3. 如果某整数同时具备如下 3 条性质 : 1 这个数与 1 的差是质数 ; 2 这个数除以 2 所得的商也是质数 ; 3 这个数除以 9 所得的余数是 5. 那么我们称这个整数为幸运数. 求出

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暮庙宁
7 years ago
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1 涉及知识点多解题过程比较复杂的整数综合题, 以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题. 1. 如果把任意 n 个连续自然数相乘, 其积的个位数字只有两种可能, 那么 n 是多少? 2. 如果四个两位质数 a,b,c,d 两两不同, 并且满足, 等式 a+b=c+d. 那么, (1)a+b 的最小可能值是多少? (2)a+b 的最大可能值是多少?

2 3. 如果某整数同时具备如下 3 条性质 : 1 这个数与 1 的差是质数 ; 2 这个数除以 2 所得的商也是质数 ; 3 这个数除以 9 所得的余数是 5. 那么我们称这个整数为幸运数. 求出所有的两位幸运数. 4. 在的约数中, 最大的三位数是多少?

3 5. 从一张长 2002 毫米, 宽 847 毫米的长方形纸片上, 剪下一个边长尽可能大的正方形, 如果剩下的部分不是正方形, 那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形. 按照上面的过程不断地重复, 最后剪得正方形的边长是多少毫米? 6. 已知存在三个小于 20 的自然数, 它们的最大公约数是 1, 且两两均不互质. 请写出所有可能的答案. 7. 把 26,33,34,35,63,85,91,143 分成若干组, 要求每一组中任意两个数的最大公约数是 1. 那么最少要分成多少组?

4 8. 图 10-1 中两个圆只有一个公共点 A, 大圆直径 48 厘米, 小圆直径 30 厘米. 两只甲虫同时从 A 出发, 按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时, 两只甲虫首次相距最远? 9. 设 a 与 b 是两个不相等的非零自然数. (1) 如果它们的最小公倍数是 72, 那么这两个自然数的和有多少种可能的数值? (2) 如果它们的最小公倍数是 60, 那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?

5 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛, 狐狸每次跳 4 米, 黄鼠狼每次跳 2 米, 它们每秒钟都只跳一次比赛途中, 从起点开始每隔 12 米设有一个陷阱, 当它们之中有一个掉进陷阱时, 另一个跳了多少米? 在小于 1000 的自然数中, 分别除以 18 及 33 所得余数相同的数有多少个?( 余数可以为 0) 12. 甲乙丙三数分别为 603,939,393. 某数 A 除甲数所得余数是 A 除乙数所得余数的 2 倍,A 除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2 倍. 求 A 等于多少?

6 13. 证明 : 形如 11,111,1111,11111, 的数中没有完全平方数. 14. 有 8 个盒子, 各盒内分别装有奶糖 9,17,24,28,30,31,33,44 块. 甲先取走一盒, 其余各盒被乙丙丁 3 人所取走. 已知乙丙取到的糖的块数相同且为丁的 2 倍. 问 : 甲取走的一盒中有多少块奶糖? 15. 在一根长木棍上, 有三种刻度线. 第一种刻度线将木棍分成 10 等份 ; 第二种将木棍分成 12 等份 ; 第三种将木棍分成 15 等份. 如果沿每条刻度线将木棍锯断, 那么木棍总共被锯成多少段?

7 各种涉及长方体立方体圆柱圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题, 解题时考虑沿某个方向的投影常能发挥明显的作用. 较为复杂的是与剪切拼接染色等相关联的立体几何问题. 第六届 : 华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛第 12 题 ( 略有改动 ) 1. 用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图 11-1 所示的立体图形, 问该图形的表面积是多少平方厘米? 2. 如图 11-2, 有一个边长是 5 的立方体, 如果它的左上方截去一个边分别是 5,3,2 的长方体, 那么它的表面积减少了百分之几?

8 3. 如图 11-3, 一个正方体形状的木块, 棱长 l 米, 沿水平方向将它锯成 3 片, 每片又锯成 4 长条, 每条又锯成 5 小块, 共得到大大小小的长方体 60 块. 那么, 这 60 块长方体表面积的和是多少平方米? 4. 图 11-4 中是一个边长为 4 厘米的正方体, 分别在前后左右上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体, 做成一种玩具. 它的表面积是多少平方厘米? 5. 图 11-5 是一个边长为 2 厘米的正方体. 在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米的正方体 1 小间 ; 接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞 ; 第三个小洞的挖法与前两个相同, 边长 2 1 为厘米. 那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米? 4

图 11-4 中是一个边长为 4 厘米的正方体, 分别在前后左右上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体, 做成一种玩具. 它的表面积是多少平方厘米? 5.

