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常 见 支 座 形 式 及 提 供 的 反 力 : 几 何 不 变 体 系 组 成 规 律 : (1) 用 既 不 平 行 又 不 相 交 于 一 点 的 三 连 杆 连 接 两 个 刚 体 (2) 用 一 连 杆 和 不 再 同 一 直 线 上 的 铰 连 接 两 个 刚 体 (3) 不 再 同 一 直 线 上 的 铰 连 接 三 个 刚 体 (4) 一 个 刚 体 加 两 相 交 的 连 杆 拱 判 断 方 法 : 当 结 构 受 竖 向 荷 载 时, 支 座 提 供 水 平 反 力 或 水 平 拉 杆 中 有 水 平 拉 力, 结 构 为 拱 结 构 D 图 无 水 平 反 力, 不 是 拱 (1) 合 理 拱 轴 线 使 弯 矩 处 处 为 零, 增 加 I 值 是 无 效 的, 而 轴 力 不 为 零 由 于 弯 矩 的 导 数 是 剪 力, 所 以 剪 力 也 是 零 结 构 对 称, 荷 载 对 称, 则 对 称 的 内 力 M 图 对 称, 反 对 称 的 内 力 Q 图 反 对 称, 且 在 对 称 轴 处 Q C =0 内 力 符 号 规 定 : 轴 力 N N p 以 拉 为 正 压 为 负 ; 1

剪 力 Q Q p 使 分 离 体 顺 时 针 转 为 正 反 之 为 负 ; 弯 矩 M 负 号, 即 当 M M p M 注 意 区 分 杆 件 受 拉 的 方 向 不 规 定 具 体 单 项 的 符 号, 只 规 定 其 P M M P 乘 积 的 正 使 杆 件 同 一 侧 的 纤 维 受 拉 时, 其 乘 积 取 正, 反 之 取 负, 计 算 时 1-2 结 构 的 计 算 简 图 及 简 化 要 点 选 择 计 算 简 图 的 原 则 是 : (1) 从 实 际 出 发 计 算 简 图 要 反 应 实 际 结 构 的 主 要 性 能 ; (2) 分 清 主 次, 略 去 细 节 计 算 简 图 要 便 于 计 算 简 化 过 程 : <1> 结 构 的 简 化 : 杆 件 以 其 纵 轴 线 表 示 如 : 梁 柱 直 线 ; 曲 杆 拱 曲 线 <2> 结 点 的 简 化 : 铰 结 点 : 各 杆 可 分 别 绕 其 转 动 M=0 ( 杆 件 联 结 区 ) 刚 结 点 : 各 杆 转 角 相 同, 没 有 不 完 全 相 交 <3> 支 座 的 简 化 可 动 铰 支 座 ( 结 构 与 基 础 联 系 的 装 置 ) 固 定 铰 支 座 固 定 支 座 定 向 支 座 <4> 荷 载 的 简 化 : 简 化 为 作 用 在 纵 轴 线 上 的 线 荷 载 q, 集 p 或 力 偶 注 :1 结 构 体 系 的 简 化 : 空 间 平 面 2 材 料 性 质 的 简 化 : 对 组 成 构 件 的 材 料 一 般 假 设 为 连 续 均 匀 各 向 同 性 完 全 弹 性 或 弹 塑 性 的 例 1 1 吊 车 梁 轴 线 2L( 梁 与 柱 接 触 面 中 心 q P1 P2 2

间 距 ) 3 支 座 ( 梁 搁 于 柱 上 可 微 转 ) 4 荷 载 : 自 重 q 轮 压 例 2 钢 屋 顶 桁 架, 结 点 焊 接 P 1 P 2 结 构 简 化 : 杆 件 以 轴 线 代 替, 且 认 为 位 于 同 一 平 面 内 并 经 过 结 点 中 心 注 : 木 屋 架 : 结 点 较 接 近 于 铰 结 点 钢 屋 架 : 实 际 焊 接 点 上 各 杆 间 夹 角 是 不 会 改 变 的 但 据 力 学 分 析 可 证 明 : 桁 架 在 结 点 p 下, 主 要 是 轴 力, 所 以 刚 结 点 所 起 作 用 与 铰 结 点 相 近, 故 可 简 化 为 铰 接 桁 架, 且 便 于 计 算 例 3 门 式 刚 架 : 预 制 厂 形 构 件, 插 入 杯 口 基 础 310 670 310 沥 青 麻 丝 ( 细 石 砼 ) 670 ( ) ( ) 900 900 900 例 4 钢 筋 砼 单 层 工 业 厂 房, 由 空 间 简 化 平 面 a) 例 4 钢 筋 砼 单 层 工 业 厂 房, 由 空 间 简 化 平 面 a) b) c) 3

实 杆 代 替 桁 架 ( 方 便 ) 予 埋 钢 板, 吊 装 后 焊 接 能 否 单 独 取 出 取 决 于 其 与 竖 柱 的 联 系 方 式 1-3 杆 件 结 构 的 分 类 几 种 主 要 类 型 : 1 梁 : 受 弯 构 件, 轴 线 常 为 直 线, 可 单 跨 多 跨 a) b) 2 拱 : 轴 线 为 曲 线, 竖 向 荷 载 下 有 水 平 反 力 3 刚 架 : 梁 柱 组 成, 有 刚 结 点,M 为 主 要 内 力 4 桁 架 : 直 杆 组 成, 均 为 铰 结 点 P 结 点 下 只 产 生 N, 此 时 各 杆 为 二 力 杆 4

5 组 合 结 构 : 部 分 受 N, 由 桁 架 和 梁 或 刚 架 组 合 概 念 : 作 用 于 结 构 的 外 力 如 : 自 重 风 压 力 等 设 计 依 据 : 过 大 浪 费 1-4 荷 载 的 分 类 过 小 不 安 全 设 计 中 : 各 种 荷 载 组 合, 取 不 利 荷 载 组 合 分 类 : (1) 据 荷 载 分 布 情 况 可 分 : (2) 据 作 用 时 间 分 : 集 中 荷 载 P( 分 布 面 远 小 于 结 构 尺 寸 ) 分 布 荷 载 q( 分 布 均 匀 时 ) 恒 载 : 长 期 作 用 于 结 构 的 不 变 荷 载 如 : 自 重 土 压 力 活 载 可 分 为 :a) 可 动 载 : 如 : 人 群 风 雪 b) 移 动 载 : 如 : 吊 车 轮 压 指 平 行 且 间 距 不 变 (3) 据 活 载 作 用 的 性 质 分 : 静 力 荷 载 : 不 随 时 间 变 化 或 变 化 极 为 缓 慢 的 荷 载 动 力 荷 载 : 随 时 间 迅 速 变 化 或 短 暂 时 段 内 突 然 作 用 或 消 失 的 荷 载 使 结 构 产 生 显 著 加 速 度, 惯 性 力 不 能 忽 略 5

第 二 章 平 面 杆 件 结 构 的 几 何 组 成 分 析??? 本 章 问 题 : A. 什 么 是 几 何 不 变 体 系 和 几 何 可 变 体 系? B. 什 么 是 自 由 度? C. 什 么 是 刚 片? D. 什 么 是 多 余 约 束? E. 什 么 是 瞬 变 体 系? 瞬 铰? F. 什 么 是 三 刚 片 规 则? 两 刚 片 规 则? 二 元 体 规 则? G. 什 么 是 静 定 结 构? 超 静 定 结 构? 前 言 : 静 定 结 构 : 其 几 何 特 征 是 无 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系 (1) 若 静 定 结 构 撤 销 约 束 或 不 适 当 的 更 改 约 束 配 置 可 以 使 其 变 成 可 变 体 系, (2) 增 加 约 束 又 可 以 使 其 成 为 有 多 余 约 束 的 不 变 体 系 ( 即 超 静 定 结 构 ) 因 此, 熟 练 掌 握 静 定 结 构 的 组 成 规 则, 不 仅 可 以 正 确 地 确 定 超 静 定 结 构 中 的 多 余 约 束 数, 而 且 可 以 正 确 地 通 过 减 少 约 束 使 超 静 定 结 构 变 成 静 定 结 构 ( 而 不 是 可 变 体 系 ) 2-1 平 面 体 系 的 基 本 概 念 1 自 由 度 : 指 该 体 系 运 动 时, 用 来 确 定 其 位 置 所 需 独 立 坐 标 数 目 分 析 : y y A A φ B O x O x 点 A 由 x y 确 定, 故 w=2 ; 刚 片 由 x y ϕ 确 定, 故 w=3 2 联 系 ( 约 束 ): 减 少 自 由 度 的 装 置 称 约 束 y y y y O x O x O x O x 可 见 :1 一 个 链 杆 或 一 个 支 杆 减 少 一 个 自 由 度 相 当 于 一 个 约 束 6

