Olympd Iequltes Ev Che 陳誼廷 Aprl 0, 04 The gol of ths documet s to provde eser troducto to olympd equltes th the stdrd exposto Olympd Iequltes, by Thoms Mldorf I ws motvted to wrte t by feelg gulty for gettg free 7 s o problems by smply regurgttg few trcks I hppeed to kow, whle other studets were uble to solve the problem 首先一些定義 : 我們會用到循環總和 sum) 舉個例, 有三個變數的時候, = + b + c b = b + b c + c (lc sum) 和對稱總和 sym (symmetrc = + + b + b + c + c sym b = b + c + b c + b + c + c b sym 多項式的不等式 平均不等式和 Murhed 不等式 考慮以下的定理 定理 ( 平均不等式 / AM-GM) 令,,, 為正實數 則 + + + 等號成立的充要條件為 = = = 舉例子, 由此可證 + b b, + b + c bc 把這種不等式加起來, 就可得一些基本的命題 舉個例, 例子 試證 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc + b c + c b
證 利用 AM-GM 可得 + b b 和 4 + b 4 + c 4 4 bc 類似有 上述加起來就得 b + c c + b 4 + c 4 + 4 bc 和 b c 4 c 4 + 4 + b 4 c 和 c b 4 + b + c b + bc + c 和 4 + b 4 + c 4 bc + b c + c b 練習題 試證 + b + c b + b c + c 練習題 4 試證 5 + b 5 + c 5 bc + b c + c b bc(b + bc + c) 最主要是要看得出來一個多項式大概多大, 例如 + b + c 是最大的, bc 是最小的 大概來講, 比較 mxed 的多項式是比較小的 由此, 可明顯看出來 eg ( + b + c) + b + c + 4bc 因為兩邊把 + b + c 消掉以後, 右邊只剩下 4bc, 所以用 AM-GM 就解決了 一個好用的定理是 Murhed 定理 如果給定兩個數列 x x x 和 y y y, 使得 且對於每個 k =,,, 有 x + x + + x = y + y + + y, x + x + + x k y + y + + y k, 我們就說 (x ) 蓋 (mjorzes) (y ), 寫 (x ) (y ) 根據上述, 我們就有 定理 5 (Murhed 不等式 ) 如果,,, 為正實數, 且 (x ) 蓋 (y ), 以下的不等式成為 : x x x y y y sym sym 例子 6 因為 (5, 0, 0) (,, ) (,, ), 故 5 + 5 + b 5 + b 5 + c 5 + c 5 bc + bc + b c + b c + c b + c b b c + b c + b c + b c + c b + c b 由此可得 5 + b 5 + c 5 bc + b c + c b bc(b + bc + c) 注意 Murhed 是對稱的, 不是循環的 舉個例, 雖然 (, 0, 0) (,, 0); 但是用 Murhed 可得出 ( + b + c ) b + c + b c + b + c + c b 所以不可用來證明 + b + c b + b c + c 這時還是要用 AM-GM 來解決
不齊次的不等式 考慮以下的題目 例子 7 如果 bc =, 試證 + b + c + b + c 證 平均不等式兩邊的次數都一樣, 所以光用 AM-GM 不夠 ; 左邊的次數為二, 但是右邊的次數為一 利用 bc =, 原不等式可改寫成 + b + c / b / c / ( + b + c) 因為不等式現在是齊次, 如果我們把, b, c 都乘上一個 k > 0, 等價不等式兩邊乘上 k, 不影響到原來的不等式 所以這時候就不必要再用到 bc = 的條件 因為 (, 0, 0) ( 4,, ), 利用 Murhed 就完成了 這個方法的重點是可以把題目的條件取掉 ; 這很重要 ( 這個方法也可以反過來用 : 如果一個不等式是齊次, 我們也可加一個 ( 不齊次的 ) 條件 ) 練習題 7 + b 7 + c 7 4 b + b 4 c + c 4 若 + b + c =, 則 + b + c + ( +b +c ) bc bc + b c + c b + b + c 4 若 + b + c =, 則 ( + )(b + )(c + ) 64 5 (USA 0) 若 + b + c + ( + b + c) 4, 則 b + ( + b) + bc + (b + c) + c + (c + ) 6 若 bcd =, 則 4 b + b 4 c + c 4 d + d 4 + b + c + d 任意函數的不等式 令 f : (u, v) R 為函數, 且設,,, (u, v) 假設我們固定 ( 如果不等式是齊次的, 我們常會自己加這個條件 ), 而想證 f( ) + f( ) + + f( ) + + + = 大於 ( 或小於 )f() 以下有三個方法 我們定義一個函數 f 是凸函數如果對於任意 x 有 f (x) 0; 若每個 x 有 f (x) 0 我們就定義 f 是凹函數 注意如果 f 為凸函數, f 就為凹函數 Jese / Krmt 定理 8 (Jese 不等式 ) 如果 f 為凸函數, 則 ( ) f( ) + + f( ) + + f 若 f 為凹函數, 不等式相反
