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炳狂姬
9 years ago
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1 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析余兆棠吳昭明南台科技大學電子系虎尾科技大學飛機工程系通訊系統模擬實習一目的本實習主要探討週期訊號的特性與其傅利葉級數分析, 透過基本的餘弦波及傅利葉級數分析, 可學到週期訊號 (periodic sigal) 在時域與頻域的特性, 並初步建立頻譜的觀念以整合週期訊號與濾波器進一步強化傅利葉級數分析之觀念實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析

2 大綱週期訊號分析弦波訊號弦波訊號與其單邊頻譜一般複指數訊號複指數訊號弦波訊號與其雙邊頻譜週期訊號及非週期訊號傅利葉級數 (Fourier Series) 觀念與表示方式週期訊號的功率分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析傅利葉級數範例 Malab Simulik 模擬弦波訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之合成週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之濾波效應探討實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 3 弦波訊號弦波訊號 (siusoidal sigal) 表示為 : x( ) Acos( w + θ ) Acos(f + θ ) 已知弦波訊號是週期訊號 ( 稍後討論 ), 其週期為 A: 振幅峰值 (peak ampliude) w 或 f : 基本頻率 (fudameal frequecy), 簡稱頻率 θ: 相位 (phase) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 4

3 弦波訊號 ( 續 ) 給定振幅峰值振幅峰值頻率頻率及相位相位三個參數則表示給定了一個弦波訊號實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 5 弦波訊號之相位與延遲考量弦波訊號 x( ) Acos( f ) 延遲 (delay) 後可表示為 : + θ x ( ) d x( d ) A cos( f ( A cos( f + θ f d ) d d ) + θ ) 訊號 x() 與 x d () 在時間差所造成的效應相當於相位角相差 ϕ f d ; 換言之, 兩正弦訊號之相位差為 ϕ 時, 代表此兩正弦訊號之時間延遲 (ime delay) 為 ϕ / f d 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 6

4 弦波訊號之頻率與角頻率弦波訊號中的兩個頻率符號和, 其中 w 稱為基本角頻率 (fudameal agular frequecy), 單位是弳度 / 秒 (rad/sec); 而稱為基本頻率 (fudameal frequecy), 單位是赫茲 (Hz) 或 /sec 這兩個頻率之間存 w f 在一個常數倍, 即 w f f 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 7 弦波訊號與其單邊頻譜餘弦函數表示弦波訊號 : x( ) Acos( f + ), A > ; 弦波是一個單頻訊號, 可直覺地想成單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 f 那一點橫軸為頻率之方式繪圖稱為頻域表示法, 就是所謂的頻譜 (specrum), 此種將訊號頻譜只表示於正頻率 ( 分佈於 f 之繪圖稱為單邊頻譜 (sigle-sided specrum) 因為單頻訊號的振幅大小和相位都只集中在單一頻率 f 那一點, 所以頻譜頻譜繪圖時以脈衝訊號表示振幅 A θ A R 相位 f θ 頻率 f f 頻率 f 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 8

5 一般複指數訊號一般複指數訊號 (geeral complex expoeial sigal) 表示為 : x( ) e e s σ e ( σ + jw) e σ (cos w + (cos f + j si f) j si w) 其中使用了尤拉公式 : e jw cos( w) + j si( w) 訊號 x() 的實部 : e σ cos w σ 與虛部 : e si w 之振幅是指數遞增 ( 當 σ > ) 或遞減 ( 當 σ < ) 的弦波訊號實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 9 複指數訊號複指數訊號 (complex expoeial sigal) 為 : x ) ( e jw cos f + cos w + j si w j si f 以上複指數訊號為一週期訊號, 其基本週期為 / f / w 更完整的關係式可表示為 : x ( ) c Ae j w + θ ) Acos(f + θ ) + ( Acos( w + θ ) + jasi(f + θ) x ( ) + jasi( w + θ ) I jx ( ) Q A: 振幅 w 或 f : 基本頻率 ( 簡稱頻率 ) θ: 相位實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析

