高中必備基礎文法 - PDF Free Download

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 1 9 學年高中二年級下學期數學科進階課程 Ⅱ 課用講義第二章排列組合第 1 節基本的計數原理第 1 部分乘法與加法原理 x y N, xy= 0, 則數對 ( x, y ) 共有幾組解? 2 ai {1,2,,,,6}, i = 1,2,,, 若 ( a1+ 1)( a2 + 2)( a+ )( a + ) 為倍數, 則數對 ( a1, a2, a, a) 有幾組解? 6 用三色塗右圖, 相鄰異色且三色必須全用的塗法共有幾種? 90 有多少個位數含數字 6 且又是的倍數? 120 桌上一共有 6 個銅板排成一列, 每次依序取若干個 ( 至少取一個 ), 則取完的方式有多少種? 2 第 2 部分路徑問題由 A B, 走法為, 但不可, 走過的路不可重覆, 求下列路徑數 : (1) 全部 (2) 不經 P () 經 Q () 不經 P 且不經 Q () 經 P 且經 Q (1) 20 (2) 90 () 120 () 2 () 72 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

2 如右圖, 由 A B的捷徑數共有幾種? 在 xy 平面上, 試求由 A(, 2) 到 B(, ) 走格子稜線之捷徑, 但不許經第三象限之方法數 81 (1) 如右圖, 由 A 出發沿稜線走到 B( 只可 ), 求所有路線數 (2) 由 A 出發到 B, 沿格子線走捷徑, 但不可經過斜線區, 求路線總數 (1) 22 (2) 22 類題四 6 6 6 6 6 6 11 試證 CC + CC + CC + CC + CC + CC 的和為略 0 6 1 2 2 1 C 6 第部分圖形計數平面上 9 個點, 其中恰有點共線, 其餘任點皆不共線, 則 : (1) 可決定幾條直線? (2) 可決定幾個三角形? (1) 1 (2) 80

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義圓內接正八邊形的 8 個頂點, (1) 可決定幾個三角形? (2) 可決定幾個直角三角形? (1) 6 (2) 2 範例三如右圖中, 至少包含 A 或 B 兩點之一的長方形有多少個? 1 平面上共 1 條直線, 其中有條共點, 另外有條平行, 其他直線任兩條不平行, 任條不共點, 則這些直線可圍成幾個三角形? 26 圓內接正 12 邊形的 12 個頂點, (1) 可決定幾個正方形? (2) 可決定幾個矩形? () 可決定幾個正三角形? () 可決定幾個等腰三角形? (1) (2) 1 () () 2 右圖之每一小格均為正方形, 則右圖可決定多少個大小不同的正方形? 112 類題四右圖每一小格均為正方形, 則共可決定多少個矩形? 279 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

類題五右圖的 18 個點, 橫向在條平行線上, 縱向在 6 條平行線上, 任相鄰兩點的間距皆相同, 試問 : (1) 可決定幾條直線? (2) 可決定幾個三角形? (1) 7 (2) 78 類題六圓上相異 7 點, 每 2 點連成一直線, 直線與直線再產生交點, 求位在圓內的交點個數最多有幾個? 第部分排容原理 n 位自然數中, 不含數字 0 9 而同時含數字 1 2 的有多少個? n n n 8 7 + 6 1 n 第部分數字問題 (1) 1~1000 不含 7 的數有多少個? (2) 1~1000 含有 7 的數有多少個? (1) 729 (2) 271 由 1 寫到 10000 共寫了幾個 7? 000 由 1 到 9876 含 0 的數共有多少個? 298

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義由 1 寫到 9876 共寫了多少個 0"? 2867 第二章排列組合第 2 節排列組合第 1 部分可重覆的排列 (1) 艘船, 人乘坐的方法數為何? (2) 6 封不同信, 投寄個郵筒的方法數為何? () 個不同物分人, 每人不限個數的方法數為何? () 個候選人, 由 100 個人記名投票, 有幾種結果? 6 (1) (2) () () 100 件不同物分給甲乙丙丁四人, 每人分得之件數不限制, 求下列方法數 : (1) 甲至少一件 (2) 甲乙都至少一件 () 甲乙丙至少一件 () 甲恰一件, 乙至少二件 (1) 781 (2) 70 () 90 () 16 第 2 部分不可重覆的排列 (1) 甲乙丙丁戊人排一列, 甲不排首位, 乙不排第二位, 丙不排第三位, 丁不排第四 1 1 1 1 位, 戊不排第五位試證方法數為!( + ) 2!!!! (2) 五對夫婦參加舞會, 男女配對共舞但夫婦不共舞的配對方式有多少種? () 個人在黑暗中取回自己的帽子, 求恰有 2 個人取到自己帽子的情形有多少種? (1) 略 (2) () 20 a b c d e f 共 6 人排成一列,a b 不相鄰且 c d 不相鄰的排法有幾種? 6 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

