ( ) ( ) 平均速度之方向為沿位移方向 之 當 趨近於零, 則平均速度將趨近於瞬時速度, 而其方向則沿軌跡之切線方向 lim d O O Y Y ' ( ) () () P P P X X Dynmics Chp. 8
29 曲線運動質點之速率 當 甚小而趨近於零時, 位移 之長度將接近於沿軌跡之移動距離 s, 則瞬時速度之大小 可以表示為 lim s lim ds ds 上式中 代表質點沿其軌跡運動時路徑長度 s 對時間 之變化率, 亦即為質點之瞬時速率, 故質點瞬時速度之大小即等於瞬時速率 (speed) Y O Y O ' ( ) () () P P s ds P X X Dynmics Chp. 9
30 曲線運動質點之加速度 質點在位置 P 之速度為, 經 時間 至 P 之速度為, 若將質點軌跡上每一點之速度向量繪於相同原點之參考座標上, 則所有速度向量之端點可形成速度曲線圖 (Hodogph) 質點之平均加速度即可表示為單位時間內之速度變化量, 即 當 趨近於零時, 平均加速度將趨近於瞬時加速度, 即 lim d '( ) Dynmics Chp. 3 O Y () P Hodogph P X
31 曲線運動質點之加速度 ( 續 ) 注意平均加速度 之方向為 沿 之方向, 而瞬時加速度 之方向為沿 Hodogph 之切線方向 加速度 可分解為沿速度方向之切線加速度, 以及沿法 線方向之法線加速度 n 切線加速度之大小影響質點沿軌跡運動之快慢, 而法線加速度則控制質點運動之方向 O Y n n Hodogph P X Dynmics Chp. 31
32 -7 曲線運動之直角座標分量 質點之曲線運動軌跡可以用符合右手定則之直角座標系加以描述 運動軌跡上任意一點 P 之位置向量可表示為 OP i j k 其中,, 分別為沿 X,Y,Z 方向之單位向量 質點之速度則可表示為 同理質點之加速度為 x i j k d d dx d i i d y y d j z dz j k x y z d i x k j k Dynmics Chp. 3 y i x y z j k z
33 Dynmics Chp. 33 曲線運動之直角座標分量表示法 i j X Y Z x y z P k O 空間軌跡曲線 x y z z y x k j i z y x k d j d i d k j i k j i z y x z y x z y x k d j d i d k j i k j i z y x z y x z y x
34 () cosi sinj d sin i cosj d cosi sinj 可得 故加速度 之方向與 例題 -8(p.3) 之方向相反 y x (b) 4 ( cos sin ) 而 故 即 4 cos sin 所以加速度大小與距原點長度成正比 Dynmics Chp. 34
35 -9 曲線運動之切線與法線方向分量 利用質點之曲線運動所產生之切線與法線方向及其單位向量, 可構成所謂的曲線座標系 (Cuiline Coodine Sysem) 質點之速度 質點軌跡 可以表示成 P e e ds 其中 為速率或, e 為沿軌跡切線方向之單位向量 將上式對時間 微分可得加速度 為 d e e 上式中沿切線方向 e 之 即為切線加速度, 亦可表示為 d d ds Dynmics Chp. 35 (*)
36 法線方向之單位向量 考慮在 P 點處之切線方向單位向量 e, 以 及在 P 處之 e, 兩者之夾角為 q, 變化量 為 e, 當 q 趨近於零時, e 之方向將與切線方向 垂直, 此方向稱為法線方向, 定義為 n, 而法線方向之單位向量 e 則可 n 定義為 e de en lim q q dq 沿法線方向可定義出運動軌跡在鄰近 P 之近似圓弧之曲率中心 O, 而曲率半徑 即為該近似圓弧之半徑, 或 OP, 而由該扇形區域可得圓弧長 ds 與夾角 dq 之關係為 ds dq e n P e ds Dynmics Chp. 36 P O n P e n e n dq q e e e e 質點軌跡 質點軌跡
37 切線方向單位向量之時變率 向量包括大小及方向, 故向量之微分應同時考慮大小或方向之改變 切線方向單位向量 e 之大小固定為 1, 故其微分應考慮的是方向的變化 而非大小的改變 注意 e 無法直接對時間微分, 因其並非時間之函數, 由前述已知 e 為方向 q 之函數, 故欲求 e 對時間之微分需利用連鎖律 (Chin Rule) 如下 de de dq ds dq ds 根據前面之推導過程可再次整理得下列關係式 de dq 1 ds en dq, ds, 將上列關係式代入連鎖律之 e 對時間之微分後可得 e e n Dynmics Chp. 37
38 曲線運動質點之加速度 求得切線方向單位向量之時變率後, 前述方程式 (*)(p.35) 即可進一步表示為 d d e e e ( en ) e en 曲線運動質點加速度之切線與法線方向分量 與 n 分別為 n d Dynmics Chp. 38
