ok331 向量的幾何表示法

ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小.. 當兩向量 AB 與 CD 的大小相等,且方向相同時, 稱此兩向量相等,記作 AB CD. 4. 始點與終點重合之有向線段所代表的向量稱 為零向量,記作 0.

ok 平面向量的幾何表示法 例題 有一邊長為 的正六邊形.若向量 a 的起點與終點都是此 正六邊形的頂點,且 a,則共有多少個不相等的向量 a? Ans:6 如右圖,正六邊形有三組不平行的稜邊.又一稜邊可以有兩種不同的方向, 因此不相等的向量 a 有 =6 種. 類題 試問正五邊形的邊可以決定多少個不相等的向量? Ans:0 如右圖,正五邊形任兩稜邊都不平行.又一稜邊可以有兩種不同的方向,因此共可決定 5=0 個不相等的向量.

ok 平面向量的幾何表示法 主題二 向量的加法與減法. 向量加法法則: () 三角形法則: () 平行四邊形法則:. 向量減法法則:. 向量的拆解: 設 A, B, C 為任意三點.向量 AB 可拆解如下: () AB AC CB () AB CB CA.

4 ok 平面向量的幾何表示法 例題 在正六邊形 ABCDEF 中,選出正確的選項: () AB BC CD DE AE. () AC AF CF. () AC CE CB CD. (4) AD CF DC AF. (5) AD BD BA. Ans:()()(4)(5) () AB BC CD DE AC CE AE () 因為 AF CD,所以 AC AF AC CD AD.. 而 AD 與 CF 不平行.故兩向量不相等. () AC CE CB AE CB.因為 CB EF, 所以 AC CE CB AE EF AF CD. (4) AD CF DC AD DC CF AC CF AF (5) 由向量減法得知, AD BD BA. 故選項 ()()(4)(5) 正確.. 類題 已知 ABCDE 為五邊形,化簡下列各式: () AB BC CD DE EA. () AB AD BC.

ok 平面向量的幾何表示法 5 Ans:() 0,() DC () 原式 AC CD DE EA AD DE EA AE EA 0. () 原式 DB BC DC. 例題 已知 ABCD 為四邊形,令 a DA, b AB, c DC. 試將下列各向量以 a, b 和 c 表示: () BD. () CA. () BC. Ans:() b a,() c a,() b a c () BD BA AD b a. () CA CD DA c a. () BC BA AD DC b a c. 類題 如右圖,平行四邊形 ABCD 中,令 AB a, AD b, 試以 a, b 表示下列各向量: () DB. () CA. Ans:() b a,() a b

6 ok 平面向量的幾何表示法 () DB DA AB b a. () CA AC a b a b.

ok 平面向量的幾何表示法 7 主題三 向量的係數積與平行. () 若 a 0,則 當 r 0 時, ra 的方向與 a 的方向相同,其大小為 r a. 當 r 0 時, ra 的方向與 a 的方向相反,其大小為 r a. 當 r 0 時, ra 為零向量,即 ra 0. () 若 a 0,則 ra 0.. 設 r, s 為實數, a, b 為任意向量. () r a b r a r b. () r s a r a s a. r s a rs a ().. 當兩個非零向量 a 與 b 中有一個可以寫成另一個的 係數積時,稱 a 與 b 平行,記作 a// b.

8 ok 平面向量的幾何表示法 例題 4 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合,且每一小 格都是菱形.試以 A 點為始點畫出 a b. Ans: 見詳解 因為 a b a b, 所以由向量的加法作圖如右. 類題 4 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合,且每一小 格都是菱形.試以 A 點為始點畫出 a b. 4 Ans: 見詳解 因為 a b a b 4 4,所以由向量的加法作圖如右. 例題 5 在 ABC 中, BF FA, AE EC, CD DB, 令 BF a, BD b,試用 a 與 b 表示下列各向量: () AD. () BE. () AD BE. Ans:() a b,() a b,() 7 b

ok 平面向量的幾何表示法 9 () 由向量的拆解,得 AD AB BD a b. () 由向量的拆解及向量係數積的基本性質,得 BE BA AE a AC a AB BC a a b a a b a b. () AD BE a b a b a b a 6 b 7 b. 類題 5 如右圖,正六邊形 ABCDEF 中,令 AB a, AF b, 試以 a, b 表示下列各向量: () CB. () CE. () EA. (4) CE EA. Ans:() a b,() a b,() a b,(4) a 5 b () CB CO OB a b. () CE CO OE a b. () EA EB BA b a a b. (4) CE EA a b a b a 5 b.

