以下將依據九年一貫數學部編教科書九年一貫數學部編教科書的章節內容, 以 MAXIMA 軟體解答國中三年級上學期例題 隨堂練習及自我評量以供國中生參考 目錄 國中三年級上學期 ( 第 5 冊 ) 第 1 章相似三角形 1-1 縮放 1- 相似三角形 1-3 相似形的應用第 章圓 -1 圓 - 圓與角 -3 圓與多邊形 -4 數學證明第 3 章二次函數 3-1 二次函數與圖形 3- 配方法與拋物線 國中三年級下學期 ( 第 6 冊 ) 第 1 章機率與統計 1-1 資料的統計與分析 1- 資料的分佈 1-3 機率第 章回顧與前瞻 -1 數與量 - 代數 -3 幾何 -4 綜合解題 010/0/4 1
國中三年級上學期 ( 第 5 冊 ) 第 1 章相似三角形 1-1 縮放 1- 相似三角形 1-3 相似形的應用第 章圓 -1 圓 - 圓與角 -3 圓與多邊形 -4 數學證明第 3 章二次函數 3-1 二次函數與圖形 3- 配方法與拋物線 第 1 章相似三角形 1-1 縮放 P. 7 例 1 如右圖, 有兩個直角三角形 AEF 和 ABC, 試說明這兩三角形的三邊成比例, 即 BC : EF = AB : AE = AC : AF 將 ABC 複製一份, 如右圖拼成一個矩形 ABCI 010/0/4
矩形 AEHI 的面積 = 矩形 ABGJ 的面積, 由於矩形 AEHI 面積 = AE AI = AE BC, 矩形 ABGJ 面積 = AB BG = AB EF, 因此, AE BC = AB EF, 即 AB : AE = BC : EF 要說明斜邊的比, 就要應用畢氏定理 設上面比例的比值為 r, 即 AB =r AE BC =r EF, 由畢氏定理得, AC = ( AB) + ( BC) = ( r AE ) ( ) + ref = r ( AE + EF ) =r AE + EF =r AF, 由上述可知 BC : EF = AB : AE = AC : AF P. 8 隨堂練習 1. 如右圖, AE =10, EB =40, EF =3, 求 BC BC : EF = AB : AE x:3=(10+40):10 10x=3(10+40) (%i1) solve([10*x=3*(10+40)], [x]); (%o1) [x=15] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表 示求解, 輸入 solve([10*x=3*(10+40)], [x]) ctrl+enter 因此, BC =15. 如右圖, 已知 AB AE =3, 且直線 L 和 M 都垂直於 AB 在 M 上任找一點 F, 作 AF 010/0/4 3
AC 交 L 於 C, 則是不是一定也是 3? AF 是 (1) 直線變成直線 若縮放前後的直線是相異兩直線, 則此兩直線平行 () 線段變成線段, 且縮放後的線段長為原線段長的 k 倍 (3) 角度保持不變 P. 1 例 如右圖, 有一邊長為 1 的菱形 ABCD, 試以 O 點為中心, 畫出 ABCD 縮放 倍的圖形, 並討論該圖形是否為菱形? 由上面的說明知道, 任一線段縮放後仍然是線段 因此, 若要畫出四邊形 ABCD 縮放 倍的圖形, 只要先畫出四個頂點縮放後的點, 再用線段連接, 就是四邊形 ABCD 縮放後的圖形 底下的四邊形 A B C D 即為所求 由於 A B C D 是由 O 將 ABCD 縮放 倍的結果, 所以 A B = AB =1 =, 同理 B C = C B = D A =, 因此新的四邊形 A B C D 是一菱形 010/0/4 4
P. 13 例 3 說明正三角形縮放 倍的圖形仍然是正三角形 如右圖, 若 ABC 為一正三角形, 而 A B C 是它縮放 倍的圖形 由前述性質 () 知, 無論中心點 O 在哪裡, 都有 A B = AB,B C = BC,C A = CA, 因為, ABC 是正三角形, 因此, AB = BC = CA, 所以, A B = B C =C A, 即 A B C 是正三角形 P. 14 例 4 如右圖, B A C 是由 O 將 BAC 的圓形縮放 3 倍的結果, 試說明 BAC= B A C 010/0/4 5
標示 1 3 4 如右圖 由於 AB // A B, AC // A C, 所以 1= 3 ( 同位角相等 ) = 4 ( 同位角相等 ) 因此, 1+ = 3+ 4, 即 BAC= B A C P. 16 例 5 有一 ABC 的三內角分別為 50 60 70 問右邊的三角形可不可能是 ABC 經過縮放後的圖形? 因為 ABC 經過縮放後的圖形, 仍然是一個三內角為 50 60 70 的三角形 而 右邊的三角形是一個直角三角形, 有一個內角是 90 所以此三角形不可能是 ABC 010/0/4 6
縮放後的圖形 P. 18 例 6 試判斷圖 1-13 的四邊形 ABCD 和 EFGH 是否相似? 右圖是將四邊形 ABCD 縮放 倍後的四邊形 A B C D 其內角與原來四邊形 ABCD 的內角相同, 而對應邊長則是原圖形邊長的 倍 比較 A B C D 和 EFGH, 可知兩圖形的邊角對應相等 所以四邊形 A B C D 四邊形 EFGH, 因此 ABCD 和 EFGH 相似 P. 0 例 7 010/0/4 7
說明任意兩個正五邊形相似 如右圖, 任取兩個正五邊形 由於正五邊形的內角都是 ( 180 3 ) =108, 因此, 這兩個正五邊形的對應角相等 5 又因為每個正五邊形的五邊均等長, 所以, FG : AB =GH : BC = HI : CD= IJ : DE = JF : EA, 亦即對應邊成比例, 因此這兩個正五邊形相似 P. 0 例 8 如右圖, ABC~ DEF, 其中 A B C 的對應點分別為 D E F 已知 AB =3, AC =4, AG =, DF =6, 求 DE 和 DH 因為, ABC~ DEF, 所以, DEF 全等於 ABC 的縮放圖形, 其縮放的倍數為 DF AC = 6 4 = 3, 因此, DE 是 AB 的 3 倍, 亦即 DE = AB 3 =3 3 = 9, 010/0/4 8
由於 AG BC, 所以經過縮放後, 其對應邊也會互相垂直, 所以 DH 就是 AG 的 對應邊, 因此, DH = AG 3 = 3 =3 P. 0 隨堂練習 如右圖, ABC~ DEF, 其中 A B C 的對應點分別為 D E F 已知 BG =10, CG =10, AG =1, EH =4, 求 DH 和 HF 因為, ABC~ DEF, 所以, DEF 全等於 ABC 的縮放圖形, 其縮放的倍數為 BG EH = 10 4 = 5, 因此, CG 是 HF 的 5 倍, 亦即 CG = HF 5 10= HF 5, 因此, HF =4, 由於 AC GB, 所以經過縮放後, 其對應邊也會互相垂直, 所以 DF 就是 HE 的對 應邊, 因此, AG = DH 5 1= HF 5, 因此, DH = 5 P. 3 1-1 自我評量 1. 下麵的敘述對的打, 錯誤的打 X ( X )(1) 將直線 L 縮放 3 倍後的圖形, 會因為中心點 O 的位置不同, 而不能判別出它是不是一直線 ( )() 將一線段縮放 倍後的線段, 其長度不會隨中心點 O 的位置改變而不同 010/0/4 9
( )(3) 可找到某中心點 O, 將一非正方形的矩形縮放成正方形 ( X )(4) 非正方形的菱形不可能縮放成正方形. 如右圖, 有一平行四邊形 ABCD, 將 ABCD 縮放 說明 A B C D 也是平行四邊形 3 倍後得一四邊形 A B C D (1) 直線變成直線 若縮放前後的直線是相異兩直線, 則此兩直線平行 () 線段變成線段, 且縮放後的線段長為原線段長的 k 倍 (3) 角度保持不變 3. 如右圖, 有一矩形 ABCD 若將此矩形縮放成矩形 A B C D, 且對角線 B D 長 為 5, 求 (1)A B C D 的周長 BD = 8 + 6 =10, (%i1) sqrt(8^+6^); (%o1) 10 B D 5 = BD 10 = 5, sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(8^+6^) ctrl+enter 010/0/4 10
5 所以, B D 是 BD 的倍, 亦即 A D = AD 5 =8 5 =0, A B = AB 5 =6 5 =15, 因此,A B C D 的周長 =0+0+15+15=70 () A B C D 的面積 A B C D 的面積 =0 15=30 平方單位 第 1 章相似三角形 1- 相似三角形 P. 4 例 1 如圖 1-14, 有兩個三角形, 其中 A= D=65, B= E=55, 說明 ABC~ DEF 既然要說明兩三角形相似, 因此可以想想要將 DEF 縮放幾倍, 才會和 ABC 全 等 從圖 1.14 來看, 由於對應角要相等, 因此 D E 的對應點必須是 A B, 換句話說, AB AB AB 應該就是 DE 的對應邊, 因此就是縮放的倍數, 我們用 r 表示 DE DE 現將 DEF 縮放 r 倍, 得 D E F 如右圖 因為 且 D E =r DE = AB D = D= A=65, 010/0/4 11
E = E= B=55, 所以 D E F ABC, (ASA 全等性質 ) 這表示 DEF 縮放 r 倍後和 ABC 全等, 因此 ABC~ DEF P. 5 隨堂練習下圖中哪些三角形與 ABC 相似?(1) P. 6 例 如右圖, 已知 1= C, BC =0, AB =10, AF =3, AE =5, 求 EF 和 AC 因為 1= C, A= A, 所以 AEF~ ACB, (AA 相似性質 ) 因此 EF : CB = AE : AC = AF : AB =3:10, ( 對應邊成比例 ) 即 EF = 3 10 CB = 3 10 0=6, AC = 10 3 AE = 10 3 5= 50 3 010/0/4 1
P. 6 隨堂練習 如右圖, AEF 中 ABC= AFE, 且 C 為 AF 的中點 若 AB =10,AC =1, 求 AE 由於 ABC= AFE, A= A, 所以, ABC~ AFE, 因此, AB : AF =10:4=5:1, AE = 1 5 AC = 1 5 1=144 5 P. 7 例 3 如圖 1.15, 有兩個三角形, A= D=75, AB =10, AC =0, DE =1, DF =4, 說明 ABC~ DEF 依照圖 1-15 所給的條件, 我們觀察到 A= D 的兩邊長成比例, 6 AB : DE = AC : DF =5:6, 也就是說, D 兩邊長是 A 兩對應邊長的倍 5 現將 ABC 縮放 6 倍後得 A B C, 如右圖 5 010/0/4 13
因為 A B = 6 5 AB = DE, A C = 6 5 AC = DF, A = A= D, 所以 A B C DEF, (SAS 全等性質 ) 因此 ABC~ DEF P. 7 隨堂練習若只用 SAS 相似性質, 試判斷 (1) () (3) 三個三角形中, 哪一個和 ABC 相似? (1) P. 8 例 4 如右圖 ABC 中,E F 分別為 AB AC 的中點 已知 B=70, C=50, 求 AEF 和 AFE 010/0/4 14
由於 E F 為 AB AC 的中點, 所以, AE : AB = AF : AC =1:, 又 A= A, 所以 AEF~ ABC, (SAS 相似性質 ) 因此 AEF= B=70, ( 對應角相等 ) AFE= C=50 ( 對應角相等 ) P. 8 隨堂練習 如右圖, ABC 中 AE AF 分別為 AC AB 的一半長, 求 AEF 和 AFE 由於 AE AF 為 AC AB 的中點, 所以, AE : AC = AF : AB =1:, 又 A= A, 所以 AEF~ ACB, 因此 AEF= C=50, AFE= B=70 P. 9 例 5 如圖 1-16, 有兩三角形, 依照圖中邊長的條件, 說明 ABC~ DEF 010/0/4 15
依照圖 1-16 所給的條件, 我們觀察到這兩個三角形的三組對應邊成比例 : AB : DE = BC : EF = AC : DF =:1, 將 ABC 縮放 1 倍後得 A B C, 如右圖, 則 A B = DE, B C = EF, A C = DF, 得 A B C DEF, (SSS 全等性質 ) 因此, ABC~ DEF P. 9 隨堂練習下圖中的兩個三角形是否相似? 橘色三角形三邊長分別為 : 3 + 1 = 10 3 + = 13 + 1 = 5, (%i1) sqrt(3^+1^); (%o1) 10 (%i) sqrt(3^+^); (%o) 13 (%i3) sqrt(^+1^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(3^+1^) ctrl+enter sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(3^+^) ctrl+enter sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(^+1^) ctrl+enter 010/0/4 16
(%o3) 5 紫色三角形三邊長分別為 : + 6 = 10 4 + 6 = 13 4 + = 5, (%i4) sqrt(^+6^); (%o4) 10 (%i5) sqrt(4^+6^); (%o5) 13 (%i6) sqrt(4^+^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(^+6^) ctrl+enter sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(4^+6^) ctrl+enter sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(4^+^) ctrl+enter (%o6) 5 我們觀察到這兩個三角形的三組對應邊成比例 :( 根據大邊對大邊 ) 10 : 10 = 13 : 5 = 13 : 5 =1:, 1 橘色三角形縮放倍後得紫色三角形 P. 30 例 6 如右圖, 有兩三角形 ABC 和 DEF, 求 ABC 面積 : DEF 面積 AB : BC : CA = DF : FE : ED=:4:3, 所以, ABC~ DEF, (SSS 相似性質 ) 因此, ABC: DEF= AB : DF =4 :6 =16:36=4:9 010/0/4 17
P. 31 隨堂練習如右圖, 有兩三角形 ABC 和 DEF, 求 ABC 面積 : DEF 面積 AB : AC = DE : DF =3:4, 所以, ABC~ DEF, 因此, ABC: DEF= AB : DE =6 :9 =36:81=4:9 P. 31 例 7 如右圖, BE 和 CD 交於 A, AD =, AE =3, AB =8, AC =1, BC =10, 求 DE 因為 AD : AB =1:4= AE : AC, 010/0/4 18
且 DAE= BAC, ( 對頂角相等 ) 所以 ADE~ ABC, (SAS 相似性質 ) 因此 DE : BC =1:4, ( 對應邊成比例 ) 將 BC =10 代入, 得 DE = 10 4 = 5 P. 31 隨堂練習 如右圖, AD 是 CAB 的角平分線, AB =18, BD=9, AD =1, AC =8, 求 CD 因為 AC : AD =:3= AD : AB, 且 CAD= DAB, 所以 CAD~ DAB, 因此 CD : DB =:3 CD:9=:3 3 CD =18, (%i1) solve([3*x=18], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([3*x=18], [x]) ctrl+enter (%o1) [x=6] 因此, CD =6 P. 3 例 8 如右圖, BE 和 CD 交於 A 點, AD =3, AE =, AB =4, AC =6, 說明 DE // BC 010/0/4 19
因為 AD : AC =1:= AE : AB, 且 DAE= CAB, ( 對頂角相等 ) 所以 DAE~ CAB, (SAS 相似性質 ) 因此 DEA= CBA, ( 對應角相等 ) 所以 DE // BC ( 內錯角相等 ) P. 3 隨堂練習如右圖,B C D 在同一直線上, 求 ACE AC = 3 + 4 =5 (%i1) sqrt(3^+4^); (%o1) 5 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(3^+4^) ctrl+enter EC = 8 + 6 =10 (%i1) sqrt(8^+6^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(8^+6^) ctrl+enter (%o1) 10 由此可知, DCE= BAC, DEC= BCA, 010/0/4 0
BCA + DCE=90, 因此, ACE=180-90 =90 P. 3 例 9 如右圖, AB =3, BC =4, AC =5,E 為 AC 的中點, BAC= EAD, 求 DE 因為 B= AED=90, BAC= EAD, 故 ABC~ AED, (AA 相似性質 ) 又因為 AE = 5, (E 為 AC 中點 ) 所以 ED : BC = AE : AB = 5 :3, ( 對應邊成比例 ) 因此 3 ED: 5 BC, 得 ED = BC 5 6 =4 5 6 = 10 3 P. 33 隨堂練習 如右圖, 有兩個直角三角形 ABE 與 BCD, 其中 A= D,E 是 BC 的中點, 求 BD : AE 010/0/4 1