6 複指數訊號之旋轉向量表示法一複指數訊號 j Ae ( w + θ ) 可以看成長度 A 的線段以定角速度逆時針繞原點旋轉, 如下圖所示, 其中是時的相位 ( 相角 ), 或稱為初始相位 (iiial phase) θ 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析複指數訊號之旋轉向量表示法 ( 範例 ) 以旋轉相量表示法描述 3 個不同的複指數訊號 jw A j( + / 6) x ( ) Ae ; ( ) e w ; 3 A 3 j(3w / ) x + x3( ) e 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析

7 弦波訊號與其雙邊頻譜利用尤拉公式 (Euler formula) 將弦波訊號改寫成複指數型式 : Acos(f + θ ) A ( e j(f + θ ) + e j(f + θ ) ) 以複指數之相關參數繪製頻譜, 可得雙邊頻譜 ( 分佈於 f 之兩側 ) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 3 週期訊號及非週期訊號週期訊號 (periodic sigal) : 連續時間訊號 x() 滿足條件 x ( + ) x( ), 所有非週期訊號 (operiodic or aperiodic sigal) : 任何不滿足上述週期特性的連續時間訊號 x() 連續時間訊號週期特性可表示成 x ( + m ) x( ), 所有及任意正整數 m 為週期訊號 x() 的基本週期 (fudameal period), f / 稱為基本頻率 (fudameal frequecy) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 4

8 週期訊號的例子連續時間週期訊號的例子實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 5 連續時間週期訊號及其特性任意若干個連續時間週期訊號的和訊號 (summed sigal) 不一定是週期訊號, 若這些連續時間週期訊號之間的基本週期 ( 頻率 ) 比為整數比時, 其和訊號才是週期訊號若是以基本頻率說明此條件的話, 此條件整理如下 : 給定個連續時間週期訊號為 f i 且等於 ( ), i, L,, 其基本頻率分別, i, L,, 當這個基本頻率的最大公因數存在而 f 時, 其和訊號 x sum ( ) x i i x ( ) i 是一週期訊號, 且這個和訊號的基本頻率即是此最大公因數 f 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 6

9 連續時間週期訊號及其特性 ( 續 ) 給定個連續時間週期訊號, 其基本頻率分別為, 令這個基本頻率的最大公因數為, 那麼這個週期訊號乘上不同常數, i, L, 再相加之和訊號 f i 為一週期訊號, 其中置不同 f, i, L, a i x sum ( ) 為任意常數 ( 可以為複數 ); 也就是說, 配, i, L, 的組合, 可以產生許多各式各樣基本頻率為的週期訊號 a i x i i ( ), i, L, a x ( ) i i a i f 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 7 和訊號是否為週期訊號範例請決定以下訊號是否為週期訊號, 若是, 其基本週期 ( 或頻率 ) 為何 g ( ) si(.6) 3cos(.5 ) + si(3 ) g ( ) 5si(.3 ) 4si(.7) + cos(.9 ) 訊號 g () 由 3 個週期弦波訊號加總得到, 這 3 個週期訊號的基本頻率分別為.6 /.5 / 以及 3 / 這 3 個頻率的最大公約數為.3/, 計算式如下 : 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 8

10 和訊號是否為週期訊號範例 ( 續 ) 訊號 g () 是週期訊號, 基本頻率為.3/ 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 9 和訊號是否為週期訊號範例 ( 續 ) 訊號 g () 由 3 個週期訊號加總得到, 這 3 個週期訊號的基本頻率分別為.7.5 / 以及.45 這 3 個頻率的最大公約數無法求得可知訊號 g () 不是週期訊號實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析

11 合成週期訊號範例給定以下 4 個連續時間週期訊號 : 這 4 個週期訊號的基本頻率 ( 4 和 4) 的最大公因數為, 請產生以下不同的週期訊號並檢驗其基本頻率皆為 Hz ( 週期.5 秒 ) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析合成週期訊號範例 ( 續 ) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析

