ARCH 系 列 模 型 介 绍 与 应 用 目 录 一 波 动 率 基 本 概 念... 3 二 Black-Scholes 期 权 定 价 公 式 中 的 波 动 率... 4 三 GARCH 类 模 型 简 述... 5 四 基 于 沪 深 300 指 数 样 本 的 GARCH 类 模 型

研 究 报 告 期 权 研 究 专 题 报 告 Research Option Special Reports 沪 深 300 指 数 波 动 率 预 测 效 果 比 较 ARCH 系 列 模 型 介 绍 与 应 用 2013 年 04 月 23 日 投 资 要 点 : 波 动 率 是 一 个 抽 象 概 念, 通 过 对 价 格 数 据 的 建 模, 都 可 以 得 到 对 于 真 实 波 动 率 的 不 同 刻 画 与 期 权 定 价 相 关 的 波 动 率 是 期 权 标 的 资 产 收 益 率 的 波 动 率, 而 非 标 的 资 产 价 格 的 波 动 率 ; 这 种 思 维 方 式 在 相 当 程 度 上 是 受 到 Black-Scholes-Merton 期 权 定 价 模 型 分 析 框 架 的 影 响 首 创 期 货 研 发 中 心 金 融 研 究 部 杨 志 武 期 权 分 析 员 电 话 :010-58379330 邮 件 :yangzw@scqh.com.cn 执 业 证 书 编 号 :F0280736 与 期 权 定 价 相 关 的 波 动 率 概 念 主 要 有 实 际 波 动 率 (Real Volatility) 历 史 波 动 率 (Historical Volatility,HV) 隐 含 波 动 率 (Implied Volatility, IV) 与 已 实 现 波 动 率 ( Realized Volatility,RV) 自 回 归 条 件 异 方 差 波 动 率 (Autoregressive Conditionally heteroscedastic model,arch) 模 型 的 基 本 思 想 是 假 定 波 动 率 是 随 时 间 变 化 的, 且 线 性 地 依 赖 于 过 去 的 收 益 率 在 ARCH 基 础 上 衍 生 出 的 GARCH TGARCH EGARCH MGARCH 模 型 都 是 在 ARCG 模 型 的 基 本 思 想 上, 对 于 影 响 波 动 率 的 因 素 做 更 进 一 步 假 设 而 得 出 的 沪 深 300 指 数 日 收 益 率 呈 现 良 好 的 正 态 分 布 特 征, 在 置 信 度 99% 的 情 况 下, 可 以 认 为 是 统 计 上 平 稳 的 时 间 序 列 沪 深 300 指 数 的 日 收 益 率 整 体 上 没 有 杠 杆 效 应, 正 的 收 益 率 与 负 的 收 益 率 对 第 二 天 指 数 波 动 影 响 没 有 明 显 区 别 ; 某 个 阶 段 会 存 在 杠 杆 效 应, 负 的 收 益 率, 会 明 显 加 剧 次 日 指 数 的 波 动 期 市 有 风 险 投 资 需 谨 慎

ARCH 系 列 模 型 介 绍 与 应 用 目 录 一 波 动 率 基 本 概 念... 3 二 Black-Scholes 期 权 定 价 公 式 中 的 波 动 率... 4 三 GARCH 类 模 型 简 述... 5 四 基 于 沪 深 300 指 数 样 本 的 GARCH 类 模 型 波 动 率 预 测 比 较... 6 1. 数 据 分 析... 6 2. 基 于 高 斯 误 差 的 GARCH 类 模 型 分 析... 8 五 小 结... 10 附 录 : 基 于 样 本 二 建 立 的 GARCH 模 型 的 统 计 结 果... 11 图 表 目 录 图 1 沪 深 300 指 数 日 收 益 率 统 计 结 果... 7 图 2 沪 深 300 指 数 日 收 益 率... 7 表 1 沪 深 300 指 数 日 收 益 率 单 位 根 检 验 结 果... 8 表 2 基 于 样 本 一 的 ARCH 类 模 型 统 计 有 效 性 分 析... 8 表 3 两 个 模 型 的 预 测 效 果 对 比... 10 规 范 诚 信 创 新 卓 越 请 仔 细 阅 读 本 报 告 为 部 分 的 免 责 声 明 2 / 13