2 一 单 铰 或 固 定 铰 支 座 减 少 两 个 自 由 度, 相 当 于 两 个 约 束 3 一 刚 性 杆 或 固 定 铰 支 座 减 少 三 个 自 由 度 相 当 于 三 个 约 束 注 : 一 单 铰 也 相 当 于 两 相 交 链 杆 的 约 束 作 用 多 余 约 束 : 若 一 个 体 系 中 增 加 一 个 约 束, 体 系 的 自 由 度 并 不 因 而 减 少 则 称 该 体 系 为 几 何 不 变 体 系 必 要 约 束 : 除 去 约 束 后, 体 系 的 自 由 度 将 增 加. 在 有 多 余 约 束 的 系 统 中, 什 么 约 束 是 多 余 的 和 必 要 的, 答 案 并 不 唯 一 3 虚 铰 ( 瞬 铰 ): 连 接 两 刚 片 的 两 链 杆 的 延 长 线 之 交 点 O 称 虚 铰, 即 转 动 瞬 心 4 自 由 度 计 算 公 式 : w = 3m 2n r w > 0 w = 0 可 变 w = 2 j b r w < 0 有 多 余 约 束 需 按 规 则 分 析 2-2 静 定 结 构 组 成 规 则 众 所 周 知, 当 三 条 边 能 组 成 三 角 形 时, 所 组 成 的 三 角 形 形 状 是 唯 一 的, 这 是 静 定 结 构 组 成 规 则 的 基 本 出 发 点 由 此 基 本 点 出 发, 可 得 如 下 构 造 静 定 结 构 的 规 则 ( 统 称 为 三 角 形 规 则 ): 一 两 刚 片 的 组 成 规 则 : 2 刚 片 原 w 为 6, 组 成 一 个 则 w 为 3, 需 减 少 3 个 自 由 度, 即 增 加 3 个 联 系 I II O O 为 虚 铰 也 称 转 动 瞬 心 7

[ 规 则 一 ]: 两 刚 片 用 不 全 交 于 一 点 也 不 全 平 行 的 三 链 杆 相 联 则 组 成 无 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系 二 三 刚 片 组 成 规 则 : 布 置 为 原 w 为 9, 现 为 3, 应 加 6 个 联 系 原 则 : 三 定 长 直 线 只 能 作 一 个, 为 几 何 不 变 或 每 铰 由 二 链 杆 代 替 [ 规 则 二 ]: 三 刚 片 用 不 在 同 一 直 线 上 的 三 个 铰 两 两 相 联 所 组 成 的 体 系 为 几 何 不 变 三 在 一 个 体 系 上 增 加 或 拆 去 二 元 体 二 元 件 : 指 两 不 在 同 一 直 线 上 的 链 杆 联 结 一 个 新 结 点 的 装 置 分 析 : 一 个 结 点 自 由 度 为 2, 两 不 同 线 的 链 杆 联 系 为 2, 故 增 或 拆 去 一 个 二 元 体 对 体 系 自 由 度 无 影 响 [ 规 则 三 ]: 在 一 个 体 系 上 增 加 或 撤 去 一 个 二 元 体, 不 改 变 体 系 的 几 何 组 成 性 质 特 殊 体 系 : 1 瞬 变 体 系 : 在 某 一 瞬 间 可 产 生 微 小 运 动 的 体 系 如 :1 两 刚 片 : I II O I II 绕 O 相 对 转 动, 但 微 转 动 后, 杆 不 再 交 于 一 点 三 I II 若 三 杆 不 等 长, I II 可 沿 与 杆 垂 直 方 向 发 生 相 对 移 动, 微 动 后, 三 杆 不 再 平 行 8

2 三 刚 片 II C III I C 点 可 沿 公 切 线 作 微 小 移 动 后 三 铰 不 同 线 2 可 变 体 系 I II I II 平 行 且 等 长, 永 远 平 行 3 瞬 变 体 系 不 可 作 结 构 ( 因 为 杆 内 产 生 很 大 的 内 力 和 变 形 ) a) b) P S P S C P Y = 0 S = 2sinϕ φ 当 ϕ 0 时, S C 4 规 则 中 指 明 最 低 联 系 数 目 a) 少 于 规 则 中 数 目, 几 何 可 变 (a) b) 多 于 规 则 中 数 目, 有 多 余 联 系 9

(b) [ 例 题 1] 分 析 下 图 所 示 体 系 的 几 何 组 成 (a) (b) 例 题 1 图 解 : 将 折 杆 AD 看 成 链 杆, 其 约 束 作 用 与 连 接 A D 两 点 的 直 链 杆 相 同, 用 直 链 杆 代 替 后 如 图 b 所 示 二 刚 片 三 杆 相 连, 三 杆 交 于 一 点 构 成 虚 铰, 故 原 体 系 为 瞬 变 体 系 若 将 B 点 链 杆 换 成 水 平 链 杆, 则 可 使 原 体 系 变 为 静 定 结 构 ; 若 在 B 点 加 一 个 水 平 链 杆, 则 得 到 有 一 个 多 余 约 束 的 超 静 定 结 构 当 然 还 有 其 他 多 种 选 择, 可 使 原 来 的 可 变 体 系 变 为 静 定 结 构 2-3 体 系 的 分 类 1 根 据 其 几 何 可 变 性, 杆 件 体 系 可 分 为 几 何 不 变 和 几 何 可 变 的 体 系 : 无 多 余 约 束 ( 图 a 静 定 ) 几 何 不 变 体 系 有 多 余 约 束 ( 图 e f 超 静 定 ) ( 形 状 位 置 不 变 ) 杆 件 体 系 几 何 可 变 体 系 常 变 体 系 ( 图 b c 机 构 ) ( 形 状 位 置 可 变 ) 瞬 变 体 系 ( 图 d) 杆 件 体 系 可 变 性 10

体 系 上 图 中 只 能 发 生 瞬 时 微 小 变 化 的 图 d 所 示 体 系 称 为 瞬 变 的, 而 图 b c 所 示 机 构 则 称 为 常 变 2 根 据 静 力 特 征, 结 构 可 分 为 静 定 和 超 静 定 的, 前 者 可 由 平 衡 方 程 确 定 全 部 未 知 约 束 反 力 和 内 力 ; 后 者 则 不 能 : 结 论 : 不 同 静 力 特 征 的 结 构 ( 分 静 定 结 构 和 超 静 定 结 构 两 部 分 ) 其 分 析 计 算 方 法 是 不 同 的 因 此, 要 正 确 分 析 必 须 首 先 准 确 无 误 地 判 断 体 系 的 可 变 性 以 及 静 定 和 超 静 定 性 质 结 论 : 在 分 析 与 基 础 用 一 铰 和 一 不 通 过 铰 的 链 杆 ( 或 三 个 不 交 于 一 点 不 全 部 平 行 的 链 杆 ) 相 连 的 体 系 时, 只 需 分 析 去 掉 与 基 础 相 连 的 约 束 后 的 部 分 习 惯 上 称 为 分 析 体 系 的 内 部 可 变 性 2-4 结 论 与 讨 论 1 结 论 : (1) 要 灵 活 运 用 三 角 形 规 则 可 构 造 各 种 静 定 结 构 注 意 结 构 的 组 装 顺 序 和 受 力 分 析 次 序 是 密 切 相 关 的 (2) 超 静 定 结 构 可 通 过 合 理 地 减 少 多 余 约 束 使 其 变 成 静 定 结 构 这 时 要 注 意 规 则 的 限 制 条 件, 也 即 产 生 可 变 的 条 件 (3) 静 定 结 构 和 超 静 定 结 构 的 受 力 等 分 析 方 法 是 不 同 的, 正 确 区 分 静 定 超 静 定, 正 确 判 定 超 静 定 结 构 的 多 余 约 束 数 对 以 后 的 分 析 十 分 重 要 (4) 应 用 三 角 形 规 则 分 析 一 个 体 系 可 变 性 时, 应 注 意 刚 体 形 状 可 任 意 改 换 按 照 找 大 刚 体 ( 或 刚 片 ) 减 二 元 体 去 支 座 分 析 内 部 可 变 性 等, 使 系 统 得 到 最 大 限 度 简 化 后, 再 应 用 三 角 形 规 则 分 析 (5) 当 计 算 自 由 度 W > 0 时, 系 统 一 定 是 可 变 的 但 W 0 仅 是 体 系 几 何 不 变 的 必 要 条 件 2 讨 论 (1) 在 三 刚 片 三 铰 体 系 中, 有 无 穷 远 虚 铰 的 情 形 应 视 不 同 情 形 区 别 对 待 例 如 图 示 为 有 一 个 虚 铰 在 无 穷 远 处 的 体 系, 若 将 刚 片 Ⅰ 用 链 杆 AB 代 替 则 得 图 示 两 刚 片 体 系 若 三 链 杆 平 行 且 等 长 则 为 常 变 体 系 ; 三 链 杆 平 行 但 不 等 长 则 为 瞬 变 体 系 ; 三 链 杆 不 平 行 则 为 不 变 体 系 (a) (b) 三 刚 片 三 铰 体 系 中 有 无 穷 远 虚 铰 的 情 形 A (2) 杆 件 体 系 可 变 性 分 析, 实 质 上 是 刚 体 系 的 运 动 可 能 性 分 析 问 题 因 此 可 从 任 一 不 动 点 ( 内 部 可 变 性 时 设 某 部 件 不 动 ) 开 始, 根 据 连 接 情 况 和 理 论 力 学 运 动 学 知 识, 逐 杆 分 析, 最 终 看 能 否 产 生 运 动 B 11

