Chapter 3 統計流程管制

Chapter 3 統計流程管制 Statistical Process Control, SPC 1/55 Outline 1. 前言. 統計流程管制之原理 3. 計量值管制圖 (variable control charts) 4. 短流程 SPC 5. 計數值管制圖 (attribute control charts) 6. 管制圖之選擇 /55 1

統計流程管制 (Statistical Process Control, SPC) 之目的 : 監控流程之狀態 不穩定時 - 及時找出異常原因 採取適當的矯正行動, 以排除異常, 降低流程之變異, 使流程恢復穩定狀態 SPC 是預防性的品質管制 3/55 3.1. 前言 戴明將品質改善的觀念由 檢驗 拉至 流程管制 此概念說明品質是製造出來的, 而非檢驗出來的 Design Production Inspection SPC 進一步主張利用統計方法來管制流程並預防缺失的發生 SPC 是線上 (on-line) 流程品質改善手法 : 主要利用分析抽樣樣本資料, 來判斷流程是否處於穩定狀態, 當發現流程存在異常時, 能適時採取矯正行動將異常原因排除掉, 目的為使流程平均值能符合目標值, 並持續降低流程變異 4/55

開始 ( 管制圖 ) ( 平均數, 變異數 ) 5/55 3. 統計流程管制之原理 3..1 流程變異來源 變異 Variation Within-piece variation: 單一組件下之變異 例如同一塊鈑金不同位置上之粗糙度 噴漆厚度不全然相同 Piece-to-piece variation: 同一時間內所生產的數個產品之間的變異 例如同時間充填數瓶飲料, 充填量的水準不可能都一樣 Time-to-time variation: 產品在不同時間下生產所造成之變異 例如刀具磨損造成切削深度不ㄧ 6/55 流程上的變異係來自於設備 原物料 環境及操作員所造成的差異 3

Causes of Variation 修華特 Shewhart 1. 機遇原因 Chance causes. 可歸屬原因 Assignable causes 載明 Deming Common causes or System faults 一般原因 / 系統錯誤 Special causes or Local faults 特殊原因 / 局部錯誤 朱蘭 Juran Chronic problems 長期貫常的問題 7/55 Sporadic problems 偶發的問題 Chance Causes & Assignable Causes 8/55 機遇原因的變異 : 原本即已存在於流程上之自然變異, 這些自然變異或背景干擾是由許多微小的 不可避免的原因所累積造成的 當一流程只存在機遇原因所造成的自然變異, 則我們會認定此流程是處於一穩定 (in-control) 狀態 E.g. 更捩機器設備 可歸屬原因 : 存在於流程時, 將造成流程產生較大的變異, 進而導致產品品質不能達到想要的水準 可歸屬原因之發生通常是由某一特殊原因所造成的, 當一個流程操作中存在可歸屬原因時, 我們認定此流程是處於失控 (out-of-control) 之狀態 4

3.. 管制圖原理 194 年, 修華特博士發明管制圖 管制圖為 SPC 中最被廣泛使用之線上流程監控的工具 SPC can be viewed as making a test of a hypothesis: H 0 : the process is in control H 1 : the process is out of control Decision In control (H o 為真 ) Out of control Adjust process Type I error (α) Correct decision Leave alone Correct decision Type II error (β) 9/55 Upper Control Limit Central Line Lower Control Limit 10/55 5

Montgomery, 005 UCL = μ + Lσ CL = μ LCL = μ + Lσ μ : 流程平均值 σ: 流程標準差 L: 管制界限係數 99.73% µ 3σ µ µ + 3σ L=3 11/55 Two Types of Control Charts 修華特管制圖可分為兩類 : 計量值管制圖 (variable control charts) 計數值管制圖 (attribute control charts) 計量管制圖適用於品質特性屬於連續性之數據 ( 如長度 重量 溫度等 ) 計數值管制圖適用於品質特性屬於離散之數據, 如缺點數 不合格率 報廢率 重工率等 集中趨勢 - x bar chart 離散趨勢 - R, MR, s chart 1/55 6