定理 9 (Krmt 不等式 ) 如果 f 為凸函數, 且 (x ) 蓋 (y ), 則 若 f 為凹函數, 不等式相反 f(x ) + + f(x ) f(y ) + + f(y ) 例子 0 (Shortlst 009) 若 + b + c = + b + c, 試證 ( + b + c) + ( + b + c) + ( + b + c) 6 證 先把條件用掉 : 原題等價與 ( + b + c) + ( + b + c) + ( + b + c) 6 + b + c + b + c 現在不等式是齊次了, 所以可不方假設 + b + c = 不等式就改變寫成 6 ( + ) 0 若設 f(x) = 6x (x+), 可證 f 再 (0, ) 上是凸函數, 故用 Jese 就解完了 例子 試證 + b + ( c + b + b + c + ) c + 9 + b + c 證 原題等價與 + b + c +b + b+c + c+ +b+c + +b+c + +b+c 不方假設 b c 設 f(x) = /x 因為 ( + b (, b, c), + c, b + c ) ( + b + c, + b + c, + b + c ) 利用 Krmt 就解決了, 齊次 f(x) = x 例子 (APMO 996) 若, b, c, 是三角形的邊, 試證 + b c + b + c + c + b + b + c 證 不方假設 b c, 再考慮 ( + b c, c + b, b + c ) (, b, c), 再利用 Krmt 再 f(x) = x Tget Le Trck 一樣固定 = + + 如果 f 不是凸函數, 有時後還是可以證 f(x) f() + f () (x ) 如果可證上述, 也就可以令 這個方法叫 tget le trck 4
例子 (Dvd Stoer) 若 + b + c =, 試證 8 + (b + bc + c) 5 ( c)(4 c) 證 我們可把原題改變寫成 ( ) 8 ( c)(4 c) c 6 因為 所以加起來就解決了 例子 4 (Jp) 試證 8 ( c)(4 c) c c + (b+c ) +(b+c) 5 c(c ) (c 9) 0 證 原題是齊次, 所以可不方假設 + b + c = 所以我們要證明的是 利用 tget le method 可以找出 EV ( ) + ( ) 5 ( ) ( ) + 5 8 8 ( ) 5 5 ( + ) 6 + 9 0 最後以個方法是 EV 這算是一個暴力的方法, 可是很有用 定理 5 ( EV) 令,,, 為實數, 且固定 + + + 令 f : R R 為一個函數使得 f 有正好一個拐點 若 f( ) + f( ) + + f( ) 達到最大值或最小值, 則 內有 個變數相等 證 Olympd Iequltes, by Thoms Mldorf, pge 5 證明的想法是利用 Krmt 不等式, 把 推 在一起 例子 6 (IMO 00 / APMOC 04) 令, b, c 為正實數, 試證 證 設 e x = bc, e y = c b, e z = b c 我們固定有 x + y + z = 0, 且想證 此處 f(x) = +8e x 可算出 f(x) + f(y) + f(z) < f (x) = 4ex (4e x ) (8e x + ) 5 所以利用 EV, 可不方假設 x = y 令 t = e x, 所以原題就變成 + < + 8t + 8/t +8bc < 這只剩下一個變數, 因此這可以用微積分直接解決 5
例子 7 (Vetm 998) 令 x, x,, x 為正實數滿足 = 998+x = 998 試證 x x x 998 證 定義 y = 998 998+x, 因此 y + y + + y =, 而我們要真的是 = ( ) ( ) y 令 f(x) = l ( x ), 所以原題變成 f(y ) + + f(y ) f ( ) 我們可算 f (y) = y (y y) 因此 f 只有一個拐點, 所以我們能不方假設 y = y = = y 令此為 t, 我們只要證 ( ) ( ) ( ) l t + l ( )t l( ) 這也可以直接用微積分 4 練習題 利用 Jese 證明 AM-GM 若 + b + c =, 試證 + + b + + c + 6b+c + 6bc+ + 6c+b 若 + b + c =, 試證 + + 4 4 (MOP 0) 若 + b + c + d = 4, 試證 + b + c + d + b + c + d 消除分母和根號 Weghted Power Me AM-GM 可以根據以下 geerlze 定理 8 (Weghted Power Me) 令,,, 為正實數, 且 w, w,, w 為正實數, 滿足 w + w + + w = 對於每個實數 r, 定義 (w r + w r + + w r ) /r r 0 P(r) = w w w r = 0 若 r > s, 則 P(r) P(s); 等號成立的充要條件是 = = = 特別是, 若 w = w = = w =, 以上的 P(r) 等價與 ( r + r + + ) /r r r 0 P(r) = r = 0 6