第 三 章 静 定 结 构 受 力 分 析??? 本 章 的 问 题 : A. 各 种 结 构 的 受 力 分 析? B. 梁 的 荷 载 与 内 力 之 间 的 微 分 关 系? C. 如 何 寻 找 脱 离 体? 脱 离 体 上 的 内 力 有 哪 些? D. 静 定 多 跨 梁 的 分 析 过 程 和 受 力 过 程 的 异 同? E. 刚 架 刚 结 点 的 特 点? F. 桁 架 所 受 的 内 力 特 点? 桁 架 内 力 的 计 算 方 法? G. 拱 的 受 力 特 点? 如 何 求 解 拱 的 内 力 公 式? H. 组 合 结 构 的 受 力 特 点? 求 解 的 计 算 过 程? 3-1 绪 论 静 定 结 构 的 受 力 分 析, 主 要 是 确 定 各 类 结 构 ( 梁 刚 架 桁 架 拱 和 组 合 结 构 等 ) 由 荷 载 所 引 起 的 内 力 和 相 应 的 内 力 图 本 章 将 在 理 论 力 学 的 受 力 分 析 和 材 料 力 学 的 内 力 分 析 的 基 础 上, 分 析 静 定 结 构 的 内 力 主 要 是 应 用 结 点 法 截 面 法 和 内 力 与 荷 载 间 的 平 衡 微 分 关 系 来 确 定 各 种 静 定 结 构 的 内 力 和 内 力 图 3-2 弹 性 杆 内 力 分 析 回 顾 和 补 充 1 材 料 力 学 内 容 回 顾 材 料 力 学 中 关 于 杆 件 内 力 分 析 的 要 点 有 : (1) 内 力 符 号 规 定 : 轴 力 F, 拉 为 正, 压 为 负 ; 剪 力 F 使 截 开 部 分 产 生 顺 时 针 旋 转 者 为 N 正, 反 之 为 负 ; 梁 的 弯 矩 M 使 杆 件 下 侧 受 拉 为 正, 反 之 为 负 (2) 求 内 力 的 方 法 截 面 法 : 用 假 想 截 面 将 杆 截 开, 以 截 开 后 受 力 简 单 部 分 为 研 究 对 Q Q q(x) M M+dM dx Q+dQ 象, 由 平 衡 条 件 求 得 内 力 (3) 内 力 图 : 以 x 表 示 梁 中 某 一 截 面 位 置, 则 该 截 面 上 的 内 力 可 用 x 的 函 数 来 表 示, 据 此 作 的 图 形 叫 内 力 图 取 梁 中 一 微 段 dq( x) 得 Y = 0 Q ( Q + dq) q( x) dx = 0 = q( x) dx dx dm ( x) M = 0 M ( M + dm ) + Qdx q( x) dx = 0 = Q( x) 2 dx 右 12

2 d M ( x) 2 dx = q( x) 得 到 内 力 图 与 荷 载 的 关 系 : (1) 在 无 荷 载 区 段 Θ q = 0 Q = 常 数 M 为 x 的 一 次 函 数 ; (2) 在 均 载 区 段 Θ q = 常 数 Q 为 一 次 函 数, M 为 二 次 函 数 ; (3) 荷 载 为 直 线 分 布 Θ q = x Q 为 二 次 函 数, M 为 三 次 函 数 ; (4) 集 中 荷 载 作 用 点 处,Q 图 突 变,M 图 转 折 ; (5) 集 中 力 矩 作 用 点 处,M 图 突 变,Q 图 无 变 化 ; (6) 分 布 载 两 端 处,M 图 的 直 线 段 与 曲 线 段 在 此 处 相 切 ; (7) 铰 支 端 有 集 中 m 时, 其 M=m, 无 m 时, 则 M=0; (8) 自 由 端 受 P 时 Q=P M=0 无 P 时 Q=0 M=0 (4) 内 力 图 作 法 区 段 叠 加 法 作 弯 矩 图 叠 加 法 的 步 骤 为 : (1) 首 先 确 定 只 有 杆 端 弯 矩 作 用 时 的 弯 矩 图 这 时 根 据 两 端 截 面 上 的 弯 矩, 因 为 杆 上 无 荷 载, 因 此 弯 矩 图 为 直 线 (2) 在 直 线 弯 矩 图 的 基 础 上, 叠 加 其 余 各 种 荷 载 作 用 引 起 的 简 支 梁 弯 矩 图 也 就 是 原 杆 段 的 弯 矩 图 上 述 这 种 作 弯 矩 图 的 方 法 称 作 区 段 叠 加 法 (section superposition method) 需 要 注 意 的 是, 叠 加 时 是 弯 矩 的 代 数 值 相 加, 也 即 图 形 纵 坐 标 相 加 区 段 叠 加 法 不 仅 能 用 来 做 弯 矩 图, 也 一 样 可 用 于 作 其 他 内 力 图 为 能 快 速 进 行 区 段 叠 加, 必 须 熟 悉 简 支 梁 在 各 种 荷 载 作 用 下 的 弯 矩 图 叠 加 法 的 应 用 : 小 变 形 情 况 下, 复 杂 荷 载 引 起 的 内 力, 可 由 简 单 荷 载 引 起 的 内 力 叠 加 确 定 2 结 构 力 学 与 材 料 力 学 规 定 的 异 同 (1) 结 构 力 学 中 一 些 规 定 和 材 料 力 学 规 定 相 比, 需 要 强 调 指 出 的 是 : 轴 力 和 剪 力 的 符 号 规 定 同 材 料 力 学, 轴 力 拉 为 正, 剪 力 使 截 面 顺 时 针 转 动 为 正 (2) 结 构 力 学 中 规 定 AB 杆 A 端 的 杆 端 弯 矩 记 作 M,B 端 的 杆 端 弯 矩 记 作 M 习 惯 上 规 定 杆 端 弯 矩 顺 时 针 为 正, 反 之 为 负 杆 端 轴 力 和 杆 端 剪 力 的 标 记 方 法 和 杆 端 弯 矩 相 同, 例 如 :A 端 的 杆 端 轴 力 和 杆 端 剪 力 分 别 记 为 和, 其 正 负 号 规 定 和 材 料 力 学 相 同 AB F N AB F QAB (3) 结 构 力 学 弯 矩 图 必 须 画 在 杆 件 纤 维 受 拉 的 一 侧, 弯 矩 图 上 不 标 正 负 号 BA 13

3 基 本 方 法 : 应 用 截 面 法 ( 包 括 截 取 结 点 ), 也 即 切 取 隔 离 体, 列 平 衡 方 程 求 未 知 力 4 受 弯 结 构 作 内 力 图 顺 序 材 料 力 学 中, 一 般 是 先 作 剪 力 图, 再 作 弯 矩 图 而 在 结 构 力 学 中, 对 梁 和 刚 架 等 受 弯 结 构 作 内 力 图 的 顺 序 为 : 1) 一 般 先 求 反 力 ( 不 一 定 是 全 部 反 力 ) 2) 利 用 截 面 法 求 控 制 截 面 弯 矩 以 便 将 结 构 用 控 制 截 面 拆 成 为 杆 段 ( 单 元 ) 3) 在 结 构 图 上 利 用 区 段 叠 加 法 作 每 一 单 元 的 弯 矩 图, 从 而 得 到 结 构 的 弯 矩 图 4) 以 单 元 为 对 象, 对 杆 端 取 矩 可 以 求 得 杆 端 剪 力, 在 结 构 图 上 利 用 微 分 关 系 作 每 单 元 的 剪 力 图, 从 而 得 到 结 构 剪 力 图 需 要 指 出 的 是, 剪 力 图 可 画 在 杆 轴 的 任 意 一 侧, 但 必 须 标 注 正 负 号 5) 以 未 知 数 个 数 不 超 过 两 个 为 原 则, 取 结 点 由 平 衡 求 单 元 杆 端 轴 力, 在 结 构 图 上 利 用 微 分 关 系 作 每 单 元 的 轴 力 图, 作 法 和 剪 力 图 一 样, 从 而 得 到 结 构 轴 力 图 综 上 所 述, 结 构 力 学 作 内 力 图 顺 序 为 先 区 段 叠 加 作 M 图, 再 由 M 图 作 F 图 作 图 需 要 指 出 的 是, 这 种 作 内 力 图 的 顺 序 对 于 超 静 定 结 构 也 是 适 用 的 F N Q 图, 最 后 由 F 还 要 指 出 的 是, 这 种 作 内 力 图 的 过 程 对 于 只 有 少 数 杆 件 的 结 构, 与 材 料 力 学 中 作 内 力 图 的 方 法 相 比 显 得 较 为 繁 琐, 但 对 于 由 多 个 杆 件 组 成 的 结 构, 其 优 势 是 明 显 的 Q 1 两 种 基 本 组 成 型 式 a) 3-4 静 定 多 跨 梁 受 力 分 析 b) 2 分 基 本 部 分 + 附 属 部 分 ( 解 释 概 念 ) 由 一 些 可 能 的 基 本 部 件 如 图 示 : 按 静 定 结 构 组 成 规 则 组 合 而 成 杆 轴 共 线 的 受 弯 结 构, 称 为 多 跨 静 定 梁 (multi-span statically determinate beam) 能 独 立 ( 不 需 要 其 他 部 件 支 撑 ) 承 担 荷 载 的 部 件 称 为 基 本 部 分 (fundamental part) 否 则, 需 要 其 他 部 件 的 支 撑 才 能 承 担 荷 载 的, 称 为 附 属 部 分 14