3..3 管制圖之判讀 西屋手冊, 1956 樣本點超出管制界限, 則表示失控, 若點都落於管制界限內卻呈現系統性或非隨機性的情形, 則流程可能也為仍為一失控狀況 若符合以下任一項, 則為失控狀態 : 1. 一點超出 3σ 界限. 連續兩點超出 σ 界限 3. 連續 5 點中的 4 點落於 1 σ 之界限外 4. 連續 8 點的上升或下降 5. 資料呈現不尋常或非隨機型式 13/55 Nonrandom Pattern: 1. 循環模型 Recurring Cycles 可能的原因 溫度或其他定期環境因素的效果 操作員疲勞 量測設備使用順序的不同 定期的機器或作業員輪作 規劃中的預防保養 (R chart) 工具磨損 (R chart) 14/55 7

Nonrandom Pattern:. 混合模型 Mixtures 數據可能來自二種不同製程, 但繪製在同一張管制圖上 15/55 Nonrandom Pattern: 3. 層化模型 Stratification 集中於中心線 16/55 Stratification -Examples 管制界限計算錯誤 混合不同流程 系統抽樣 8

Nonrandom Pattern: 4. 趨勢模型 Trends 同一方向連續向上 17/55 Trends -Examples 設備逐漸老化 工人疲勞 工人之技能改善或退化 進料品質漂移 Nonrandom Pattern: 5. 流程水準的改變 Jumps in Process level 可能的原因 新的供應商 新的操作員 新的設備 新的技術 方法或程序的改變 檢驗儀器或方法的改變 18/55 9

3..4 管制圖發展步驟 Step 1. 決定流程特性值 Step. 決定抽樣的方法 Step 3. 數據收集 Step 4. 計算試用的管制界限 Step 5. 畫出管制圖, 決定管制狀態 Step 6. 計算修正後的管制界限 Step 7. 進行流程管制, 定期修正管制界限 19/55 兩個階段 :1. 排除可歸屬原因. 監控 3.3 計量管制圖 ( 穩定流程 ) ( 平均值變大 ) ( 流程變異變大 ) 0/55 10

x chart and R chart x R 管制圖經常使用如下表格進行初始數據收集 抽取 m 組 (0 至 5) 每組 n 個樣本 (3 至 5) 計算式 : x11 + x1 + + x n x 1 1 = R1 = max( x11, x1,, x1 n ) min( x11, x1,, x1n ) n x1 + x + + xm R1 + R + + Rm x = R = m m 1/55 (3.6) (3.7) /55 A, D 3, D 4 係數查表 : 附錄 B 11

x-bar chart 用來偵測群組之間 (between subgroup) 的平均值變化 x chart control limits: R chart 用來偵測群組之內 (within subgroup) 的變異變化 R chart control limits: x ± A R UCL = D4 R LCL = D3R n A D 3 D 4 3 1.03 0 3.575 4 0.79 0.8 5 0.577 0.115 6 0.483 0.004 3/55 例題 3.1 [ 查表, n=5] 4/55 1

修正前, m=0 範例 3.1 編號 6 編號 19 5/55 修正後, m=18 6/55 13

x chart and s chart 7/55 x s 管制圖 使用時機為當樣本大小 n 10 及欲偵測小幅度流程變動 時 全距估計流程標準差之相對效率 樣本大小 相對效率 1 3 0.99 x chart control limits: 4 0.975 5 0.955 x ± A3 s 6 0.930 10 0.850 s chart control limits: UCL = B s LCL = B3s 範例 3. 4 x-mr Chart, moving range 8/55 個別值和移動全距管制圖 此圖適用於許多情況, 如使用自動化檢測設備逐一檢測每一產品, 或是生產速率低之流程 ( 化工 煉油等產業 ) x-mr chart 主要是利用 連續兩個觀測值 的移動全距來估計流程標準差 n MRi i= 換句話說, 是利用 MR = 來取代管制圖中之 x chart MR UCL = x + 3 d CL = x MR LCL = x 3 d 範例 3.3 n 1 MR chart UCL = D MR CL 4 = MR LCL = D MR 3 當 n = 1 時之管制圖 R 14