6 第部分不可重覆的組合渡船艘 A B C, 每船限載人, 今有 12 人要過河, 請問有幾種安排坐船的方式? ( 所有人都一次過河 ) 12 7 2 12 8 C C C 2 12 7 C C C [( + ( C CC) + ( )]! 2!! 八個籃球隊如右圖的賽程安排 (1) 任意安排的方式有多少種? (2) 若 A 隊最強,B 隊次之, 則使 A 得冠軍,B 得亞軍的安排方式有多少種? 8 2 CC CC 2 2 (1) ( )( ) 2! 2! 2 ( CC (2) CC ) 2! 2 6 2 2 2 1 隊比賽, (1) 採單敗淘汰賽, 需比賽幾場才能決定冠軍隊? (2) 採雙敗淘汰賽, 最多要比賽幾場才能決定冠軍? (1) 12 (2) 2 有 n 個隊伍參加單循環賽 ( 任兩隊都比賽一次 ), 結果共舉行 78 場, 求 n 為多少? 1 類題四有 16 張卡片, 上面編號 1 號到 16 號, 將其分成 8 張,8 張兩堆, 每堆各含有 1 號到 8 號其中的張, 則有幾種分法? 8 CC ( ) C 2! C 8 類題五台大與清大比賽籃球, 約定清大只要在台大勝場之前勝兩場即清大勝, 否則就由台大獲勝, 請問勝負的情形有幾種? 10

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 7 類題六有十一位科學家將一件極機密文件鎖在保險箱, 他們將保險箱上了若干道不同的鎖, 每個人也配帶了若干鑰匙, 他們欲使只有超過半數 ( 至少 6 個人 ) 的人同意時, 才能打開保險箱, 而只要任何少於 6 個人的組合必無法開箱請問 : (1) 保險箱至少要上幾道鎖? (2) 每個人應該至少配帶多少鑰匙? 11 (1) C (2) 10 C 第部分可重覆的組合 (1) x+ y+ z= 6, 則非負整數解 ( x, y, z ) 有幾組? (2) 將 6 個相同蘋果分給甲乙丙三人的分法有幾種? () 三種水果蘋果, 桃子, 梨任取 6 個的組合方式有幾種? () 投擲 8 個相同的公正骰子, 有幾種點數和為 8 的情形? 8 8 6 (1) (2) () H C () C 6 C 6 6 = 8 6 H 8 有種飲料供應甲乙丙三人購買, 求以下狀況各有幾種購買情形 : (1) 每人買一瓶 (2) 每人買三瓶 (1) (2) ( H ) 1 個座位排成一列, 甲乙丙丁入座, 任兩人之間至少有兩個空位, 試問有幾種坐法?!H 第部分環狀首飾排列 12 個人如圖所示方式入座 ( 座位無編號 ), 求方法數 (1) 正六邊形桌寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

8 (2) 矩形桌 12! (1) (2) 6 12! 2 四對夫婦共 8 人坐正方形桌, 規定 A 對夫婦不能在同一邊, 坐法有幾種?( 座位無編號 ) 860 範例三以種顏色塗正三角板的個全等正三角格, 每格一色, 顏色不可重覆用, 有幾種塗法? 8 由 10 種顏色取出色塗一個正四面體的四個面, 每面塗一色, 塗法有多少種? 20 用下列顏色塗正六面體, 相鄰異色, 試求塗色方法數 (1) 恰用色 (2) 恰用色 () 恰用色 (1) 1 (2) 6 () 1 有 12 個不同顏色的珠子串成一個項圈, 求下列的串聯方式 : (1) 紅黃相對 (2) 紅黃藍恰兩色相鄰 2! 1 (1) ( ) 10! (2) C 2 2 9! 1 C 2! 2! 9 2 9 2 2 類題四以 8 種不同顏色塗正方形的八個全等的三角格, 每格一色, 顏色不可重覆用, 共有幾種塗法? 10080

