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阵芽甘
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1 基于反函数微分法则的反函积分法的探讨李裕信湖南省长沙市邮政局, 湖南长沙 (000) 摘要 : 本文明确表述了反函数微分法则的逆定理, 并基于此定理提出一种积分法, 举例说明了其运用方法虽然这种方法的实质也可视为是一种变量代换法, 但它能在选择代换函数时提供一条线索不失为一种积分法的补遗使积分法显得更完备关键词 : 反函数微商法则, 积分法, 反函积分法中图分类号 :O7 文献标识码 :A 引言现行的高等数学教科书中所论及的积分方法不外乎三种 : 分项积分法分部积分法变量代换法它们都是根据微分法则的逆定理推出的如分项积分法是根据和的微分公式 :.( u v) u v. 逆推得到的 ; 分部积分法是根据乘积微分公式 ( uv ) u v uv. 逆推得到的 ; 而变量代换法则是根据复合函数微分公式 ϕ (u ( )) ϕ. 逆推得到的但是, 未本着上述思路, 提出了一个注记见到根据反函数微分基于反函数微分性质的性质逆推得到的积分定理和积分方法, 作为 u u 方法本文对积分法的. 反函数微商法则的逆定理公式 :. 定理. 若函数 f() 在所论的变化范围内不为 0,( 即 f() 0); f () () -

法显得更完备关键词 : 反函数微商法则, 积分法, 反函积分法中图分类号 :O7 文献标识码 :A 引言现行的高等数学教科书中所论及的积分方法不外乎三种 : 分项积分法分部积分法变量代换法它们都是根据微分法则的逆定理推出的如

2 单值可微, 反函数 () 连续可微,[ ()] 单值, 则 (), [] 证明 : 因为 () f (), 根据反函数微分法则.. 可知 () () 且有 () 由定理成立的条件可知,() 式的两个积分都是确定存在的故定理得证定理.可直接用于积分计算, 可见下面的实例 : 例 : 求解 : 令 f () cos, () 例 :.. 求 cos - 解 :.. 令 f () [][] ; 由定理.的 () 式立即可写出.. : cos f () f() l, ; 而 ().si,.. rcsi si[rcsi ] f () f () cos si c, 取 () si, 则 () rcsi, lc l[c c cos f() ().cos,..[ rcsi c. [ ()] 等式两端积分即得 () 式, si ] lc si ()] [- cos] f () rcsi si[rcsi ]cos f () si cos [ ()]...() c取 () f () ; [ ()] lc(t sec)... rcsi, 则 cos. 由公式 () 可得 : [ si] c rcsi rcsi c. 公式 () 也可倒过来运用即有下面的定理. 定理.: 可利用 f () 且求出 [ ()], 也可利用求出 () f() 即 : 设函数 f () 可积分为 () ; () 的反函数能写为显示 (); () 单值可微 ; () 0则有 f ()...() () 证明 :() 式的左右边互换即为 [ ()], 即可利用 f () f () [ ()] [] 又由于 ()f() 及反函数的微商法则 () () 求出即 f(), () --

. rcsi si[rcsi ] f () f () cos si c, 取 () si, 则 () rcsi, lc l[c c cos f() ().cos,..[ rcsi c. [ ()] 等式两端积分即得 () 式, si ] lc si ()] [- cos] f () rcsi si[rcsi ]cos f () si cos [ ()].

3 且 () 故 f() () 两边积分即得 () [ ()] () 式根据假设条件, 可知 () 式两边的积分均确定存在, 定理证毕其实将 () 式左右边互换, 变量与互换 ; 将 f() 与 () 互换即可得到 () 式下面给出运用定理. 的例子 : 例求解 : 设 f () sec sec sec, 即 f () sec () rct, 则 [ ] (), 令代入 ( ) 式即得 : t c t c sec t c, 取 () t,. 一般形式的反函积分法公式. 定理. 设函数 f () 可积分为 () ; () 的反函数能写为显式且 () 0则有 [f ()] [ ()] (); () 单值可微 ;...(为任意整数 )...() 证明 : 因为 () f (), () f(), (),.. [ ()] ; 而 [f ()] [] [()] [ ()] 根据反函数微商法则 : ()... 故有.[f ()] [ ()] [ ()] 存在的, 故定理得证 [()] [ ()] [ ()] ()] 两边积分即得 ( ) 式根据所假定的条件, 两边的积分是确定下面给出运用定理的例子 : 例求解 : 令 f () cos,. 5,...() rcsi,. cos 5 () cos si c取 () si, 则. 由公式 ( ) 可得 cos ( ) c si si si c 5 5 此例显示了公式 () 在求某些函数的积分时是十分简便易行的 [ [ ()] ( ) (). 定理. --

设函数 f () 可积分为 () ; () 的反函数能写为显式且 () 0则有 [f ()] [ ()] (); () 单值可微 ;...(为任意整数 )...() 证明 : 因为 () f (), () f(), (),.. [ ()] ; 而 [f ()] [] [()] [ ()] 根据反函数微商法则 : ()... 故有.