EWMA Control Chart 指數權重移動平均 (Exponentially Weighted Moving- Average,EWMA) 管制圖 由 Roberts (1959) 所提出, 當時稱為幾何移動平均 (Geometric Moving-Average; GMA) 管制圖 EWMA 之統計量, 定義 : z i = λxi + ( 1 λ) zi 1 9/55 EWMA 乃是針對不同時間點之觀測值給予不同之權重再進行加總, 當延遲期數越多之觀測值, 所給予之權重值越少 展開 z = λx + (1 i i = λx + λ(1 λ) x i = λx + λ(1 λ) x i λ) [ λx + (1 λ) z ] i 1 i 1 i 1 i + (1 λ) z i + λ(1 λ) x i 3 + λ(1 λ) x i 3 +L EWMA 可視為所有過去及當前觀測值之加權值, 因此觀測值不需受常態性假設之限制 假設觀測值 x i 為獨立隨機變數, 其變異數為 s, 則可推導出 [ ] λ 1 (1 λ ) i σ σ z i = (3.17) λ EWMA 管制圖的中心線及管制界限為 30/55 λ UCL = µ 0 + Lσ λ CL = µ 0 λ LCL = µ 0 Lσ λ i [ 1 (1 λ) ] i [ 1 (1 λ) ] (3.18) 其中 L 表示管制界限係數 15

EWMA 管制界限隨時間點 i 而變動, 當時間點 i 趨近無窮大 ( i ) 時, 則 [ 1 (1 λ) ] i 會趨近於 1, 而式 (3.18) 將近似為一組固定的管制界限, 如下 λ UCL = µ 0 + Lσ (3.19) λ CL = µ 0 λ LCL = µ 0 Lσ λ 31/55 3.4 短流程 SPC 1978 年, 大維博施 (Davis Bothe) 於通用汽車 (General Motors) 擔任可靠度工程師一職, 在 少量多樣 的製造環境中, 他發現傳統修華特管制圖無法使用 針對此問題, 他於 1985 年致力於發展短流程 SPC (Short Run SPC) 之方法, 用以克服傳統管制圖僅適用於大量生產流程之問題 產品批量過小, 管制界限很可能在求出之前生產即已結束, 這種情形最常發生在零工 (job shop) 生產與推行剛好及時 (Just-In-Time) 系統的企業中 在短流程生產型態中, 生產之產品種類極多, 而若要對每一產品繪製一張管制圖常是不具效率的 3/55 16

3.4.1 規格管制圖 Specification Chart 規格管制圖乃利用規格界限來計算管制圖之上 下管制界限, 其步驟如下 : Step 1: 給定 USL LSL 及 C p 值 ( 參閱 4..1 節 ), 則母體標準差 USL LSL σ = 6 C p Step : 依據所得之 s, 分別建立下列管制圖 集中趨勢管制圖 離散趨勢管制圖 U C L CL L C L = = = x x x 0 0 0 + = A σ UCL A σ + LCL U C L CL L C L = = = D d σ σ D σ 1 33/55 3.4. 離差管制圖 Deviation Chart 34/55 離差管制圖乃利用觀測值與參考點 (reference point) 之 差 來建構管制圖, 而此參考點可為名目值 (nominal value, 通常為規格中心值 ) 或目標值 (target value) 因此, 離差管制圖又稱為名目管制圖 (nominal chart) 或目標管制圖 (target chart) 離差管制圖之實施步驟如下 : Step 1: 計算觀測值與名目值 ( 或目標值 ) 之離差, 離差 = 觀測值 - 名目值 Step : 利用所得之離差, 再依傳統管制圖方法計算管制界限 若樣本大小為 1, 則可使用 x-mr chart; 若樣本大小為 n, 則使用管制圖 x R 請注意, 利用離差所建構之 x 或 x-bar 管制圖, 其中心線通常設為 0 17

Z W 3.4.3 Control Chart Z W 管制圖非常適用於短流程 SPC, 其中 W 管制圖可由 R 管制圖延伸而出 假設有一穩定流程, 其所計算出之全距需落於管制上 下界限之內, 也即 LCL R < R < UCLR ; D3 R < R < D4R ; D3 < R / R < R arg 以 R的目標值 t et 取代上式的, R 則 W 統計量如下所示 R W = R t arg et W 的期望值為 1, 因此 W 管制圖之中心線為 1, 且上管制界限為 D 4, 下管制界限為 D 3 D 4 35/55 36/55 Z 管制圖可由 x-bar 管制圖延伸而出 假設有一穩定流程, 其所計算出之需落於管制上 下界限內, 也即 x x LCLx < x < UCLx ; x A R < x < x+ A R; A < < R R arg 以 R 的目標值 t et 取代上式的 R, 並以的目標值 t et取 代上式的 x, 則 Z 統計量如下所示 x xt Z = R A x arg Z 的期望值為 0, 因此 Z 管制圖之中心線為 0, 且上管制界限為 A, 下管制界限為 -A x arg et t arg et 18