0 ok 平面向量的幾何表示法 例題 6 三角形兩邊中點連線定理 已知 D, E 分別為 ABC 兩邊 AB, AC 的中點,試證: DE // BC 且 證明 DE BC. 因為 DE DA AE BA AC BA AC BC, 所以 DE 與 BC 同方向且 DE 長度為 BC 長度的一半,即 DE // BC 且 DE BC. 類題 6 已知 D, E 分別在 ABC 兩邊 AB, AC 上,且 AD DB, AE EC,試證: DE // BC 且 DE BC. 證明 因為 DE DA AE BA AC BA AC BC, 所以 DE 與 BC 同方向且 DE 長度為 BC 長度的 DE // BC 且 DE BC.,即

ok 平面向量的幾何表示法 主題四 向量的線性組合 若 OA 和 OB 為平面上兩個不平行的非零向量,則平面上的 每一個向量 OP 都可以唯一表示成 OP xoa yob 的形 式.我們將這種形式的向量稱為 OA 與 OB 的線性組合. 已知非零向量 OA 和 OB 不平行,且 OB AP 5BO BP. () 將 OP 表為 OA 與 OB 的線性組合. () 設 OP xoa yob,求 x, y 的值. Ans:() OA OB,() 5 5 x, 5 y 5 () 利用向量的拆解,得原式 OB OP OA 5 OB OP OB 5OP OA OB OP OA OB. 5 5 () 因為 OA 和 OB 不平行,所以線性組合是唯一表示,故 x, 5 y. 5

ok 平面向量的幾何表示法 例題 7 已知 a 和 b 是兩個不平行的非零向量,且實數 s, t 滿足 s a b t a b 7 a 4 b,求 s, t 的值. 若非零向量 a 和 b 不平行,且 x a y b 0,則 x y 0. Ans: s, t 利用向量係數積的基本性質,將原式改寫成 s t 7 a s t 4 b 0. 因為 0 a 0 b 0, 且任一向量表示成 x a y b 的形式是唯一的, s t 7 0 所以 s t 4 0 解得 s, t. 類題 7 已知 a 和 b 是兩個不平行的非零向量,且實數 s, t 滿足 s a b t a b a b,求 s, t 的值. Ans: s, t 利用向量係數積的基本性質,將原式改寫成 s t a s t b 0.

ok 平面向量的幾何表示法 因為 0 a 0 b 0, 且任一向量表示成 x a y b 的形式是唯一的, 所以 s t 0 s t 0, 解得 s, t. 例題 8 在平行四邊形 ABCD 中, AE EC, F 為 BC 的中點. () 設 AE x AB y AD,求 x, y 的值. () 設 EF r AB s AD,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s 6 () 因為 AE EC,且 AC AB AD,所以 AE AC AB AD AB AD. 故 x, y. () 利用向量的拆解,得 EF EA AB BF 故 AB AD AB AD AB AD. 6 r, s. 6

4 ok 平面向量的幾何表示法 類題 8 在平行四邊形 ABCD 中, AE AC. () 設 AE x AB y AD,求 x, y 的值. () 設 EB r AB s AD,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s () 因為 AE AC,且 AC AB AD,所以 AE AC AB AD AB AD. 故 x, y. () 利用向量的拆解,得 EB EA AB 故 AB AD AB AB AD. r, s.

ok 平面向量的幾何表示法 5 主題五 向量的分點公式 若 P 為 OAB 中 AB 邊上一點,且 AP : PB m: n,則 n m OP OA OB. m n m n