因為 B= C=90, A= D, 故 ABE~ DCB, (AA 相似性質 ) 又因為 BE = 1 BC, (E 為 BC 中點 ) 所以 BE : BC =1:, 因此 BD : AE =:1 P. 33 例 10 如右圖, 直角三角形 ABC 中, ACB=90,CD 是斜邊上的高, 已知 AD =1,BD=3 (1) 以 AA 相似性質說明 ACD~ CBD 因為 ACD+ A=90, ( D 是直角 ) 且 B+ A=90, ( ACB 是直角 ) 所以 ACD= B, 又知 ADC= CDB=90, 因此 ACD~ CBD (AA 相似性質 ) () 求 CD 在 (1) 的相似關係中, ACD 中的 A C D 分別對應於 CBD 中的 C B D 所以 AD : CD =CD : BD, ( 對應邊成比例 ) 010/0/4
即 1:CD = CD:3, 得 CD =36, 因此,CD =6 P. 34 隨堂練習 1. 如右圖, BAC=90, AD 為 BC 上的高, AC =15, DC =9, 求 BC 因為 AAD+ B=90, ( D 是直角 ) 且 B+ C=90, ( BAC 是直角 ) 所以 BAD= C, 又知 BDA= ADC=90, 因此 BAD~ ACD (AA 相似性質 ) AD = 15 9 =1, (%i1) sqrt(15^-9^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(15^-9^) ctrl+enter (%o1) 1 在上述的相似關係中, BAD 中的 B A D 分別對應於 ACD 中的 A C D 所以 BD : AD = AD : CD, ( 對應邊成比例 ) 即 BD :1=1:9, 得 144=9 BD, (%i1) solve([144=9*x], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, (%o1) [x=16] 輸入 solve([144=9*x], [x]) ctrl+enter 010/0/4 3
因此, BD =16. 如右圖, 可不可能有一個 ABC, BAC=90, AD 為 BC 上的高, 且 AB =10, AC =5, DC =? BAD 中的 B A D 分別對應於 ACD 中的 A C D AD = 5 = 1 (%i1) sqrt(5^-^); (%o1) 1 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(5^-^) ctrl+enter BA : AD = AC : CD 10: 1 5:, 所以, 如圖, 不可能有一個 ABC P. 35 例 11 如右圖, 有一梯形 ABCD, 其中 AD // BC 求 APD 面積 : BPC 面積 由於 APD= CPB ( 對頂角相等 ) ADP= CBP ( 內錯角相等 ) 所以 APD~ CPB (AA 相似性質 ) 010/0/4 4
因為 AD : BC =4:8=1: 所以 APD 面積 : CPB 面積 =1 : =1:4 P. 35 隨堂練習 如右圖, 四邊形 ABCD 為一梯形, 其中 AD // BC, AD =10, BC =15, 若已知 E F 三等分 BC, 求 (1) DP : PE 由於 APD= EPF ( 對頂角相等 ) ADE= CED ( 內錯角相等 ) 所以 APD~ FPE (AA 相似性質 ) 因為 AD : BC =10:15 1 3 =10:5=:1 () APD 面積 : EFP 面積 APD 面積 : EFP 面積 = :1 =4:1 P. 36 1- 自我評量 1. 在 ABC 與 DEF 中, 下列哪個條件, 可確定 ABC 與 DEF 相似 ( 可確定的打, 不能確定的打 X ) ( )(1) A= D, B= E ( )() A= D, B= F ( )(3) A= D, C= E ( X )(4) A= D, AB : DE = BC : EF 010/0/4 5
( )(5) A= D, AB : DE = AC : DF ( )(6) BC : EF = AC : DF = DE : AB. 如右圖, C=90, DE 是 AB 的中垂線 (1) ADE 是否與 ACB 相似? 是 因為 A+ E=90, ( D 是直角 ) 且 A+ B=90, ( C 是直角 ) 所以 ABC= AED, 又知 ADE= ACB=90, 因此 ACD~ CBD () 若 AB =40, AC =3, 求 DE AB =40, AD = AB =0, ADE~ ACB, CB = 40 3 =4, (%i1) sqrt(40^-3^); (%o1) 4 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(40^-3^) ctrl+enter AC : CB = AD : DE 3:4=0: DE, (%i1) solve([4*0=3*x], [x]); (%o1) [x=15] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([4*0=3*x], [x]) ctrl+enter 010/0/4 6
因此, DE =15 3. 如右圖,B O D 三點在同一直線上,B 點坐標為 (-5,1),CD=6, 試求 D 點坐 標 (-5,1) 由於 BAO= DCO=90,B 和 D 又在同一直線上, 所以, BAO~ DCO, AB : AO =CD : CO 1:5=6: DO, (%i1) solve([5*6=1*x], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([5*6=1*x], [x]) ctrl+enter (%o1) [x= 5 ] 所以, DO = 5, 因此,D 點坐標 ( 5,-6) 第 1 章相似三角形 1-3 相似形的應用 P. 37 例 1 如右圖, ABC 中,D E 在 AB AC 邊上, 且 DE // BC, 已知 AD =4, BD =8, 010/0/4 7
AE =x, CE =x+8, 求 x 由圖知 AB =4+8=1, AC =x+(x+8)=x+8, 因為 DE // BC, 所以由上述性質得 4:1=x:(x+8) 1x=4(x+8), (%i1) solve([1*x=4*(*x+8)], [x]); (%o1) [x=8] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表 示求解, 輸入 solve([1*x=4*(*x+8)], [x]) ctrl+enter P. 38 隨堂練習 如右圖, ABC 中, DE // BC, 已知 AD =8, DB =x, AE =x, EC =9, BC =0, 求 AC 和 DE 由圖知 AB =8+x, AC =x+9, 因為, DE // BC, 所以, 由上述性質得 8:8+x=x:x+9 x (8+x)=8 (x+9), (%i1) solve([(*x)*(8+x)=8*(*x+9)], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 010/0/4 8
(%o1) [x=-6,x=6] 負不符所求, 所以,x=6 solve([(*x)*(8+x)=8*(*x+9)], [x]) ctrl+enter P. 38 例 如右圖,D 為 AB 的中點, 過 D 作 BC 的平行線, 並交 AC 於 E, 說明 E 是 AC 的 中點 因為 D 是 AB 的中點, 所以 AD = DB, 但因為 DE // BC, 因此 AE : EC = AD : DB =1:1 ( 三角形平行線截比例線段 ) 所以 AE = EC, 即 E 是 AC 的中點 P. 39 隨堂練習 如右圖, ABC 中 D F 兩點三等分 AB, 過 D F 作平行於 BC 的平行線, 分別 交 AC 於 E G 說明 E G 兩點三等分 AC 010/0/4 9
因為 D F 兩點三等分 AB, 所以 AD = DF = FB, 但因為 DE // FG // BC, 因此 AE : EC : GC = AD : DF : FB =1:1:1 ( 三角形平行線截比例線段 ) 所以 AE = EC = GC, 即 E G 兩點三等分 AC P. 40 例 3 如右圖, 已知 AD : DB = AE : EC, 試說明 DE // BC 由前面說明知道 AD : DB = AE : EC 在 ADE 與 ABC 中, 由於 AD : DB = AE : EC 以及 A= A ( 共同角 ) 所以 ADE~ ABC (SAS 相似性質 ) 因此 ADE= B 所以 DE // BC ( 同位角相等 ) P. 40 例 4 010/0/4 30
如右圖,D E 分別是 AB AC 的中點, 說明 (1) DE // BC ;() DE = 1 BC (1) 由題意知 AD : DB =1:1= AE : EC, 由例 3 知 DE // BC () 由例 3 的解題說明知道 ADE~ ABC, 因此 DE : BC = AD : AB =1:( 對應邊成比例 ), 即 DE = 1 BC P. 41 隨堂練習 如右圖,D F 三等分 AB,E G 三等分 AC 說明 (1) FG // BC 由題意知 D F 三等分 AB,E G 三等分 AC, 由例 3 知 FG // BC () FG = 3 BC 由例 3 的解題說明知道 AFG~ ABC, 因此 FG : BC = AF : AB =:3( 對應邊成比例 ), 即 FG = 3 BC 010/0/4 31
P. 41 例 5 如右圖, 四邊形 ABCD 為一菱形,E F G H 為各邊的中點 說明四邊形 EFGH 為一矩形 如右圖, 連接對角線 AC 和 BD 得 BD AC ( 菱形對角線互相垂直平分 ) 由題意知 EH // BD ( 三角形中連接線性質 ) 同理 EF // AC 利用兩次平行線同側內角互補的性質可以知道 HEF= 1= AOB=90, 由於四邊形 EFGH 為平行四邊形, 因此另外三個內角均為 90, 所以 EFGH 為一矩 形 P. 41 隨堂練習 010/0/4 3
如右圖, 四邊形 EFGH 為矩形,A B C D 為其四邊的中點 說明四邊形 ABCD 為菱形 因為都是個邊的中點, 所以 AB = AD = CD = BC, 因此 ABCD 為菱形 P. 4 例 6 利用尺規作圖, 將右圖的 AB 三等分 作法作圖說明 (1) 過 A 作直線 L L 和 AB 不重疊 () 在 L 上依序取點 C D E, 使 AC = CD= DE 010/0/4 33
(3) 連接 BE (4) 過點 C D 分別作 BE 的平行線, 交 AB 於 P 由平行線截比例線段性 質, 知 AP = PQ=QB Q, 則 P Q 即為所求 P. 44 例 7 如圖 1-0, 若 BC =10 公尺,CD= 公尺, ED=5 公尺, 求 AB 由圖 1-0, 得 EDC~ ABC (AA 相似性質 ) 因此 AB : ED = BC : DC 即 AB :5=10: 10 5= AB, 010/0/4 34
(%i1) solve([10*5=*x], [x]); (%o1) [x=5] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([10*5=*x], [x]) ctrl+enter 得 AB =5( 公尺 ) P. 44 隨堂練習在一平直的海岸線旁, 有一船隻停在 S 處, 某觀測員將測量所得的各項數據繪製成右圖的草圖, 其中 C D 為海岸線上的兩點,B 為 AS 與 CD 交點, 試求該船與岸邊的距離 由圖, 得 SDB~ ACB (AA 相似性質 ) 因此 DB : BC = SD : AC 即 48:0= SD :35 0 SD =48 35, (%i1) solve([0*x=48*35], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([0*x=48*35], [x]) ctrl+enter (%o1) [x=84] 因此, 該船與岸邊的距離 =84 10 公尺 =840 公尺 P. 45 例 8 010/0/4 35
如右圖,A B 兩球在距離撞球檯邊 10 30 的位置,CD =40 問將 A 球瞄準撞球 檯邊的哪一點, 才可使 A 球反彈後擊中 B 球? 如右圖, 假設從 A 球瞄準 CD 邊上的 E 點, 可以使 A 球反彈後擊中 B 球, 則入射 角 1= 反射角, 因此 3= 4 又 C= D=90 所以 ACE~ BDE (AA 相似性質 ) 因此 CE : DE = AC : BD =10:30=1:3 ( 對應邊成比例 ) 但因 CD =40 所以 CE =40 1 1+ 3 =10 (%i1) 40*(1/(1+3)); 直接輸入 40*(1/(1+3)) ctrl+enter (%o1) 10 與 C 距離為 10 的 E 即為所求之點 P. 45 隨堂練習 010/0/4 36
如右圖,A B 到 CD 的距離分別為 5 8, 其中 CD=36 若欲在 CD 上取一點 E, 使得 ACE~ BDE, 且 A 的對應點是 B, 求 E 的位置 因此 CEA= DEB 又 C= D=90 所以 ACE~ BDE (AA 相似性質 ) 因此 CE : DE = AC : BD =5:8 ( 對應邊成比例 ) 但因 CD =36 所以 CE =36 5 5 + 8 = 180 13 (%i1) 36*(5/(5+8)); 直接輸入 36*(5/(5+8)) ctrl+enter (%o1) 180 13 與 C 距離為 180 的 E 即為所求之點 13 P. 46 例 9 如右圖, 在坐標平面上, 以 O(0,0) 為中心, 將 OA 縮放 3 倍得 OA 已知 A 的坐標 為 (1,), 求 A 的坐標 010/0/4 37
作過 A A 的鉛直線分別交 x 軸於 B B, 如右圖 由 AA 相似性質, 知 AOB~ A OB 因此 OB : OB = A B : AB = OA : OA=3:1 因為 OB =1, AB = 所以 OB = OB 3=1 3=3, A B = AB 3= 3=6 所以 A 的坐標為 (3,6) P. 46 隨堂練習 在坐標平面上, 以 O 為中心, 將 OA 縮放 5 倍得 OA 若 A 的坐標為 (1.5,), 求 A 的坐標 作過 A A 的鉛直線分別交 x 軸於 B B, 由 AA 相似性質, 知 AOB~ A OB 010/0/4 38
因此 OB : OB = A B : AB = OA : OA=5:1 因為 OB =1.5, AB = 所以 OB = OB 5=1.5 5=7.5, A B = AB 5= 5=10 所以 A 的坐標為 (7.5,10) P. 46 例 10 在坐標平面上, 以 O 為中心, 將 OA 縮放 3 倍得 OA 若 A 為 (-1,-), 求 A 的坐標 作過 A A 的鉛直線交 x 軸得 B 和 B, 則 AOB~ A OB (AA 相似性質 ) 因此 A B : AB =OB : OB = OA : OA=3:1 ( 對應邊成比例 ) 因為 OB =1, AB = 所以 OB = OB 3=1 3=3, A B = AB 3= 3=6 由於 A 在第三象限, 得 A 的坐標為 (-OB,- A B )=(-3,-6) P. 47 隨堂練習 010/0/4 39
在坐標平面上, 以 O 為中心, 將 OA 縮放 3 倍得 OA 若 A 的坐標為 (1,-), 求 A 的坐標 作過 A A 的鉛直線交 x 軸得 B 和 B, 則 AOB~ A OB (AA 相似性質 ) 因此 A B : AB =OB : OB = OA : OA=3:1 ( 對應邊成比例 ) 因為 OB =1, AB = 所以 OB = OB 3=1 3=3, A B = AB 3= 3=6 由於 A 在第四象限, 得 A 的坐標為 ( OB,- A B )=(3,-6) P. 48 例 11 如右圖, 設金字塔高為 PQ, 我們拿一根 公尺的標尺, 垂直豎立在 A 點上, 測得 AB =6 公尺, 現將標尺移到 B 點, 再測得 BC =6.09 公尺 求金字塔高 PQ 由直角三角形的相似形原理知道 AD PQ = AB PB BE PQ = BC PC ( ADB~ PQB) ( BEC~ PQC) 010/0/4 40