总 之, 作 用 在 附 属 部 分 上 的 荷 载 将 使 基 本 部 分 产 生 反 力 和 内 力 ; 而 作 用 在 基 本 部 分 上 的 荷 载 对 附 属 部 分 没 影 响 据 此, 计 算 多 跨 静 定 梁 时 应 先 从 附 属 部 分 开 始, 按 组 成 顺 序 逆 过 程 进 行 注 : 有 特 殊 情 况, 如 附 属 部 分 局 部 平 衡 时, 基 本 部 分 上 不 受 力 3 层 次 图 : 表 达 力 的 传 递 过 程 : P2 A P1 B C D E P3 F P3 A P1 B C P2 D E F 4 计 算 原 则 : 先 附 属 部 分, 后 基 本 部 分 5 关 于 挠 度 图 的 勾 画, 需 要 说 明 以 下 三 点 :1) 因 为 弯 矩 图 是 画 在 杆 件 纤 维 受 拉 侧 的, 因 此 若 弯 矩 图 在 杆 轴 上 侧, 挠 曲 线 应 该 是 凸 的 反 之, 弯 矩 在 轴 线 下 方, 则 挠 曲 线 是 凹 的 2) 所 勾 画 的 挠 曲 线 必 须 符 合 支 座 处 的 位 移 约 束 条 件 3) 弯 矩 的 零 点 应 该 是 挠 曲 线 的 反 弯 点 3-5 静 定 平 面 刚 架 刚 架 也 称 框 架, 是 工 程 中 最 常 见 的 结 构 形 式 之 一 分 : 单 体 刚 架 三 铰 刚 架 基 本 - 附 属 关 系 1 特 征 : 由 梁 柱 组 成 1 从 变 形 角 度 看 : 刚 结 点 处 各 杆 不 发 生 相 对 转 动 故 各 杆 间 夹 角 保 持 不 变 2 从 受 力 角 度 看 : 刚 结 点 可 承 受 和 传 递 弯 矩,M 为 主 要 内 力,M 分 布 均 匀 省 料 15 桁 架

2 应 用 刚 架 具 有 刚 结 点, 杆 数 较 少, 内 部 空 间 大, 直 杆 组 成, 内 力 峰 值 相 对 梁 减 少 3 内 力 计 算 : 方 法 一 :1 求 支 反 力 X = 0 M 2 逐 杆 考 虑, 取 隔 离 体 用 Y = 0 求 各 控 制 点 Q 3 作 内 力 图 方 法 二 :1 求 支 反 力 2 取 隔 离 体, 先 绘 M 图 M = 0 N 3 在 结 点 或 支 座 处 截 开, 每 个 杆 件 分 别 求 杆 端 Q 图 后 拼 在 一 起 得 Q 图 4 据 Q 图 取 结 点 平 衡 求 杆 端 N, 绘 N 图 例 题 见 教 材, 重 点 习 题 课 (1) 单 体 刚 架 的 分 析 计 算 过 程 和 多 跨 静 定 梁 类 似 但 需 注 意 : 对 悬 臂 式 单 体 刚 架, 只 要 取 悬 臂 端 部 分 作 受 力 图, 用 平 衡 方 程 求 控 制 截 面 弯 矩 即 可 否 则, 应 先 求 反 力 ( 不 一 定 都 求 ) 再 求 控 制 截 面 弯 矩, 最 后 用 区 段 叠 加 法 做 弯 矩 图, 进 一 步 按 作 内 力 图 顺 序 作 剪 力 和 轴 力 图 (2) 三 铰 刚 架 (frame with three hinges): 三 铰 刚 架 是 由 两 个 单 体 刚 架 像 三 铰 拱 一 样 用 三 个 铰 组 成 的 静 定 结 构 因 为 杆 轴 都 是 直 线, 因 此 分 析 过 程 比 三 铰 拱 还 要 简 单 关 键 在 求 反 力 : 首 先 以 整 体 为 平 衡 对 象, 对 底 铰 取 矩 ; 以 部 分 为 平 衡 对 象 时, 对 顶 铰 取 矩, 即 可 解 决 反 力 计 算 (3) 有 基 本 - 附 属 关 系 的 刚 架 (frame with fundamental and accessory part) 这 类 刚 架 的 分 析 过 程 与 多 跨 静 定 梁 一 样, 首 先 分 析 什 么 是 基 本 和 附 属 部 分, 然 后 按 先 分 析 附 属 部 分 后 分 析 基 本 部 分 的 顺 序 作 计 算, 此 时 应 注 意 各 部 分 之 间 的 作 用 - 反 作 用 关 系 16

3-6 组 合 结 构 部 分 杆 件 为 链 杆 其 余 杆 件 又 属 于 弯 曲 杆 ( 梁 式 杆 ) 的 结 构, 称 为 组 合 结 构 链 杆 只 有 轴 力, 而 弯 曲 杆 有 弯 矩 剪 力 轴 力 三 个 内 力 对 下 图 所 示 联 合 型 组 合 结 构, 一 般 先 求 联 系 杆 轴 力 ; 再 求 其 他 桁 架 杆 内 力 ; 最 终 求 弯 曲 杆 内 力, 这 时 相 关 的 桁 架 杆 内 力 视 为 外 力 其 他 形 式 组 合 结 构, 按 组 成 相 反 顺 序 原 则 进 行 分 析, 当 切 断 弯 曲 杆 时 要 暴 露 三 个 力 下 图 给 出 了 一 种 组 合 结 构 计 算 机 分 析 结 果 示 例 可 在 求 得 支 座 反 力 后, 用 截 面 法 截 断 6-7 杆 和 拆 开 4 处 的 铰 来 求 6-7 杆 的 轴 力, 再 求 其 他 桁 架 杆 的 轴 力, 然 后 以 421 和 135 为 平 衡 对 象 6N.m 20N.m 20N/m 10N.m 4 2 1 3 5 30N/m 60N 6 8x1m 7 8m 44.5 34.5 24.5 29 4 16.5 2 1 3 5 19.5 22.5 2m 结 构 荷 载 挠 度 ( 虚 线 ) 39 39. 5 6 7 求 2 3 点 的 截 面 控 制 弯 矩, 最 后 用 微 分 关 系 即 可 复 核 弯 曲 杆 弯 矩 图 的 正 确 性 3-7 桁 架 结 构 内 力 分 析 1 桁 架 结 构 (truss structure) 桥 梁 电 视 塔 网 架 等 一 些 杆 轴 交 于 一 点 的 工 程 结 构 经 抽 象 简 化 后, 其 计 算 简 图 都 可 化 成 只 受 结 点 荷 载 作 用 的 直 杆 铰 结 体 系, 这 种 桁 架 结 构 的 受 力 特 性 是 结 构 内 力 只 有 轴 力, 而 没 有 弯 矩 和 剪 力 理 论 和 实 验 结 果 都 证 明, 这 一 受 力 特 性 反 映 了 实 际 结 构 的 主 要 因 素, 因 此 轴 力 又 称 为 主 内 力 (primary internal forces) 实 际 结 构 中 由 于 结 点 非 理 想 铰 结 等 原 因, 还 同 时 产 生 弯 矩 剪 力, 但 这 两 种 内 力 相 对 于 轴 力 的 影 响 是 很 小 的, 故 称 为 次 内 力 (secondary internal forces) 因 此, 求 桁 架 内 力 均 可 取 铰 结 的 计 算 简 图 2 桁 架 结 构 的 特 性 1 特 征 : 结 点 P 下, 杆 内 力 主 要 是 轴 向 力 M Q 忽 略 不 计 2 计 算 简 图 : 力 学 观 点 看, 各 结 点 相 当 于 理 想 铰 17

节 间 上 弦 腹 杆 ( 斜 杆 ) 下 弦 竖 杆 假 定 :1 各 杆 在 两 端 用 绝 对 光 滑 无 摩 擦 的 理 想 铰 相 互 联 系 ; 2 各 杆 轴 线 绝 对 为 平 直 线, 且 处 于 同 一 平 面 内 通 过 铰 中 心 ; 3 荷 载 和 支 反 力 都 作 用 于 结 点, 并 位 于 桁 架 平 面 内 注 :1 二 力 杆 : 杆 上 无 P, 只 受 N 2 实 际 桁 架, 初 应 力 ( 基 本 应 力 ): 按 理 想 桁 架 计 算 的 应 力 次 应 力 ( 不 讨 论 ): 不 理 想 桁 架, 产 生 的 附 加 应 力 3 桁 架 结 构 的 分 类 : 简 单 桁 架 : 由 基 础 或 Δ 开 始 增 加 二 元 体 联 合 桁 架 : 由 几 个 简 单 桁 架 按 规 则 联 成 的 复 杂 桁 架 : 既 不 是 简 单 桁 架 也 不 是 联 合 桁 架 的 铰 结 体 系 平 面 桁 架 (plane truss) 空 间 桁 架 (space truss) 拱 式 桁 架 梁 式 桁 架 3 计 算 方 法 : 结 点 法 截 面 法 联 合 法 注 : 设 拉 力 为 正, 压 力 为 负 (1) 结 点 法 : 取 结 点 为 隔 离 体 例 X = 0 Y = 0 18