39 三度空間之曲線運動 若質點之運動軌跡為三度空間曲線, 則在任一瞬間, 質點運動將僅限於質點所在軌跡點之密切面 (Osculing Plne) 上, 此密切面係由該軌跡點切線之 方向及法線之 n 方向所組成, 而此 n 方向亦稱為曲線在該軌跡點之主法線 (Pincipl Noml) 方向, 而第三個座標軸方向則可依照右手定則決定, 此第三個座標軸方向稱為副法線 (inoml) 方向, 以 b 表示 在副法線方向並無任何質點之運動 e e 若 與 n分別為切線方向與法線方向之單位向量, 則依右手定則與向量積可決定副法線方向之單位向量 e b為 e b e e n Dynmics Chp. 39
40 三度空間之曲線運動 ( 續 ) 空間軌跡曲線 b e n e b e Dynmics Chp. 4
41 曲線運動加速度之物理意義與應用 曲線運動質點沿切線方向之加速度 d 可以改變質點沿運 動軌跡速率之快慢, 而法線加速度 n 則可以改變運動軌跡之方向 由於法線加速度之大小與運動軌跡之曲率半徑及速率大小均有關聯, 因此在日常生活中相關之應用實例均可看出不同的設計但卻有相同之因素考量 飛機機翼斷面之曲線設計 軌道車輛彎道處之段落銜接 高速公路匝道之半徑與速限之配合 高速凸輪裝置之外形曲線 Dynmics Chp. 41
42 -1 曲線運動之圓柱座標分量 圓柱座標系統簡單而言即是平面極座標系統加上高度之 z 座標 若沿極座標系統之 ( 徑向 ) 及 q ( 橫向 ) 方向之單位向量分別為 e 及 e, 則質點運動軌 q 跡上任意一點 P 之位置向量可表示為 e 因 e 及 e q均為單位向量, 如前所述其微分應考慮方向之改變而非大小之變化, 故由圖中可觀察得 e 與 e 同向, 而 e 與 q q e 同向, 故可得 lim q lim q e q eq q de eq dq deq e dq O e q e q e q q q q O 質點軌跡 e q P e q e e e Dynmics Chp. 4
43 單位向量及 圓柱座標下質點之運動 e e q e de de q 對時間之導數可以求得如下 e q de dq q e q dq de dq q e q dq 則質點之速度及加速度分別為 d d ( e ) e e e qe q d e e q e q qe q q e q q ( ) e ( q q ) e q Dynmics Chp. 43
44 圓柱座標下質點之空間運動 若質點沿空間曲線運動則將平面之極座標系統加上垂直於,q 所在平面之座標軸 z, 則為圓柱座標系統 e z 空間軌跡曲線 P e q O q z e Dynmics Chp. 44
45 例題 -9(p.41) () (b) 由 / 75 4 / 75 4 cos sinq sin 3 得 q=6.36 o 故 / 45.4km / =4km/h=11.111m/s 法線加速度 切線加速度 h.9 cos o ( ) n.83m / s 15 ( ).9m / s m / s o o 75km / h 3 o q km h 4 / / 3 o ( ).9m / s 3 o ( ).83m / s n Dynmics Chp. 45
46 例題 -9(p.41)( 續 ) 故 由 1.196m / s / 1.44 O / cos( ) sin b.74 sin 得 b=5.56 O 故.74m s / / 5.56 O 1.196m / s 1.44 O / 1.5m / s b Dynmics Chp. 46
47 由 得 b sinq 例題 -11(p.44) cosq b sin q q b q q sinq cos q 1 ( ) q b 4 sin q sin q bq sin q b q sin q q 4 上式取負號因 正向對應 q 減少, 故 q sin q b Dynmics Chp. 47
48 例題 質點運動與向量之應用 假設某質點在運動軌跡上某點的速度為 5i 1 j, 單位為 m/s, 而加速度為 14i 34 j, 單位為 m/s, 試求 : () 切線方向之單位向量? (b) 切線加速度? (c) 法線加速度? (d) 法線方向之單位向量? (e) 曲率半徑? 5i 1 j () 由 5i 1 j 可得切線方向單位向量 e 為 e i j e Dynmics Chp. 48
49 例題 質點運動與向量之應用 ( 續 ) (b) 切線加速度即是加速度 沿切線方向之分量, 其大小可得為 e 所以切線加速度 e 5 1 ( 14i 34 j) ( i j) 為 5 1 6( i j) 1i 4 j (c) 將加速度 減去切線加速度 可得法線加速度 n為 n ( 14i 34 j) (1i 4 j) 4i 1 j Dynmics Chp n e
50 例題 質點運動與向量之應用 ( 續 ) (d) 將任一沿法線加速度方向 ( 即 n 方向 ) 之向量除以其本身長度即是法線方向之單位向量 e n n n 4i 1 j 6 1 i 13 (e) 由法線加速度之公式可求得曲率半徑 為 n j n n e n e Dynmics Chp. 5
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