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 9 類題五以 8 種不同顏色塗正方形的八個全等的三角格, 每格一色, 顏色不可重覆用, 有幾種塗法? 20160 類題六個女生,1 個男生圍成一圈, 任何兩個女生間至少站兩個男生, 試問有幾種排法? 1! 8!! 第 6 部分同物排列組合 (1) 將 1,2,,10 填入右邊行十格, 使每一行的和相等, 試問有多少種填法? (2)20 個圍棋黑白子, 將其排成上下相對的兩列, 每列各十子上列放黑 6 白, 下列放黑 7 白, 但是規定黑子不可上下相對, 則排列方法有幾種? (1)!(2!) (2) 10!!!! 9 支原子筆其中支藍的, 支紅的,2 支白的,10 個球其中個白球, 個紅球,2 個藍球分給 12 人, 每人至多一支筆, 一個球試問分法有幾種? 12! 12!!!2!!!!2!2! 將庭院深深深幾許重新排列, 三個深完全分開的排列方法有多少?! C 第 7 部分整數解與骰子問題 x+ y+ z+ u= 10, 則 : (1) 非負偶數解有幾組? (2) 正奇數解有幾組? (1) H (2) H 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

10 由 A B的捷徑路線, 恰平分面積的方法有幾種? (1) x+ y+ z+ u 100的正整數解有幾組? (2)0 x+ y+ z+ u 100 的正整數解有幾組? (1) H 96 (2) H H 96 2 投擲三個不同骰子, 求下列情形的方法數 : (1) 點數和為 10 (2) 點數和不超過 10 () 點數和為 1 (1) 27 (2) 108 () 10 x+ y+ z= 1, 0 x, 0 y 6, 0 z 7, 求整數解個數 H H H H + H + H 1 8 7 6 1 0 第 8 部分按序排列 (1)A,B,C,D,E,F,G,H 八個字母排成一列, 限定 D,F,A,B 的順序, 求排列方法數 (2)A,B,C,D,E,F,G,H 八個字母排成一列, 規定 A 在 B,C,D 之前, 而 E 在 B,C,D 之後, 求排列方法數 ()A,B,C,D,E,F,G,H 八個字母排成一列, 規定 A,B,C 順序不變,D,E,F 順序不變 ()A,B,C,D,E,F,G,H 八個字母排成一列, 規定 A,B,C,D 順序不變,H,C,G 順序不變 8! 8!!!! 8! 8! 答 (1) (2) () ()!! 6!!

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 11 有一隻螃蟹要將每隻腳穿上鞋襪, 試問八隻腳穿鞋襪的順序有幾種? 16! (2!) 8 第 9 部分不相鄰問題 (1)10 節車廂的火車中, 選擇三節車廂作吸煙車廂使其兩兩車廂皆不相鄰, 有多少種選法? (2)10 個排成一列的座位, 甲, 乙, 丙三人入座, 但任兩人皆不相鄰, 入座方法有幾種? (1) 8 8 C = 6 (2) C! = 6 A,B,C,D,E,F,G 七人排一直線, 其中 B,D,E 三人皆分開 ( 兩兩皆不相鄰 ) 的排列方式有幾種?! C! 範例三將種瓜得瓜, 種豆得豆依瓜豆不相鄰的原則排列, 試問排法有幾種?! ( C!!! + C + C + C2 2!) 2!2! 2!2! 2! 2! a,b,c,d,e,f 排成一列, 其中規定 a,b 不相鄰且 c,d 不相鄰且 e,f 不相鄰的排列方式有幾種? 2 6!!(2!) +!(2!)!(2!) 將 pallmall" 排列成相同字母不相鄰的方式有幾種? ( 種 ) 將 mississippi" 排列成 p 不相鄰且 i 不相鄰的方式有幾種? 7! C 6! C!2!! 8 7 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