N 1 力 的 关 系 : = l N l x x = N l y y 2 零 杆 判 断 : N1=N2=0 N1 共 线 N2 N1=0 结 构 对 称 轴 N2=0 N3=0 X = 0 (2) 截 面 法 : 截 面 截 取 一 部 分 为 隔 离 体 用 : Y = 0 M = 0 3-8 三 铰 拱 受 力 分 析 轴 线 为 曲 线 仅 在 竖 向 荷 载 下 能 产 生 水 平 反 力 ( 推 力 ) 的 结 构 称 为 拱 下 图 所 示 为 拱 结 构 的 工 程 实 例 (a) 拱 桥 (b) 伦 敦 利 物 浦 大 街 跨 越 铁 道 站 台 BEH 办 公 楼 19

1 拱 式 结 构 的 特 征 : 1) 型 式 超 静 定 静 定 2) 特 点 :1 杆 轴 为 曲 线 2P 竖 下 支 座 产 生 水 平 支 反 力 ( 推 力 ) 3 与 梁 区 别 3) 受 力 特 点 : 有 H, M 拱 <M 梁, 拱 主 要 受 压 优 点 : 用 料 省 且 可 跨 越 较 大 的 空 间 缺 点 : 构 造 复 杂 2 三 铰 拱 : 1) 概 述 拱 顶 f 拱 高 f/l- 高 跨 比 ( 影 响 拱 的 主 要 力 学 性 能 ) 拱 趾 l 跨 度 20

2) 计 算 公 式 : (1) 支 反 力 计 算 公 式 a1 X P1 K a2 a3 φ b1 P2 b2 P3 b3 M B = 0 M A = 0 V V A B = = Pb l l i i P a i i A Y f X = 0 H A = H B = H 取 C 左 半 跨 M C = 0 VAl1 P1 ( l1 a1) P2 ( l2 a2 ) Hf = 0 l1 l l2 H V = l P l a1) P2 ( l f A 1 1( 1 1 2 ) a 与 简 支 梁 相 比 V = o o A V A o M c V B = V B H = f H, f H ; f 0 H f ; 瞬 变 (2) 内 力 计 算 公 式 : 任 取 一 截 面 K,XK YK δk i 弯 矩 计 算 公 式 :( 规 定 拱 内 侧 受 拉 力 +, 反 之 为 - ) 取 AK P1 M K Q N [ V x P ( x a ] M = 0 M = A A 1 1) Hy 即 M = M o Hy HA A VA ii 剪 力 计 算 公 式 ( 以 使 隔 离 体 顺 时 针 为 正 ) Q = V P H A cosϕ 1 cosϕ sinϕ = ( A 1)cosϕ V P H sinϕ 21

o 即 Q Q cosϕ H sinϕ ( = iii 轴 力 计 算 公 式 ( 以 压 为 正, 拉 为 负 ) ϕ 在 左 半 拱 为 正, 反 之 为 负 ) N = ( V P1 )sinϕ + H cosϕ = Q sinϕ + H cosϕ A o 举 例. 作 三 铰 拱 的 内 力 图, 一 般 8(10) 等 分 步 骤 :1 求 支 反 力 2 用 公 式 求 等 分 截 面 内 力 3 连 线 3 合 理 拱 轴 线 使 拱 在 给 定 荷 载 下 只 产 生 轴 力 的 拱 轴 线, 被 称 为 与 该 荷 载 对 应 的 合 理 拱 轴 (reasonable axis of arch) 当 拱 轴 线 为 合 理 拱 轴 时, 拱 截 面 上 只 受 压 力 应 力 均 匀 分 布, 因 此 材 料 能 充 分 发 挥 作 用 0 对 竖 向 荷 载 作 用 的 拱, 令 M = M FH y = 0 可 得 到 合 理 拱 轴 为 y = M 0 FH 梁 弯 矩 图 成 比 例 的 轴 线 为 合 理 拱 轴 因 此 对 满 跨 均 布 荷 载, 合 理 拱 轴 为 二 次 抛 物 线 这 表 明, 与 代 对 非 竖 向 荷 载 作 用 情 形, 例 如 受 静 水 压 力 作 用 的 拱, 可 由 曲 杆 平 衡 方 程 和 合 理 拱 轴 定 义 来 确 定 合 理 拱 轴 对 于 均 匀 静 水 压 力 作 用 下 的 拱, 可 证 明 合 理 拱 轴 为 圆 弧 线 3-9 各 类 结 构 的 受 力 特 点 1 静 定 结 构 解 答 唯 一 性 静 定 结 构 的 内 力 和 反 力 都 可 以 仅 用 平 衡 方 程 确 定, 也 可 用 刚 体 虚 位 移 原 理 来 确 定 应 用 刚 体 虚 位 移 原 理 的 过 程 是, 解 除 与 所 要 求 的 量 相 对 应 的 约 束, 使 静 定 结 构 变 成 单 自 由 度 体 系, 使 内 力 变 成 外 力 ; 然 后 令 单 自 由 度 系 统 产 生 沿 约 束 力 方 向 的 单 位 虚 位 移, 并 计 算 全 部 主 动 力 所 作 的 总 虚 功 ; 最 后 由 总 虚 功 为 零 即 可 求 得 所 要 求 的 量 由 于 静 定 结 构 是 无 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系, 解 除 一 个 与 所 要 求 的 量 相 对 应 的 约 束 并 用 力 代 替 后, 结 构 变 成 单 自 由 度 的 几 何 可 变 体 系, 所 要 求 的 量 变 成 了 主 动 力 因 为 解 除 约 束 后 的 系 统 发 生 单 位 虚 位 移 是 可 能 和 唯 一 的, 因 此 应 用 刚 体 虚 位 移 原 理 的 虚 功 方 程, 自 然 可 以 求 得 唯 一 的 有 限 的 约 束 力 这 表 明, 一 组 满 足 全 部 平 衡 条 件 的 解 答, 就 是 静 定 结 构 的 真 实 解 答 这 是 静 定 结 构 最 基 本 的 性 质 称 作 静 定 结 构 解 答 唯 一 性 2 导 出 的 性 质 根 据 静 定 结 构 解 答 唯 一 性 这 一 基 本 性 质, 可 导 出 静 定 结 构 以 下 的 性 质 : 1) 支 座 移 动 温 度 改 变 制 造 误 差 等 因 素 只 使 结 构 产 生 位 移, 不 产 生 内 力 反 力 2) 结 构 局 部 能 平 衡 外 荷 载 时, 仅 此 部 分 受 力, 其 他 部 分 没 有 内 力 22

3) 结 构 的 一 几 何 不 变 部 分 上 的 外 荷 载 作 静 力 等 效 变 换 时, 仅 使 变 换 部 分 范 围 内 的 内 力 发 生 变 化 4) 结 构 的 一 几 何 不 变 部 分 在 保 持 连 接 方 式 不 变 性 的 条 件 下, 用 另 一 构 造 方 式 的 几 何 不 变 体 代 替, 则 其 他 部 分 受 力 不 变 5) 具 有 基 本 部 分 和 附 属 部 分 的 结 构, 当 仅 基 本 部 分 受 荷 载 时, 附 属 部 分 不 受 力 3 结 论 与 讨 论 1) 结 论 : 通 过 本 章 学 习 应 该 掌 握 下 列 重 要 结 论 : 对 于 静 定 结 构, 只 要 遵 循 求 解 步 骤 与 结 构 组 成 顺 序 相 反, 适 当 选 取 隔 离 体 ( 结 点 或 部 分 ), 利 用 平 衡 条 件, 总 可 求 得 全 部 反 力 和 内 力 受 弯 结 构 的 内 力 以 弯 矩 为 主 弯 矩 图 绘 于 受 拉 侧, 步 骤 为 : 一 般 先 求 反 力, 然 后 分 单 元 ( 杆 段 ), 用 截 面 法 求 控 制 截 面 弯 矩 值, 在 结 构 上 对 各 单 元 由 控 制 弯 矩 单 元 荷 载 用 区 段 叠 加 法 ( 注 意 微 分 关 系 ) 作 弯 矩 图 剪 力 和 轴 力 图 可 在 作 出 弯 矩 图 后 以 单 元 结 点 为 对 象, 用 平 衡 条 件 在 求 得 控 制 剪 力 和 轴 力 后 作 出 通 过 判 断 单 杆 零 杆, 利 用 对 称 性, 以 及 适 当 地 选 取 截 面, 可 使 桁 架 分 析 过 程 大 为 简 化 各 种 结 构 形 式 都 有 自 身 特 点, 桁 架 杆 只 受 轴 力, 根 据 主 要 荷 载 设 计 的 拱 ( 具 有 对 应 此 荷 载 的 合 理 拱 轴 ) 主 要 承 压, 这 两 种 情 形 下 材 料 都 能 充 分 发 挥 作 用 ; 虽 然 弯 曲 正 应 力 在 截 面 形 心 处 很 小, 材 料 不 能 充 分 发 挥 作 用 但 是, 梁 结 构 简 单 刚 架 的 可 用 空 间 大, 设 计 时 要 综 合 考 虑 这 些 因 素, 以 便 合 理 地 确 定 结 构 选 型 对 称 的 结 构, 一 般 利 用 对 称 性 可 使 分 析 得 到 简 化 ; 荷 载 不 对 称 时, 可 将 其 分 成 对 称 荷 载 和 反 对 称 荷 载, 分 别 分 析 计 算 后 叠 加 也 可 利 用 对 称 性 取 一 半 结 构 进 行 分 析 静 定 结 构 满 足 平 衡 要 求 的 解 答 是 唯 一 的 掌 握 由 这 一 基 本 性 质 所 导 出 的 性 质, 可 提 高 分 析 速 度 和 能 力 2) 讨 论 : 复 杂 直 杆 铰 结 体 系 的 组 成 分 析, 当 不 符 合 三 角 形 基 本 规 则 而 计 算 自 由 度 又 等 于 零 时, 可 以 利 用 静 定 结 构 解 答 唯 一 性 进 行 分 析 如 果 无 荷 载 作 用 其 反 力 和 各 杆 轴 力 均 等 于 零 能 满 足 全 部 平 衡 条 件, 体 系 一 定 是 静 定 的 ( 无 多 余 约 束 几 何 不 变 ) 如 果 在 无 荷 载 作 用 的 情 形 下, 体 系 具 有 能 自 相 平 衡 的 自 内 力, 则 体 系 中 一 定 存 在 约 束 配 置 不 合 理, 因 而 肯 定 是 几 何 可 变 的 这 种 分 析 体 系 可 变 性 的 方 法, 称 作 零 载 法 (zero load method) 零 载 法 是 否 仅 适 用 铰 结 体 系? 是 否 也 适 用 于 超 静 定 结 构? 除 零 载 法 外, 是 否 还 能 有 其 他 方 法 确 定 复 杂 体 系 的 可 变 性? 一 些 拱 型 桥 梁 结 构, 为 了 便 于 行 车, 需 填 土 使 桥 梁 顶 面 水 平 对 这 种 受 回 填 土 压 力 作 用 ( 荷 23