9 6. 有大中小 3 个正方形水池, 它们的内边长分别是 6 米 3 米 2 米. 把两堆碎石分别沉没在中小水池的水里, 两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 米. 如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里, 大水池的水面升高了多少厘米 7. 如图 11-6, 从长为 13 厘米, 宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 米的正方形, 然后, 沿虚线折叠成长方体容器. 这个容器的体积是多少立方厘米? 8. 今有一个长宽高分别为 21 厘米 15 厘米 12 厘米的长方体. 现从它的上面尽可能大的切下一个正方体, 然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体, 最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体. 问剩下的体积是多少立方厘米?

如图 11-6, 从长为 13 厘米, 宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 米的正方形, 然后, 沿虚线折叠成长方体容器. 这个容器的体积是多少立方厘米? 8.

10 9. 如图 11-7, 有一个圆柱和一个圆锥, 它们的高和底面直径都标在图上, 单位是厘米. 那么, 圆锥体积与圆柱体积的比是多少? 10. 张大爷去年用长 2 米宽 1 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤. 今年改用长 3 米宽 2 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤. 问 : 今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 11. 一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米, 深 20 厘米, 水深 15 厘米. 今将一个底面半径为 2 厘米, 高为 18 厘米的铁圆柱垂直放人容器中. 求这时容器的水深是多少厘米?

今年改用长 3 米宽 2 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤. 问 : 今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍? 11.

11 12. 如图 ll-8, 用高都是 1 米, 底面半径分别为 1.5 米 1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体. 问这个物体的表面积是多少平方米?(π 取 3.14) 13. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱, 并用尼龙编织条如图 11-9 所示在三个方向上加固. 所用尼龙编织条的长分别为 365 厘米 405 厘米 485 厘米. 若每个尼龙条加固时接头处都重叠 5 厘米, 则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?

12 14. 有甲乙丙 3 种大小不同的正方体木块, 其中甲的棱长是乙的棱长的 1 2, 2 乙的棱长是丙的棱长的 3. 如果用甲乙丙 3 种木块拼成一个体积尽可能小的大正体, 每种至少用一块, 那么最少需要这 3 种木块一共多少块? 15. 有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米 4 厘米 5 厘米的长方体, 把它们的某划面染上红色, 使得有的长方体只有 1 个面是红色的, 有的长方体恰有 2 个面是红色的, 有的长方体恰有 3 个面是红色的, 有的长方体恰有 4 个面是红色的, 有的长方体恰有 5 个面是红色的, 还有一个长方体 6 个面都是红色的, 染色后把所有长 ; 方体分割成棱长为 1 厘米的小正方体. 分割完毕后, 恰有一面是红色的小正方体 ; 最多有多少个?

有 6 个相同的棱长分别是 3 厘米 4 厘米 5 厘米的长方体, 把它们的某划面染上红色, 使得有的长方体只有 1 个面是红色的, 有的长方体恰有 2 个面是红色的, 有

13 几何图形的设计与构造. 涉及比例与整数分解, 需要添加辅助线寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题. 1. 今有 9 盆花要在平地上摆成 9 行, 其中每盆花都有 3 行通过, 而且每行都通过 3 盆花. 请你给出一种设计方案, 画图时用点表示花, 用直线表示行.

14 2. 已知如图 12-1, 一个六边形的 6 个内角都是 120, 其连续四边的长依次是厘米. 求这个六边形的周长. 3. 图 12-2 中共有 16 条线段, 每两条相邻的线段都是互相垂直的. 为了计算出这个图形的周长, 最少要量出多少条线段的长度? 4. 将图 12-3 中的三角形纸片沿虚线折叠得到图 12-4, 其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为 2:3. 已知图 12-4 中 3 个画阴影的三角形面积之和为 1, 那么重叠部分的面积为多少?