12 合成週期訊號範例 ( 續 ) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 3 傅利葉級數 (Fourier Series) 觀念與表示方式任何週期訊號 x() 可由不同的振幅頻率和相位之弦波所組成, 這便是傅利葉級數要陳述的觀念傅利葉分析可證明一基本頻率為 f 的週期訊號可以表示成一傅利葉級數, 數學上對可以表示成傅利葉級數之訊號有以下嚴謹的限制條件 : 在任意週期內為絕對可積分, 即 x( ) d < 任意有限時間區間內, x() 極值 ( 包括極大與極小 ) 的個數有限任意有限時間區間內, x() 不連續點的個數有限且這些不連續點也必須有限值傅利葉級數有以下三種表示式 : 複指數傅利葉級數 (complex expoeial Fourier series) 三角傅利葉級數 (rigoomeric Fourier series) 諧波型式傅利葉級數 (harmoic form Fourier series) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 4

13 複指數傅利葉級數一個基本頻率為的週期訊號可表示成複指數傅利葉級數 : 其中稱為複數傅利葉係數, 係數計算式中表示積分一個週期, 積分上下限最常用到或 / / 到當時係數為 : 係數 c 代表訊號在一個週期內的平均值, 因為是週期訊號, 一個週期內的平均值也就是整個訊號的平均值, 此平均值表示訊號的直流成份 (dc compoe) 若 x() 是實數週期訊號, 那麼可得 : c 其中 * 代表複數共軛 (complex cojugae) f j f x( ) c e c ) x( d c j f * c x( ) e d 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 5 三角傅利葉級數一個基本頻率為 f 的週期訊號也可表示成所謂的三角傅利葉級數 : 其中 x( ) a a + a + ) cos(f ) b si(f x( ) cos( f ) b x( ) si( f ) d d 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 6

14 三角傅利葉級數 ( 續 ) 利用尤拉公式可以很容易找出複指數傅利葉級數與三角傅利葉級數之間係數的關係, 可得係數關係式 : a c ; a ( c 若週期訊號為實數, 可知 a 與 b 為實數, 且因此可得 : a b ( c j( c c *) + c ); + c *) Re[ c ]; j( j Im[ c b j( c ]) Im[ c c c ) * c ] 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 7 三角傅利葉級數 ( 續 ) 若週期訊號為偶函數, 三角傅利葉級數簡化成 : x( ) a + a cos(f ) 若週期訊號為奇函數, 三角傅利葉級數簡化成 : x( ) a + b si(f ) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 8

15 諧波型式傅利葉級數諧波型式傅利葉級數 : x( ) C + C cos(f + φ) 其中 C 代表週期訊號的直流成份 ; C cos( f + φ ) 稱為週期訊號的基本成份 (fudameal compoe), 因為這一項與 x() 有相同基本頻率 ; C cos( f + φ) 稱為週期訊號的第次諧波成份 (he h harmoic compoe), C 稱為諧波振幅 (harmoic ampliudes) 以及稱為相角 (phase agle) φ 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 9 傅利葉級數物理意義解析觀察前述週期訊號的傅利葉級數表示式, 綜合整理並說明幾個重點或所代表的物理意義如下 : C c a / 代表週期訊號的直流成份, 即週期訊號的平均值基本頻率 f 之週期訊號可分解成不同頻率之成份, 或是說由不同頻率成份可組成此週期訊號, 其中每一個頻率成份都是單頻的弦波 ( 或複指數 ) 型式, 其頻率分別是的 f 整數倍這個最小頻率 f 稱為此週期訊號之基本頻率其他的整數倍頻率稱為諧波 (harmoics), 即稱為次諧波, 例如 3f 稱為 3 次諧波週期訊號的週期與其基本頻率成份這個弦波的週期相等雖然列述三種傅利葉級數表示式, 其實這三種表示式都是互相等效的 ( 可以互相轉換得到 ), 複數型式最具一般性, 而且計算較簡易實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 3

