Chapter 13 Fourier Series (De) 週期函數 設函數 定義在區間, 內, 若存在常數 T, 使 對任意的 都有 則稱 T 是一個週期函數 (periodic uctio),t 稱為 一個週期 (period) 使上式成立的最小正數 T 稱為 正週期 (least positive period), 簡稱為 到週期函數 的 的最小 的週期, 後面凡提 的週期 T, 都是指它的最小正週期 週期函數是各種周而復始 循環往復的現象的數學描 述, 它的圖像是週期性地重複出現的 ( 如下圖 ) 最常見的週期函數是我們熟知的三角函數 ;si,cos, sec,csc 的週期為,ta 和 cot 的週期為 1
三角級數與三角函數系的正交性從物理學的觀點看, 在所有週期運動中, 以用正弦函數 y Asit 來描述週期運動最簡單, 這類運動通常稱為簡諧運動 (simple harmoic motio) 或簡諧振動, A 稱為振幅 (amplitude), 稱為角頻率 (agular requecy), 稱為初相,(iitial phase) 此簡諧運動的週期為 T / 單擺的運動 彈簧的振動 交流電的電流或電壓強度等, 都是簡諧振動的例子 前面已介紹過將函數展開成幂級數, 而下面討論的是將 週期函數 t 展開成三角函數組成的級數 : si t A A t 1 其中 A, A, ( 1,,3,... ) 都是常數
注意到 si A si t A t A si cost A cos si t a A, Asi a, Acos b, t, 則 令 a a b ( ) cos si 1 通常稱形如上式的級數為三角級數 (trigoometric series), 其 中 a, a, b ( 1,,3,... ) 都稱為常數, 稱之為三角級數的係 數 (coeiciet) 3
三角級數中, a /, a, b 分別是如下函數系的係數 : 1,cos,si,cos,si,,cos,si, 此函數系稱為一個三角函數系 (amily o trigoometric uctio) 三角函數系具有如下重要性質 : 三角函數系中任意兩個不同的函數相乘後, 在區間, 上的積分等於, 即有 1cos d, 1,,3,... 1si d, 1,,3,... si mcosd,m, 1,,3,... cosmcosd,m,m, 1,,3,... si msi d,m,m, 1,,3,... [Proo]: 前面兩式易直接積分得出 : si cosd, cos si d 後面三式可分別利用三角函數的積化和差公式證明 : 4
1 si mcos sim sim 1 cosmcos cosm cosm 1 si msi cosm cosm 轉化為計算如下形式的積分 k 1,,3,... cos kd, sild, l 1,,3,... 比如, 當整數 m 時, 有 1 cosmcosd cosm cosm d 其餘兩式可同樣驗證 si 1 si m m m m 上述性質稱為三角函數系在區間, 上的正交性 (orthogoality) 在三角函數系中, 兩個相同函數的乘積在區間, 上的積分不等於, 而有 1 d, si d, cos d, 1,,3,... 5
13. The Fourier Series o a Fuctio 設 是週期 的週期函數, 且能展開成三角級數 a acosbsi (1) 1 此時係數 a, a, b ( 1,,3,... ) 與函數 有如下的重要 關係 : (Euler-Fourier) 公式 : 如果 (1) 式左端的函數 在, 上可積, 右端的三角級數可逐項積分, 則其中的係數可分別 表達為 1 a d 1 a cos d, 1,,3,... 1 b si d, 1,,3,.. () [Proo]: 對 (1) 式從 到 逐項積分, 得 a d d a d b si d cos 1 由三角函數系的正交性, 等式右端除第一項外, 其餘各 a 項均為, 所以 1 a d d, 從而有 6
用 cosk 乘 (1) 式的兩端, 再從 到 逐項積分, 得 a coskd 1 coskd a cos coskd b si coskd 由三角函數系的正交性, 等式右端除 coscos kd, k, 的一項以外, 其餘各項均為, 所以 ak coskd ak cos kd 1 cos kd 從而 ak 1 si k ak k 1 a coskd, k 1,,3... k 這即是 () 中的第二個公式 類似地, 用 si k 乘 (1) 式的兩端, 再從 到 逐項積 分, 可得 1 b si kd, k 1,,3,... k 這即是 () 中的第三個公式 若公式 () 中的積分都存在, 則由它們確定的係數 a, a, b ( 1,,3,... )( 這些稱為函數 7 的傅里葉係數 (Fourier