12 類題四 2 個中國人,2 個美國人, 個日本人排一直線, 相同國籍的人不相鄰的排列方式有多少種? 912( 種 ) 第 10 部分立體圖形著色以種顏色塗一圓柱體, 頂面側面底面各一色, 此圓柱體在空間中可翻滾, 則有幾種不同的著色法? ( 種 ) 以 6 種不同的顏色, 塗正四面體, 每面一色, 顏色不可重覆用, 有幾種不同的著色法?( 經過翻轉後, 有相同外貌者, 視為同一種 ) 0( 種 ) 用 8 種顏色塗正八面體的八個面, 相鄰異色的塗色方式有多少種? 8! 6 第 11 部分比較 a,b,c,d,e {1, 2, LL, 9}, 依下列情形, 數對 ( a, b, c, d, e) 各有幾組解? (1) 沒有限制 (2) a,b,c,d,e 兩兩互異 () a< b< c < d < e () a b c d e 9 9 (1) 9 (2) () () P C 9 H 件物品分給 6 人, 求下列方法數 : (1) 物不同, 每人不限個數 (2) 物不同, 每人至多一件 () 物同, 每人不限個數 () 物同, 每人至多一件

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 1 6 6 (1) 6 (2) () () P H 6 C 種不同酒, 個酒杯, 每一杯限制一種酒, 求下列各有幾種倒法? (1) 杯不同, 每種酒不限倒一次 (2) 杯不同, 每種酒限倒一次 () 杯同, 每種酒不限倒一次 () 杯同, 每種酒限倒一次 (1) (2) () () P H C 比較下列各種排列組合 : (1) A,B,C,D 四個相異字母, 任取個排列成一直線, 方法數為何? (2) A,B,C,D 四個相異字母, 任取個的組合數? () A,B,C,D 四個字母可重覆取, 任取個排成一直線的方法數為何? () A,B,C,D 四個字母可重覆取, 任取個的組合數? () 四種水果 A 有個,B 有個,C 有個,D 有 2 個, 任取個排一列的方法數? (6) 四種水果 A 有個,B 有個,C 有個,D 有 2 個, 任取個的組合數? (7) 五種水果 A 有個,B 有個,C 有 2 個,D,E 各有 1 個, 任取個的組合數為何? (8) 承 (7), 任取個的排列數為何? (1) (2) () () () 22 (6) 0 (7) (8) 87 P C H 下列各種情形的放法有多少種? (1) 把 6 件相異物, 放入個相異箱子 (2) 把 6 件相同物, 放入個相異箱子 () 把 6 件相同物, 放入個相同箱子 () 把 6 件相異物, 放入個相同箱子 6 (1) (2) () 7 () 122 H 6 類題四由 attention" 取其中個字母, 試問 : (1) 組合數? (2) 排列數各為幾種? (1) 1 (2) 220 第 12 部分綜合題型寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

1 從 1 到 100 上取個不同的數, 使乘積為 8 倍數的取法有多少種? 0 0 2 0 12 0 C + [ C2 C2 ] C1 + C1 C2 一警報器長鳴一次須秒, 短鳴一次須 1 秒, 每次間隔均為 2 秒, 則 0 秒內可有幾種不同的信號? 80 範例三兩個圓, 個雙曲線, 個拋物線, 最多可形成多少個交點? 12 範例四由 0,1,2,,, 挑出個相異數作一個四位數, 則 : (1) 可作出多少個的倍數? (2) 可作出多少個的倍數? (1) 96 (2) 72 範例五由 A B走捷徑, 求恰轉彎次的走法 2 2 HH + HH 2 2 1 (1) 從 1 到 100 的自然數中任選三數, 可形成等差數列的取法有幾種? (2) 從 10 到 0 的奇數中任選三數, 可形成等差數列的取法有幾種? () 從 1 到 100 的三倍數中任選三數, 可形成等差數列的取法有幾種? 10 10 17 16 (1)C + C (2) C + C2 ()C + C 0 0 2 2 2 2 2 甲, 乙, 丙依下列規定進出一個有六個門的房間若每個人選一個門進入, 任兩人不可選同一門進 ; 某人若選 k 號門進入, 便不可再由此門出來則三人進入房間再出來的情形有多少種? 6 6 P [ P P + P P ] 2 1 0 abcde 可排成! = 120種情形, 依字典排序法由 abcde 到 edcba, 試求 : (1) 第 87 個排列為何? (2)cdbae 是第幾個?