载 集 度 与 拱 轴 方 程 有 关 ) 的 拱, 应 该 如 何 确 定 合 理 拱 轴? 它 的 合 理 拱 轴 是 什 么 曲 线? 本 章 只 讲 解 了 静 定 平 面 结 构 的 受 力 分 析, 在 此 基 础 上 应 如 何 将 求 桁 架 内 力 的 结 点 法 截 面 法 等 引 伸 到 空 间 静 定 桁 架? 以 上 提 出 的 问 题 可 供 同 学 们 思 考 第 四 章 静 定 结 构 总 论 4-1 隔 离 体 方 法 及 其 截 取 顺 序 的 优 选 要 点 :1) 截 断 约 束, 取 出 隔 离 体, 暴 露 约 束 力 ; 2) 建 立 平 衡 方 程, 解 出 约 束 力 1. 隔 离 体 的 形 式 约 束 力 及 独 立 平 衡 方 程 1) 隔 离 体 的 形 式 : 结 点, 杆 件, 刚 片, 内 部 几 何 可 变 体 系 或 杆 件 微 段 单 元 2) 约 束 力 的 类 型 : 截 断 链 杆 有 一 个 约 束 力 ; 截 断 单 铰 有 两 个 约 束 力 ; 截 断 简 单 刚 结 ( 或 梁 式 杆 ) 有 三 个 约 束 力 ; 截 断 滚 轴 支 座 铰 支 座 定 向 支 座 固 定 支 座 分 别 有 一 个 两 个 三 个 约 束 力 3) 隔 离 体 的 独 立 平 衡 方 程 个 数 对 隔 离 体 建 立 平 衡 方 程 时, 其 独 立 平 衡 方 程 的 个 数 等 于 隔 离 体 的 自 由 度 的 个 数 注 : 对 隔 离 体 的 平 衡 方 程 应 当 进 行 优 选, 使 求 解 时 尽 量 不 解 或 少 解 联 立 方 程 最 优 情 况 是 : 每 建 立 一 个 新 的 平 衡 方 程 时, 只 出 现 一 个 新 的 未 知 力 对 隔 离 体 分 析 方 法 需 要 深 入 理 解 并 能 灵 活 地 加 以 运 用 2. 计 算 的 简 化 和 隔 离 体 截 取 顺 序 的 优 选 掌 握 了 结 构 的 受 力 特 点, 就 能 简 化 计 算 如 : 桁 架 应 先 识 别 零 杆 或 单 杆 对 称 结 构 在 对 称 荷 载 作 用 下, 反 力 和 内 力 也 是 对 称 的 对 多 跨 梁, 应 先 计 算 附 属 部 分, 然 后 计 算 基 本 部 分 4-2 几 何 构 造 分 析 与 受 力 分 析 之 间 的 关 系 几 何 构 造 分 析 与 受 力 分 析 之 间 存 在 对 偶 的 关 系 24

从 计 算 自 由 度 W 的 力 学 含 义 和 几 何 含 义 看 对 偶 关 系 计 算 自 由 度 W 等 于 各 部 件 的 自 由 度 总 数 与 全 部 约 束 数 差 值 在 受 力 分 析 中, 取 各 部 件 作 为 隔 离 体, 把 各 部 件 的 约 束 切 断, 用 其 约 束 力 来 代 替, 然 后 利 用 隔 离 体 的 平 衡 方 程 求 未 知 的 约 束 力 W 又 等 于 各 部 件 的 平 衡 方 程 总 数 与 未 知 力 总 数 差 值 结 论 : 1) 若 W>0, 则 平 衡 方 程 个 数 大 于 未 知 力 个 数 由 这 组 平 衡 方 程 个 求 解 未 知 力 时, 在 一 般 情 况 下, 方 程 组 是 矛 盾 的, 没 有 解 答 也 即 在 任 意 荷 载 作 用 下, 体 系 不 是 都 能 维 持 平 衡 的 从 几 何 构 造 分 析 看, 这 种 情 况 对 应 于 体 系 的 几 何 可 变 2) 若 W<0, 则 平 衡 方 程 个 数 小 于 未 知 力 个 数 如 果 此 方 程 组 有 解, 则 解 答 必 定 有 无 穷 多 种, 也 即 体 系 若 能 维 持 平 衡, 则 必 定 是 超 静 定 的 从 几 何 构 造 分 析 看, 这 种 情 况 对 应 于 体 系 有 多 余 约 束 3) 若 W=0, 则 平 衡 方 程 个 数 等 于 未 知 力 个 数 此 平 衡 方 程 解 答 的 性 质 要 根 据 方 程 组 的 系 数 行 列 式 D 是 否 为 零 而 定 : (1) 如 果 D 不 为 零, 则 平 衡 方 程 组 有 解, 且 必 是 唯 一 解 从 几 何 构 造 分 析 看, 如 果 D 不 为 零, 则 体 系 是 几 何 不 变 的 且 无 多 余 约 束 (2) 如 果 D 为 零, 则 平 衡 方 程 在 一 般 荷 载 下 无 解, 在 特 殊 荷 载 作 用 下 有 无 穷 多 组 解 从 几 何 构 造 分 析 看, 如 果 D 为 零, 则 体 系 是 几 何 可 变 且 有 多 余 约 束 对 偶 关 系 : 在 一 般 荷 载 作 用 下 平 衡 方 程 组 有 解 对 应 于 体 系 几 何 不 变, 无 解 则 对 应 于 体 系 几 何 可 变 平 衡 方 程 组 只 有 唯 一 解 对 应 于 体 系 无 多 余 约 束, 有 无 穷 多 种 解 答 则 对 应 于 有 多 余 约 束 4-3 静 定 结 构 的 一 般 性 质 静 定 结 构 与 超 静 定 结 构 都 是 几 何 不 变 体 系, (1) 几 何 构 造 方 面 : 静 定 结 构 无 多 余 约 束, 超 静 定 结 构 有 多 余 约 束 (2) 静 力 平 衡 方 面 : 静 定 结 构 的 内 力 可 由 平 衡 条 件 完 全 确 定, 得 到 的 解 答 只 有 一 种 ; 超 静 定 结 构 的 内 力 由 平 衡 条 件 不 能 完 全 确 定, 而 需 要 同 时 考 虑 变 形 条 件 后 才 能 得 到 25