如果我們再設 r =,, 0, 就得到 + + + + + + 剛好就是 QM-AM-GM-HM 這可以當一個方法來 加 根號, 例如 + b + c + b + c 例子 9 ( 獨立研究 ) 試證 ( + b + c) 8 bc + +b +c 證 利用 Power Me 與 r =, s =, w = 9, w = 8 9, 可得 ( ) + b + c + 8 bc ( + b + c ) + 8 9 9 9 9 (bc) 所以只需要證 + b + c + 4bc ( + b + c), 明顯 Cuchy 和 Hölder 定理 0 (Hölder 不等式 ) 令 λ, λ b,, λ z 為正實數, 滿足 λ + λ b + + λ z = 設,,,, b, b,, b,, z, z,, z 為正實數 則 ( + + ) λ (b + + b ) λ b (z + + z ) λz = λ b λ b z λz 等號成立的充要條件是 : : : b : b : : b z : z : : z 證 不方假設 + + = b + + b = = ( 注意 的次數兩邊都為 λ ) 則原不等式的左邊為, 且利用 Weghted AM-GM 可得 = λ b λ b z λz (λ + λ b b + ) = = 如果我們設 λ = λ b =, 這就成為 Cuchy 的不等式 : ( + + + ) (b + b + + b ) ( b + b + + b ) Cuchy 可以改寫成 x y + x y + + x y (x + x + + x ) y + + y 在美國, 上述也叫做 Ttu s Lemm Cuchy 和 Hölder 不等式有 ( 至少 ) 兩個用法 : 把根號消除 把分母消除 我們看一下幾個例子 7
例子 (IMO 00) 試證 + 8bc 證 利用 Hölder 可得 ( ( + 8bc) ) ( ) + 8bc ( + b + c) 所以只要證 ( + b + c) ( + 8bc) = + b + c + 4bc 看過嗎? 我們這一題是用 Hölder 把根號取消 例子 (Blk) 試證 (b+c) + b(c+) + c(+b) 7 (+b+c) 證 一樣用 Hölder: ( ) 例子 (USA 0) 試證 ( b + c 證 我們用 Cuchy (Ttu) 可得 ) ( ) (b + c) +5b +b ( + b + c ) + b = + + = ( ) + b ( + b + c ) + b 我們可證明這個大於等於 4 ( + b + c ) ( 記得 + b + c 是很 大 ; 用這個注意可以看出來這個方法一定可以用 ) 類似可證 5b +b 5 4 ( + b + c ) 例子 4 (USA TST 00) 若 bc =, 試證 5 (b+c) + b 5 (c+) + c 5 (+b) 證 我們可以用 Hölder 把分母的平方消掉 : ( ) ( ) ( ) b + c 5 (b + c) (b + bc + c) 練習題 若 + b + c =, 則 b + c + bc + + c + b + b + bc + c 若 + b + c =, 試證 b + c + b c + + c + b (ISL 004) 若 b + bc + c =, 試證 + 6b + b + 6c + c + 6 bc 4 (MOP 0) b + b + b bc + c + c c + + 9 bc 4( + b + c) 5 ( 陳誼廷 ) 若 + b + c + bc = 4, 試證 (5 + bc) ( + b)( + c) + (5b + c) (b + c)(b + ) + (5c + b) (0 bc) (c + )(c + b) + b + c 等號什麼時候成立? 8
4 Problems (MOP 0) 若 + b + c =, 試證 + b + b + b + bc + c + c + c + (IMO 995) 若 bc =, 試證 (b+c) + b (c+) + c (+b) (USA 00) 試證 (+b+c) +(b+c) 8 4 (Rom) 令 x, x,, x 為正實數, x x x = 試證 = 5 (USA 004) 令, b, c 為正實數 試證 ( 5 + ) ( b 5 b + ) ( c 5 c + ) ( + b + c) +x 6 ( 陳誼廷 ) 令, b, c 為正實數滿足 + b + c = 7 + 7 b + 7 c 試證 b b c c 9