其中 AD = BE = 現設 PA =x, 則由題意知 PQ = 6 x + 6 = 6.09 x + 6 + 6.09 由第二個等號知 6 x + 6 = 6.09 x + 6 + 6.09 6 (x+6+6.09)=(x+6) 6.09 (%i1) solve([6*(x+6+6.09)=(x+6)*6.09], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) rat: replaced -6.09 by -609/100 = -6.09 ( 註 )rat: 指令表示將小數化成分數 rat: replaced 1.09 by 109/100 = 1.09 ( 註 )rat: 指令表示將小數化成分數 (%o1) [x=400] PQ = 6 400 + 6 6 PQ = (400+6) (%i) solve([6*x=*(400+6)], [x]); (%o) [x= 406 3 ] 所以, PQ = 406 3 135, 因此, 金字塔高約為 135 公尺 指令表示求解, 輸入 solve([6*(x+6+6.09)=(x+6)*6.09], [x]) ctrl+enter solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示 求解, 輸入 solve([6*x=*(400+6)], [x]) ctrl+enter P. 49 隨堂練習 仿照例 11, 從海岸上使用 公尺的標尺測量某海島山峰之海拔高度 若已知 AC 為 3 公尺, BD 為 3.5 公尺, 且 AB 為 00 公尺, 求 PQ 和 AP 010/0/4 41
由直角三角形的相似形原理知道 AR PQ = AC PC BS PQ = BD PD ( ARC~ PQC) ( BSD~ PQD) 其中 AR = BS = 現設 PA =x, 則由題意知 AR PQ = AC PC = BD PD PQ = 3 3+ x = 3.5 x + 3 + (00 3) + 3.5 由第二個等號知 3 3+ x = 3.5 x + 3 + (00 3) + 3.5 3 (x+3+(00-3)+3.5)=(3+x) 3.5 (%i1) solve([3*(x+3+(00-3)+3.5)=(3+x)*3.5], [x]); rat: replaced -3.5 by -7/ = -3.5 ( 註 )rat: 指令表示將小數化成分數 rat: replaced 03.5 by 407/ = 03.5 ( 註 )rat: 指令表示將小數化成分數 (%o1) [x=100] 所以, PA =100 公尺, PQ = 3 3+ x 3 PQ = (3+x) (%i) solve([3*x=*(3+x)], [x]); (%o) [x=6] 所以, PQ =6, solve( [ 變數算式 ], [ 變 數 ] ) 指令表示求解, 輸 入 solve([3*(x+3+(00-3)+3.5) =(3+x)*3.5], [x]) ctrl+enter 010/0/4 4
因此, 金字塔高約為 6 公尺 P. 50 1-3 自我評量 1. 如右圖, 梯形 ABCD 中 AD // BC,E F 分別在 AB CD 上, 且 EF // AD, 若 AD =5, EF =11, BC =14, 求 AE : EB 的比值 ( 提示 : 過 A 作 AG //CD ) AE : EB =:1. 東佑想知道升旗臺上旗桿 DE 的高度, 東佑站在 F 處, 與旗桿底 D 點的距離為 5 公尺 ( 如右圖所示 ) 東佑在 FD 上位於自己前方 1 公尺的 K 處平放一面鏡子, 透 過光的反射正好看到了旗桿頂 若東佑眼睛到腳的高度為 1.5 公尺 ( 即 AF ), 試 求旗桿桿頂的高度 ( 提示 : 人射角 = 反射角 ) 因此 FKA= DKE 又 F= D=90 所以 AFK~ EDK (AA 相似性質 ) 010/0/4 43
因此 FK : KD =1:4 ( 對應邊成比例 ) 所以 1:4= AF : ED 1:4=1.5: ED ED=4 1.5=6 3. 如右圖, 一樹木經陽光照射在地上的影長.8 公尺, 同一時刻, 身長 1.5 公尺的 知儀在地面上的影長為 1 公尺, 求此樹的高度 令樹的高度 =x, x:.8=1.5:1 x=.8 1.5=4. 公尺 第 章圓 -1 圓 P. 53 例 1 坐標平面上有一以 O(0,0) 為圓心, 半徑為 10 的圓, 下列哪些點在圓內? 哪些點在圓上? 哪些在圓外? 圓內的點和圓心的距離小於半徑 圓外的點和圓心的距離大於半徑 圓上的點和圓心的距離等於半徑 (1)A(-6,8) OA = 6 + 8 =10 (%i1) sqrt(6^+8^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(6^+8^) ctrl+enter (%o1) 10 因為 10 等於半徑 10, 所以,A 在圓上 010/0/4 44
()B(0,-0) OB = 0 + ( 0) =0 (%i) sqrt(0^+(-0)^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(0^+(-0)^) ctrl+enter (%o) 0 因為 0 大於半徑 10, 所以,B 在圓外 (3)C(4,5) OC = 4 + 5 =6.403143743849 (%i3) float(sqrt(4^+5^)); float( 算式 ) 指令表示將結果轉換為小數; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 float(sqrt(4^+5^)) ctrl+enter (%o3) 6.403143743849 因為 6.403143743849 小於半徑 10, 所以,C 在圓內 P. 53 隨堂練習坐標平面上有一以 O(0,0) 為圓心, 半徑為 5 下列哪些點在圓內? 哪些點在圓上? 哪些在圓外? 圓內的點和圓心的距離小於半徑 圓外的點和圓心的距離大於半徑 圓上的點和圓心的距離等於半徑 A(1,) OA = 1 + =.3606797749979 (%i1) float(sqrt(1^+^)); float( 算式 ) 指令表示將結果轉換為小數; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 float(sqrt(1^+^)) ctrl+enter (%o1).3606797749979 因為.3606797749979 小於半徑 5, 所以,A 在圓內 B(-,-3) OB = ( ) + ( 3) =3.6055517546398 (%i) float(sqrt((-)^+(-3)^)); float( 算式 ) 指令表示將結果轉換為小數 ; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 float(sqrt((-)^+(-3)^)) ctrl+enter 010/0/4 45
(%o) 3.60555175463989 因為 3.6055517546398 小於半徑 5, 所以,B 在圓內 C(0,5) OC = 0 + 5 =5 (%i3) sqrt(0^+5^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(0^+5^) ctrl+enter (%o3) 5 因為 5 等於半徑 5, 所以,C 在圓上 D(5,5) OD = 5 + 5 =7.071067811865476 (%i4) float(sqrt(5^+5^)); float( 算式 ) 指令表示將結果轉換為小數; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 float(sqrt(5^+5^)) ctrl+enter (%o4) 7.071067811865476 因為 7.071067811865476 大於半徑 5, 所以,D 在圓外 P. 54 例 如右圖, 不在同一直線上的三點 A B C, 求過此三點的圓 基本想法是, 如果 A B C 在一圓上, 則 AB 與 BC 是該圓的弦, 但因為圓上一弦 的中垂線必會通過圓心, 所以 AB 與 BC 的中垂線應該交於此圓的圓心 利用上面 的想法, 作 AB BC 的中垂線 L M, 並且交於 O 點, 如下圖 (a) 由於 L 和 M 為 中垂線, 所以 OA = OB = OC, 因此以 O 為中心, 半徑為 OA 作圓即為所求, 如下 圖 (b) 010/0/4 46
P. 55 隨堂練習如右圖, 坐標平面上有三點 A(3,-4) B(3,) C(-1,), 求過此三點的圓的圓心坐標, 並繪出此圓 圓心的坐標即為 AC 中點 =( 3 + ( 1) 4 +, )=(1,-1) (%i1) (3+(-1))/; 直接輸入 (3+(-1))/ ctrl+enter (%o1) 1 (%i) (-4+)/; 直接輸入 (-4+)/ ctrl+enter (%o) -1 P. 56 例 3 如右圖, 有一半徑為 5 的圓 O, AB 為一弦, 若 OH AB, 且 OH =3, 求 AB 010/0/4 47
連接半徑 OA, OA=5 由於 OHA 為直角三角形, 因此 AH = 5 3 =4 ( 畢氏定理 ) (%i1) sqrt(5^-3^); (%o1) 4 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(5^-3^) ctrl+enter 所以 AB =4 =8 (H 為 AB 中點 ) P. 56 隨堂練習 如右圖, 有一半徑為 5 的圓, AB 為一弦, 若 OH AB, 且 AB =5, 求 OH AOB AOH OH = 5.5 =4.330170189194 010/0/4 48
(%i1) sqrt(5^-.5^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(5^-.5^) ctrl+enter (%o1) 4.330170189194 根據三角形三邊等長, 因此, AOB= A= B=60, AOH=180 - A- OHA=180-60 -90 =30 P. 58 例 4 如右圖, 有一半徑為 16 的圓 O,A 為圓外一點,OA =0, 若 AB 和圓相切於 B 點, 求 AB 連接 OB, 由於 AB 和圓 O 相切於 B 點, 所以 OB AB 由畢氏定理得 AB = OA OB = 0 16 =1, (%i1) sqrt(0^-16^); (%o1) 1 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(0^-16^) ctrl+enter 因此, AB =1 P. 58 隨堂練習 010/0/4 49
如右圖, 有一半徑為 1 的圓, AB AC 分別切圓 O 於 B C, 若 OA=, 求 AC AB 由於 OA 為共邊,OB = OC = 半徑, B 和 C 分別切於圓外, OBA= OCA=90, 因此, AC = AB, 根據畢氏定理得 AC = (%i1) sqrt(^-1^); (%o1) 3 1 = 3, sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(^-1^) ctrl+enter 因此, AC = AB = 3 P. 59 例 5 如右圖,L M 為圓 O 的切線, 其切點分別為 A B, 若 L//M, 說明 AB 為圓 O 的 直徑 010/0/4 50
如右圖, 連接 OA 和 OB, 由於 L 切圓 O 於 A 點,M 切圓 O 於 B 點, 所以 A=90, B=90 過 O 作 L 的平行線 N, 當然 N 也平行 M, 因此 1= =90, 由於 1+ =180, 所以 O A B 三點共線, 即 AB 通過圓心, 因此 AB 為直徑 P. 59 隨堂練習 如右圖, 過直徑 AB 的端點, 作兩切線 L 和 M, 說明 L//M 010/0/4 51
切線與圓心的連線是垂直的 90 度, 所以 OBM= OAL, 因此,L//M P. 60 例 6 如右圖, AB AC 切圓 O 於 B C 兩點 若 A=90, 說明 ABOC 為正方形 由於 A=90, 所以 O=90, 因此,ABOC 為矩形 ( A+ O=180 ) 但鄰邊 OB = OC, 因此,ABOC 為正方形 P. 60 隨堂練習 如右圖, AB 和 AC 切圓 O 於 B C 兩點 OAB=40 求圖中的 x y z OAB=x=40, y=z=180-90 -40 =50 P. 60 例 7 如右圖, 有一半徑為 4 的圓 O, 過圓 O 外一點 A, 有兩條切線 L 1 和 L, 各切圓 O 010/0/4 5
於 P 1 和 P, 若已知 OA =6, 求 AP 1 PP 1 由於 P 1 為切點, 所以 O P 1 A=90, 因此 1 AP +4 =6 ( 畢氏定理 ) 所以, AP 1 = 6 4 = 5, (%i1) sqrt(6^-4^); (%o1) 5 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(6^-4^) ctrl+enter 因此箏形 A P 1 O P 面積 = A P 1 O 面積 = 5 4 =8 5, (%i) (((*sqrt(5))*4)/)*; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 (%o) 8 5 所以 1 (((*sqrt(5))*4)/)* ctrl+enter APOP 1 面積 PP = ( 箏形面積 = 1 OA 兩對角線相乘 ) 因此, PP 1 = 8 5 6 = 8 5 3 (%i3) ((8*sqrt(5))/6)*; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 (%o3) 8 5 3 P. 61 隨堂練習 ((8*sqrt(5))/6)* ctrl+enter 如右圖, AP 1 AP 為 A 到圓 O 的兩切線段 已知圓的半徑為 6,OA=10, 求 PP 1 010/0/4 53
由於 P 1 為切點, 所以 O P 1 A=90, 因此 1 AP +6 =10 ( 畢氏定理 ) 所以, AP 1 = 10 6 =8, (%i1) sqrt(10^-6^); (%o1) 8 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(10^-6^) ctrl+enter 因此箏形 A P 1 O P 面積 = A P 1 O 面積 =8 6 1 =48, (%i) 8*6*(1/)*; 直接輸入 8*6*(1/)* ctrl+enter (%o) 48 所以 1 APOP 1 面積 PP = ( 箏形面積 = 1 OA 兩對角線相乘 ) 因此, PP 1 = 48 48 = 10 5 (%i3) (48/10)*; 直接輸入 (48/10)* ctrl+enter (%o3) 48 5 P. 6 隨堂練習 1. 圓 O 是以 O(0,0) 為圓心, 半徑為 6 的圓, 圓 O (3,4) 為圓心, 半徑為 1 的圓, 問此兩圓是否相切? 若相切, 是內切還是外切? 外切 :l 連心距 OO =r 1 +r ; 內切 :l 連心距 OO =r -r 1 OO = (0 3) + (0 4) =5, (%i1) sqrt((0-3)^+(0-4)^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 010/0/4 54
(%o1) 5 sqrt((0-3)^+(0-4)^) ctrl+enter OO =r - r 1 5=6-1, 因此, 兩圓屬於內切. 圓 O 是以 O(0,0) 為圓心, 半徑為 16 的圓, 圓 O 是以 O (7,4) 為圓心, 半徑為 9 的圓, 問此兩圓是否相切? 若相切, 是內切或外切? 外切 :l 連心距 OO =r 1 +r ; 內切 :l 連心距 OO = r -r 1 OO = (0 7) + (0 4) =5 (%i) sqrt((0-7)^+(0-4)^); (%o) 5 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt((0-7)^+(0-4)^) ctrl+enter OO = r 1 + r 5=16+9, 因此, 兩圓屬於外切 P. 63 隨堂練習圓 O 是以 O(0,0) 為圓心, 半徑為 5 的圓, 圓 O 是以 O 是以 O (1,1) 為圓心, 半徑為 1 的圓, 問此兩圓的關係為何? 外離 :l 連心距 OO >r 1 +r 交於兩點 :r +r 1 > l 連心距 OO >r -r 1 內離 :r -r 1 >l 連心距 OO OO = (0 1) + (0 1) =1.4141356373095 (%i1) float(sqrt((0-1)^+(0-1)^)); (%o1) 1.4141356373095 r -r 1 =1-5=-4,r +r 1 =1+5=6, float( 算式 ) 指令表示將結果轉換為小數 ; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 float(sqrt((0-1)^+(0-1)^)) ctrl+enter 所以,r +r 1 > l 連心距 OO >r -r 1 r +r 1 >1.4141356373095> r -r 1, 010/0/4 55
因此, 此兩圓的關係交於兩點 P. 64 例 8 如右圖, 坐標平面上有一以 (0,0) 為圓心, 半徑為 3 的圓 另有一圓, 其半徑為 5, 圓心為 (a,0) 若已知此兩圓外離, 求 a 的範圍 外離 :l 連心距 OO >r 1 +r 外離時, 連心距 l>8, 當 (a,0) 在 y 軸的右側時 ( 左下圖 ), 連心距 8=a-0=a, 因此,a>8, 當 (a,0) 在 y 軸的左側時 ( 右下圖 ), 連心距 8=0-a=-a, 由 l>8, 得 -a>8, 因此 a<-8, 因此,a 的範圍是 a>8 或 a<-8 P. 64 隨堂練習有一以 O(0,0) 為圓心, 半徑為 3 的圓, 另有一圓其半徑為 5, 圓心為 (a,0) 若已知此兩圓內離, 求 a 的範圍 ( 右圖為參考圖 ) 010/0/4 56