16 週期訊號的功率分析週期為的週期訊號之平均功率計算式 : P x( ) d 若將此週期訊號表示成複指數傅利葉級數, 上述平均功率計算式可改寫成 : P x( ) * cc x( ) d * jf ce c * x( ) x ( ) d d * c x( ) x( ) e jf c e d jf * d 上式推導用到複數共軛積分與加總運算互換實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 3 週期訊號的功率分析 ( 續 ) 傅利葉級數的 Parseval 定理 (Parseval heorem) 或 Parseval 等式 (Parseval ideiy) P x( ) d 將複指數與三角傅利葉級數的係數關係式代入上式, 計算整理後可得到 : c P x( ) d c a 4 + a ( b + ) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 3

17 週期訊號的雙邊頻譜分析將基本頻率 f 之週期訊號展開成複指數傅利葉級數改寫為 : x( ) 繪出 c 對應頻率圖以及 θ 對應頻率圖, 分別稱為週期訊號的振幅頻譜 (ampliude specrum) 和相位頻譜 (phase specrum) 因為為整數, 所以週期訊號的振幅頻譜和相位頻譜是離散的 ( 只分佈在頻率 f 的地方 ), 此種頻譜歸類於離散頻譜 (discree frequecy specra) 或線形頻譜 (lie specra) * 如果週期訊號是實數, 那麼可知 c c, 因此這個式子說明實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數, 而相位頻譜是奇函數 c e c jf j f + jθ j f ( ) c e e c θ e θ c θ 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 33 週期訊號的單邊頻譜分析當週期訊號是實數時, 基本頻率 f 之週期訊號可展開成諧波型式傅利葉級數 x( ) C + C cos(f + φ) 繪出 C 對應頻率圖以及 φ 對應頻率圖, 完成實數週期訊號單邊頻譜分析同樣地, 上述傅利葉級數分析可知實數週期訊號由弦波組成, 其頻譜是呈現離散形式分佈實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 34

18 實習一實習一實習一實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析 35 傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例一方波週期訊號之時域波形, 其週期為 ( 基本頻率為 ) 複指數傅利葉級數之係數 : + +, ) ( ) (, ) / si( ] [ ) ( / / 4 / 4 / - / / - k k k e e j d e d e x c k j j f j f j () x f ) ( 4 / 4 / / / d d x c 實習一實習一實習一實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析週期訊號與濾波器之模擬與分析 36 傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例傅利葉級數範例 ( 續 ) 複指數傅利葉級數之係數改寫為此方波週期訊號表示成複指數傅利葉級數式展開式 : 三角傅利葉級數式展開式 : k f k j k f j e k e c x ) ( ) ( ) ( ) ( ] ) cos(4 7 ) cos( 5 ) cos(6 3 ) [cos( ] ) ( cos[ ) ( ) ( ) ( +L f f f f f k k x k k ) ( ) ( ;, ; + + k c k c c k k k

19 傅利葉級數範例 ( 續 ) 圖 - 方波週期訊號之傅利葉級數分析實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 37 傅利葉級數範例 ( 續 ) 圖 - 方波週期訊號之傅利葉級數分析實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 38

20 傅利葉級數範例 ( 續 ) 時域上計算平均功率 : / / ( ) ( ) P x d x d 4 d / / 4 以複指數傅利葉級數計算平均功率 P + 4 k (k + ) 根據 Parseval 等式, 上述兩種結果要相等, 得到一個無窮序列和之公式, 即 4 + (k + ) (k + ) k k 4 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 39 傅利葉級數範例 ( 續 ) 圖 - 方波週期訊號之雙邊頻譜實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 4

21 傅利葉級數範例 ( 續 ) 實數週期訊號的振幅頻譜是偶函數, 而相位頻譜是奇函數如果傅利葉級數展開式各成份之相位 θ 只是或時,c 為實數, 因此各成份之相位以正負號方式呈現在 c, 此情況可將振幅頻譜和相位頻譜合併繪圖, 即繪出 c 對應頻率圖實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 4 傅利葉級數範例 ( 續 ) 頻譜是一個訊號頻率的涵蓋範圍頻譜的寬度是訊號的絕對頻寬 (absolue badwidh), 以前頁頻譜圖為例並假設 8 f 以後皆為, 那麼訊號的絕對頻寬是 7 f 7 f 有許多訊號的頻寬是無限大, 但其大部分的能量侷限於相對窄頻帶內, 此頻帶寬稱為有效頻寬 (effecive badwidh) 或簡單地稱為頻寬, 下圖為數位廣播基頻訊號頻譜, 有效頻寬約.5 MHz 請特別注意到, 頻寬計算只考慮正頻率部份, 因為負頻率本質上與正頻率完全相同實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 4