Target Values Rt arg et xt arg et 與可採用下列方法決定之 : 1. 根據工程人員之經驗法則. 根據規格進行計算 : USL + LSL d USL LSL xt arget = R ( ) t arget = 6 C p 3. 根據歷史資料進行計算 : x t arget m i= = 1 m x i R t arg et = d s c 4 s1 + L+ s 其中 s = m m 37/55 3.4.4 Z-MW Control Chart Z W 管制圖是由 x R 管制圖延伸而出同樣地, 當批量大小為 1 時, Z-MW 管制圖可由 x- MR 管制圖延伸而出 Z 值之計算 MW 表示 Z 之移動全距 (moving range), MWi Z 管制圖 中心線為 0; 上管制界限為界限為 3 3 d MW 管制圖 = 1.18 =.66 中心線為 1; 上管制界限為 3 d = x x Z = R 3 1.18 t arg et t arg et =.66 = Zi Zi 1 ; 下管制 ; 下管制界限為 D4 = 3.7 D 3 = 0 38/55 19

3.4.5 Precontrol Chart(1/) 前置管制圖為 Rath & Strong 諮詢顧問公司承接 Jones and Lamson 機械公司計劃所獲得之研究成果 1954 年,Satterthwaite 首度整理 Rath & Strong 之技術報告並對前置管制圖作一詳細之描述 建立前置管制圖之步驟 : 步驟 1: 確認流程落於規格界限內 C p 值至少要大於 1, 遠大於 1 更好 步驟 : 將規格中心值設為前置管制圖之中心線 (precontrol center line, PCL) 39/55 Precontrol Chart(/) 建立前置管制圖之步驟 : 步驟 3: 將規格寬度平分為四等分, USL + PCL UPCL = 為前置管制上限 (upper precontrol limit) LSL + PCL LPCL = 為前置管制下限 (lower precontrol limit) 建立前置管制圖之步驟 : 步驟 4: 利用顏色將前置管制圖分為綠色安全區 黃色警戒區與紅色拒絕區 在標準常態分配前提下, 若規格上限 (USL) 為 3, 規格下限 (LSL) 為 -3, 則前置管制上限 (UPCL) 為 1.5, 前置管制下限 (LPCL) 為 -1.5 樣本落於綠色安全區之機率約為 0.86 ; 落於黃色警戒區之機率約為 0.14 ; 而落於紅色拒絕區之機率極小 40/55 0

The Use of Precontrol Chart 前置管制圖之使用包含兩階段 : 起始 (startup) 與量產 (run) 階段 起始階段主要用來確認流程設定之可適性 量產階段主要為前置管制圖之線上 (online) 監控 41/55 Startup 4/55 1

Run(1/) 當流程設定完成後, 便進入到量產階段 ( 或稱 frequency testing stage) 兩個重要之議題 : 線上監控 43/55 Run(/) 抽樣頻率 實務上, 通常會根據歷史數據來決定抽樣頻率 Bhote (1988) 提出前置管制圖之抽樣頻率決定準則, 其準則為連續兩次調整時間點之差距除以 6, 如表 3.13 所示 44/55

3.4.6 Percent Tolerance Precontrol Chart 允差比例前置管制圖 (percent tolerance precontrol chart; PTPCC), 由 Vermani (000) 所提出 主要是先計算允差比例, 並搭配前置管制圖之概念來監控流程 x * 假設存在一個別觀測值 x, 首先利用下式進行資料轉換 = x 目標值 ( USL LSL) 45/55 3.5 計數值管制圖 3.5.1 p Chart 每一產品可能包含數個品質特性, 並由品管人員檢驗其品質特性, 如果有一個或數個品質特性不符合所訂定之規格標準, 則此產品就被稱為不合格品 ( 或不良品 ) 樣本不合格率 ( pˆ ) 定義為 : 隨機抽取 n 個產品, 不合格品數 (X) 對樣本數之比率, 即 p ˆ = X / n 其中,X 為符合二項式分配之隨機變數, E(X) = np, Var(X) = np(1-p) 46/55 3