內離 :r -r 1 >l 連心距 OO 內離時,>l 連心距, 當 (a,0) 在 y 軸的右側時, 連心距 =a-0=a, 因此,a<, 當 (a,0) 在 y 軸的左側時, 連心距 =0-a=-a, 由 >l, 得 >-a, 因此 a<-, 因此,a 的範圍是 a< 或 a<- P. 65 例 9 如右圖, 兩圓交於 A B 兩點, 說明 O1O 是 AB 的中垂線 由於 O1O 是兩圓共同的對稱軸, 因此若 A 為兩圓交點, 則 A 對 O1O 的對稱點 B 也是兩圓交點, 也就是說兩圓交點 A B 互為對稱點, 所以 O1O 是 AB 的中垂線 P. 65 例 10 如右圖, 兩圓 O 1 和 O 交於 A B 兩點, 而且 O 1 在圓 O 上,O 在圓 O 1 上, 若 O1O =10, 求此兩圓的半徑, 並說明 A O 1 O 為正三角形 010/0/4 57
因為 O 在圓 O 1 上, 所以 O1O 為圓 O 1 的半徑, 因此圓 O 1 的半徑為 10 同理, 圓 O 的半徑為 10 又因為 O1 A=10, O A =10, O 1 O =10, 所以 A O 1 O 為正三角形 P. 66 隨堂練習 如右圖, 兩圓 O 1 和 O 交於 A B 兩點, 且 O 1 在圓 O 上,O 在圓 O 1 上 若已 知圓 O 1 的半徑為 10, 求 AO 1B 的弧長 弧長 = 圓周長 弧所對圓心角度數 360 由例 10 知道 A O 1 O = A O O 1 =60, 表示 O 1A 和 O A 的弧度都是 60 O 1A= O 1B, AO 1B 的弧長 = O 1A+ O 1B =10 π 60 60 +10 π 360 360 = 0 π 3 (%i1) 10**%pi*(60/360)+10**%pi*(60/360); 直接輸入 10**%pi*(60/360)+10**%pi* (60/360) ctrl+enter (%pi= 010/0/4 58
(%o1) 0 π 3 π) P. 67 例 11 如右圖, 圓 O 1 與圓 O 的半徑為 5, O 1 O =1, 且 PP 1 是圓 O 1 和圓 O 的外公切線 段, 試說明四邊形 P 1 O 1 O P 為一矩形, 並求 PP 1 因為 O 1 P 1 P =90, O P P 1 =90, 所以 O1 P 1 // O P 又因為 O1 P 1 = O P =5, 所以四邊形 P 1 O 1 O P 是一矩形, 因此 PP 1 = O 1 O =1 P. 68 隨堂練習 如右圖, 圓 O 1 與圓 O 的半徑相等, 其兩外公切線段為 PP 1 Q 1 Q, 說明 PP 1 // Q1Q, 且 PQ 1 1 為直徑 010/0/4 59
由例 11 知道, 等半徑兩圓的外公切線 PP 1 平行於連心線 O1O, 而等半徑兩圓的外公切線 Q1Q 平行於連心線 O1O, 因此 PP 1 // Q1Q ; 由於 PP 1 相切於圓, 因此, O 1 P 1 為此圓半徑, 而 Q1Q 也相切於圓, 因此, Q 1 Q 也為此圓半徑, 因此, PQ 1 1 為直徑 P. 68 例 1 如右圖, 圓 O 1 半徑為 1, 圓 O 半徑為 3, 連心距 O1O =6 若 PP 1 為外公切線段, 求 PP 1 因為 O1 P1 PP 1, O P PP 1, 所以可將上圖的 P 1 O 1 O P 重新畫成如右圖的梯形 作高 O1 H, 得 OH =3-1=, 因此, PP 1 = O 1 H = (%i1) sqrt(6^-^); 6 =4 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(6^-^) 010/0/4 60
(%o1) 4 ctrl+enter P. 69 隨堂練習 如右圖, 圓 O 1 半徑為, 圓 O 半徑為 3, 連心距 O1O =4, PP 1 為外公切線段 試 仿例 1 的說明畫出對應的梯形, 並求 PP 1 因為 O1 P1 PP 1, O P PP 1, 所以可將上圖的 P 1 O 1 O P 重新畫成如右圖的梯形 作高 O1 H, 得 OH =3-=1, 因此, PP 1 = O 1 H = (%i1) sqrt(4^-1^); (%o1) 15 4 1 = 15 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(4^-1^) ctrl+enter P. 69 例 13 如右圖,A 點是圓 O 1 圓 O 兩條外公切線的交點 已知 AP 1 =3, 圓 O 1 半徑為 1, 圓 O 半徑為, 求 PP 1 010/0/4 61
由前面說明,A O 1 O 三點共線 由於 O1 P 1 // OP, 因此 AO 1 P~ AO P (AA 相似性質 ) 所以 AP 1 : AP = O 1 P 1 : O P =1: ( 對應邊成比例 ) 因此 AP = AP 1 = 3=6 得 PP 1 = AP - AP 1 =6-3=3 P. 70 隨堂練習 如右圖, 圓 O 1 和圓 O 的半徑分別為 和 5, 且外公切線 PP 1 和 O1O 交於 A 點 已知 AP 1 =8, 求 PP 1 和 O1O AP 1 : AP =:5 8: AP =:5 AP =8 5, (%i1) solve([*x=8*5], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, (%o1) [x=0] 所以, AP =0, 因此, PP 1 =0-8=1 輸入 solve([*x=8*5], [x]) ctrl+enter AO 1 = 8 + = 17, 010/0/4 6
(%i) sqrt(8^+^); (%o) 17 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(8^+^) ctrl+enter AO = 17 5 =5 17, (%i3) (*sqrt(17))*(5/); (%o3) 5 17 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 (*sqrt(17))*(5/) ctrl+enter 因此, Q 1 Q =5 17-17 P. 70 例 14 如右圖,A 為內公切線 PP 1 與 O1O 的交點 已知圓 O 1 半徑為 1, 圓 O 半徑為 3, 連心距 O1O =5, 求 PP 1 和 P1 A 因為 O1 P1 PP 1, O P PP 1, 可以將上面的 O 1 P 1 P O 畫成右邊的圖形 如圖作 O1 H // PP 1, 交 O P 於 H, 010/0/4 63
因此 O 1 HP P 1 為矩形 可得 O H = P H + O P =1+3=4, 因此 PP 1 = O 1 H = O O O H = 1 5 4 =3, (%i1) sqrt(5^-4^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(5^-4^) ctrl+enter (%o1) 3 由右圖知 O 1 P 1 A~ O P A (AA 相似性質 ) 因此 P A : P 1 A= O P : O 1 P 1 =3:1 ( 對應邊成比例 ) 所以 P1 A= 1 1+ 3 PP 1 = 1 4 3= 3 4 P. 71 隨堂練習 如右圖, 圓 O 1 半徑為 4, 圓 O 半徑為, 連心距 O1O =8, PP 1 為兩圓的內公切線 段, 其中 P 1 P 為切點, 求 PP 1 因為 O1 P1 PP 1, O P PP 1, 可以將上面的 O 1 P 1 P O 畫成右邊的圖形 010/0/4 64
如圖作 O1 H // PP 1, 交 O P 於 H, 因此 O 1 HP P 1 為矩形 可得 O H = P H + O P =4+=6, 因此 PP 1 = O 1 H = O O O H = 1 8 6 = 7 (%i1) sqrt(8^-6^); (%o1) 7 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(8^-6^) ctrl+enter P. 71 例 15 如右圖, A 的兩邊是圓 O 1 圓 O 圓 O 3 的外公切線, 且圓 O 1 和圓 O 外切, r 圓 O 和圓 O 3 外切 若 r 1 r r 3 各為圓 O 1 圓 O 圓 O 3 的半徑, 說明 r = r 3 1 r 我們將上圖分解成右邊的圖 (a) 和圖 (b) r1 現以 A 為中心將圖 (b) 中的圖形縮放倍, 得圖 (c), 則 r O P r =r 1 r =r, 1 O 3 P r 3 =r 3 1 r = r r 3 1 r 由於圓 O 的半徑和圓 O 1 一樣, 因此圖 (c) 和圖 (a) 的圖形一樣, 010/0/4 65
所以 O P = O 3 P 3 r r 亦即 r = 3 1 r r 得 r = 3 1 r r P. 7 隨堂練習如右圖, 圓 O 1 半徑為, 圓 O 半徑為 3, 且圓 O 1 和圓 O 外切, 圓 O 和圓 O 3 外切, 求 O 3 的半徑 r 根據例 15 可知, r = r 3 3 1 r = r 3 3 (%i1) solve([3/=x/3], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, (%o1) [x= 9 ] 輸入 solve([3/=x/3], [x]) ctrl+enter P. 73-1 自我評量 1. 下列敘述, 將正確的打, 錯誤的打 X ( )(1) 圓的對稱軸必過圓心 ( )() 若圓上某半徑平分一弦, 則該半徑垂直此弦 ( )(3) 若圓心到一直線的距離等於半徑, 則此直線為切線 ( X )(4) 同圓心的相異兩圓一定內離 ( X )(5) 若兩圓的兩個半徑以及連心距可以構成三角形的三邊, 則此兩圓必外離 ( )(6) 若兩圓的兩條外公切線平行, 則此兩圓的半徑相等 ( )(7) 若兩圓相切, 則切點在兩圓的連心線段上 010/0/4 66
. 已知坐標平面上有一圓,(1,1) 和 (-1,-1) 落在此圓上, 下麵那一點不可能是該圓的圓心 判斷兩點與題目給的點距離是否相等 (1)(1,-1) (1 1) + (1 ( 1)) = ( 1 1) + ( 1 ( 1)) (%i1) compare(sqrt((1-1)^+(1-(-1))^),sqrt((-1-1)^+(-1-(-1))^)); compare( 算式, 算式 ) 指令表示比較算式; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 compare(sqrt((1-1)^+(1-(-1))^),sqrt((-1-1)^+(-1-(-1))^)) ctrl+enter (%o1) = ()(0,0) (1 0) + (1 0) = ( 1 0) + ( 1 0) (%i) compare(sqrt((1-0)^+(1-0)^),sqrt((-1-0)^+(-1-0)^)); compare( 算式, 算式 ) 指令表示比較算式; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 compare(sqrt((1-0)^+(1-0)^),sqrt((-1-0)^+(-1-0)^)) ctrl+enter (%o) = (3)(-1,0) (1 ( 1)) + (1 0) = ( 1 ( 1)) + ( 1 0) (%i3) compare(sqrt((1-(-1))^+(1-0)^),sqrt((-1-(-1))^+(-1-0)^)); compare( 算式, 算式 ) 指令表示比較算式; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 compare(sqrt((1-(-1))^+(1-0)^),sqrt((-1-(-1))^+(-1-0)^)) ctrl+enter (%o3) > (4)(-1,1) (1 ( 1)) + (1 1) = ( 1 ( 1)) + ( 1 1) (%i4) compare(sqrt((1-(-1))^+(1-1)^),sqrt((-1-(-1))^+(-1-1)^)); compare( 算式, 算式 ) 指令表示比較算式; sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 compare(sqrt((1-(-1))^+(1-1)^),sqrt((-1-(-1))^+(-1-1)^)) ctrl+enter (%o4) = 因此,(3)(-1,0) 不可能是該圓的圓心 3. 如右圖, 有三個等半徑的圓兩兩外切, 其中 A B C 為圓心, 說明 ABC 為正三角形 010/0/4 67
由於此三個圓半徑相等, 同時兩兩之間的圓也互為相切, 所以, 三邊會等長, 因 此, ABC 為正三角形 第 章圓 - 圓與角 P. 75 例 1 如右圖, AB 為圓 O 的直徑, 在圓上任取異於 A B 的一點 P, 說明圓周角 APB 必為直角 如右圖, 作 OP 由於 1= A ( OAP 為等腰三角形 ) = B ( OBP 為等腰三角形 ) 010/0/4 68
由三角形內角和為 180, 得 A+ B+( 1+ )=180 因此 ( 1+ ) =180 所以 1+ = 180 =90 P. 76 隨堂練習 如右圖,CD 為圓 O 的直徑, 若圓上的 A B 兩點在 CD 的同側, 說明 ABC 是鈍 角 因為 CD 直徑, 所以弧 CD 為 180 度, 而弧 AC 大於 180 度, 因此, ABC 大於 9 0 度是鈍角 P. 76 例 如右圖, AP 為圓 O 的直徑, 若已知 AB =80, 求 APB 連接 OB, 則 AOB= AB =80 010/0/4 69
由於 OB = OP, 所以 POB 為等腰三角形, 因此 AOB= APB ( 三角形外角性質 ) 即 APB= 1 AOB=40 P. 77 隨堂練習 如右圖, AB =70, 利用直徑 PQ 與例題 求 APB 連接 OB 和 OA, 則 BOA= AB =70 由於 OB = OP = OA, 所以 POB POA 為等腰三角形, 因此 BOQ= BPQ ( 三角形外角性質 ) 010/0/4 70
AOQ= APQ ( 三角形外角性質 ) 即 APB= BPQ+ APQ= 1 ( BOQ+ AOQ)= 1 AOB= 1 70 =35 P. 77 隨堂練習 如右圖, AB =90,C 為 AP 上的一點 求 BPC 圓周角等於其所對弧度數的一半 APB=90 =45, 因此, BPC=180 - APB =180-45 =135 P. 78 例 3 如右圖, 圓上四點 A B C D 構成一四邊形, 說明 A+ C=180 = B+ D 由於 A= 1 BCD, C= 1 BAD, 010/0/4 71
所以 A+ C= 1 BCD + 1 BAD = 1 ( BCD + BAD )=360 1 =180, 同理 B+ D=180 P. 78 隨堂練習如右圖, 有一平行四邊形 ABCD, A=10, 說明 A B C D 不會共圓 在圓內的四邊形, 對角的和要是 180 度, 但 AC 或 BD 和不是 180 P. 78 例 4 如右圖, APB=50, 求 AOB 由於 A= 1 BCD 所以 AB = APB=50 =100 因此 AOB= AB =100 P. 79 隨堂練習如右圖, 圓心角 AOC=130, 求 ABC 010/0/4 7
同一弧所對圓周角是所對圓心角的一半 AOC=130, 所以, ABC =130 =60, AC =360-60 =100, 因此, ABC=100 =50 P. 79 隨堂練習 如右圖, AB AC 分別與圓 O 切於 B C 已知 A=40, 求 BOC 和 BPC 同一弧所對圓周角是所對圓心角的一半 BOC=360-90 -90-40 ( A)=140, BPC= 1 BOC= 1 140 =70 P. 81 例 5 如右圖,D 為圓 O 上的一點, 且 AB AC 分別與圓 O 相切於 B C, A=50, 求 ABC 和 BDC 010/0/4 73
利用等腰三角形或弧切角為所夾弧一半的性質, 都可以知道 CBA= BCA, 所以 CBA= 1 (180-50 )=65 ( 三角形的內角和為 180 度 ) 因此 BDC= CBA=65 ( 弧切角等於圓周角 ) P. 81 隨堂練習 如右圖, DA 與圓切於 A, 且 C 為圓上一點, AC = BC (1) 說明 y=x y 所對的弧長為 AB, 而 x 所對的弧長為 AC, 由於 AC = BC, 所以,y=x () 若 D C B 共線, 且 ADC=30, 求 x x=180-90 (y)-30 ( ADC)=60 P. 8 例 6 如右圖, AC 與 BD 相交於 P 點, 說明 ABP~ DCP 010/0/4 74
因為 APB= DPC ( 對頂角相等 ) ABP= DCP ( 對同一弧的圓周角相等 ) 所以 ABP~ DCP P. 8 隨堂練習 如右圖, AB 切圓於 B, 並且 AC 交圓於 D, 說明 ABC~ ADB A= A ( 共角 ) DBA= BCD ( 弦切角等於圓內角 ), ABC~ ADB (AA 相似 ) P. 8 例 7 如右圖, 點 Q 在圓內部,Q 和 P 在 AB 的同側, 說明 Q> P 010/0/4 75