ARCH 系列模型介绍与应用 一 波动率基本概念 所谓波动率是一个非常笼统的概念 可以概括理解为一种可以衡量一段时间内金融产品价格波动程度 的数值 在期权波动率专题研究的报告中 我们关注的波动率是金融资产收益率的波动率 而不是金融资 产价格的波动率 原因有很多 主要原因之一就是 Black-Scholes 期权定价模型中的一个重要参数 就是标 的资产收益率的波动率 为了应用上的方便 专题报告中的波动率样本都是各金融资产的收益率波动率 数学表达式为 σ𝑡 2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑟𝑡 ), 𝑟𝑡 = 𝑃𝑡 𝑃𝑡 1 𝑃𝑡 1 log(𝑃𝑡 ) log(𝑃𝑡 1 ) 波动率是一个非常抽象的概念 一般投资者对于波动率的理解多是依据数学上 刻画波动率的方法 即 σ2 = 𝐸(X μ)2, 其中 X 是随机变量 μ 是随机变量 X 的期望 刻画一段时间内某标的资产波动率的方 法就是样本方差 标准差 T T t=1 t=1 1 1 )2, 其中 X = Xt = σ (X t X T 1 T 2 在金融市场中 我们通常会接触到三种不同的描绘波动率的方法 实际波动率 历史波动率 隐含波 动率 已实现波动率 1 实际波动率 Real Volatility 实际波动率就是金融资产价格波动程度的真实情况 它并不是一个可观察的数据 因此产生了接下来一 系列的波动率模型对其进行刻画 我们所熟悉的样本标准差就是对实际波动率的一种刻画 如果所研究标 的波动率并不随着时间的变化而变化 那样本方差就是一个很好的刻画实际波动率的方法 2 历史波动率 Historical Volatility HV 历史波动率是指投资回报率(收益率)在过去一段时间内所表现出的波动率 它由标的资产市场价格过去 一段时间的历史时间序列数据反映 即可以根据时间序列数据 计算出相应的收益率数据 然后运用统计 推断方法估算收益率的标准差 从而得到历史波动率的估计值,这类波动率模型的构建基于历史收益数据 并且这些历史收益数据的时间标度( time scales)一般较长,通常为每日 每周甚至是每月 在历史波动率模型 中比较有代表性是 Engle 的自回归条件异方差模型(ARCH) Bollerslev 的广义自回归条件异方差模型( GARCH) 以及 Taylor 的随机波动模型( stochastic volatility model 简记为 SV) 在市场中我们还能接触到的预测波动率 模型波动率其实都是建立在历史波动率下的概念 都是利用历史波动率来对未来的波动率进行预测 3 隐含波动率 Implied Volatility 简记为 IV) 隐含波动率来源于期权定价理论中的一个概念 从理论上讲 隐含波动率是将市场上的期权交易价格 代入期权定价模型中 反推出来的波动率数值 隐含波动率一般被解读为实际波动率的预期 可以理解为 未来的波动率 但是应当注意的是隐含波动率是根据期权定价公式反向推导得出的 非常依赖于期权定价 公式 因此不能简单地看成实际波动率 隐含波动率存在一个非常有趣的现象 即波动率微笑 描述的是 期权的隐含波动率与期权行权价格之间的关系 虚值与实值期权的隐含波动率较高 平直期权的隐含波动 率较低 考虑到虚值 实值和平值期权的标的资产是相同的 这就产生了同一标的资产会有不同波动率的 规范 诚信 创新 卓越 请仔细阅读本报告为部分的免责声明 3 / 13