4 设函数 f () 可积分为 () ; () 的反函数能写为显式且 f () 0则有 : [f ()] [ () ] 下面举一应用 () 式求积分的实例 : 例 5. 求 l (); () 单值可微 ;...() e 解 : 原式可写为, 令 f () 取 () l[l], () e l 而 ; l [ ] l dt () e e e e, 故由 ( ) 式, 原式 l [e e ], 记 t e l, 则. t t t t t [][] t dt t t e t t e te e 所以原式 [e t] t e dt te dt [ dt] t t t t t e te e l l [ ] c c 定理是定理的推广, 它是一般形式的反函积分法公式显然, 公式 () 是公式 () 在时的特例 ; 而公式 () 是公式 () 在时的特例 ( 或曰 : 公式 () 是公式 () 在时的特例 ; 而公式 () 是公式 () 在 - 的特例 ). 从定理的证明过程可知, 原则上定理中的, 不仅可为任意正负整数, 也可为正负分数或实数例如当 /m 时, 有 : [f ()] m m [ () ] m...(5) 特别是 m 时 f () ()...(6) 公式 (5)(6) 中的 () 及 () 的定义与 () 式中的相同例 6 求 cos 解 : 将被积函数写为 sec进而写成 t c.( 取 c 0), 故 cos l(t sec t ) c. sec 即取 f () sec,.. () sec () rct而 () () l(., 由 ( 6) 式可得 ) c [] : 还可能写出更多的不同形式的反函积分法公式, 但它们都是公式 ()() 的推论. 几点说明. 定理概括了一族基于反函数微商法则的积分方法,() () 式是这种 --

t t t t t [][] t dt t t e t t e te e 所以原式 [e t] t e dt te dt [ dt] t t t t t e te e l l [ ] c c.. 9 9 7.

5 反函积分法的基本公式 : 要使这个公式真正有效, 在公式 () () 等号两边的积分, 至少有一个能容易求出特别是公式中的 () () 均应能写成显式否则无法运用计算证明, 等于整数时计算比较方便, 一般说来,f() 是单项的三角函数反三角函数指数函数对数函数时采用反函积分法比较容易. 利用 () 式右边的积分来求左边的积分的步骤是 : 第一步, 将待求积分的被积函数写成 [ f ()] 的形式, 确定之值. 第二步, 求出 () f (), 并写出它的反函数 () 第三步, 求出 () 的导数 () 第四步, 代入 () 式, 求出积分, 并代回 (), 即得结果这种方法实质上也就是 () 式从左到右的运用的方法. 利用 () 式右边的积分来求左边的积分的步骤是 : 将 () 式得变量与互换 ; 将 f() 与 () 互换, 则 : 第一步, 将待求积分的被积函数写成的形式, 确定之值. [f ()] 第二步, 求出 () f (), 并写出它的反函数 () 第三步, 求出 [ ()]., 第四步, 代入 (), 即得积分结果这种方法实质上也就是 () 式从左到右的运用的方法. 运用反函积分法进行积分时, 常需要同时采用其它积分方法它是在积分时的一种另辟蹊径的向导 : 虽然反函积分法并非对所有的积分计算都有实际效用, 但它却可认为是积分方法论的一个补遗使积分法显得更为完备本文只是提出了这一方法, 至于它的运用技巧和公式的变形上, 尚需进一步的研究.5 公式 ()() 存在一种明显的对称性, 在理论上有一定的意义 : 事实上, 从公式 ()() 的形式可以发现,() 式与 () 式的互换 : ( ) (), 等效于公式中指数的正负号互换 : ; 也等效于公式等号左右互换及变量与函数. Y 的互换 : 左右 ; 这是需要更深入研究的.6 本文的主旨是利用公式 ()() 根据反函数求出积分, 是否有可能利用积分求出反函数呢这也是一个值得研究的问题, 因为并非所有函数的反函数都很易求出 -5-

三角函数指数函数对数函数时采用反函积分法比较容易. 利用 () 式右边的积分来求左边的积分的步骤是 : 第一步, 将待求积分的被积函数写成 [ f ()] 的形式, 确定之值.

6 参考文献 [] 李忠周建莹编著 : 复合函数的微商与反函数的微商, 高等数学 ( 上册 )[M] 北京, 北京大学出版社, 00,0-9 [] 同济大学应用数学系 : 函数的求导法则, 高等数学 ( 第五版 )( 上册 )[M] 北京, 高等教育出版社, [] 中国矿业学院数学教研室 : 不定积分法则不定积分表, 数学手册 ( 第二版 )[M], 北京, 科学出版社, 980,95 6 The stu of "iverse fuctio itegrtio" bsed o the iverse fuctio s differetil rule Li Yui Chgsh Post Office, Hu Provice, Chgsh, Chi (000) Abstrct This pper hs eplicitl preseted the coverse theorem of iverse fuctio s differetil rule, d bsed o this theorem proposed oe kid of itegrtio method d give emples epliig its utiliztio. Although the essece of this method c be viewed s kid of substitutio of vrible, it c provide clue for choosig substitutio fuctio. This method c be regrded s ddedum w for itegrtio, mkig the itegrtio method more complete. Kewords: iverse fuctio s differetil rule, itegrl.method, the Iverse fuctio itegrtio CLC umber: 07 Documet Code: A 作者简介 : 李裕信, 男,97 年生, 湖南长沙人,, 教授级高级工程师, 退休前长期从事邮电高等函授教学及计算机中心工作 -6-

中国矿业学院数学教研室 : 不定积分法则不定积分表, 数学手册 ( 第二版 )[M], 北京, 科学出版社, 980,95 6 The stu of "iverse fuctio itegrtio" bsed o the iverse fuctio s differetil rule Li Yui Chgsh Post Office,

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的

类似地, 又可定义变下限的定积分 : ( ). 与 ψ 统称为变限积分. f ( ) d f ( t) dt,, 注在变限积分 (1) 与 () 中, 不可再把积分变量写成的形式 ( 例如 ) 以免与积分上下限的 5 ( 一 ) 微积分学基本定理当函数的可积性问题告一段落, 并对定积分的性质有了足够的认识之后, 接着要来解决一个以前多次提到过的问题在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一变限积分与原函数的存在性设 f 在 [,] 上