如右圖, 延長 AQ, 使得 AQ 和圓 O 交於 C 點, 並連接 CB 因為 APB 和 ACB 所對的弧相同, 所以 APB= ACB, 由於 AQB 是 BQC 的外角, 亦即 AQB= ACB+ QBC, 所以 AQB> ACB, 因此 AQB> APB P. 83 例 8 如右圖, AD =40, BC =90, 求 BQC 如右圖, 連接 CD, 由例 7 的說明可知, 010/0/4 76
BQC= QDC+ QCD= 1 ( BC + AD )= 1 (90 +40 )= 1 130 =65 P. 84 隨堂練習如右圖,A B C D 為圓上四點,Q 為圓內一點 (1) 若 BC =40, AD =10, 求 BQC 如圖, 連接 CD, 由例 7 的說明可知, BQC= QDC+ QCD= 1 ( BC + AD )= 1 (40 +10 )= 1 160 =80 () 若 AQD=90, AB =100, 求 CD 010/0/4 77
AQB=180- AQD=180-90 =90, AQB= DQC ( 對角相等 ) 因此, AB = CD =100 P. 84 例 9 如右圖, 已知 AB =90, CD =30, 求 AQB 如右圖, 連接 AC, AQB= ACB- DAC= 1 ( AB - CD )= 1 (90-30 )= 1 60 =30 P. 84 隨堂練習如右圖,A B C D 為圓上四點,Q 為圓外一點 010/0/4 78
(1) 若 CAB =140, DCA =80, 求 AQB 令 AC =x, DC =8-x, BA =140-x, AQB= 1 ( AB - DC )= 1 ((140-x)-(80-x))=30 (%i1) (1/)*((140-x)-(80-x)); 直接輸入 (1/)*((140-x)-(80-x)) ctrl+enter (%o1) 30 () 若 AQB=35, CD =45, 求 AB AQB= 1 ( AB - DC ) 35= 1 ( AB -45), (%i) solve([35=(1/)*(x-45)], [x]); (%o) [x=115] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示 求解, 輸入 solve([35=(1/)*(x-45)], [x]) ctrl+enter 因此, AB =115 P. 73 - 自我評量 1. 下列敘述, 將正確的打, 錯誤的打 X ( )(1) 若一圓周角所對的弧是 10, 則此角為鈍角 ( )() 若 AB 為圓上直徑,C D 為圓上異於 A B 的兩點, 則 ACB= ADB ( )(3) 圓中兩相異直徑的四個端點構成一個矩形 ( X )(4) 若由圓上四個點所構成的四邊形是平行四邊形, 則此平行四邊形一定是矩形 010/0/4 79
. 如右圖, 圓 O 1 和圓 O 交於 A B 兩點, O 1 O 與兩圓的交點為 C D E F 說 明 CAD= FAE 因為 CE 和 DF 都是直徑, ACE= FAD=90, DAE= DAE, 因此, CAD= FAE 3. 如右圖, 求 x y x + y = 180 x 3y = 180 (%i1) solve([x+y=180,*x-3*y=180], [x,y]); solve( [ 變數算式, 變數算式 ], (%o1) [[x=144,y=36]] [ 變數, 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([x+y=180,*x-3*y=180], [x,y]) ctrl+enter 4. 如右圖,A 為圓 O 外一點, AB AC 切圓於 B C 兩點,D 為圓上一點 已知 010/0/4 80
BAC=60, 1=, 求 BDC 1 令 =x, 1=x, BD =4x, CD =x, BC =360-6x, CDB=180-3x, ACD=180-x, ABD=180-x, A+ ACD+ CDB+ ABD=360 60+(180-x)+(180-3x)+(180-x)=360, (%i1) solve([60+(180-x)+(180-3*x)+(180-*x)=360], [x]); solve( [ 變數算式 ], (%o1) [x=40] 因此, 1= 40=80, =40, BDC=180-3 40= (%i1) *40; 直接輸入 *40 ctrl+enter (%o1) 80 (%i) 180-3*40; 直接輸入 180-3*40 ctrl+enter (%o) 60 [ 變數 ] ) 指令表示 求解, 輸入 solve([60+(180-x)+(1 80-3*x)+(180-*x)=3 60], [x]) ctrl+enter 第 章圓 -3 圓與多邊形 P. 88 例 1 若一多邊形有外心, 說明外心是此多邊形各邊中垂線的交點 由於此多邊形有外接圓, 因此任一邊都是該圓的弦, 但因為圓上一弦的中垂線必過圓心, 因此外心 ( 亦即圓心 ) 就是各邊中垂線的交點 右圖是五邊形的例子 010/0/4 81
P. 88 隨堂練習判斷下列各圖形哪些有外心? 哪些沒有外心? () 有外心 ;(1) 和 (3) 沒有外心 P. 89 例 說明 ABC 必有外心 由於 A B C 三點不共線, 由 -1 節知道, 必有一圓 O 通過此三點 A B C( 如右圖 ) 因此圓 O 就是 ABC 的外接圓, 而圓心 O 就是 ABC 的外心 P. 89 隨堂練習如右圖, 坐標平面上有一 ABC, 且 A B C 坐標為 (3,3) (0,3) (3,-), 求 ABC 外心的坐標 010/0/4 8
由於直角三角形, 外心就是斜邊 BC 的中點, BC 的中點 =( 0 + 3 3 + ( ) 3, )=(, 1 ) P. 89 例 3 如右圖, ABC 為直角三角形, 說明 ABC 的外心就是斜邊 AC 的中點 過 A B C 三點作一外接圓, 如右圖 由於圓周角 ABC=90, 所以 AC 必為直徑 但外心 O 為此圓的圓心, 因此外心就 是 AC 的中點 P. 90 隨堂練習 010/0/4 83
如右圖, ABC 為直角三角形, 其中 AB =5, BC =1, 求外接圓的半徑 由於直角三角形, 外接圓的半徑就是斜邊 AC 的一半, AC = 5 + 1 =13, (%i1) sqrt(5^+1^); (%o1) 13 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(5^+1^) ctrl+enter 外接圓的半徑 =13 = 13 (%i) 13/; 直接輸入 13/ ctrl+enter (%o) 13 P. 91 隨堂練習如右圖, 有一四邊 ABCD, 若已知 ABCD 有外接圓, 求 x y 由於 ABCD 有外接圓, 因此, A 與 C 互補, 而 B 與 D 互補, x + y = 180 x + (10 y) = 180 (%i1) solve([x+y=180,*x+(10-y)=180], [x,y]); solve( [ 變數算式, 變數算式 ], [ 變數, 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([x+y=180,*x+(10-y)=1 80], [x,y]) ctrl+enter 010/0/4 84
(%o1) [[x=80,y=100]] P. 9 隨堂練習下列哪些四邊形有外接圓?(1) 和 (3) P. 93 例 4 若一多邊形有內心, 說明內心是此多邊形各內角的角平分線的交點 由於此多邊形有內切圓, 由 -1 節圓外一點的切線性質知道, 此多邊形頂點到圓心的連線是該內角角平分線, 因此內心 ( 亦即圓心 ) 就是各內角的角平分線的交點 右圖以五邊形為例 P. 94 隨堂練習判斷下列各圖形哪些有內心? 哪些沒有內心?() 有內心,(1) 和 (3) 沒有內心 P. 94 例 5 010/0/4 85
如右圖, 有一 ABC 與圓 O, 試在圓 O 作一外切三角形 A B C, 使得 ABC~ A B C 令 1=180 - A=105 =180 - B=115 3=180 - C=140 由於 1+ + 3=360, 在圓 O 作 105 115 140 的圓心角, 分別在圓上得 D E F 點如右圖 再過 D E F 分別作切線 L M N 構成 A B C 所以 A =180-1=180-105 =75 = A, B =180 - =180-115 =65 = B, 因此 ABC~ A B C (AA 相似性質 ) P. 95 隨堂練習如右圖, 有一 ABC, 試仿例 5 在下面的圓畫出一外切三角形和 ABC 相似 令 1=180 - A=130 010/0/4 86
=180 - B=115 3=180 - C=115 由於 1+ + 3=360, 在圓 O 作 130 115 115 的圓心角, 分別在圓上得 D E F 點如右圖 再過 D E F 分別作切線 L M N 構成 A B C 所以 A =180-1=180-130 =50 = A, B =180 - =180-115 =65 = B, 因此 ABC~ A B C (AA 相似性質 ) P. 97 例 6 如右圖, ABC 為等腰三角形, 腰長為 6, 底邊長為 4 (1) 求 ABC 的面積 () 求內心 O 到各邊的距離 (1) 如右圖, 作 AH 為 BC 上的高 010/0/4 87
所以 BH = ( AH 是 BC 的中垂線 ) AH = 6 =4 (%i1) sqrt(6^-^); (%o1) 4 由此得 ABC 面積為 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(6^-^) ctrl+enter 1 4 4 =8 (%i) (1/)*4*(4*sqrt()); 直接輸入 (1/)*4*(4*sqrt()) ctrl+enter (%o) 8 () 設內心 O 到各邊的距離為 d ABC 的周長為 6+6+4=16, 因此,8 = 1 16 d, (%i3) solve([8*sqrt()=(1/)*16*d], [d]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([8*sqrt()=(1/)*16*d], [d]) ctrl+enter (%o3) [d= ] P. 97 隨堂練習已知一三角形的周長 4, 面積為 18, 求此三角形內切圓的半徑 內心 O 到 ABC 三邊的距離都相等 ( 記成 d) ABC 面積 = 1 ABC 周長 d 三角形內切圓的半徑表示三邊的距離都相等, 求 d 值即可, 010/0/4 88
18= 1 4 d, (%i1) solve([18=(1/)*4*d], [d]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示 求解, 輸入 solve([18=(1/)*4*d], [d]) ctrl+enter (%o1) [d= 3 ] P. 98 例 7 如右圖, 四邊形 ABCD 是圓 O 的外切四邊形, 說明 AD + BC = AB + CD 設四邊形 ABCD 和圓 O 切於 E F G H 四點 由於 AH = AE, BE = BF, CF = CG, DG = DH, ( 切線性質 ) 因此 AD + BC = AH + DH + BF + CF 010/0/4 89
= AE + DG + BE + CG =( AE + BE )+(CG + DG ) = AB + CD P. 98 隨堂練習 如右圖, 等腰梯形 ABCD 有內切圓, 其中 AD // BC, AD =6, BC =4, 求 AB 和 內切圓半徑 AD BC 6 根據例 7 可知, AB = + = + 4 =15, (%i1) (6/)+(4/); 直接輸入 (6/)+(4/) ctrl+enter (%o1) 15 內切圓直徑 = 15 9 =1, (%i) sqrt(15^-9^); sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(15^-9^) ctrl+enter (%o) 1 因此, 內切圓半徑 =1 =6 (%i1) 1/; 直接輸入 1/ ctrl+enter (%o1) 6 P. 101 例 8 設一正六邊形邊長為 1, 求此正六邊形內切圓及外接圓的半徑 如右圖, 令正六邊形 ABCDEF 的外心 ( 也是內心 ) 為 O, 則外接圓的半徑等於 OA, 而且內切圓的半徑等於 OAB 中 AB 上的高 OH 010/0/4 90
(6 ) 180 由於正六邊形各內角等於 =10, 6 (%i1) ((6-)*180)/6; 直接輸入 ((6-)*180)/6 ctrl+enter (%o1) 10 所以 OAB= 10 同理 OBA=60, =60, (OA為線對稱軸) 因此 OAB 是邊長 1 的正三角形 (OB 為線對稱軸 ) 得 OA =1,OH = 3, ( OAH 為 30-60 -90 三角形 ) 所以, 外接圓半徑為 1, 內切圓半徑為 P. 10 隨堂練習 3 設一正方形邊長為, 求此正方形外接圓與內切圓的半徑 A C O B D (4 ) 180 由於正四邊形各內角等於 =90, 4 (%i1) ((4-)*180)/4; 直接輸入 ((4-)*180)/4 ctrl+enter 010/0/4 91
(%o1) 90 所以 OAB= 90 =45, OBA=45, 因此 OAB 是等腰三角形 得 OA =, ( OAB 為 45-45 -90 三角形 1:1: ) 所以, 外接圓半徑為, 內切圓半徑為 =1 P. 103-3 自我評量 1. 下列敘述, 正確的打, 錯誤的打 X ( )(1) 圓的外切平行四邊形必為菱形 ( X )() 菱形必有內切圓 ( X )(3) 圓的內接箏形必為菱形 ( X )(4) 菱形必有外接圓 ( X )(5) 任一矩形必有外接圓 ( )(6) 任一矩形必有內切圓 ( X )(7) 三角形的內心一定在三角形內部 ( X )(8) 三角形的外心一定在三角形外部 ( X )(9) 正三角形的內心和外心是不同的點 ( )(10) 直角三角形的內心和外心是不同的點. 若圓的半徑為 4, 求其內接正方形與外切正方形的面積 內接正方形的邊長 =4, ( 等腰 為 45-45 -90 1:1: ) 內接正方形的面積 =4 4 =3 平方單位, (%i1) 4*sqrt()*4*sqrt(); 直接輸入 4*sqrt()*4*sqrt() ctrl+enter (%o1) 3 外接正方形的邊長 =4 =8, 外接正方形的面積 =8 8=64 平方單位, 010/0/4 9
3. 如右圖, 有一直角三角形 ABC, B 為直角, 且 O 為內心, 作 OD BC,OE AB, 試說明 (1) BE = BD 是三角形 ABC 內切圓半徑 因為內心到三邊的垂直距離相等, 所以是 ABC 的內切圓半徑 () OE = AB + BC AC 如上圖, 有直角三角形 ABC,B 為直角,O 為內切圓圓心,D E F 為切點, 連接線段 OE 與線段 OD, 觀察四邊形 OEBD, OEB= ODB=90 度 ( 切線 ), EBD=90 度 ( 直角三角形之直角 ), 故 DOE=360-90 -90-90 =90, 因此,OEBD 為長方形, 又因 OE = OD =r, 因此,OEBD 為正方形, 因此, BE = BD =r, 又根據圓的切線性質, AE = AF, 且 CF = CD, 分別令其為 m 與 n, 則兩股和 - 斜邊 = AB + BC - AC =(m+r)+(n+r)-(m+n)=r, 因此,r= ( 兩股和 - 斜邊 ) =OE = AB + BC AC 010/0/4 93
第 章圓 -4 數學證明 P. 105 隨堂練習 如右圖,A 在 BC 的中垂線 L 上 在下列空格中填入適當的性質證明 AB = AC 證明 由於 BH = CH ( 中垂線垂直平分 ) AHB= AHC (_ 皆 90 度 _) AH = AH 所以 ABH ACH (SAS 全等性質 ) 因此 AB = AC (_ 三角形全等性質 _) P. 105 隨堂練習 如右圖, 有一 ABC, AH BC 在下列的空格填入適當的算式, 證明 AB + AC > BC 010/0/4 94
證明 由於 AB >_ BH _ ( 直角三角形三邊以斜邊最長 ) AC >_ HC _ ( 直角三角形三邊以斜邊最長 ) 因此 AB + AC >_ BC _ ( 不等式性質 ) 即 AB + AC > BC P. 110 例 1 說明正三角形的內心 外心 重心是同一點 如右圖, 正三角形有三條對稱軸, 就是各邊的垂直平分線, 同時也是各內角的角平分線, 因此這三條對稱軸的交點就是內心和外心 但因為重心在對稱軸上, 所以正三角 形的重心 內心 外心是同一點 P. 106 隨堂練習利用下列圖形的線對稱特性, 找出其重心的位置 010/0/4 95
P. 11 例 如右圖, 中線 BE 與 CF 交於 G, 連 AG 交 BC 於 D, 證明 D 必為 BC 的中點 如右圖, 將以 G 為頂點之一的小三角形面積標為 a b c d e f, 例如 GAF 的面積是 a 010/0/4 96