ARCH 系列模型介绍与应用 问题 而实际上这是没有道理的 产生这个问题的原因 一方面是一般 虚值与实值期权不活跃 反映的 隐含波动率可能失真 另一方面就是期权定价模型在期权处于虚值与实值的时候 定价偏高 4 已实现波动率 Realized Volatility RV) 已实现波动率是针对频率较高的数据计算的一种波动率1 又称为日内波动率或高频波动率2 Garman & Klass(1980 年)提出了日内波动率的一种估算方法 OHLC Andersen Bollerslev(1998)提出使用日内高频股价 数据 可以获得对日波动率更精确的描述 并由此建立了一种基于高频股价数据的已实现波动率测度方法 由于高频数据中蕴含了比低频数据更多的市场波动信息 因此基于高频数据的波动率测度一定是一种更为 真实的市场波动描述 已实现波动率的计算不需要复杂的参数估计方法 无模型 计算简便 在一定条件 下是积分波动率(已实现波动率的概率极限)的无偏估计量 近年来在高频领域中获得了广泛的应用 由于国内还没有建立场内期权市场 隐含波动率无从研究 因此波动率专题的重点是历史波动率模型 以及预测效果分析 在历史波动率模型中 先重点研究条件异方差系列模型 ARCH GARCH TGARCH EGARCH PGARCH 的波动率预测效果分析 然后是随机波动率模型与已实现波动率模型的研究 二 Black-Scholes 期权定价公式中的波动率 最基本的 Black-Scholes 期权定价公式是基于无红利的股票期权的定价 与波动率相关的假设主要有 标的股票价格服从几何布朗运动 𝑑𝑆 = μdt + σdz dz = ε dt 其中 ε~n(0,1) S 该公式的离散表达式更方便理解 𝑆 = μ t + σ z z = ε t 其中 ε~n(0,1) S (𝑆 𝑆𝑇 τ ) 𝑇 S = μτ + σε τ 其中 ε~n(0,1) (𝑆 𝑆𝑇 τ ) 2 即在 τ 时间间隔内股票的收益率 𝑇 S 服从正态分布 该正态分布的均值 μτ 与方差 σ τ 与时间 间隔 τ 成正比 随着时间间隔的扩大 股票收益率的期望值不断增加 但是波动的更加剧烈 一般用日数据估计波动率时 τ 设定为 1/2523 标的资产的日波动率 样本标准差 为 σ 1/252 为常数 从历史数据估计波动率的一般方法为 1 Andersen 和 Bollerslev 首次指出,传统上用日收益率的平方( squared daily return)作为日波动率( daily volatility)的测度将会面 临非常严重的测量误差和噪声(measurement error and noise) 而使用基于交易日内高频收益数据( intra daily high frequency return)的已实现波动率(rv)作为日波动率的测度 将大大降低这些误差和噪声对真实潜在波动率过程( underlying volatility process)的影响 并且随着高频收益频率的增加 这种测量的误差将会越来越小 但是 由于市场微观结构效应(market microstructure effects) 的影响 在实际运用当中 也并非高频收益率的频率越高越好 还有一类数据叫超高频数据 即人们获 得的股票市场 外汇市场 期货市场实时的每笔成交数据 超高频数据的时间间隔是不一定相等的 具有时变性 它是交易 过程中实时采集的数据 或称逐笔数据(tick-by-tick data) 2 一般 数据是指以小时 分钟或秒为采集频率的都可称为高频数据 3 在 B-S 模型的估计中 一年所采集的样本数量一般为一年中交易日的数量 即 252 个交易日左右 规范 诚信 创新 卓越 请仔细阅读本报告为部分的免责声明 4 / 13

ARCH 系列模型介绍与应用 𝑁 1 1 σ =𝑠= (𝑟𝑡 r )2 252 N 1 𝑡=1 1 其中 r N 𝑁 𝑡=1 𝑟𝑡 𝑟𝑡 log(pt ) log(pt 1 ) Pt 为标的资产 t 时刻的收盘价格 N 为采集的样本数量 对于 B-S 公式中标的标的资产年化波动率 σ 的估计值 σ 为 σ =s 252 实际上 关于样本 N 的选择并不 容易 一般 数据越多 获得的关于波动率的信息也就越多 可以越大程度的过滤与收益率无关的噪音 但是过于长远的历史数据很难反映出标的资产近一段时间的变化 因而不利于将来波动率的变化 