唯 一 的 解 答 静 定 结 构 的 基 本 静 力 特 性 : 满 足 平 衡 条 件 的 内 力 解 答 的 唯 一 性 性 质 : 1. 温 度 改 变 支 座 移 动 和 制 造 误 差 等 因 素 在 静 定 结 构 中 不 引 起 内 力 ; 2. 静 定 结 构 的 局 部 平 衡 特 性 : 在 荷 载 作 用 下, 如 果 仅 靠 静 定 结 构 中 的 某 一 局 部 就 可 以 与 荷 载 维 持 平 衡, 则 其 余 部 分 的 内 力 为 零 3. 静 定 结 构 的 荷 载 等 效 特 性 : 当 静 定 结 构 的 一 个 内 部 几 何 不 变 部 分 上 的 荷 载 作 等 效 变 换 时, 其 余 部 分 的 内 力 不 变 4. 静 定 结 构 的 构 造 变 换 特 性 : 当 静 定 结 构 的 一 个 内 部 几 何 不 变 部 分 作 构 造 变 换 时 其 余 部 分 的 内 力 不 变 4-4 各 种 结 构 型 式 的 受 力 特 点 结 构 分 为 (1) 无 推 力 结 构 : 如 梁 和 梁 式 桁 架 (2) 有 推 力 结 构 : 如 三 铰 拱 三 铰 刚 架 拱 式 桁 架 和 组 合 结 构 链 杆 分 为 (1) 链 杆 : 如 桁 架 中 的 各 杆 (2) 梁 式 杆 : 多 跨 梁 和 刚 架 中 的 各 杆 注 : 链 杆 中 只 有 轴 力 作 用, 无 弯 矩, 正 应 力 均 匀 分 布 梁 式 杆 处 于 有 弯 矩 状 态, 弯 矩 产 生 的 弹 性 正 应 力 在 截 面 上 为 三 角 形 分 布, 在 中 性 轴 附 近 的 应 力 很 小, 没 有 充 分 利 用 材 料 的 强 度 结 论 : 在 相 同 跨 度 和 相 同 荷 载 下, 简 支 梁 的 弯 矩 最 大, 伸 臂 梁 静 定 多 跨 梁 三 铰 刚 架 组 合 结 构 的 弯 矩 次 之, 桁 架 及 具 有 合 理 轴 线 的 三 铰 拱 的 弯 矩 为 零 工 程 中 : 简 支 梁 多 用 于 小 跨 度 结 构 ; 伸 臂 梁 静 定 多 跨 梁 三 铰 刚 架 组 合 结 构 可 用 于 大 跨 度 结 构 ; 当 跨 度 更 大 时, 则 多 采 用 桁 架 及 具 有 合 理 轴 线 的 拱 第 七 章 力 法??? 本 章 的 问 题 : A. 什 么 是 超 静 定 结 构? 如 何 判 断 超 静 定 结 构 的 次 数? B. 用 力 法 解 超 静 定 结 构 的 思 路 是 什 么? C. 什 么 是 力 法 的 基 本 体 系 基 本 结 构 和 基 本 未 知 量? 26

D. 基 本 体 系 与 原 结 构 有 何 异 同? E. 超 静 定 结 构 的 特 点 是 什 么? 为 什 么 超 静 定 结 构 的 内 力 状 态 与 EI 有 关? F. 如 何 建 立 力 法 典 型 方 程? 其 物 理 意 义 是 什 么? 其 主 系 数 副 系 数? 自 由 项 如 何 求 解? G. 如 何 灵 活 运 用 图 乘 法 来 求 解 各 系 数? H. 如 何 化 简 力 法 方 程 的 计 算? I. 什 么 叫 对 称 性 结 构? 为 什 么 利 用 对 称 性 可 以 使 计 算 得 到 简 化? J. 试 比 较 在 荷 载 作 用 下 用 力 法 计 算 刚 架 排 架 桁 架 和 组 合 结 构 的 异 同? 通 过 前 六 章 的 学 习, 已 经 掌 握 了 如 何 从 几 何 组 成 分 析 结 构 的 几 何 性 质, 分 清 了 静 定 结 构 和 超 静 定 结 构 且 利 用 平 衡 条 件 分 析 了 静 定 结 构 受 力, 还 掌 握 了 静 定 结 构 位 移 计 算 的 原 理 和 方 法 上 述 内 容 虽 有 其 本 身 的 工 程 意 义, 但 更 多 的 是 为 解 决 大 量 工 程 中 的 超 静 定 结 构 计 算 奠 定 基 础 超 静 定 结 构 从 受 力 上 看, 需 求 反 力 或 内 力 的 未 知 量 总 数 多 于 能 建 立 的 独 立 平 衡 方 程 数 因 此 仅 仅 利 用 平 衡 方 程 不 能 全 部 解 决 反 力 或 内 力 的 计 算, 必 须 建 立 补 充 方 程 在 材 料 力 学 推 导 应 力 公 式 时, 已 经 介 绍 了 综 合 平 衡 变 形 和 材 料 力 学 行 为 分 析 解 决 超 静 定 问 题 的 一 般 方 法 下 面 主 要 介 绍 以 力 和 位 移 作 为 基 本 未 知 量 解 超 静 定 结 构 的 力 法 和 位 移 法, 同 时 还 将 介 绍 与 求 解 相 关 的 方 法 技 巧 和 超 静 定 结 构 的 特 性 7-1 求 解 超 静 定 结 构 的 一 般 方 法 静 定 结 构 是 没 有 多 余 约 束, 因 此 仅 利 用 平 衡 条 件 就 可 以 求 出 全 部 反 力 和 内 力 超 静 定 结 构 由 于 存 在 多 余 约 束, 待 求 未 知 量 总 数 多 于 可 建 立 的 独 立 平 衡 方 程 数, 2 超 静 定 次 数 的 确 定 基 本 未 知 力 的 个 数 又 称 为 超 静 定 次 数, 显 然 确 定 超 静 定 次 数 是 力 法 计 算 的 第 一 项 工 作 从 力 法 思 路 可 见 超 静 定 次 数 = 多 余 约 束 数 = 变 成 基 本 结 构 所 解 除 的 约 束 数 = 基 本 体 系 上 露 的 约 束 力 数 不 管 怎 麽 理 解, 本 质 上 这 是 组 成 分 析 问 题, 一 超 静 定 桁 架, 从 铰 结 体 系 的 可 变 性 分 析 可 知 是 有 一 个 多 余 约 束 的 几 何 不 变 体 系 ; 从 计 算 自 由 度 分 析 W = 1 且 几 何 不 变 可 知 此 桁 架 的 超 静 定 次 数 为 1 一 超 静 定 刚 架, 拆 除 右 边 固 定 端 支 座 变 成 静 定 结 构, 相 当 解 除 三 个 约 束 ; 将 右 边 固 定 支 座 用 约 束 反 力 代 替, 暴 露 出 三 个 未 知 力 因 此, 超 静 定 次 数 为 3 结 论 : 一 个 无 铰 闭 合 框 为 3 次 超 静 定 3 力 法 的 解 题 步 骤 27

力 法 求 解 解 超 静 定 结 构 的 具 体 步 骤 为 : 1) 确 定 超 静 定 次 数 和 基 本 结 构 及 其 基 本 体 系 显 然, 随 着 超 静 定 次 数 的 确 定, 基 本 结 构 基 本 未 知 力 基 本 体 系 等 自 然 可 以 确 定 下 来 需 要 指 出 的 是, 一 个 超 静 定 结 构 可 以 用 不 同 的 基 本 结 构 分 析, 不 同 基 本 结 构 计 算 工 作 量 将 不 同, 要 选 取 工 作 量 较 少 的 基 本 结 构 2) 作 基 本 结 构 在 单 位 未 知 力 和 荷 载 ( 如 果 有 ) 作 用 下 的 内 力 图 (1) 对 桁 架 结 构, 内 力 是 轴 力 (2) 对 受 弯 结 构, 剪 力 和 轴 力 对 变 形 的 影 响 可 以 忽 略, 因 此 内 力 是 弯 矩 (3) 对 于 组 合 结 构, 桁 架 杆 是 轴 力 弯 曲 杆 是 弯 矩 (4) 对 于 拱, 一 般 是 弯 矩 和 轴 力 三 点 说 明 : 所 谓 解 除 轴 向 约 束 是 指 右 图 所 示 拆 除 轴 向 链 杆 也 可 用 拆 除 一 根 桁 架 杆 的 静 定 结 构 作 为 基 本 结 构, 解 除 轴 向 约 束 这 时 计 算 δ 11 不 考 虑 已 拆 除 的 杆, 而 力 法 方 程 为 : 两 结 点 间 的 相 对 位 移 等 于 所 拆 除 杆 的 拉 ( 压 ) 变 形 荷 载 作 用 下, 超 静 定 桁 架 的 内 力 与 杆 件 的 绝 对 刚 度 EA 无 关, 只 与 各 杆 刚 度 比 值 有 关 说 明 : 支 座 位 移 将 引 起 超 静 定 结 构 内 力, 这 一 内 力 和 杆 件 的 绝 对 刚 度 EA 有 关 (2) 超 静 定 梁 说 明 : 荷 载 作 用 情 况 下, 超 静 定 梁 内 力 也 只 与 杆 件 相 对 刚 度 α 有 关, 与 绝 对 刚 度 无 关 单 跨 梁 两 点 说 明 : 对 称 结 构 受 对 称 荷 载 作 用 将 只 产 生 对 称 的 内 力 ( 变 形 ), 反 对 称 内 力 ( 变 形 ) 等 于 零 不 难 推 测, 对 称 结 构 受 反 对 称 荷 载 作 用 将 只 产 生 反 对 称 的 内 力 ( 变 形 ), 对 称 内 力 ( 变 形 ) 等 于 零 在 垂 直 杆 轴 的 竖 向 荷 载 作 用 下, 超 静 定 单 跨 梁 的 轴 力 恒 为 零, 故 轴 向 未 知 力 可 不 作 为 独 立 的 基 本 未 知 量 几 点 说 明 : 温 度 改 变 将 引 起 超 静 定 结 构 内 力, 这 一 内 力 也 和 杆 件 的 l / 2 F P = 1 绝 对 刚 度 EI 有 关 图 7-7 单 位 力 状 态 28