底下我們將說明這些小三角形的面積有很好的性質, 並以此說明 BD = DC (1) 首先我們先說明 a=b=e=f 由於 F 是 AB 的中點, AF = BF, 且 GAF 中 AF 邊上的高等於 GBF 中 BF 邊上的高 因此 a=b ( 三角形面積 = 1 底 高 ) 同理 e=f 再利用三角形面積公式, 由於 AF = BF, 因此 AFC 面積 = 1 ABC 面積 同理 ABE 面積 = 1 ABC 面積因此 b+a+f=e+f+a 故 b=e ( 等量公理 ) 換句話說 a=b=e=f () 其次我們將證明 c=d 由於 a=b=e=f, 我們利用 a 表示這些面積, 將上圖重新標示如右圖, 010/0/4 97
再一次運用三角形的面積公式, 可知 BD : CD = GBD 面積 : GCD 面積 = ABD 面積 : ACD 面積, 由第二個等號可得 c:d=(c+a):(d+a), 故得 d(c+a)=c(d+a) ( 內項相乘等於外項相乘 ) 化簡得 dc+ad=cd+ac 再同除以 a 得 c=d ( 等量公理 ) (3) 利用 c=d 與三角形面積公式, 可知 BD : CD =c:d=1:1, 即 BD = CD, 所以 D 為 BC 的中點 P. 113 隨堂練習如右圖, ABC 為一直角三角形, 其三邊為 3 4 5,G 為重心 (1) 求 GAC 與 GBC 的面積 GAC= GBC=3 4 1 1 3 = 平方單位 (%i1) 3*4*(1/)*(1/3); 直接輸入 3*4*(1/)*(1/3) ctrl+enter (%o1) () 求 G 到 AC BC 的距離 010/0/4 98
5 x 1 =, (%i) solve([5*x*(1/)=], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([5*x*(1/)=], [x]) ctrl+enter (%o) [x= 4 5 ] G 到 AC 距離 = 4 5, 3 x 1 =, (%i3) solve([3*x*(1/)=], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([3*x*(1/)=], [x]) ctrl+enter (%o3) [x= 4 3 ] G 到 BC 距離 = 4 3 (3)G 是否為 ABC 的內心? 否 P. 114 例 3 如右圖,G 為 ABC 的重心, 證明 AG : DG =:1 如右圖, 作中線 BE, 010/0/4 99
由上述可知 ABG 面積 : BDG 面積 =:1, 但 ABG 在 AG 上的高等於 BDG 在 DG 上的高, 因此, AG : DG = ABG 面積 : BDG 面積 =:1 P. 114 隨堂練習如右圖, 坐標平面上有一等腰三角形 AOB, 求重心 G 的坐標 三角形重心到頂點的距離, 是過此頂點中線長的 6 3 =4, (%i1) 6*(/3); 直接輸入 6*(/3) ctrl+enter (%o1) 4 6-4=, 因此,G 的坐標為 (,) 3 P. 116 例 4 找出下面敘述的反例 : 010/0/4 100
(1) 康雄說, 他從邊長 3 4 5 或 5 1 13 或 4 5 6 的三角形例子, 發現一個 定理 : 三角形的兩邊乘積大於第三邊 這個敘述對嗎? () 美蕙說, 她發現一個質數的公式 :n +n+1 因為她試 n=1, 結果是 3:n=, 結 果是 7:n=5, 結果是 31 所以她歸納出這個結果, 你覺得正確嗎? (1) 我們懷疑康雄的說法, 所以找邊長最簡單的正三角形來測式 取邊長是 1 的正 1 三角形, 則兩邊乘積 1 = 1 1 小於第三邊長 4 因此康雄的想法是錯的 康雄會 這樣猜, 可能是因為平常課本上的例子, 很多邊長都是整數的緣故 () 要測試美蕙的想法, 最簡單的方式, 就是有系統的表列出更完整的結果 : n 1 3 4 5 6 7 8 n +n+1 3 7 13 1 31 43 57 73 (%i1) f(n):=n^+n+1; f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(n):=n^+n+1 ctrl+enter (%o1) f(n):=n^+n+1 (%i) f(1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(1) ctrl+enter (%o) 3 (%i3) f(); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f() ctrl+enter (%o3) 7 (%i4) f(3); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(3) ctrl+enter (%o4) 13 (%i5) f(4); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(4) ctrl+enter (%o5) 1 (%i6) f(5); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(5) ctrl+enter (%o6) 31 (%i7) f(6); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(6) ctrl+enter (%o7) 43 (%i8) f(7); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(7) ctrl+enter (%o8) 57 (%i9) f(8); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(8) ctrl+enter (%o9) 73 顯然 在 n=4 和 7 時,1 和 57 都有 3 的因數, 因此美蕙的說法是錯的 P. 116 隨堂練習 010/0/4 101
找出下面敘述的反例 : (1) 美蕙修正她的說法 : 若 n +n+1 不是 3 的倍數, 則 n +n+1 一定是質數 你覺得美蕙新的說法對嗎? () 若一個圓有外切四邊形, 則此四邊形一定是菱形 (1) 美蕙的說法還是錯的, 因為, 在 n=4 和 7 時,1 和 57 都有 3 的因數 () 錯, 有可能是正四邊形, 菱形只是四邊的其中一種 P. 117 例 5 判斷下列反過來的敘述是否正確 : (1) 已知 如果 a=1, 則 a =1 問敘述 如果 a =1, 則 a=1 是否正確 () 已知 若兩四邊形全等, 則四對應邊相等 問敘述 如果兩四邊形四對應邊 相等, 則此兩四邊形全等 是否正確 (1)a=-1 顯然是 a =1 則 a=1 的反例, 所以這敘述是錯的 () 敘述是錯的, 我們可以找最熟悉的例子 如右圖, 邊長是 1 的正方形和邊長是 1 但不是正方形的菱形, 就是明顯的反例 P. 118 隨堂練習 (1) 已知 若兩四邊形相似, 則四對應角相等 問敘述 若兩四邊形四對應角相等, 則此兩四邊形相似 是否正確 正確, 角度相同此兩四邊形必為相似 () 已知 如果 a=0, 則 a =0 問敘述 如果 a =0, 則 a=0 是否正確 正確,0 永遠都是 0 P. 10-4 自我評量 010/0/4 10
1. 下面的敘述是錯誤的, 試給出反例 (1) 若 a b 是正數, 則 ab>a a= b=0.1 顯然是 ab>a 的反例, 所以這敘述是錯的 () 若兩圓不相交, 則這兩圓有外公切線和內公切線 若其中一圓在一圓內, 則就不會有外公切線和內公切線. 如右圖, 圓 O 上 AB = CD, 證明 AB = CD 由題意可知 AB = CD, 而 BAC= BCD ( 同為 BD ) 又因 ABC= ADC ( 同為 AC ) 由此可知第三角必為相等, 而在同一個圓中, 三角相等, 三邊長必為相等, 因此, AB = CD 3. 如右圖,G 為直角三角形 ABC 的重心, GH BC, 說明 GH = 1 3 AB F 由於三角形重心到頂點的距離, 是過此頂點中線長的 因此,G 為直角三角形 ABC 的重心, 3, 010/0/4 103
根據 AA 相似可知, ABD 和 GHD 相似, AG : GD =:1 AF : BF =:1 AB : GH =3:1, 因此, GH = 1 3 AB 4. 如右圖, 坐標平面上有一直角三角形 AOB (1) 求外心 J, 內心 I, 重心 G 的坐標 斜邊 = 3 + 4 =5, (%i1) sqrt(3^+4^); (%o1) 5 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt(3^+4^) ctrl+enter 外心 J 為斜邊 AB 中點 =( 0 + 4 3+ 0 3, )=(, ), (%i) (0+4)/; 直接輸入 (0+4)/ ctrl+enter (%o) (%i3) (3+0)/; 直接輸入 (3+0)/ ctrl+enter (%o3) 3 x + x + x 重心 G=( 1 3 3 y1 + y + y3, 3 )=( 0 + 0 + 4 0 + 3+ 0 4, )=( 3 3 3,1), (%i4) (0+0+4)/3; 直接輸入 (0+0+4)/3 ctrl+enter (%o4) 4 3 (%i5) (0+3+0)/3; 直接輸入 (0+3+0)/3 ctrl+enter 010/0/4 104
(%o5) 1 內心 I 為三角形的各邊角平分線, 內心的坐標為圓半徑, 如下圖所示, r+n+m=3+4+5 (r+n+m)=1 r+n+m=6, m+n=5, 所以,r=6-5=1, 因此內心 I(1,1) ()J I G 三點共線嗎? 會 第 3 章二次函數 3-1 二次函數與圖形 P. 13 例 1 如右圖,A 的坐標為 (1,), 在第一象限取 OA 上任一點 C, 設其坐標為 (x,y), 求 y 與 x 的關係 如右圖, 取 B(1,0),D(x,0) 010/0/4 105
則 OB =1, AB =, OD =x, CD =y 由 AA 相似性質可知 COD~ AOB, 因此 CD : AB = OD : OB ( 對應邊成比例 ) 即 y:=x:1 所以 y=x P. 13 隨堂練習 如右圖,A 坐標為 (1,), 在第三象限取 OA 上任一點 C, 設其坐標為 (x,y), 求 y 與 x 的關係 ( 注意 : OD =-x, CD =-y) OB =1, AB =, OD =-x, CD =-y 由 AA 相似性質可知 COD~ AOB, 因此 CD : AB = OD : OB ( 對應邊成比例 ) 010/0/4 106
即 -y:=-x:1 所以 y=x P. 14 例 說明 y=x+1 的圖形是一條直線 要說明 y=x+1 的圖形是直線, 我們可以比較 y=x+1 的圖形和另一個函數 y=x 圖形的關係, 如下表 : (%i1) f(x):=y=*x; x y=x y=x+1 圖形的點 - (-,-4) (-,-4+1) -1 (-1,-) (-1,-+1) 0 (0,0) (0,0+1) 1 (1,) (1,+1) (,4) (,4+1) f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(x):=y=*x ctrl+enter (%o1) f(x):=y=*x (%i) f(-); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-) ctrl+enter (%o) y=-4 (%i3) f(-1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-1) ctrl+enter (%o3) y=- (%i4) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o4) y=0 (%i5) f(1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(1) ctrl+enter (%o5) y= (%i6) f(); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f() ctrl+enter (%o6) y=4 由上面列表的方式, 可以知道 y=x+1 圖形上任一點, 是由 y=x 圖形上的一點上 移一個單位, 例如 (1,+1) 是 (1,) 往上移一個單位 因此 y=x+1 的圖形是將 y=x 的圖形上移一個單位 但例 1 已說明 y=x 的圖形是一條通過 (0,0) 和 (1,) 的直線 因此 y=x+1 的圖形也是一條直線, 如右圖 : 010/0/4 107
P. 15 隨堂練習如右圖, 直線 L 是函數 y=x 的圖形, 試利用 L 畫出 y=x-3 的圖形 (%i1) plotd([*x-3],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([*x-3],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 108
y=x-3 P. 15 隨堂練習試在坐標平面上畫出 y=-3 的圖形 (%i1) plotd(-3,[x,-5,5]); plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd(-3,[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) (%o1) 010/0/4 109
y=-3 P. 16 例 3 下列各函數中, 哪些是二次函數? 1 (1)y=x+1 ()y=-x (3)y=(x-1) (4)y= x (1)y 是 x 的一次函數, 不是 x 的二次函數 () 因為 -x 是 x 的二次多項式, 所以 y=-x 是 x 的二次函數 (3) 因為 (x-1) 是 x 的二次多項式, 所以 y=(x-1) 是 x 的二次函數 1 (4) 當 x 0 時, 符號 x x 的二次函數 表示 1 x 1 因為 x 1 不是 x 的二次多項式, 所以 y= x 不是 P. 16 隨堂練習下列各函數中, 哪些是二次函數? 010/0/4 110
(1)y=x-x ()y=3 (3)y=1-(x+) (4)y= 1 x (1) 因為 -x 是 x 的二次多項式, 所以 y=x-x 是 x 的二次函數 ()x=0, 因此,y=3 不是二次函數 (3) 因為 -(x+) 是 x 的二次多項式, 所以 y=1-(x+) 是 x 的二次函數 (4) 當 x 0 時, 符號 的二次函數 1 1 表示 1 x 因為不是 x 的二次多項式, 所以 y= 1 不是 x x x x P. 16 例 4 若 y=(x-1), 試完成下表 : x - -1 0 1 y 9 4 1 0 1 (%i1) f(x):=y=(x-1)^; f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(x):=y=(x-1)^ ctrl+enter (%o1) f(x):=y=(x-1)^ (%i) f(-); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-) ctrl+enter (%o) y=9 (%i3) f(-1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-1) ctrl+enter (%o3) y=4 (%i4) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o4) y=1 (%i5) f(1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(1) ctrl+enter (%o5) y=0 (%i6) f(); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f() ctrl+enter (%o6) y=1 P. 17 隨堂練習 在下列空格填入適當的數使得該數對滿足 y=x +1 (%i1) f(x):=y=x^+1; f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 (%o1) f(x):=y=x^+1 f(x):=y=x^+1 ctrl+enter (1)(-1, ) (%i) f(-1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-1) ctrl+enter (%o) y= 010/0/4 111