根据经 验法则 一般样本数据的选择是 90 天到 180 天的每日收盘价数据 设定度量波动率的时期等于将应用波动 率所对应的时期4 比如 预测未来一个月沪深 300 股指期权的波动率参数 可选取的数据样本是前一个月 沪深 300 指数每日收盘价数据 接下来所要进行的研究重点就是对于标的资产年化波动率 σ 的估计 三 GARCH 类模型简述 在金融市场中 波动率通常用资产收益率的条件方差 Conditional Variance 来衡量 条件方差越大 意味着风险越高 金融资产收益率时间序列具有尖峰厚尾和波动率聚集5的特点 另外 金融资产的波动率 具有明显的杠杆效应 或非对称性 即正的与负的收益率对未来波动率的影响不对称 一般而言 同等程 度收益率变动 负的收益率比正的收益率对资产价格的波动的影响更大 持续性也是波动率的一个重要特 征 即市场波动一般会持续一段时间 随着时间的推移慢慢消减 直至消失 20 世纪 70 年代以前 经典的金融经济分析都假定波动率不随时间变化 直至 Engle 提出自回归条件异 方差波动率 Autoregressive Conditionally heteroscedastic model ARCH 模型 一个典型的 ARCH 模型如下 𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥t + 𝑢𝑡 𝑢𝑡 ~𝑁(0 σ𝑡 2 ) σ𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑢𝑡 1 2 + 𝑣𝑡 𝑣𝑡 ~𝑁(0 1) Engle 的基本思想是假定波动率是随时间变化的 且线性地依赖于过去的收益率 这种结构形式能够刻画波 动率的聚集性以及金融数据尖峰厚尾的特征 因而在 20 世纪 80 年代得以广泛的应用 然而该模型结构简 单 为了充分地描述资产收益率的波动率过程 往往需要许多参数 为此 Bollerslev 提出了一个推广形式 称为广义自回归条件异方差波动率结构 Generalized Autoregressive Conditionally heteroscedastic model, GARCH model Bollerslev 在提出该结构的时候 其阶数可以是任意指定的 p q 阶 然而 Hansen&Lunde 2005 的研究表明很难找到一个高阶的广义异方差结构好于 1 1 阶的拟合效果 所以实际中使用最 多的是 1 1 阶的广义异方差结构 典型的 GARCH(1,1)模型如下 𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥t + 𝑢𝑡 𝑢𝑡 ~𝑁(0 σ𝑡 2 ) 4 关于波动率样本的选择参考约翰 赫尔的 期权 期货和其他金融衍生品 第三版 张陶伟译 P208 5 所谓波动率聚集现象是指 金融资产价格波动剧烈的时期之后往往还是跟随者价格波动剧烈的时期 而价格波动比较平缓 的时期之后跟随着同样还是价格波动平缓的时期 价格变化平缓时期和价格波动剧烈的时期交替出现 规范 诚信 创新 卓越 请仔细阅读本报告为部分的免责声明 5 / 13

ARCH 系列模型介绍与应用 σ𝑡 2 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑢𝑡 1 2 + γσ𝑡 1 2 + 𝑣𝑡 𝑣𝑡 ~𝑁(0 1) 基本 GARCH 模型存在三大局限性 首先就是非负线性约束条件6在估计 ARCH/GARCH 模型的参数的时候 被违背 第二 ARCH/GARCH 模型都无法解释金融资产收益率中的 杠杆效应 第三 ARCH/GARCH 模型 没有在当期的条件异方差与条件均值之间建立联系 GARCH 模型一个简单的延伸就是 GJR 模型或者 TGARCH 模型 它是在 GARCH 模型的基础之上 增加一 个虚拟变量 I 在前期收益率为负的情形下 当期的 I 值取 1 在前期收益率非负的情形下 当期的 I 值 取 0 一个典型的模型表达式为 𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥t + 𝑢𝑡 𝑢𝑡 ~𝑁(0 σ𝑡 2 ) σt 2 = α0 + α1 σt 12 + α2 ut 1 2 + 𝛄𝐈𝐭 𝐮𝐭 𝟏 𝟐 + vt vt ~N(0 1) 当标的资产的收益率存在 杠杆效应 的时候 我们可以预见参数 γ 显著不为 0 另外一个解决波动率 杠杆效应 的模型是 EGARCH 模型 EGARCH 模型不仅可以解决波动率中的 杠 杆效应 还能解决非负线性约束条件被违背的问题 一个典型的 EGARCH 模型为 𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥t + 𝑢𝑡 𝑢𝑡 ~𝑁(0 σ𝑡 2 ) ln(σt 2 ) = α0 + α1 ln(σt 1 2 ) + α2 𝑢𝑡 1 + α3 [ 2 π] + vt vt ~N(0 1) σt 1 2 σt 1 2 𝑢𝑡 1 如果 α2 显著不为零 则说明 杠杆效应 存在 由于模型中对于条件异方差做了取对数处理 这样 就避免了 非负线性约束条件 在参数估计中被违背的情况 可以在条件异方差与条件均值之间建立关系的模型是 GARCH-in-Mean 模型 又称为 MGARCH 典型的 模型为 𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥t + 𝛄𝛔𝐭 𝟏 + 𝑢𝑡 𝑢𝑡 ~𝑁(0 σ𝑡 2 ) σt 2 = α0 + α1 σt 12 + α2 ut 12 + vt vt ~N(0 1) 如果 γ 的系数显著不为零 表明当期资产的收益率的确会受到前一期资产波动率的影响 四 基于沪深 300 指数样本的 GARCH 类模型波动率预测比较 1 数据分析 沪深 300 指数是沪深证券交易所于 2005 年 4 月 8 日联合发布的反映 A 股市场整体走势的指数 沪深 300 指数编制目标是反映中国证券市场股票价格变动的概貌和运行状况 并能够作为投资业绩的评价标准 为 指数化投资和指数衍生产品创新提供基础条件 沪深 300 指数是以 2004 年 12 月 31 日为基期 基点为 1000 点 其计算是以调整股本为权重 采用派许加权综合价格指数公式进行计算 6 ARCH/GARCH 模型中所有估计参数必须非负 规范 诚信 创新 卓越 请仔细阅读本报告为部分的免责声明 6 / 13

ARCH 系列模型介绍与应用 我们选取从 2005 年 1 月 4 日到 2013 年 4 月 22 日的沪深 300 指数的收盘价格数据作为样本 利用公式 𝑟𝑡 = log(𝑃𝑡 ) log(𝑃𝑡 1 ) 来计算沪深 300 指数的日收益率 其中 𝑃𝑡 为第 t 个交易日的收盘价格 样本数据基本统计特征如图 1 从 图 1 可看出沪深 300 指数收益率不满足正态分布 统计结果显示 沪深 300 指数日收益率的均值与中位数约为 0 如图 1 中所示 Mean 0.000470 Median 0.001237 但是标准差约为 0.02 Std.Dev. 0.018963 与标准正态分布的标准差 1 有非常明显的差距 这 一定程度上与我国股市涨跌停板的限制有关 一般股票的涨跌停板只有±10% 综合反映到股票指数上 日 收益率几乎不会有超过±10%的时候 如图 2 所示 沪深 300 指数日收益率 从样本的极值可以验证这一 现象 日收益率最大值 8.93% Maximum 0.089309 最小值-9.70% Minimum -0.096952 样本偏度-0.35 Skewness -0.345910 峰度 5.71 Kurtosis 5.707928 J-B 统计量为 655.19 Jarque-Bera 655.1887 表明 该样本相对于正态分布样本 有非常典型的左偏 肥尾特征 图 1 沪深 300 指数日收益率统计结果 350 Series: RETURN Sample 1 2014 Observations 2013 300 250 200 