coeiciet)), 將這些係數帶入 (1) 式的右端, 所得的三角級數 稱為函數 的傅里葉級數 (Fourier series), 簡稱 的傅 氏級數 值得注意的是, 上述並沒有討論函數 下, 它的傅里葉級數才收歛於 數 (1) 就一定等於 可暫記為 a a b ~ cos si 1 在怎樣的條件? 因此不能認為傅里葉級 若在公式 () 中, 取, 則 a 的表達式恰好給出 a, 和 a 的結果合併, 將公式 () 寫成 1 a cos d,,1,,... 1 b si d, 1,,3,... ( ) 正是為了 a 表達公式的這種統一, 在上面 (1) 式中才將傅里葉 級數的常數項記為 a / 8
13.3 Covergece o Fourier Series 下面討論一個基本問題 : 函數 滿足什麼條件才能使 它的傅里葉級數 (1) 收斂, 而且級數的和恰好就是? 我們僅討論分段連續 (piecewise cotiuity) 的週期函數, 即 在一個週期的區間, 上連續或有有限個 不連續點, 同時在每個不連續點 的左極限 (let limit) 和右極 限 (right limit): lim lim 均為有限值 分段連續的週期函數如下圖所示 此外還假設 續, 即在導數 ' 的導函數 ' 在, 上也分段連 不存在的點 處, 其左導數 (derivative o the let) 和右導數 (derivative o the right) 均為有限值對這類週期函數有如下的收斂定理 : 9
(Thm 13.1) Dirichlet 收斂定理 : 若函數 續, 則 以及它的導函數 ' 在一個週期內分段連 的傅里葉級數 (1) 在每一點 都收斂, 並且 (1) 當 是 的連續點時, 級數收斂於 () 當 是 的間斷點時, 級數收斂於 右極限與左極限的算數平均值 在點 的 1
E7: 設 是週期為 的函數, 它在, 上的表達式 為 1 1, 試將 展開成傅 里葉級數 [ 解 ]: 11
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E71: 已知週期為 的函數 [ 解 ]: 1 在一個週期內的表達式為 e,, 試求 的傅里葉級數 上面用到不定積分公式 : e cos si e cos d C e si cos e si d C 13
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設週期為 l 的週期函數 的傅里葉級數展開式為 滿足收斂定理的條件, 則它 a acos bsi 1 l l (3) 其中傅里葉係數 a, b 為 1 l a cos d, =,1,,... l l l 1 l b si d, =1,,3,... l l l (4) 做變數代換 z / l, 於是區間 l l 就變換成 z, 設 從而 lz z, z z 是週期 的週期函數, 並且它滿足收斂定理的 條件, 因此可得 z 展開成傅里葉級數 a z a z b z cos si 1 其中係數依照 ( ) 式為 1 1 a zcos zdz, b zsi zdz 在以上式子中令 z / l, 並注意到 z, 於是 15
a acos bsi 1 l l 1 l a cos d, =,1,,... l l l 1 l b si d, =1,,3,... l l l 16
E7: 設 是週期為 l 的週期函數, 它在 ll, 上的表達 式為 l l, 試將 展開成傅里 [ 解 ]: 葉級數 17
若 將 不是週期函數, 僅在 ll, 上有定義, 則同樣可 進行週期延拓, 再求其傅里葉級數的展開式 13..1 Eve ad Odd Fuctios 則稱 都有 則稱 若函數 對於定義域中的任一 都有 是偶函數 (eve uctio); 若對於定義域中的任一 是奇函數 (odd uctio) 由定義知, 一切偶函數 y 的圖形於 y 軸對稱 ( 如下 左圖 ) 若把定積分理解為面積, 即知對於使偶函數 定義的任意區間 ll,, 都有 l l l d d 有 18
而一切奇函數 對於使奇函數 y 的圖形於原點對稱 ( 如上右圖 ) 有定義的任意區間 ll, l l d, 都有 奇函數與偶函數有如下明顯的性質 : 1. 兩個奇函數或兩個偶函數的乘積是偶函數 [Proo]: 若 和, 有 都是奇函數, 則對於 若 和 都是偶函數, 則有 上面兩式都表明 是偶函數. 奇函數與偶函數的乘積是奇函數 [Proo]: 設 是奇函數,, 有 是偶函數, 則對於 這表明 是奇函數 19
一般說來, 一個週期函數的傅里葉級數既含有正弦項, a 也含有餘弦項 ( 常數項 看成是特殊的餘弦項 a cos) 但是, 也有一些函數的傅里葉級數只含正弦 項, 或只含常數項和餘弦項, 出現這種情況的原因在於 所給函數 論 : 為奇函數或偶函數 對此, 我們有如下結 1. 當週期為 的奇函數 展開成傅里葉級數時, 它的 傅里葉係數為 a,,1,,... b si d, 1,,3,.... 當週期為 的偶函數 展開成傅里葉級數時, 它的 傅里葉係數為 a cos d,,1,,... b, 1,,3,...