樣本不合格率之平均數與變異數如下 X E( X ) np E( pˆ) = E = = = p n n n X Var( X ) np(1 p) Var( pˆ ) = Var = = = n n n p(1 p) n 假設從流程中抽出 m 組樣本, 則可得到 m 組樣本不合格率, 計算此 m 組樣本不合格率之平均, 可得 p = pˆ + pˆ + m 1 + pˆ p 為 p 管制圖之中心線 m 47/55 管制界限之計算方式 ( 每次抽樣樣本大小為 n i, i = 1,,, m) 變動管制界限 p ± 3 p(1 p) n i 若 LCL<0, 則設 LCL=0 3.33 平均樣本數管制界限 標準化管制界限 p ± 3 Z i = p(1 p) n pˆ p i p(1 p) n i 3.34 3.35 48/55 例題 3.1 4

3.5. np Chart 基本上,np 管制圖與 p 管制圖發展原理是相同的, 主要差別在於 p 管制圖可處理不同樣本大小之情況, 而 np 管制圖必須每組樣本大小 n 是固定的 當 n 為固定時, 常使用 np 管制圖, 主因是 不合格品數 比不合格品比率更能容易被操作員瞭解 np 管制圖之中心線與管制界限如下 : UCL = np + 3 np(1 p) CL = np LCL = np 3 np(1 p) 49/55 例題 3.13 3.5.3 c Chart and 3.5.4 u Chart 50/55 某件產品之任何一項品質特性不符合訂定之規格即代表一項缺點 (defect) 因此, 不合格品可能包含一項或累積多項缺點所造成的 有時, 品管人員不僅對產品是否為合格品感興趣, 而且更想知道它到底有多少的缺點數, 此時即可以使用缺點數管制圖 (c chart) 與單位缺點數管制圖 (u chart) 進行流程管制 c 管制圖是當樣本大小固定不變時, 用來管制每檢驗單位的總缺點數 若樣本大小是變動的, 則利用 u 管制圖管制每檢驗單位的平均缺點數 5

c Chart(1/) 假設每檢驗單位之缺點數 X 符合一卜氏分配 (poisson distribution), 其機率分配為 : x c c e f ( X = x) = x! 其中 c 代表每檢驗單位平均缺點數 卜氏分配之平均數與變異數皆為 c ( X ) = Var( X ) c E = 51/55 c Chart(/) 蒐集 m 組樣本, 並記錄每組樣本之缺點數, 取其平均, 如下 : c1 + c + + c c = m c 為 c 管制圖之中心線 3s 管制界限為 : m UCL = c + 3 LCL = c 3 若 LCL<0, 則設 LCL=0 c c 5/55 6

u Chart 53/55 c chart 適用於當分組大小為固定之情況, 但在許多情況下分組大小並非固定, 而可能由數個檢驗單位組成 u 代表每檢驗單位的平均缺點數, 針對大小各為 n i 的 m 組樣本,u 管制圖之中心線如下 : c1 + c + + cm u = n1 + n + + nm 建構 u 管制圖管制界限有下列三種方式 : 變動管制界限 : UCL = u + 3 u / n LCL = u 3 u / 平均檢驗單位數管制界限 : UCL = u + 3 u / n LCL = u 3 u / n 標準化管制界限 : ui u Zi = u / n i i n i CL = 0, UCL = +3, LCL = -3 n1 + n + + n n = m m 3.6 管制圖之選擇 一般而言, 計量值管制圖比計數值管制圖更能提供更多有用之流程資訊 計量值管制圖之優點在於樣本點之非隨機型態常會顯示出即將發生的流程問題, 因此可以使得在不合格品產生前就可以採取適當的矯正行動 當流程偏移時, 計量值管制圖通常比計數值管制圖需要較小的樣本大小就可偵測出流程偏移 計數值管制圖之優點在於可以同時考慮某一產品之數個品質特性, 並將之繪於一張管制圖上 計量值檢驗每單位的成本與時間較計數值檢驗來的高 54/55 7

55/55 8