150 100 50 0-0.10-0.05 0.00 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis 0.000470 0.001237 0.089309-0.096952 0.018963-0.345910 5.707928 Jarque-Bera Probability 655.1887 0.000000 0.05 数据来源 文华财经 首创期货研发中心 图 2 沪深 300 指数日收益率 10.00% 5.00% 0.00% -5.00% -10.00% 2005-1-4 2006-1-4 2007-1-4 2008-1-4 2009-1-4 2010-1-4 2011-1-4 2012-1-4 2013-1-4 数据来源 文华财经 首创期货研发中心 规范 诚信 创新 卓越 请仔细阅读本报告为部分的免责声明 7 / 13

ARCH 系 列 模 型 介 绍 与 应 用 对 收 益 率 进 行 平 稳 性 检 验 ( 单 位 根 检 验 ), 结 果 显 示 沪 深 300 指 数 收 益 率 是 平 稳 序 列, 统 计 结 果 如 表 1 所 示 : 表 1 沪 深 300 指 数 日 收 益 率 单 位 根 检 验 结 果 Null Hypothesis: RETURN has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=25) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic -44.0919 0.0001 Test critical values: 1% level -3.433401 *MacKinnon (1996) one-sided p-values. 2. 基 于 高 斯 误 差 的 GARCH 类 模 型 分 析 5% level -2.862774 10% level -2.567473 资 料 来 源 : 首 创 期 货 研 发 中 心 整 理 我 们 用 极 大 似 然 法 估 计 GARCH 类 模 型 参 数, 首 先 假 设 残 差 服 从 标 准 高 斯 分 布 大 量 实 证 研 究 表 明, 描 述 金 融 时 间 序 列 p=q=l 就 足 够 了, 因 此 在 对 模 型 参 数 进 行 估 计 时, 首 先 选 取 p=q=1 若 模 型 中 的 系 数 GARCH(1, 1) 在 5% 的 水 平 上 不 显 著, 或 即 使 显 著 但 ARCH(1) 与 GARCH(1) 之 和 大 于 1, 则 说 明 模 型 不 稳 定, 我 们 就 认 定 该 模 型 不 适 合 沪 深 300 指 数 样 本 估 计 样 本 主 要 采 用 两 种 基 本 思 路 : 第 一 种 基 本 思 路 是 选 取 从 2005 年 1 月 4 日 到 2012 年 12 月 31 日 共 1945 个 样 本 作 为 模 型 的 估 计 样 本, 即 样 本 一, 余 下 样 本 作 为 预 测 样 本, 用 于 分 析 预 测 效 果 第 二 种 思 路 是 用 对 应 的 需 要 预 测 样 本 的 时 间 长 度 的 作 为 用 于 估 计 模 型 的 样 本 时 间 长 度, 即 用 2012 年 9 月 19 日 到 2012 年 12 月 30 日 的 69 个 样 本 作 为 估 计 参 数 的 样 本, 即 样 本 二,2013 年 1 月 4 日 至 2013 年 4 月 22 日 的 69 个 样 本 作 为 预 测 样 本 主 要 应 用 的 模 型 是 GARCH TGARCH EGRACH 和 MGARCH 四 个 模 型 7 表 2: 基 于 样 本 一 的 ARCH 类 模 型 统 计 有 效 性 分 析 RETURN= 0.000759 (0.0469) GARCH = 0.0000027 + 0.052509*RESID(-1)^2 + 