6 ok 平面向量的幾何表示法 例題 9 如右圖, P 在 OAB 的 AB 邊上,且 AP BP, OC CA. () 設 OP xoa yob,求 x, y 的值. () 設 CP r OA sob,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s () 因為 AP BP,所以 AP: PB :. 利用向量的分點公式,得 OP OA OB.故 x, y. () 由向量的拆解,得 CP CO OP OA OA OB OA OB. 故 r, s. 類題 9 如右圖,在 OAB 中, AP : PB 4:, OQ : QP :. () 設 OP xoa yob,求 x, y 的值. () 設 OQ r OA sob,求 r, s 的值. Ans:() x, y 4,() 7 7 9 r, s 5 5

ok 平面向量的幾何表示法 7 () 因為 AP: PB 4 :,所以 故 x, y 4. 7 7 4 OP OA OB. 7 7 4 9 () 因為 OQ OP OA OB OA OB, 5 5 7 7 5 5 9 所以 r, s. 5 5 例題 0 如右圖, O, A, B 三點不共線,點 P 在直線 AB 上,且 AP : BP 7 :.設 OP xoa yob,求 x, y 的值. Ans: x, y 7 4 4 因為 AP: BP 7 :,所以 AB: BP 4 :. 利用分點公式,得 4 OB OA OP, 7 7 移項得 4 OP OA OB.整理得 7 7 7 OP OA OB. 4 4 故 x, y 7. 4 4 類題 0 如右圖, O, A, B 三點不共線,點 P 在直線 AB 上,且 BP : AP :.設 OP xoa yob,求 x, y 的值.

8 ok 平面向量的幾何表示法 Ans: x, y 因為 BP: AP :,所以 PA: AB :. 利用分點公式,得 OA OP OB, 移項得 OP OA OB.整理得 OP OA OB. 故 x, y.

ok 平面向量的幾何表示法 9 主題六 共線定理 設 O, A, B 三點不共線.若點 P 在直線 AB 上,且 OP xoa yob,則 xy ;反之亦成立. 證明 若點 P 在直線 AB 上,則 AP t AB ( t ).因此 OP OA t OB OA OP t OA t OB. 此時 t t. 若 OP xoa yob,且 xy,則 OP xoa xob x OA OB OB. 整理得 OP OB x OA OB BP x BA. 故點 P 在直線 AB 上. 已知 O, A, B 三點不共線, () 設 OP xoa OB,且點 P 在直線 AB 上,求 x 的值. 5 7 () 設 OQ OA OB,問:點 Q 是否在直線 AB 上? 5 5 Ans:() x,() 點 Q 在直線 AB 上 5 () 因為 x,所以 x. 5 5 7 () 因為,所以點 Q 在直線 AB 上. 5 5

0 ok 平面向量的幾何表示法 例題 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, P 為 AD 上一點, 且 AP AB AC,求 5 5 () AP : PD. () BD : CD. () ABP 面積 : ABC 面積. Ans:() :,() :,() :5 () 設 AD t AP,則 t t AD t AP t AB AC AB AC. 5 5 5 5 因為點 D 在直線 BC 上,所以由共線定理,得 t t 5 t, 5 5 即 5 AD AP.故 AP: PD :. () 由 () 得 AD AB AC, 所以由向量的分點公式,得 BD : CD :. () 因為 AP: PD : 且 BD : CD :,所以 ABP 面積 = 5 ABD 面積 = ABC 面積 5 = 5 ABC 面積. 故 ABP 面積 : ABC 面積 =:5.

ok 平面向量的幾何表示法 類題 在 ABC 中, D 為 BC 上一點, P 為 AD 上一點,且 5 AP AB AC,求 4 () AP : PD. () BD : CD. () ABP 面積 : ABC 面積. Ans:() :,() 5:,() 5: () 設 AD t AP,則 5 t 5t AD t AP t AB AC AB AC. 4 4 因為點 D 在直線 BC 上,所以由共線定理,得 t 5t t, 4 即 AD AP.故 AP: PD :. 5 () 由 () 得 AD AB AC, 8 8 所以由向量的分點公式,得 BD : CD 5:. () 因為 AP: PD :且 BD : CD 5:,所以 ABP 面積 = ABD 面積 = 5 ABC 面積 8 = 5 ABC 面積. 故 ABP 面積 : ABC 面積 =5:.