若 為奇函數, 則它的傅里葉級數形如 1 b si 這種只含正弦項的傅里葉級數稱為正弦級數 (sie series); 若 為偶函數, 則它的傅里葉級數形如 a a 1 cos 這種只含常數項和餘弦項的傅里葉級數稱為餘弦級數 (cosie series) E73: 已知週期為 的函數 [ 解 ]: 3,, 試求 在一個週期內的表達式為 的傅里葉級數 1
Eercise Y: 1. 試求以 為週期的函數 展開為傅里葉級數, 已知它在, 上的表達式為 e 1, 內連續 從而 [ 解 ]: 由於 滿足收斂定理, 且在 的傅里葉級數在區間, 內收斂於 間斷點 k 1, k, 1,, 處收斂於 e 1 按 () 式可算出其傅里葉係數為 1 1 1 1 e a d e d d 1 1 1 3, 而在 a cosd e cosd cosd si cos 1 e si 1 1 1 e 1, 1,,3,... 1 1 1 b si d e si d si d si cos 1 e cos 1
e 1 1 1 1, 1,,3,... 故 1 1 1 e e e 1 1 1 1 1 cos 1 1, 且 (k 1), k, 1,,... 所得傅里葉級數的和函數如下圖所示 si 4
. 設 是週期為 的函數, 在區間, [ 解 ]: 按公式 () 求 的傅里葉級數, 得 內, 有, 試將 展開成傅里葉級數 1 1 1 a d d d 1 1 1 1 a cosd cosd cosd cos 1 1 1, 1,,3,... 1 1 1 b si d si d si d 因 1 cos 1 1, 1,,3,... 滿足收斂定理的條件, 故在 的連續點 處, 其傅里葉級數收斂於, 即 1 1 11 cos si 4 1, 且 m, m, 1,,... 5
在間斷點 k, k, 1,, 時, 級數收斂於 在間斷點 k 1, k, 1,, 時, 級數收斂於 所得傅里葉級數的和函數如下圖所示 6
3. 試將函數, 展開成傅里葉級數 [ 解 ]: 由於 在,上滿足收斂定理的條件, 在, 連續, 將 內 延拓成以 4 為週期的週期函數 ( 如下圖 ), 則相應的傅里葉級數在 的端點 處收斂於, 內收斂於, 在間斷 4 4 4 按公式 () 得傅里葉係數為 3 1 1 8 3 3 a d 7
1 a cos d 1 si 1si 1cos cos d 16 1, 1,,3,... 1 b si d 故 d 1 cos 1cos 6 1 4 1 1 si si d 3 3 d 4 8 4 1 cos 1, 1,,3,... 4 16 4 3 1 1 cos si, 8
4. 試將函數 [ 解 ]: 所給函數 在區間, 展開成傅里葉級數 上滿足收斂定理的條件, 並且拓展為週期函數時, 它在每一點 處都連續 ( 如下 圖 ), 故相應的傅里葉級數在, 上滿足收斂於 又因 為偶函數, 知 b, 而 a d d a cosd cos d 故 si cos cos 1 4 1,3,5,...,4,6,... 4 1 cos k 1 k1 k 1 9