22 大綱週期訊號分析弦波訊號弦波訊號與其單邊頻譜一般複指數訊號複指數訊號弦波訊號與其雙邊頻譜週期訊號及非週期訊號傅利葉級數 (Fourier Series) 觀念與表示方式週期訊號的功率分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析傅利葉級數範例 Malab Simulik 模擬弦波訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之濾波效應探討實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 43 弦波訊號在時域與頻域之模擬與探討在時域與頻域觀測弦波訊號的振幅頻率與相位等參數對波形的變化情形實習步驟依序說明如下 : Sep : 建立模擬系統開啟 MALAB\Simulik Browserm 開新檔案振幅變化效應頻率變化效應相位變化效應實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 44

23 弦波訊號振幅設定 Sep : 設定訊號參數弦波訊號之振幅設定 Sie Wave 之振幅 (Ampliude) 為 v Sie Wave 之振幅 (Ampliude) 為 v 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 45 弦波訊號頻率設定弦波訊號之頻率設定 Sie Wave 之頻率 (Frequecy) 為 Hz Sie Wave3 之頻率 (Frequecy) 為 Hz 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 46

24 弦波訊號相位設定 3 弦波訊號之相位設定 Sie Wave 4 之相位 (Phase) 為 (rad) Sie Wave 5 之相位 (Phase) 為 / (rad) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 47 Zero-Order Hold 之取樣時間設定 4 Zero-Order Hold 設定取樣時間 (Sample ime) 在此利用 B-FF Specrum 模組觀察頻譜, 故需使用 Zero-Order Hold 取樣保持訊號並以 FF 計算頻譜若只在時域上觀察波形時, 可以不使用 Zero-Order Hold 在時域上觀察波形時, 取樣時間設定值愈小, 其解析度愈好 ( 愈接近實際類比波形 ), 但執行速度相對變慢, 在此取樣時間設定為訊號頻率倍的倒數若只觀察頻譜, 一般而言取樣時間設定為訊號頻率倍的倒數即可實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 48

25 Scope 參數設定 5 示波器參數 Number of axes 設定為 3, 代表輸入兩個待觀察訊號, 以及利用 Bus Creaor 元件將兩訊號重疊顯示實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 49 Specrum Scope 參數設定 6 Specrum Scope 參數設定如下圖, 其中左圖為 Scope Properies 設定, 右圖為 Axis Properies 設定 ( 包括頻率單位頻率範圍等 ), 數值可依需求而定實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 5

26 模擬環境設定存檔與執行模擬 Sep 3: 模擬環境設定存檔與執行模擬執行時間設定為. 秒, 此處的時間為模擬的停止時間, 先前取樣時間設為 -3, 設定適當的執行時間可以避免模擬時等待時間過久可以先存檔 3 再執行模擬 3 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 5 時域觀察振幅變化效應 Sep 4: 模擬結果分析時域觀察振幅變化效應 A (v) A (v) Overlay 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 5

27 時域觀察頻率變化效應時域觀察頻率變化效應 f Hz f Hz Overlay 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 53 時域觀察相位變化效應 3 時域觀察相位變化效應 ϕ ϕ f d d f.5 4 f 3 4 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 54

28 頻域觀察振幅變化效應 Sep 4: 模擬結果分析頻域觀察振幅變化效應 A (v) A (v) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 55 頻域觀察頻率變化效應頻域觀察頻率變化效應 f Hz f Hz 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 56

29 頻域觀察相位變化效應 3 頻域觀察相位變化效應 ϕ ϕ f d d f 4 f 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 57 大綱週期訊號分析弦波訊號弦波訊號與其單邊頻譜一般複指數訊號複指數訊號弦波訊號與其雙邊頻譜週期訊號及非週期訊號傅利葉級數 (Fourier Series) 觀念與表示方式週期訊號的功率分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析傅利葉級數範例 Malab Simulik 模擬弦波訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之濾波效應探討實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 58