15 米? 5. 如图 12-5, 涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米. 问 : 大正六角星形的面积是多少平方厘是多少? 6. 如图 12-6 所示, 在三角形 ABC 中,DC=3BD,DE=EA. 若三角形 ABC 的面积是 1. 则阴影部分的面积 7. 如图 12-7,P 是三角形 ABC 内一点,DE 平行于 AB,FG 平行于 BC,HI 平行于 CA, 四边形 AIPD 的面积是 12, 四边形 PGCH 的面积是 15, 四边形 BEPF 的面积是 20. 那么三角形 ABC 的面积是多少?

16 8. 如图 12-8, 长方形的面积是小于 100 的整数, 它的内部有三个边长是整数的正方形,1 号正方形 5 的边长是长方形长的 12,2 1 号正方形的边长是长方形宽的 8. 那么, 图中阴影部分的面积是多少? 9. 如图 12-9, 三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A 和 B 是两个正方形重叠部分,C,D, E 是空出的部分, 这些部分都是长方形, 它们的面积比是 A:B:C:D:E=1:2:3:4:5. 那么这个长方形的长与宽之比是多少? 10. 如图 12-10, 红黄绿三块大小一样的正方形纸片, 放在一个正方形盒内, 它们之间互相叠合. 已知露在外面的部分中, 红色的面积是 20, 黄色的面积是 14, 绿色的面积是 lo. 那么, 正方形盒子的底面积是多少?

如图 12-9, 三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A 和 B 是两个正方形重叠部分,C,D, E 是空出的部分, 这些部分都是长方形, 它们的面积比是

17 11. 如图 12-11, 在长 260 厘米, 宽 150 厘米的台球桌上, 有 6 个球袋 A,B,C,D,E,F, 其中 AB=EF=130 厘米. 现在从 4 处沿 45 方向打出一球, 碰到桌边后又沿 45 方向弹出, 当再碰到桌边时, 仍沿 45 方向弹出, 如此继续下去. 假如球可以一直运动, 直至落入某个球袋中为止, 那么它将落人哪个袋中? 12. 长方形 ABCD 是一个弹子盘, 四角有洞. 弹子从 A 出发, 路线与边成 45 度角, 撞到边界即反弹, 并一直按此规律运动, 直到落人一个洞内为止. 如图当 AB=4,AD=3 时, 弹子最后落入 B 洞. 问 : 若 AB=1995,AD=1994 时, 弹子最后落入哪个洞? 在落入洞之前, 撞击 BC 边多少次?

假如球可以一直运动, 直至落入某个球袋中为止, 那么它将落人哪个袋中? 12. 长方形 ABCD 是一个弹子盘, 四角有洞.

18 13.10 个一样大的圆摆成如图所示的形状. 过图中所示两个圆心 A,B 作直线, 那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少? 14. 在图中, 一个圆的圆心是 0, 半径 r=9 厘米, 1= 2=15. 那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π 取 3.14) 15. 图是由正方形和半圆形组成的图形. 其中 P 点为半圆周的中点,Q 点为正方形一边的中点. 已知正方形的边长为 10, 那么阴影部分的面积是多少?(π 取 3.14)

14. 在图 12-14 中, 一个圆的圆心是 0, 半径 r=9 厘米, 1= 2=15. 那么阴影部分的面积是多少平方厘米?(π 取 3.

19 内容概述仁化学校 6 年级奥数思维导引下学生版第 14 讲数字谜综合各种具有相当难度求解需要综合应用多方面知识的竖式横式数字及数阵图等类型的数字谜问题. 典型问题 1.ABCD 表示一个四位数,EFG 表示一个三位数,A,B,C,D,E,F,G 代表 1 至 9 中的不同的数字. 已知 ABCD+EFG=1993, 问 : 乘积 ABCD EFG 的最大值与最小值相差多少? 1 2. 有 9 个分数的和为 1, 它们的分子都是 1. 其中的 5 个是 3, 1 7, 1 9, 1 11, 1 另外 4 个数的分母个位数 33 字都是 5. 请写出这 4 个分数.

20 3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字, 使其成为正确的等式. 4. 小明按照下列算式 : 乙组的数口甲组的数 1= 对甲乙两组数逐个进行计算, 其中方框是乘号或除号, 圆圈是加号或减号他将计算结果填入表 14 1 的表中. 有人发现表中 14 个数中有两个数是错的请你改正. 问改正后的两个数的和是多少?