()(0,_1_) (%i3) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o3) y=1 (3)(1, ) (%i4) f(1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(1) ctrl+enter (%o4) y= P. 17 例 5 若數對 (1,-) 滿足 y=-x +c, 求 c (%i1) solve([-=-1^+c], [c]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 (%o1) [c=-1] 解, 輸入 solve([-=-1^+c], [c]) ctrl+enter P. 17 隨堂練習 若數對 (0,) 和 (1,-) 滿足 y=ax +b, 求 a 和 b = b = a + b (%i1) (%i1) solve([=b,-=a+b], [a,b]); solve( [ 變數算式, 變數算式 ], [ 變數, (%o1) [[a=-4,b=]]; 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([=(a*0)^+b,-=(a*1)^+b], [a,b]) ctrl+enter P. 19 隨堂練習 1 若 y= x, 試完成下表, 並畫出對應的折線圖 x -3 - -1 0 1 3 y 9 (%i1) f(x):=y=(1/)*x^; 1 0 f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 1 f(x):=y=(1/)*x^ ctrl+enter (%o1) f(x):=y=1/*x^ (%i) f(-3); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-3) ctrl+enter (%o) y= 9 9 010/0/4 11
(%i3) f(-); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-) ctrl+enter (%o3) y= (%i4) f(-1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(-1) ctrl+enter (%o4) y= 1 (%i5) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o5) y=0 (%i6) f(1); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(1) ctrl+enter (%o6) y= 1 (%i7) f(); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f() ctrl+enter (%o7) y= (%i8) f(3); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(3) ctrl+enter (%o8) y= 9 (%i1) plotd([[discrete,xy:[[-3,9/],[-,],[-1,1/],[0,0],[1,1/],[,],[3,9/]]], (1/)*x^], [x,-5,5], [style, [points,5,,6], [lines,1,1]], [legend," 點 "," 函數 "], [xlabel,"x"], [ylabel,"y"]); plotd( [[ discrete,xy [( 各點坐標 )[ 坐標 1],[ 坐標 ],[ 坐標 3]]], 函數式 ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ], [style, [( 點的格式 )points, 大小, 顏色, 形狀 ], [( 線的格式 )lines, 粗細, 顏色 ]],[( 命名 )legend, " 對點的命名 "," 對線的命名 "],[xlabel, "x 軸命名 "][ ylabel, "y 軸命名 "]) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([[discrete,xy:[[-3,9/],[-,],[-1,1/],[0,0],[1,1/],[,],[3,9/]]], (1/)*x^], [x,-5,5],[style, [points,5,,6], [lines,1,1]],[legend," 點 "," 函數 "],[xlabel,"x"], [ylabel,"y"]) ( 註 :x 自行取值即可 ) (%o1) 010/0/4 113
y= 1 x P. 19 隨堂練習 (1)y= 1 x 上的點 ( 1, 1 8 ) 對 y 軸的對稱點坐標是多少? 這個點在 y= 1 x 的圖形上 嗎? ( 1, 1 8 ) 對 y 軸的對稱點坐標為 (- 1, 1 8 ) 這個點會在 y= 1 x 圖形上 P. 131 例 6 畫出 y= 4 1 x 的圖形 (%i1) plotd([(1/4)*x^],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([(1/4)*x^],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 114
y= 4 1 x P. 13 隨堂練習 1 在下麵的坐標平面上, 畫出 y= x 1 的圖形, 並和 y=x y= x 的圖形做比較 4 (%i1) plotd([(1/)*x^,x^,(1/4)*x^],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ ( 直接輸入三個 y 函 數 ) 縱軸 y1( 函數 ), 縱軸 y( 函 數 ), 縱軸 y3( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍 最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([(1/)*x^,x^,(1/4)*x ^],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 115
y=x y= 1 x y= 4 1 x P. 133 例 7 畫出 y=- 4 1 x 的圖形 (%i1) plotd([-(1/4)*x^],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([-(1/4)*x^],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 116
y=- 4 1 x P. 133 隨堂練習 1 在右邊的坐標平面上, 畫出 y=-x 的圖, 並和 y=- x 的圖形做比較 4 (%i1) plotd([-x^,-(1/4)*x^],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ ( 直接輸入兩個 y 函數 ) 縱軸 y1( 函數 ), 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([-x^,-(1/4)*x^],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 117
y=- 4 1 x y=x P. 134 例 8 畫出 y=- 4 1 x +4 的圖形 (%i1) plotd([-(1/4)*x^+4],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([-(1/4)*x^+4],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 118
y=- 4 1 x +4 P. 136 隨堂練習 畫出 y=x -4 的圖形, 並求其最低點的坐標 (%i1) plotd([x^-4],[x,-5,5]); plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最 (%o1) 小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐 標圖, 輸入 plotd([x^-4],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 119
y=x -4 最低點坐標令 x=0, (%i1) f(x):=y=x^-4; f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(x):=y=x^-4 ctrl+enter (%o1) f(x):=y=x^-4 (%i) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o) y=-4 因此, 最低點坐標為 (0,-4) P. 136 隨堂練習 試求出下列二次函數的最高點或最低點的坐標 (1)y=4x -4 (%i1) plotd([4*x^-4],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍 最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([4*x^-4],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 10
y=4x -4 此圖有最低點坐標, 最低點坐標令 x=0, (%i1) f(x):=y=4*x^-4; f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(x):=y=4*x^-4 ctrl+enter (%o1) f(x):=y=4*x^-4 (%i) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o) y=-4 x ()y=8-4 (%i1) plotd([8-x^/4],[x,-5,5]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([8-x^/4],[x,-5,5]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 11
x y=8-4 此圖有最高點, 最高點坐標令 x=0, (%i1) f(x):=y=8-(x^/4); f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(x):=y=8-(x^/4) ctrl+enter (%o1) f(x):=y=8-x^/4 (%i) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o) y=8 P. 137 例 9 圖 3-4 中的籃球軌跡可以用 y=- 4 1 x +4 來表示 010/0/4 1
(1) 若 x= 1, 求此時籃球的高度 (%i1) solve([y=-1/4*(1/)^+4], [y]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表 示求解, 輸入 solve([y=-1/4*(1/)^+4], [y]) ctrl+enter 63 (%o1) [y= ] 16 1 () 當籃球高度為 3 時, 求 x (%i) solve([3+1/=-1/4*x^+4], [x]); (%o) [x=-,x= ] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([3+1/=-1/4*x^+4], [x]) ctrl+enter P. 138 隨堂練習有一二次函數 y=x +1, 1 (1) 若 x=-, 求 y 3 (%i1) solve([y=*(-1/3)^+1], [y]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示 求解, 輸入 solve([y=*(-1/3)^+1], [y]) ctrl+enter 11 (%o1) [y= ] 9 010/0/4 13
() 若 y=4, 求 x (%i) solve([4=*x^+1], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([4=*x^+1], [x]) ctrl+enter (%o) [x=- 3 3,x= ] P. 138 例 10 應用問題 Maxima 軟體無法直接解圖 3-5 是美華和廷聰打排球時, 排球過網的路徑圖, 並畫在坐標平面上 (1) 求排球在行進中的最高點坐標 () 若此拋物線是 y=ax +6 的圖形, 求 a (1) 由圖 3-5 可知, 排球在行進中最高的點是 (0,6) () 由圖 3-5, 排球是在 (8,) 點擊出, 代入 y=ax +6, 得 =a.8 +6, (%i1) solve([=a*8^+6], [a]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求 (%o1) [a=- 1 16 ] 解, 輸入 solve([=a*8^+6], [a]) ctrl+enter P. 139 隨堂練習若某拋物線是 y=ax +c 的圖形, 且其最低點是 (0,5), 並通過 (,10), 求 a 和 c 5 = a 0 + 10 c = a + c 010/0/4 14
(%i1) solve([5=a*0^+c,10=a*^+c], [a,c]); solve( [ 變數算式, 變數算式 ], (%o1) [[a= 5 4,c=5]] [ 變數, 變數 ] ) 指令表示求 解, 輸入 solve([5=a*0^+c,10=a*^+c], [a,c]) ctrl+enter P. 141 3-1 自我評量 1. 下列敘述, 將正確的打, 錯誤的打 X 1 1 ( X )(1) 因為 y= x 中有二次多項式, 所以 y= +1 x 是二次函數 +1 ( )()y=x-1-x 不是二次函數 ( X )(3)y=x +10 的圖形有最高點, 其坐標為 (0,10) ( X )(4)y=-4x -1 的圖形有最低點, 其坐標為 (0,-1) ( X )(5)y=x +4 的圖形是對稱於 y 軸的線對稱圖形 ( )(6)y=-x 的圖形是對稱於 x 軸的線對稱圖形.(1) 求 y=8 與 y=x 圖形交點 A B 的坐標, 並求 AB y = 8 y = x (%i1) solve([y=8,y=*x^], [x,y]); (%o1) [[x=,y=8],[x=-,y=8]] 交點分別為 A(,8) 與 B(-,8), solve( [ 變數算式, 變數算式 ], [ 變數, 變 數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([y=8,y=*x^], [x,y]) ctrl+enter AB = ( ( )) + (8 8) =4 (%i) sqrt((-(-))^+(8-8)^); (%o) 4 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt((-(-))^+(8-8)^) ctrl+enter 010/0/4 15
() 求 y=8 與 y= 1 x 圖形交點 C D 的坐標, 並求 CD y = 8 1 y = x (%i1) solve([y=8,y=(1/)*x^], [x,y]); solve( [ 變數算式, 變數算式 ], [ 變數, (%o1) [[x=-4,y=8],[x=4,y=8]] 交點分別為 C(-4,8) 與 D(4,8), 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([y=8,y=(1/)*x^], [x,y]) ctrl+enter CD = ( 4 4) + (8 8) =8 (%i) sqrt((-4-4)^+(8-8)^); (%o) 8 sqrt( 算式 ) 指令表示求開根號, 輸入 sqrt((-4-4)^+(8-8)^) ctrl+enter (3) 比較 AB 與 CD 的大小 AB =4;CD =8, (%i1) compare(4,8); (%o1) < compare( 數值, 數值 ) 指令表示展開算式, 輸入 compare(4,8) ctrl+enter 因此, AB < CD 3. 求下列各點對 y 軸的對稱點 (1)A(,) A(,) 對 y 軸的對稱點為 (-,-) ()B(-3,-3) B(-3,-3) 對 y 軸的對稱點為 (3,3) (3)C(a,b) C(a,b) 對 y 軸的對稱點為 (-a,-b) 010/0/4 16
第 3 章二次函數 3- 配方法與拋物線 P. 14 隨堂練習 1 當 x=4 0 時, 求出滿足 y=- (x-) +4 的數對, 這些數對會落在圖 3-6 的拋物 4 線上嗎? (%i1) f(x):=y=(-1/4)*(x-)^+4; f( 變數 ):= 函數式 指令表示定義函數式, 輸入 f(x):=y=(-1/4)*(x-)^+4 ctrl+enter (%o1) f(x):=y=(-1)/4*(x-)^+4 (%i) f(4); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(4) ctrl+enter (%o) y=3 (%i3) f(); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f() ctrl+enter (%o3) y=4 (%i4) f(0); f( 數值 ) 指令表示將數值代入函數式, 輸入 f(0) ctrl+enter (%o4) y=3 P. 143 例 1 求下列各點對 x= 的對稱點坐標 (1)A(5,4) ()B(0,) (1) 如圖, 因為是對 x= 對稱, 因此對稱點 A 的 y 坐標和 A 的 y 坐標一樣都等於 4 設 A 坐標為 (a,4), 由於 A 位於 x= 的左側, 故 a< 由於 A A 互為對稱點, 因此 A 到 x= 的距離等於 A 到 x= 的距離, 所以 5-=-a, (%i1) solve([5-=-a], [a]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([5-=-a], [a]) ctrl+enter (%o1) [a=-1] 010/0/4 17