温 度 低 的 一 侧 受 拉, 此 结 论 适 用 于 温 度 引 起 的 其 他 支 承 情 况 超 静 定 单 跨 梁 说 明 : 单 跨 超 静 定 梁 非 轴 向 支 座 位 移 计 算 时, 超 静 定 次 数 可 减 少 一 次, 轴 力 为 零 7-3 力 法 计 算 的 简 化 力 法 典 型 方 程 是 线 性 联 立 方 程 组, 其 位 移 系 数 是 由 主 系 数 副 系 数 自 由 项 组 成 的 其 物 理 意 义 : 主 系 数 δ ii 恒 大 于 零, 而 副 系 数 δ ij 和 自 由 项 ip 是 代 数 量, 可 正 可 负 可 零 如 果 能 设 法 使 得 尽 可 能 多 的 副 系 数 和 自 由 项 等 于 零, 不 仅 可 以 减 少 系 数 的 计 算, 而 且 还 可 减 少 解 方 程 的 工 作 量 这 就 是 本 节 讨 论 的 内 容 1 无 弯 矩 状 态 的 判 别 对 一 些 只 受 结 点 荷 载 的 刚 架 结 构, 在 不 计 轴 向 变 形 的 情 况 下, 有 可 能 是 无 弯 矩 的 如 果 能 够 方 便 地 判 断 出 来, 显 然 将 可 减 少 许 多 求 解 的 计 算 工 作 量 我 们 通 过 图 7-12 所 示 例 子 来 说 明 需 要 再 次 强 调 指 出 的 是 : 无 弯 矩 状 态 判 别 的 前 提 条 件 是 : 不 计 轴 向 变 形, 只 受 结 点 荷 载 作 用 在 图 7-12 示 例 基 础 上, 下 面 给 出 无 弯 矩 状 态 的 判 别 方 法 : 将 刚 架 的 刚 结 点 都 变 成 铰, 所 得 铰 结 体 系 如 果 几 何 不 变, 此 刚 架 在 结 点 荷 载 下 一 定 是 无 弯 矩 的 如 图 7-12a 将 刚 架 的 刚 结 点 都 变 成 铰, 所 得 铰 结 体 系 如 果 几 何 可 变, 则 附 加 必 要 链 杆 使 体 系 达 到 几 何 不 变 在 结 构 所 受 荷 载 下, 求 解 附 加 链 杆 所 受 的 轴 力 如 果 全 部 附 加 链 杆 均 不 受 力, 原 结 构 在 所 给 结 点 荷 载 下 一 定 是 无 弯 矩 的 否 则 有 任 意 附 加 链 杆 轴 力 不 为 零, 结 构 将 是 有 弯 矩 的 如 图 7-12b 2 对 称 性 利 用 29

图 7-12 受 结 点 荷 载 刚 架 处 无 弯 矩 状 态 示 例 图 7-13 何 谓 对 称 结 构 超 静 定 结 构, 由 于 所 求 未 知 量 数 多 于 衡 方 程 的 个 数, 必 须 计 算 位 移, 得 考 虑 变 形 协 调 条 件 因 此, 对 结 构 的 对 称 条 件 必 须 加 以 补 充, 这 可 用 图 7-13 来 说 明 对 超 静 定 结 构 来 说, 如 果 杆 件 支 座 和 刚 度 分 布 均 对 称 于 某 一 直 线, 则 称 此 直 线 为 对 称 轴, 此 结 构 为 对 称 结 构 如 图 所 示, 杆 件 支 座 和 刚 度 三 者 之 一 有 任 一 个 不 满 足 对 称 条 件 时, 就 不 能 称 超 静 定 结 构 是 对 称 结 构 有 了 对 称 结 构 定 义, 和 静 定 结 构 一 样, 如 果 荷 载 对 称 或 反 对 称 于 对 称 轴, 则 可 利 图 7-14 对 称 结 构 分 类 用 对 称 性 使 计 算 得 到 简 化 即 使 受 任 意 荷 载 作 用, 可 将 荷 载 分 解 成 对 称 和 反 对 称 两 组, 分 别 利 30

用 对 称 性 计 算 后, 叠 加 所 得 结 果 即 可 得 到 问 题 解 答, 往 往 这 样 做 仍 比 直 接 求 解 简 单 ( 注 意 : 此 结 论 不 一 定 适 用 任 意 情 况, 一 些 问 题 可 能 直 接 求 解 工 作 量 更 少 ) 对 称 结 构 受 对 称 或 反 对 乘 荷 载 作 用 时, 可 取 半 结 构 进 行 计 算 为 说 明 如 何 利 用 对 称 性 取 半 个 结 构 进 行 分 析, 如 图 7-15 所 示 可 将 超 静 定 结 构 分 为 奇 数 跨 和 偶 数 跨 两 类 在 此 基 础 上, 用 图 7-16 和 图 7-17 给 出 了 对 称 结 构 取 半 结 构 分 析 时 的 计 算 简 图 需 要 强 调 的 是, 图 中 荷 载 应 该 理 解 为 广 义 荷 载, 它 可 以 是 荷 载 支 座 移 动 温 度 改 变 等 等 图 7-16 奇 数 跨 对 称 结 构 取 半 结 构 计 算 简 图 图 7-17 偶 数 跨 对 称 结 构 取 半 结 构 计 算 简 图 为 了 更 好 地 理 解 和 掌 握 利 用 对 称 性 建 立 取 半 结 构 计 算 简 图, 下 面 用 一 个 典 型 例 子 说 明 对 称 性 带 来 的 简 化 [ 例 题 7-10] 试 作 图 7-18a 所 示 对 称 三 次 超 静 定 结 构 的 弯 矩 图 解 : 图 7-18a 所 示 结 构 对 称, 但 荷 载 不 对 称 为 此, 如 图 7-18b 将 荷 载 分 解 成 两 组, 对 称 组 经 判 断 为 无 弯 矩 状 态, 反 对 称 组 可 取 图 7-18c 简 图 进 行 分 析 图 7-18c 简 图 仍 是 对 称 结 构 任 意 荷 载 情 况, 可 再 次 如 图 7-18d 将 荷 载 分 解, 从 而 得 图 7-18e 半 结 构 计 算 简 图 这 是 一 个 静 定 刚 架, 可 得 图 7-18f 所 示 弯 矩 图 有 了 它, 如 图 7-18 g 和 图 7-18 31 图 7-18 对 称 性 利 用 求 解 示 意

h 即 可 作 出 原 结 构 的 最 终 弯 矩 图 由 此 例 子 可 见, 熟 练 掌 握 对 称 性 利 用, 对 求 解 对 称 结 构 是 非 常 有 用 的 第 十 章 超 静 定 结 构 总 论 1 静 定 结 构 和 超 静 定 结 构 受 力 特 性 对 比 如 下 : 静 定 结 构 仅 利 用 平 衡 条 件 即 可 求 得 全 部 反 力 和 内 力, 解 答 是 唯 一 的 支 座 位 移 温 度 改 变 制 造 误 差 等 不 产 生 反 力 内 力 几 何 不 变 部 分 上 的 外 荷 载 作 等 效 变 换 时, 仅 影 响 荷 载 变 换 部 分 的 内 力, 也 即 荷 载 作 用 的 影 响 是 局 部 的 几 何 不 变 部 分 在 保 持 连 接 方 式 及 荷 载 作 用 不 变 的 情 况 下, 用 任 何 其 他 的 几 何 不 变 部 分 代 替, 结 构 其 他 部 分 受 力 不 变 某 一 部 分 能 平 衡 外 荷 载 时, 其 他 部 分 不 受 力 仅 基 本 部 分 受 荷 载 时, 附 属 部 分 不 受 力 超 静 定 结 构 仅 满 足 平 衡 条 件 的 解 答 有 无 限 种, 同 时 考 虑 平 衡 变 形 应 力 应 变 关 系 的 解 答 才 是 唯 一 的 由 于 存 在 多 余 约 束, 因 此 支 座 位 移 温 度 改 变 制 造 误 差 等 都 可 能 产 生 反 力 和 内 力 因 为 超 静 定 力 要 通 过 变 形 才 能 求 得, 所 以 内 力 和 绝 对 刚 度 有 关 由 于 存 在 多 余 约 束, 结 构 任 何 部 分 受 力 有 所 变 化 ( 除 静 定 部 分 外 ) 都 将 影 响 其 他 部 分, 也 即 荷 载 的 作 用 是 全 局 的 也 正 因 为 全 局 承 担 荷 载, 所 以 超 静 定 结 构 受 力 比 静 定 结 构 均 匀 由 于 超 静 定 结 构 仅 利 用 静 力 平 衡 方 程 不 可 能 获 得 唯 一 解, 必 须 同 时 考 虑 变 形, 因 此 超 静 定 结 构 的 受 力 和 结 构 的 刚 度 分 布 有 关 正 因 如 此, 改 换 几 何 不 变 部 分 将 使 结 构 受 力 产 生 变 化 作 用 在 结 构 上 的 平 衡 外 荷 载 将 使 结 构 产 生 变 形, 而 由 于 多 余 约 束 的 限 制, 整 个 结 构 将 产 生 内 力 如 果 存 在 基 本 附 属 部 分 的 话, 基 本 部 分 受 荷 载 作 用 将 引 起 变 形, 对 附 属 部 分 ( 除 静 定 附 属 部 分 外 ) 来 说 是 支 座 移 动, 也 将 引 起 内 力 32