ok 平面向量的幾何表示法 例題 在 ABC 中, D 為 AC 邊的中點,且 AE : EB :, BD 與 CE 交於 P 點.設 AP x AB y AC,求 x, y 的值. 利用三角形中的兩條交叉線,列得兩個方程式, 再解 x, y. Ans: x, y 4 因為 AP x AB y AC x AE y AC x AE y AC, 又點 P 在直線 CE 上,所以 因為 x y. AP x AB y AC x AB y AD x AB y AD, 又點 P 在直線 BD 上,所以 xy. 由 解得 x, y. 4 類題 在 ABC 中, AD : DC :, AE : EB :, BD 與 CE 交於 P 點.設 AP x AB y AC,求 x, y 的值. Ans: x, y 因為 4 4 AP x AB y AC x AE y AC x AE y AC,

ok 平面向量的幾何表示法 4 又點 P 在直線 CE 上,所以 x y. 因為 AP x AB y AC x AB y AD x AB y AD, 又點 P 在直線 BD 上,所以 x y. 由 解得 x, y. 例題 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, AE : EB :, AF : FD :, DE 與 CF 交於 P 點. 設 AP x AB y AD,求 x, y 的值. 利用平行四邊形中的兩條交叉線,列得兩個方程式, 再解 x, y. 4 Ans: x, y 9 9 因為 AP x AB y AD x AE y AD x AE y AD, 又點 P 在直線 DE 上,所以 x y 因為 5 AP x AB y AD x AC CB y AF 5 5 5 5 x AC AF y AF x AC x y AF 又點 P 在直線 FC 上,所以

4 ok 平面向量的幾何表示法 5 5 x x y x 5y 4 由 解得 x, y. 9 9 類題 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, AE : EB :, AF : FD :, AC 與 EF 交於 P 點. 設 AP x AB y AD,求 x, y 的值. Ans: x, y 7 7 設 AP t AC,因為 AC AB AD,所以 AP t AB t AD t 4 AE t AF 4t AE t AF 因為點 P 在直線 EF 上,所以. 4t t t, 7 即 AP AB AD,故 x, y. 7 7 7 7

ok 平面向量的幾何表示法 5 okex. 如右圖,正六邊形 ABCDEF 中, M 為 CD 的中點. 令 AB a, AF b,試以 a, b 表示下列各向量: () AD. () AE. () AM. (4) AE AM. Ans:() a b,() a b,() a b,(4) a b () AD = AO =( a + b ) A () AE = AB + BE = a + b B F () AM = AB + BC + CM = a +( a + b )+ b C M D O E = a + b (4) AE AM =( a + b )-( a + b ) = a - b. 在 ABC 中, P 在 AB 上且 AP : PB :, Q 在 AC 上且 AQ : QC :.若 PQ x AB y AC,求 x, y 的值.

6 ok 平面向量的幾何表示法 Ans: x, y 4 A Q P B C PQ = PA + AQ = 4 AB + AC, 故 x=,y= 4. 如右圖,在 ABC 中, AD : DB :, DP : PC :. 設 AP x AB y AC,求 x, y 的值. Ans: x 4, y 5 AP = AD + DP = AD + DC = AD + ( AC - AD ) B D A P C = AD + AC = 5 AB + AC = 4 5 AB + AC

ok 平面向量的幾何表示法 7 故 x= 4 5,y= a AB a b BC a b CA 0, 4. 在 ABC 中,若 求 a, b 的值. Ans: a 0, b a AB a b BC a b CA 0 (a+) AB +(a-b)( AC - AB )-(a+b+) AC = 0 (a+-a+b) AB +(a-b-a-b-) AC = 0 a-b-=0,a-b-=0 b=,a=0 5. 如右圖,在 ABC 中, AP : PQ :, BQ : QC :. () 設 AQ x AB y AC,求 x, y 的值. () 設 AP r AB s AC,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() r, s 5 5 () AQ = AB + AC, 即 x=,y= Hide Points A () AP = 5 AQ B P Q C