21 5. 图 14 3 中有大中小 3 个正方形, 组成了 8 个三角形. 现在先把 1,2,3,4 分别填在大正方形的 4 个顶点上, 再把 1,2,3,4 分别填在中正方形的 4 个顶点上, 最后把 1,2,3,4 分别填在小正方形的 4 个项点上. (1) 能否使 8 个三角形顶点上数字之和都相等? 如果能, 请给出填数方法 : 如果不能, 请说明理由. (2) 能否使 8 个三角形顶点上数字之和各不相同? 如果能, 请给出填数方法 ; 如果不能, 请说明理由.

22 6. 图 14 5 中有 11 条直线. 请将 1 至 11 这 11 个数分别填在 11 个圆圈里, 使每一条直线上所有数的和相等. 求这个相等的和以及标有 * 的圆圈中所填的数. 7. 一个六位数, 把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数, 再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数, 如此共进行 5 次所得的新数连同原来的六位数共 6 个数称为一组循环数. 已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的 l 倍,2 倍,3 倍,4 倍,5 倍,6 倍, 求这个六位数.

23 内容概述仁化学校 6 年级奥数思维导引下学生版第 15 讲计数综合 1 将关键的已知数据看作变量, 得到一类结构相同的计数问题, 通过建立这些问题的结果所构成数列的递推关系, 逐步地求得原问题的答案. 与分数几何等相关联的计数综合题. 典型问题 1. 一个长方形把平面分成两部分, 那么 3 个长方形最多把平面分成多少部分? 2. 一个楼梯共有 10 级台阶, 规定每步可以迈 1 级台阶或 2 级台阶, 最多可以迈 3 级台阶. 从地面到最上面 1 级台阶, 一共可以有多少种不同的走法?

24 3. 一个圆上有 12 个点 A 1,A 2,A 3,,A 11,A 12. 以它们为顶点连三角形, 使每个点恰好是一个三角形的顶点, 且各个三角形的边都不相交. 问共有多少种不同的连法? 4. 现在流行的变速自行车, 在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的齿轮. 用链条连接不同搭配的齿轮, 通过不同的传动比获得若干挡不同的车速. 希望牌变速自行车主动轴上有 3 个齿轮, 齿数分别是 48,36,24; 后轴上有 4 个齿轮, 齿数分别是 36,24,16,12. 问 : 这种变速车一共有多少挡不同的车速? 5. 分子小于 6, 分母小于 60 的不可约真分数有多少个?

25 6. 一个正方形的内部有 1996 个点, 以正方形的 4 个顶点和内部的 1996 个点为顶点, 将它剪成一些三角形. 问 : 一共可以剪成多少个三角形? 如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀, 那么共需剪多少刀? 7. 如图 15 3, 某城市的街道由 5 条东西与 7 条南北向马路组成. 现在要从西南角的 A 处沿最短路线走到东北角的 B 处, 由于修路十字路口 C 不能通过, 那么共有多少种不同走法? 8. 经理将要打印的信件交给秘书, 每次给一封, 且放在信封的最上面, 秘书一有空就从最上面拿一封信来打. 有一天共有 9 封信打, 经理按第 1 封, 第 2 封,, 第 9 封的顺序交给秘书. 午饭时, 秘书告诉同事, 已把第 8 封信打印好了, 但未透露上午工作的其他情况, 这个同事很想知道是按什么顺序来打印. 根据以上信息, 下午打印的信的顺序有多少种可能?( 没有要打的信也是一种可能 )

26 第 16 讲逻辑推理内容概述体育比赛形式的逻辑推理问题, 其中存在的呼应一队的胜负平分对应着另一队的负平胜对解题有重要作用, 有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示. 需要从整体考虑, 涉及数量比较整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题. 典型问题 1. 共有 4 人进行跳远百米铅球跳高 4 项比赛, 规定每个单项中, 第一名记 5 分, 第二名记 3 分, 第三名记 2 分, 第四名记 1 分. 已知在每一单项比赛中都没有并列名次, 并且总分第一名共获 17 分, 其中跳高得分低于其他项得分 ; 总分第三名共获 11 分, 其中跳高得分高于其他项得分. 问总分第二名在铅球项目中的得分是多少? 2.4 支足球队进行单循环比赛, 即每两队之间都比赛一场. 每场比赛胜者得 3 分, 负者得 0 分, 平局各得 1 分. 比赛结果, 各队的总得分恰好是 4 个连续的自然数. 问 : 输给第一名的队的总分是多少?