30 週期訊號之和訊號是否為週期訊號之模擬與探討假設三個週期訊號分別為 x ( ) cos(f ) ; f x ( ) cos(f ) ; f x ( ) cos( f) ; f 3 (Hz) 3 (Hz) (Hz) 請模擬與週期訊號之和訊號 x 3 () 與 x 3 () 是否為週期訊號 x ) x ( ) + x ( ) x ) x ( ) + x ( ) 3( 4( 實習步驟依序說明如後 : 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 59 週期訊號之和訊號是否為週期訊號之模擬系統 Sep : 建立模擬系統開啟 MALAB\Simulik Browser 開新檔案 3 將模塊連結成模擬系統, 如下圖所示 x ( ) x ) x ( ) + x ( ) 3( x ( ) x ( ) x ) x ( ) + x ( ) 4( 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 6

31 訊號參數設定 Sep : 設定訊號參數設定弦波之頻率振幅皆設定為 V Sie Wave 之頻率為 3 (Hz) Sie Wave 之頻率為 (Hz) Sie Wave 之頻率為 3*pi (Hz) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 6 Zero-Order Hold 之取樣時間設定 Zero-Order Hold 設定取樣時間 (Sample ime) 在此設定為 /5 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 6

32 加法器設定 3 加法器設定, 設定為兩個輸入 (Lis of sigs 設定為 ++) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 63 Scope 參數設定 4 示波器參數 Number of axes 設定為, 代表輸入兩個待觀察訊號實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 64

33 模擬環境設定存檔與執行模擬 Sep 3: 模擬環境設定存檔與執行模擬執行時間設定為 5 秒, 此處的時間為模擬的停止時間可以先存檔 3 再執行模擬 3 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 65 週期訊號相加是否為週期訊號之模擬結果 Sep 4: 模擬結果分析 x 3 () 為週期訊號, 週期為秒, 基本頻率為 Hz( 與 3 的最大公因數 ) x ) x ( ) + x ( ) 3( cos( (3)) + cos( ()) x x 4 () 為非週期訊號, 因為 3 與 3 沒有公因數 4( ) x ( ) + x ( ) cos( (3)) + cos( (3 )) 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 66

34 大綱週期訊號分析弦波訊號弦波訊號與其單邊頻譜一般複指數訊號複指數訊號弦波訊號與其雙邊頻譜週期訊號及非週期訊號傅利葉級數 (Fourier Series) 觀念與表示方式週期訊號的功率分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析傅利葉級數範例 Malab Simulik 模擬弦波訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之濾波效應探討實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 67 週期方波的傅利葉級數合成分析模擬一方波週期訊號 () 之時域波形, 其週期為 ( 基本頻率為 f ) x 其傅利葉級數表示式為 ( ) + k x ( ) cos[ (k + ) f] k (k + ) + [cos(f ) cos(6f ) + cos( f) cos(4 f) +L] 請以 f Hz 為例, 分別考量包含至 3 7 以及次諧波的近似上述週期方波之波形實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 68

35 週期方波的傅利葉級數分析模擬系統建立 Sep : 建立模擬系統開啟 MALAB\Simulik Browser 開新檔案 3 將模塊連結成模擬系統, 如下圖所示直流訊包含至基號.5v 本頻率包含至 3 次諧波包含至次諧波包含至 9 次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 69 訊號參數設定 Sep : 設定訊號參數根據以上之關係式第一個為 Sep 訊號起始值和最終值皆設定為.5( 直流訊號 ) 其餘弦波參數之相位階設定為 pi/, 振幅依序設定為頻率設定為 *pi*(k+), k ~ ( ) k (k + ) 3 Zero-Order Hold 取樣時間設定為 /, 模擬時間設定為 4 其餘元件操作和上一模擬 ( 弦波訊號分析 ) 的 Sep 設定完全一樣實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 7