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 1 (1) dcbae (2) 6 類題四桃子個, 蘋果 7 個, 梨子 6 個分甲乙丙人, 試求 : (1) 每人每種至少 1 個的分法有幾種? (2) 每人至少 1 個的分法有幾種? (1) 2 2 2 1 1 1 HHH (2) HHH HHH + HHH 2 7 6 7 6 7 6 類題五甲乙庚辛八人其中三人會彈鋼琴, 另三人會吹笛子, 而甲乙兩人兩者都會, 若今欲組成一個 6 人小樂團, 兩人彈琴兩人吹笛, 請問有幾種組成方式? 7 類題六 a,b,c,d,e {1, 2, LL, 9} (1) 若 a< b< c d < e, 則數對 ( a, b, c, d, e) 有多少組解? (2) 若 a b< c d e, 則數對 ( a, b, c, d, e) 有多少組解? 9 (1) C C (2) H + 9 H 9 9 類題七大小兩同心圓, 大圓上有 6 個點, 小圓上有個點, 任取兩點作一直線, 最少可決定幾條直線? 21 類題八三位數中, (1) 個位數 > 十位數 > 百位數, 共有多少個? (2) 百位數 > 十位數 > 個位數, 共有多少個? (1) 8 (2) 120 類題九甲, 乙各選一個三位數, 兩人所選的數皆不同的情形有多少種? 900 899 C C 1 1 類題十從一副撲克牌任取張, 求下列情形有多少種? (1) 恰兩種花色 (2) 張同點, 另 1 張不同點 () 2 張同點, 另 2 張不同點, 且張不同花色 1 12! (1) 1 1 1 1 1 12 CC 1 1 C C1 + CC 2 2 C2 (2) C1 C1 CC1 ()C1 C2 2! 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

16 類題十一電影票一張元, 今有 7 人帶了元銅板, 另人帶了 10 元銅板, 今售票員沒有準備元銅板找錢, 請問有幾種排隊買票方式, 不會造成有人排隊等找錢? 297 7!! 第二章排列組合第節二項及多項式定理第 1 部分齊次式 ( x + y) (1) 展開式, 合併同類項後共有幾項? ( x + y+ z+ u) 7 (2) 展開式, 合併同類項後共有幾項? () 五元八次齊次式最多有幾項? 2 (1) (2) () H H 7 H 8 (1) (x+ y+) 展開式合併同類項後, 共有幾項? 8 (2) (x+ y+ z+ u+ 7) 展開式合併同類項後, 共有幾項? () 元 8 次式最多有幾項? 6 (1) (2) () H H 8 H 8 第 2 部分二項展開式利用二項展開式, 展開 26 100 +, 其中有多少項為有理數? ( 2 ) 1 利用二項展開式, 求 11 之個位十位百位數字個位 = 1, 十位 =, 百位 = 9

9 學年高二下數學科進階課程 II 課用講義 17 範例三 2 2 2 2 10 (1 x ) + (1 x ) + LL+ (1 x ) 16 展開式中, 求 x 項之係數 2 ( x 2 x) 10 除以 ( x 1) 的餘式為何? C C ( x 1) 0 1 10 10 2 [ a ( b c) ] 2 8 + 展開式合併同類項後, 試求 : (1) 共有多少項? 7 (2) abc 的係數為何? (1)81 (2) C C 8 10 第部分多項展開式 ( x y z u) 7 + + + 展開式中, 試求 : 2 2 2 (1) 項數 (2) x yzu係數 () x yz同型項有幾種? 7! (1) H 7 (2) () C 2!!1!1!! 2! (1 + x x ) = 1+ ax+ bx + LL+ cx 2 101 2 202 a= 101, b= 99, c= 1, 求 a b c 之值 1 1 (x y ) x y 00 + + + 6 展開式中,xy 的係數為何? 寰宇知識科技股份有限公司版權所有嚴禁轉載

18 第部分級數專論 2 n 化簡 C C C C + 1 + + + LL+ 2 2 2 2 n 2 C + C C + C C + C C + C C + C C + C C 7 7 7 7 7 7 求 0 0 1 1 2 2 12 C 1 1 1 (1) 求 C0 + C1 + C2 + LL+ 9 2 C 60 60 60 60 60 60 0 2 6 8 60 之值 (2) 求 C C + C C + C LL+ C 之值 102 (1) (2) 2 2 0 n 1 n 1 n 試由代數及組合意義說明 : C + k 1 C = k C, k n > k 略 + + + + n 2 n 2 n 2 n 2 化簡 ( C0) ( C1 ) ( C2) LL ( C n ) 2n C n