27 评注 : 常见的体育比赛模式 N 个队进行淘汰赛, 至少要打 N 1场比赛 : 每场比赛淘汰一名选手 ; 2 N( N 1) N 个队进行循环赛, 一共要打 C N = 场比赛 : 每个队要打 N 1场比赛. 2 循环赛中常见的积分方式 : 1 两分制 : 胜一场得 2 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分 ; 核心关系 : 总积分 =2 比赛场次 ; 2 三分制 : 胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 O 分 ; 核心关系 : 总计分 =3 比赛场次 -1 赛平场次支足球队进行单循环比赛, 即每两队之间都比赛一场. 每场比赛胜者得 3 分, 负者得 0 分, 平局各得 1 分. 现在比赛已进行了 4 轮, 即每队都已与 4 个队比赛过, 各队已赛 4 场的得分之和互不相同. 已知总得分居第三位的队共得 7 分, 并且有 4 场球踢成平局, 那么总得分居第五位的队最多可得多少分? 最少可得多少分? 4. 某商品的编号是一个三位数. 现有 5 个三位数 :874,765,123,364,925, 其中每一个数与商品编号, 恰好在同一位上有一个相同的数字. 那么这个三位数是多少?

28 5. 某楼住着 4 个女孩和 2 个男孩, 他们的年龄各不相同, 最大的 10 岁, 最小的 4 岁, 最大的女孩比最小的男孩大 4 岁, 最大的男孩比最小的女孩大 4 岁. 求最大的男孩的岁数. 6. 某次考试满分是 100 分,A,B,C,D,E 这 5 个人参加了这次考试. A 说 : 我得了 94 分. B 说 : 我在 5 个人中得分最高. C 说 : 我的得分是 A 和 D 的平均分, 且为整数. D 说 : 我的得分恰好是 5 个人的平均分. E 说 : 我比 C 多得了 2 分, 并且在 5 个人中居第二. 问这 5 个人各得了多少分?

29 7. 在一次射击练习中, 甲乙丙 3 位战士各打了 4 发子弹, 全部中靶. 其命中情况如下 : 1 每人 4 发子弹所命中的环数各不相同 ; 2 每人 4 发子弹所命中的总环数均为 17 环 ; 3 乙有 2 发命中的环数分别与甲其中的 2 发一样, 乙另 2 发命中的环数与丙其中的 2 发一样 : 4 甲与丙只有 1 发环数相同 ; 5 每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环. 问 : 甲与丙命中的相同环数是几?

30 第 20 讲列方程解应用题内容概述列方程解决问题是一种很重要的通法, 以前我们往往将应用题分成 : 鸡兔同笼年龄问题还原问题等等, 再归纳出每一类问题的解法. 而现在我们就可以利用方程统一来考虑这些问题. 方程思想的建立可以说是一个很大的飞跃. 下面我们就如何找好等量关系, 如何建立方程给出一些示范, 希望大家体会掌握以提高自己的解题能力. 典型问题 1 1. 有一篮子鸡蛋分给若干人, 第一人拿走 1 个鸡蛋和余下的 9, 1 第二人拿走 2 个和余下的 9, 第三人 1 拿走 3 个和余下的 9,, 最后恰好分完, 并且每人分到的鸡蛋数相同, 问 : 共有多少鸡蛋? 分给几个人? 2. 某人每日下午 5 时下班后有一辆汽车按时接他回家. 有一天, 他提前 l 小时下班, 因汽车未到, 遂步行返家, 在途中遇到来接他的汽车, 因而比平日早 16 分钟到家, 问此人是步行几分钟后遇见汽车的?