因此,A 為 (-1,4) () 如圖, 設 B(0,) 對 x= 的對稱點為 B (b,), 其中 b> 由於 B 到 x= 的距離等於 B 到 x= 的距離, 所以 -0=b-, (%i) solve([-0=b-], [b]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([-0=b-], [b]) ctrl+enter (%o) [b=4] 因此,B 為 (4,) P. 143 隨堂練習求下列各點對 x=-3 的對稱點坐標 A(5,4) 因為是對 x=-3 對稱, 因此對稱點 A 的 y 坐標和 A 的 y 坐標一樣都等於 4 設 A 坐標為 (a,4), 由於 A 位於 x=-3 的左側, 故 a<-3 由於 A A 互為對稱點, 因此 A 到 x=-3 的距離等於 A 到 x=-3 的距離, 所以 5-(-3)=-3-a, (%i1) solve([5-(-3)=-3-a], [a]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([5-(-3)=-3-a], [a]) ctrl+enter (%o1) [a=-11] B(0,3) 因為是對 x=-3 對稱, 因此對稱點 A 的 y 坐標和 A 的 y 坐標一樣都等於 3 設 B 坐標為 (b,3), 由於 B 位於 x=-3 的左側, 故 a<-3 由於 B B 互為對稱點, 因此 B 到 x=-3 的距離等於 B 到 x=-3 的距離, 所以 0-(-3)=-3-b, (%i) solve([0-(-3)=-3-b], [b]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([0-(-3)=-3-b], [b]) ctrl+enter (%o) [b=-6] P. 144 例 如右圖, 若 t 為正數, 求 A(+t,s) 對 x= 的對稱點 A 的坐標 010/0/4 18
因為 A 的 y 坐標和 A 的 y 坐標相等, 所以可設 A 的坐標為 (a,s) 由於 t>0, 所以 A 在 x= 的右側, 因此 A 在 x= 的左側, 得到 a< 由於 A 和 A 到 x= 的距離相等, 所以 +t-=-a, 得 a=-t, 因此 A(+t,s) 對 x= 的對稱點為 A (-t,s) P. 144 隨堂練習試求下列各點對 x= 的對稱點 (1)A(8,) A (-6,) 即 (-4,) ()B( 1,-1) B (- 1,-1) 即 (1 1,-1) P. 145 例 3 說明 x= 是 y=- 1 4 (x-) 圖形的對稱軸 由於對 x= 對稱的點, 可以寫成 (+t,s) 和 (-t,s) 的樣子 我們先作一個表觀察一下 : x - -1 0 1 3 4 5 6 x -4-3 - -1 +1 + +3 +4 y - 4 4 3-4 - 4 1-4 1 0-4 - 4 3-4 - 4 4 010/0/4 19
對於一般的情況, 若 x=+t, 則 y=- 1 4 ((+t)-) t =- ; 4 若 x=-t, 則 y=- 1 4 ((-t)-) =- ( t) 4 t =- 4 t t 因此對任意的 t,(+t,- ) 和其對稱點 (-t,- 4 4 ) 總是落在 y=- 1 4 (x-) 的圖形上 所 以 y=- 1 4 (x-) 的圖形對稱於 x= 也就是說,x= 為此圖形的對稱軸 P. 146 隨堂練習仿照上例, 說明 x=1 是 y=(x-1) +1 圖形的對稱軸 由於對 x=1 對稱的點, 可以寫成 (1+t,s) 和 (1-t,s) 的樣子 我們先作一個表觀察一下 : x -3 - -1 0 1 3 4 5 x 1-4 1-3 1-1-1 1 1+1 1+ 1+3 1+4 y 17 10 5 1 5 10 17 對於一般的情況, 若 x=1+t, 則 y=((1+t)-1) +1=t +1; 若 x=1-t, 則 y=((1-t)-1) +1=-(t) +1= t +1 因此對任意的 t,(1+t,t +1) 和其對稱點 (1-t,t +1) 總是落在 y=(x-1) +1 的圖形上 所以 y=(x-1) +1 的圖形對稱於 x=1 也就是說,x=1 為此圖形的對稱軸 P. 146 例 4 畫出 y=- 4 1 (x-) 的圖形 (%i1) plotd([(-1/4)*(x-)^],[x,-,6]); (%o1) 因此, 對稱軸為 plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([(-1/4)*(x-)^],[x,-,6]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 130
y=- 4 1 (x-) P. 147 隨堂練習求二次函數 y=(x+1) 圖形的對稱軸, 並畫出此函數的圖形 (%i1) plotd([(x+1)^],[x,-5,3]); plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([(x+1)^],[x,-5,3]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) (%o1) 因此, 對稱軸為 -1 010/0/4 131
y= (x+1) P. 147 例 5 畫出 y=- 4 1 (x-) +4 的圖形 (%i1) plotd([(-1/4)*(x-)^+4],[x,-,6]); (%o1) 因此, 對稱軸為 plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([(-1/4)*(x-)^+4],[x,-,6]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 13
y=- 4 1 (x-) +4 P. 148 隨堂練習畫出 y=(x+1) -4 的圖形 (%i1) plotd([(x+1)^-4],[x,-5,3]); (%o1) 因此, 對稱軸為 -1 plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([(x+1)^-4],[x,-5,3]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 133
y=(x+1) -4 P. 149 隨堂練習 當 a>0 時, y = a( x h) + k 的最低點是 (h,k) 當 a<0 時, y = a( x h) + k 的最高點是 (h,k) 1 (1) 求 y=3(x- ) +5 的最低點 最低點是 ( 1,5) () 求 y=-100(x+4) -10 的最高點 最高點是 (-4,-10) P. 150 例 6 當 a>0 時, y = a( x h) + k 有最小值 k, 此時 x=h 當 a<0 時, y = a( x h) + k 有最大值 k, 此時 x=h 試判斷下列函數是否有最大值或最小值, 並求其值 010/0/4 134
(1)y=-3(x+ 1 ) -5 有最大值為 -5 ()y= 6 1 (x-) + 4 3 有最小值 3 4 P. 150 隨堂練習試判斷下列函數是否有最大值或最小值, 並求其值 1 3 (1)y=- (x+ ) + 有最大值為 ()y=4(x-7) 1 + 1 有最小值為 P. 151 例 7 配方法求解 (1) 求 y=x +4x+10 的最小值及其圖形的對稱軸與最低點 () 求 y=-3x +6x+10 的最大值及其圖形的對稱軸與最高點 (1) y=x +4x+10 =(x +x)+10 =(x +.1.x+1-1 )+10 =((x+1) -1)+10 =(x+1) -+10 =(x+1) +8 所以 y=x +4x+10 的最小值為 8, 而圖形的對稱軸為 x=-1, 且最低點為 (-1,8) () y=-3x +6x+10 010/0/4 135
=-3(x -x)+10 =-3(x -.1.x+1-1 )+10 =-3((x-1) -1)+10 =-3(x-1) +3+10 =-3(x-1) +13 所以 y=-3x +6x+10 的最大值是 13, 而且圖形的對稱軸為 x=1, 且最高點為 (1,13) P. 151 隨堂練習配方法求解 (1) 求 y=x +6x 的最小值 ; 及其圖形的對稱軸與最低點 y=x +6x =(x +3x) =(x +. 3.x+ 3-3 ) =((x+ 3 ) - 3 ) =(x+ 3 ) - 9 4 所以 y=x +6x 的最小值是 - 9 4, 而且圖形的對稱軸為 x=- 3, 且最高點為 (- 3, - 9 4 ) () 求 y=-x -4x-6 的最大值 ; 及其圖形的對稱軸與最高點 y=-x -4x-6 =-(x +x)-6 =-(x +.1.x+1-1 )-6 =-((x+1) -1)-6 =-(x+1) +-6 =-(x+1) -4 所以 y=-x -4x-6 的最大值是 -4, 而且圖形的對稱軸為 x=-1, 且最高點為 (-1, -4) P. 15 例 8 畫出 y=-x +x+6 的圖形 (%i1) plotd([-x^+*x+6],[x,-,4]); plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值 範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表 示畫 d 坐標圖, 輸入 010/0/4 136
(%o1) plotd([-x^+*x+6],[x,-,4]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) y=-x +x+6 P. 15 隨堂練習畫出 y=x +x 的圖形 (%i1) plotd([x^+*x],[x,-5,3]); (%o1) plotd( [ 縱軸 y( 函數 ) ], [ 橫軸 x(x,x 值範圍最小值, x 值範圍最大值 ) ] ) 指令表示畫 d 坐標圖, 輸入 plotd([x^+*x],[x,-5,3]) ctrl+enter ( 註 :x 自行取值即可 ) 010/0/4 137
y=-x +x P. 153 例 9 若某二次函數圖形對稱於 x=-1, 且通過 (0,6) (,-10), 求此函數 y = a( x h) + k 因為此二次函數對稱於 x=-1, 所以此二次函數可以寫成 y=a(x+1) +k, 6 = a(0 + 1) + k 10 = a( + 1) + k (%i1) solve([6=a*(0+1)^+k,-10=a*(+1)^+k], [a,k]); (%o1) [[a=-,k=8]] 因此, 此二次函數為 y=-(x+1) +8 solve( [ 變數算式, 變數算式 ], [ 變數, 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([6=a*(0+1)^+k,- 10=a*(+1)^+k], [a,k]) ctrl+enter 010/0/4 138
P. 154 隨堂練習若某二次函數圖形對稱於 x=1, 且通過 (,-1) (3,8), 求此函數 y = a( x h) + k 因為此二次函數對稱於 x=-1, 所以此二次函數可以寫成 y=a(x-1) +k, 1 = a( 1) + k 8 = a(3 1) + k (%i1) solve([-1=a*(-1)^+k,8=a*(3-1)^+k], [a,k]); (%o1) [[a=3,k=-4]] 因此, 此二次函數為 y=3(x-1) -4 solve( [ 變數算式, 變數算式 ], [ 變數, 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([-1=a*(-1)^+k,8=a *(3-1)^+k], [a,k]) ctrl+enter P. 154 例 10 若某二次函數圖形的最低點是 (-1,-4), 且通過 (0,), 求此二次函數 因為最低點為 (-1,-4), 所以函數圖形的對稱軸是 x=-1, 因此該函數可以寫成 y=a(x+1) -4, (%i1) solve([=a*(0+1)^-4], [a]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([=a*(0+1)^-4], [a]) ctrl+enter (%o1) [a=6] 因此, 此二次函數為 y=6(x+1) -4 P. 154 隨堂練習若某二次函數圖形的最高點是 (5,), 且通過 (4,-8), 求此二次函數 因為最高點為 (5,), 所以函數圖形的對稱軸是 x=5, 010/0/4 139
因此該函數可以寫成 y=a(x-5) +, (%i1) solve([-8=a*(4-5)^+], [a]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([-8=a*(4-5)^+], [a]) ctrl+enter (%o1) [a=-10] 因此, 此二次函數為 y=-10(x-5) + P. 155 例 11 應用問題 Maxima 軟體無法直接解有一位農夫想用 100 公尺的籬笆圍成一個矩形的菜園, 問如何圍出最大面積的菜園? 並求出此面積 配方法求解 如右圖, 設農夫所圍成矩形菜園的一邊長為 x 公尺 由題意知另一邊長為 (50-x) 公尺 因此菜園的面積為 x(50-x)=50x-x =-(x -50x)=-(x -.5.x+5-5 )=-(x-5) +65, 因此當 x=5 時, 面積有最大值 65 此時菜園的一邊長為 5 公尺, 另一邊長為 50-5=5 公尺, 也就是說當此菜園是正方形時, 其面積最大, 且面積為 65 平方公尺 P. 155 隨堂練習如果例 11 中, 農夫改用 10 公尺的籬笆, 答案是什麼? 配方法求解 由題意知另一邊長為 (60-x) 公尺 因此菜園的面積為 x(60-x)=60x-x =-(x -60x)=-(x -.30.x+30-30 )=-(x-30) +900, 因此當 x=30 時, 面積有最大值 900 010/0/4 140
此時菜園的一邊長為 30 公尺, 另一邊長為 60-30=30 公尺, 也就是說當此菜園是正 方形時, 其面積最大, 且面積為 900 平方公尺 P. 156 例 1 應用問題 Maxima 軟體無法直接解小明參加創意科學營, 製作了一個小火箭, 完成後拿到操場試射 假設小火箭沿 1 二次函數 y=- 100 x + 5 x+5 的軌跡飛行, 如下圖 : 其中 x 公尺為火箭飛行的水平距離,y 公尺則為火箭距地面高度, 發射點在 (0.5) 的位置 試回答下列問題 : (1) 火箭從發射到落地時, 飛行的水平距離為多少公尺? () 在飛行過程中, 火箭離地面的高度最高為多少公尺? (1) 我們必須知道火箭落地的位置 當火箭落地時, 高度為 0, 即 y=0, 所以可得一元二次方程式 : 1-100 x + 5 x+5=0, 求 x, (%i1) solve([-(1/100)*x^+(/5)*x+5=0], [x]); solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示求解, 輸入 solve([-(1/100)*x^+(/5)*x+5=0 ], [x]) ctrl+enter (%o1) [x=50,x=-10] 負不符所求, 因此, 火箭落地的地點到發射點的水平距離為 50-0=50 公尺 () 配方法求解 因為 y 公尺表示火箭的飛行高度, 火箭離地面最高的高度即為函數 1 y=- 100 x + 5 x+5 的最大值, 所以, 可將此函數配方而得到 : 1 y=- 100 x + 5 x+5 010/0/4 141
=- 1 100 (x -40x)+5 =- 1 100 (x -.0.x+0-0 )+5 =- 1 100 (x-0) +4+5 =- 1 100 (x-0) +9 因此, 當 x=0 時,y=9 為最大值, 也就是說, 飛行過程中火箭離地面最高的高度 為 9 公尺 P. 159 3- 自我評量 1. 下列敘述, 將正確的打, 錯誤的打 X ( )(1)y=x +bx+c 的圖形一定是線對稱圖形 ( X )() 若 y=x +bx+c 的圖形對稱於 x=4, 則 b=8 ( )(3)y=x +4x 的最小值是 0 ( X )(4)y=4x-x 的最大值是 0 ( X )(5) 因為 x +8x+100=0 沒有解, 所以 y=x +8x+100 沒有最大值, 也沒有最小值. 若直線 y=10 與 y=x +bx+c 的圖形相交於 (5,10) 與 (-5,10) (1) 求此二次函數圖形的對稱軸 x=0 () 求 b b=0 3. 求二次函數 y=x +5x+6 的圖形與 x 軸的交點 (%i1) plotd([x^+5*x+6],[x,-10,5]); (%o1) 010/0/4 14
y=x +5x+6 與 x 軸的交點, 令 y=0, (%i1) solve([0=x^+5*x+6], [x]); (%o1) [x=-3,x=-] solve( [ 變數算式 ], [ 變數 ] ) 指令表示 求解, 輸入 solve([0=x^+5*x+6], [x]) ctrl+enter 010/0/4 143