8 ok 平面向量的幾何表示法 = 5 ( AB + AC ) = 5 AB + 5 AC, 即 r= 5,s= 5 5. 如右圖,在四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 相交於 P 點,且 AC AB AD,求 AP : PC. Ans: : 4 設 AP =k AC =k AB +k AD, 因 B,P,D 三點共線, 故 k+k= k= 5, 得 AP : PC =:4 6. 如右圖,在 ABC 中, AD : BD :, AE : EC :, BQ : QC :, DE 與 AQ 交於 P 點.設 AP x AB y AC, 求 x, y 的值. Ans: x, y 5 5 AQ AB AC AP k AQ =k( AB AC ) ()

ok 平面向量的幾何表示法 9 =k( AD AE), 因 D,P,E 三點共線, 故 (+ )k= k= 5, 代入 () 得 AP = 5 ( AB AC )= AB AC,, 5 5 即 x= 5,y= 5 7. 已知 G 為 ABC 的重心. () 設 AG x AB y AC,求 x, y 的值. () 證明: GA GB GC 0. Ans:() x, y,() 略 如右圖, () AG = AE = ( AB + AC ), A 故 x=y= () AG AB AC, BG BC BA, B D G E F C CG CA CB, 三式相加得 AG BG CG 0, 即

0 ok 平面向量的幾何表示法 GA GB GC 0 8. 如右圖,在 ABC 中, AB 6, BC 5, CA 4 BAC 的角平分線交 BC 於 D, I 為 ABC 的內心. () 設 AD x AB y AC,求 x, y 的值., () 設 AI r AB s AC,求 r, s 的值. Ans:() x, y,() 5 5 4 r, s 5 5 () 由內角分角線性質知 BD : DC = AB : AC =64=:, AD = 5 AB + 5 AC, 即 x= 5,y= 5 () BD =5 5 =, 故 AI : ID = AB : BD =6:=:, AI AD = ( AB AC) = ( 4 AB AC), 5 5 5 5 即 r= 4 5,s= 5 9. 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, AE : EB :, DB 與 CE 交於 P 點.設 AP x AB y AD, 求 x, y 的值. Ans: x, y 4 4

ok 平面向量的幾何表示法 AP x AB y AD x+y= () AP x AB y( AC AB) ( x y) AB y AC ( x y) AE y AC, 因 C,P,E 三點共線, 故 (x-y)+y= x- y= x-y= () 解 ()() 得 x= 4,y= 4 0. 如右圖,在平行四邊形 ABCD 中, DF : FC :, E 為 BC 的中點, DE 與 BF 交於 P 點.設 AP x AB y AD,求 x, y 的值. Ans: x 4, y 5 5 AP x AB y AD = 因 B,P,F 三點共線, 故 x AB y ( AF AB) = ( x y) AB y AF, x- y+y=x+ y= x+y= () AP x AB y AD = x( AE AD) y AD = x AE ( y x) AD 因 D,P,E 三點共線, 故 x+y- x= x+y= x+y= ()

ok 平面向量的幾何表示法 解 ()() 得 x= 4 5,y= 5. 在梯形 ABCD 中, AB DC, E, F 分別在 AD, BC 上, 且 AE : ED BF : FC :,求證: EF // AB 且 EF AB. Ans: 略 D C E F A B 如上圖, EF = ED + DC + CF (), EF = EA + AB + BF (), 因 ED = EA, CF = BF, ()+() EF = DC + AB = AB + AB, 故 EF = AB, 即 EF // AB 且 EF AB. 已知向量 AB 與 AC 所張成的平行四邊形之面積為 4, 求由向量 AB AC 與 AB AC 所張成的平行四邊形之面積.

ok 平面向量的幾何表示法 Ans:8 C D A B F E 如上圖, ABD, ACD, ABE, BEF, BDF 的面積都是, 故平行四邊形 ADFE 的面積為 8