31 3. 一次数学竞赛中共有 A B C 三道题,25 名参赛者每人至少答对了一题. 在所有没有答对 A 的学生中, 答对 B 的人数是答对 C 的人数的两倍, 只答对问题 A 的人数比既答对 A 又至少答对其他一题的人数多 1. 又已知在所有恰好答对一题的参赛者中, 有一半没有答对 A. 请问有多少学生只答对 B? 4. 河水是流动的, 在 Q 点处流入静止的湖中, 一游泳者在河中顺流从 P 到 Q, 然后穿过湖到 R, 共用 3 小时. 若他由 R 到 Q 再到 P, 共需 6 小时. 如果湖水也是流动的, 速度等于河水的速度, 那么从 P 到 Q 再到 R 需 5 小时. 问在这样的条件下, 从 R 到 Q 再到 P 需几小时? 2

32 内容概述第 24 讲应用题综合较为复杂的以成本与利润溶液的浓度等为内容的分数与百分数应用题. 要利用整数知识, 或进行分类讨论的综合性和差倍分问题. 典型问题 1. 某店原来将一批苹果按 100% 的利润 ( 即利润是成本的 100%) 定价出售. 由于定价过高, 无人购买. 后来不得不按 38% 的利润重新定价, 这样出售了其中的 40%. 此时, 因害怕剩余水果腐烂变质, 不得不再次降价, 售出了剩余的全部水果. 结果, 实际获得的总利润是原定利润的 30.2%. 那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少? 2. 某商品 76 件, 出售给 33 位顾客, 每位顾客最多买三件. 如果买一件按原定价, 买两件降价 10%, 买三件降价 20%, 最后结算, 平均每件恰好按原定价的 85% 出售. 那么买三件的顾客有多少人? 3. 甲容器中有纯酒精 11 立方分米, 乙容器中有水 15 立方分米. 第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器, 使酒精与水混合 ; 第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器. 这样甲容器中的纯酒精含量为 62.5%, 乙容器中的纯酒精含量为 25%. 那么, 第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?

33 年我国粮食总产量达到 4500 亿千克, 年人均 375 千克. 据估测, 我国现有耕地 1.39 亿公顷, 其中约有一半为山地丘陵. 平原地区平均产量已超过每公顷 4000 千克, 若按现有的潜力, 到 2030 年使平原地区产量增产七成, 并使山地丘陵地区产量增加二成是很有把握的. 同时在 20 世纪末把我国人口总数控制在 12.7 亿以内, 且在 21 世纪保持人口每年的自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过 10%. 请问 : 到 2030 年我国粮食产量能超过年人均 400 千克吗? 试简要说明理由. 5. 要生产基种产品 100 吨, 需用 A 种原料 200 吨,B 种原料吨, 或 C 种原料吨, 或 D 种原料 192 吨, 或 E 种原料 180 吨. 现知用 A 种原料及另外一种 ( 指 B,C,D,E 中的一种 ) 原料共 19 吨生产此种产品 10 吨. 试分析所用另外一种原料是哪一种, 这两种原料各用了多少吨? 6. 有 4 位朋友的体重都是整千克数, 他们两两合称体重, 共称了 5 次, 称得的千克数分别是 99,113, 125,130,144. 其中有两人没有一起称过, 那么这两个人中体重较重的人的体重是多少千克?

34 补充选讲问题 1 A B C 四个整数, 满足 A+B+C=2001, 而且 1<A<B<C, 这四个整数两两求和得到六个数, 把这 6 个数按从小到大排列起来, 恰好构成一个等差数列请问 :A B C 分别为多少? 7. 甲乙两人参加同一场考试, 又同时在上午 10 点离开考场, 同时午饭. 但甲说 : 我是在午饭前 2 小时与考试开始后 1.5 小时这两个时间中较早的一个时间离开考场的. 乙说 : 我是在午饭前 2.5 小时与考试后 1 小时这两个时间中较晚的一个时间离开考场的. 求考试开始和午饭开始的时间.

35 内容概述第 17 讲赛况分析赛况分析是一些学校近年考试的热点, 我们再给出几例, 希望大家在掌握了下面的知识点以后, 多多练习. 常见的体育比赛模式 : N 个队进行淘汰赛, 至少要打 N-1 场比赛 : 每场比赛淘汰一名选手 ; N 个队进行循环赛, 一共要打 C 2 N N N-1 = ( ) 场比赛 : 每个队要打 N-1 场比赛. 2 循环赛中常见的积分方式 : 1 两分制 : 胜一场得 2 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分 ; 核心关系 : 总积分 =2 比赛场次 ; 2 三分制 : 胜一场得 3 分, 平一场得 1 分负一场得 0 分 ; 核心关系 : 总计分 =3 比赛场次一 1 赛平场次. 典型问题 2. 一次围棋比赛共有 10 名选手参加, 他们分别来自甲乙丙三个队, 每队不少于 2 人, 每个人都与其他的 9 人比赛, 每盘胜者得 2 分, 负者得 0 分, 平居各得 1 分. 结果乙队平均得分为 5.2 分, 丙队平均分 17 分, 试求甲队的平均分. 4. 五支足球队进行单循环赛, 每两队之间进行一场比赛. 胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分. 最后发现各队得分都不相同, 第三名得了 7 分, 并且和第一名打平, 那么这五支球队的得分从高到低依次是多少?