36 模擬環境設定存檔與執行模擬 Sep 3: 模擬環境設定存檔與執行模擬執行時間設定為 5 秒, 此處的時間為模擬的停止時間可以先存檔 3 再執行模擬 3 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 7 模擬結果分析包含至基本頻率包含至 3 次諧波包含至 9 次諧波包含至次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 7

37 大綱週期訊號分析弦波訊號弦波訊號與其單邊頻譜一般複指數訊號複指數訊號弦波訊號與其雙邊頻譜週期訊號及非週期訊號傅利葉級數 (Fourier Series) 觀念與表示方式週期訊號的功率分析週期訊號的雙邊頻譜分析週期訊號的單邊頻譜分析傅利葉級數範例 Malab Simulik 模擬弦波訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之合成模擬與探討週期訊號之時域與頻域模擬與探討週期訊號之濾波效應探討實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 73 週期方波的傅利葉級數解析模擬一方波週期訊號 () 之時域波形, 其週期為 ( 基本頻率為 f ) x 其傅利葉級數表示式為 ( ) + k x ( ) cos[ (k + ) f] k (k + ) + [cos(f ) cos(6f ) + cos( f) cos(4 f) +L] 請以 f Hz 為例, 將方波分別通過不同截止頻率的濾波器之方式解析週期方波的傅利葉級數實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 74

38 週期方波的傅利葉級數解析模擬系統 Sep : 建立模擬系統開啟 MALAB\Simulik Browser 開新檔案 3 將模塊連結成模擬系統, 如下圖所示實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 75 訊號參數設定 Sep : 設定訊號參數方波訊號振幅設定為 (V), 週期設定為 /(Sec), 脈波寬度設定為 5(%), 其餘皆用預設值濾波器設定皆為 Buerworh Low-pass, 階數為 6, 截止頻率分別為 *pi* *pi*3 *pi*7 3 Zero-Order Hold 取樣時間 (Sample ime) 設定為 /, 模擬時間設定為. 4 Scope 與 Specrum scope 設定與先前模擬設定一樣實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 76

39 模擬環境設定存檔與執行模擬 Sep 3: 模擬環境設定存檔與執行模擬執行時間設定為. 秒, 此處的時間為模擬的停止時間可以先存檔 3 再執行模擬 3 實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 77 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 5%) Sep 4: 模擬結果分析 ( 脈寬為 5%) 在時域觀察週期方波被濾波器濾出 k 次諧波之情況週期方波濾出次諧波濾出 3 次諧波濾出 7 次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 78

40 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 5%) 在時域觀察週期方波被濾波器濾出次諧波週期方波濾出次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 79 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 5%) 3 在頻域觀察週期方波被濾波器濾出 k 次諧波之情況週期方波濾出次諧波以內之頻譜濾出 3 次諧波以內之頻譜濾出 7 次諧波以內之頻譜實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 8

41 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 9%) Sep 4: 模擬結果分析 ( 脈寬為 9%) 在時域觀察週期方波被濾波器濾出 k 次諧波之情況週期方波濾出次諧波濾出 3 次諧波濾出 7 次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 8 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 9%) 在時域觀察週期方波被濾波器濾出次諧波週期方波濾出次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 8

42 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 9%) 3 在頻域觀察週期方波被濾波器濾出除 k 次諧波之情況週期方波濾出次諧波以內之頻譜濾出 3 次諧波以內之頻譜濾出 7 次諧波以內之頻譜實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 83 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 %) Sep 4: 模擬結果分析 ( 脈寬為 %) 在時域觀察週期方波被濾波器濾出 k 次諧波之情況週期方波濾出次諧波濾出 3 次諧波濾出 7 次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 84

43 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 %) 在時域觀察週期方波被濾波器濾出次諧波週期方波濾出次諧波實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 85 週期方波的傅利葉級數解析模擬結果 ( 脈寬為 %) 3 在頻域觀察週期方波被濾波器濾出除 k 次諧波之情況週期方波濾出次諧波以內之頻譜濾出 3 次諧波以內之頻譜濾出 7 次諧波以內之頻譜實習一週期訊號與濾波器之模擬與分析 86

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1

0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1 0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0