36 6. 有五支足球队进行循环赛, 每两个队之间进行一场比赛, 胜者得 3 分, 平者各得 1 分, 负者得 0 分. 现在还有一些比赛没有进行, 各个队目前的得分恰好是五个连续的偶数, 其中甲队积 2 分, 并且负于乙队, 那么乙队现在积多少分? 8. 五支足球队 A B C D E 进行单循环比赛, 即每两队之间都比赛一场. 每场比赛胜者得 2 分, 负者得 0 分, 平局各得 1 分. 已知 :(1)4 队获得了冠军 ;(2)B 队 C 队和 D 队的得分相同, 且无其它并列情况 ;(3) 在 C 队参加的比赛中, 平局只有一场, 那场的对手是 B 队 ;(4)D 队战胜了 A 队. 请你根据上述信息, 分析出每场比赛的胜平负情况.

37 内容概述仁化学校 6 年级奥数思维导引下学生版第 28 讲数论综合 3 具有相当难度, 需要灵活运用各种整数知识, 或与其他方面内容相综合的数论同题. 典型问题 2. 有 3 个自然数, 其中每一个数都不能被另外两个数整除, 而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除. 那么这样的 3 个自然数的和的最小值是多少? 4. 对于两个不同的整数, 如果它们的积能被和整除, 就称为一对好数, 例如 70 与 30. 那么在 1,2,, 16 这 16 个整数中, 有好数多少对?

38 6. 甲乙两人进行下面的游戏 : 两人先约定一个自然数 N, 然后由甲开始, 轮流把 0,1,2,3,4,5,6, 7,8,9 这 10 个数字中的一个填入图 28-1 的某个方格中, 每一方格只能填一个数字, 但各方格所填的数字可以重复. 当 6 个方格都填有数字后, 就形成一个六位数. 如果这个六位数能被 N 整除, 那么乙获胜 ; 如果这个六位数不能被 N 整除, 那么甲获胜. 设 N 小于 15, 问当 N 取哪几个数时. 乙能取胜? 8. 已知 a 与 b 的最大公约数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最小公倍数也是 300. 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组?

39 10. 圆周上放有 N 枚棋子, 如图 28-2 所示,B 点的那枚棋子紧邻 A 点的棋子. 小洪首先拿走 B 点处的 1 枚棋子, 然后沿顺时针方向每隔 1 枚拿走 2 枚棋子, 这样连续转了 10 周,9 次越过 A. 当将要第 10 次越过 A 处棋子取走其他棋子时, 小洪发现圆周上余下 20 多枚棋子. 若 N 是 14 的倍数, 请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子? 12. 是否存在一个六位数 A, 使得 A,2A,3A,,500000A 中任意一个数的末尾 6 个数码不全相同? 14. 已知 m,n,k 为自然数,m n k, n 2 m +2 n -2 k 是 100 的倍数, 求 m + n - k 后的最小值.

40 第 29 讲数论综合 4 内容概述主要是小升初综合素质测试中较难的数论问题. 1. 任意选取 9 个连续的正整数, 即它们的乘积为 P, 最小公倍数为 Q. 我们知道,P 除以 Q 所得到的商必定是自然数, 那么这个商的最大可能值是多少? 2. 老师在黑板上依次写了三个数 , 现在进行如下的操作, 每次将这三个数中的某些数加上 2, 其他数减去 1, 试问能否经过若干次这样的操作后, 使得 : (1) 三个数都变成 12? (2) 三个数变成 ?

41 3. 对于 n 个奇质数, 如果其中任意奇数个数的和仍是质数, 那么称这些数构成奇妙数组, 而 n 就是这个数组的阶数. 例如 11,13,17 就是奇妙数组, 因为 11,13,17 和 =41 都是质数. (1) 证明 : 奇妙数组的阶数最大值为 4; (2) 对于阶数为 4 的奇妙数组, 求这 4 个质数的乘积的最小值. 评注 : 四阶的奇妙数组还有很多, 如 97,13,41,53. 它们的三个数和依次为 107,191,163,

42 151 均是质数. 第 30 讲几何综合 2 内容概述勾股定理, 多边形的内角和, 两直线平行的判别准则, 由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系. 与上述知识相关的几何计算问题. 各种具有相当难度的几何综合题. 典型问题 2. 如图 30-2, 已知四边形 ABCD 和 CEFG 都是正方形, 且正方形 ABCD 的边长为 10 厘米, 那么图中阴影三角形 BFD 的面积为多少平方厘米? 4. 如图 30-4, A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H+ I 等于多少度?

43 6. 长边和短边的比例是 2:1 的长方形称为基本长方形. 考虑用短边互不相同的基本长方形拼图, 要求任意两个基本长方形之间既没有重叠, 也没有空隙. 现在要用短边互不相同且最小短边长为 1 的 5 个基本长方形拼接成一个更大的长方形. 例如, 短边长分别是 1,2,5,6,12 的基本长方形能拼接成大长方形, 具体案如图 30-6 所示. 请给出这 5 个基本长方形所有可能的选择方式. 设 a 1 =1<a 2 <a 3 <a 4 <a 5 分别为 5 条短边的长度, 则我们将这种选择方式记为 (a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ), 这里无需考虑 5 个基本长方形的拼图方案是否惟一. 8. 如图 30-8,ABCD 是平行四边形, 面积为 72 平方厘米,E,F 分别为边 AB,BC 的中点. 则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?

44 10. 图是一个正方形, 其中所标数值的单位是厘米. 问 : 阴影部分的面积是多少平方厘米? 12. 如图 30-12, 若图中的圆和半圆都两两相切, 两个小圆和三个半圆的半径长都是 1. 求阴影部分的面积. 14. 如图 30-14, 将长方形 ABCD 绕顶点 C 顺时针旋转 90 度, 若 AB=4,BC=3,AC=5, 求 AD 边扫过部分的面积.(π 取 3.14)

45 第 34 讲最值问题内容概述均值不等式, 即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小. 各种求最大值或最小值的问题, 解题时宜首先考虑起主要作用的量, 如较高数位上的数值, 有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的. 典型问题 2. 有 4 袋糖块, 其中任意 3 袋的总和都超过 60 块. 那么这 4 袋糖块的总和最少有多少块? 4. 用 1,3,5,7,9 这 5 个数字组成一个三位数 ABC 和一个两位数 DE, 再用 O,2,4,6,8 这 5 个数字组成一个三位数 FGH 和一个两位数 IJ. 求算式 ABC DE-FGH IJ 的计算结果的最大值.

46 6. 将 6,7,8,9,10 按任意次序写在一圆周上, 每相邻两数相乘, 并将所得 5 个乘积相加, 那么所得和数的最小值是多少? 8. 一个两位数被它的各位数字之和去除, 问余数最大是多少? 10. 用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 9 个数字各一次, 组成一个被减数减数差都是三位数的正确的减法算式, 那么这个算式的差最大是多少?

47 12. 4 个不同的真分数的分子都是 1, 它们的分母有 2 个是奇数 2 个是偶数, 而且 2 个分母是奇数的分数之和与 2 个分母是偶数的分数之和相等. 这样的奇数和偶数很多, 小明希望这样的 2 个偶数之和尽量地小, 那么这个和的最小可能值是多少? 14. 有 13 个不同的自然数, 它们的和是 100. 问其中偶数最多有多少个? 最少有多少个?

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3. 如 果 某 整 数 同 时 具 备 如 下 3 条 性 质 : 1 这 个 数 与 1 的 差 是 质 数 ; 2 这 个 数 除 以 2 所 得 的 商 也 是 质 数 ; 3 这 个 数 除 以 9 所 得 的 余 数 是 5. 那 么 我 们 称 这 个 整 数 为 幸 运 数. 求 出

3. 如果某整数同时具备如下 3 条性质 : 1 这个数与 1 的差是质数 ; 2 这个数除以 2 所得的商也是质数 ; 3 这个数除以 9 所得的余数是 5. 那么我们称这个整数为幸运数. 求出