0.941116*GARCH(-1) (0.0015) (0) (0) ARCH(1) 项 与 GARCH(1) 项 系 数 是 否 小 于 1 系 数 和 为 0.993625, 小 于 1 条 件 均 值 部 分 在 95% 的 置 信 度 下, 常 数 项 显 著 不 为 零 ; 条 件 方 差 部 分 各 估 计 参 数 显 著 不 为 零, 但 是 ARCH(1) 项 与 GARCH(1) 项 系 数 和 非 常 接 近 于 1, 模 型 有 长 记 忆 性 RETURN= 0.00077 (0.0463) GARCH=0.05246*RESID(-1)^2+0.00106*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)+0.940453*GARCH(-1) (0) (0.9108) (0) ARCH(1) 项 与 GARCH(1) 项 系 数 是 否 小 于 1 系 数 和 为 0.992913, 小 于 1 7 模 型 下 方 的 数 字 代 表 原 始 假 设 被 拒 绝 的 概 率 规 范 诚 信 创 新 卓 越 请 仔 细 阅 读 本 报 告 为 部 分 的 免 责 声 明 8 / 13

ARCH 系列模型介绍与应用 条件均值部分在 95%的置信度下 常数项显著不为零 条件方差部分 除虚拟变量项之外的各估计 参数显著不为零 虚拟变量项系数显著不为零 说明沪深 300 指数并不存在 杠杆效应 即正收 益率与负收益率对第二天指数波动没有明显区别 同样地 ARCH(1)项与 GARCH(1)项系数和非常接近 于 1 模型有长记忆性 RETURN=0.000845 (0.0221) LOG(GARCH)=-0.179117+0.126115*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) (0) (0) -0.004702*RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) +0.989495*LOG(GARCH(-1)) (0.4973) (0) -ARCH(1)项与 GARCH(1)项系数是否小于 1 条件均值部分在 95%的置信度下 常数项显著不为零 条件方差部分 除虚拟变量项之外的各估计 参数显著不为零 虚拟变量项系数显著不为零 同样说明沪深 300 指数并不存在 杠杆效应 即 正收益率与负收益率对第二天指数波动没有明显区别 RETURN=0.000438+0.020992*SQRT(GARCH) (0.7451) (0.7944) GARCH=0.00000273+0.053066*RESID(-1)^2+0.940486*GARCH(-1) (0.0017) (0) (0) ARCH(1)项与 GARCH(1)项系数是否小于 1 系数和为 0.994 小于 1 条件均值部分系数都不能通过显著性检验 条件方差部分 各估计参数显著不为零 条件均值部分 当 期条件异方差的系数没有通过显著性检验 说明沪深 300 指数的日收益率并不受当日波动率影响 资料来源 首创期货研发中心整理 通过以上分析发现 沪深 300 指数日收益率并不存在 杠杆效应 当日收益率并不受到当日波动率的 影响 最基本的 GARCH 模型就是最有效的 采用样本二 通过同样的方式对模型进行检验8 发现除 EGARCH 模型外 其他三个模型条件均值 条 件异方差部分参数都无法通过显著性检验 𝑟𝑡 = 0.001 (0.2198) ln(σt 2 ) = 0.310 + 0.9513 ln(σt 1 2 ) 0.111 { 𝑢𝑡 1 σt 1 2 (0.0029) (0.02 9) (0.019 ) 0.133 𝑢𝑡 1 σt 1 2 (0.0000) 该 EGARCH 模型说明 最近一段时间 沪深 300 指数体现出了杠杆效应 即负面的收益率会加剧第二日收益 率的波动情况 接下来就是比较通过显著性检验的两个模型对于最近一段时间 69 个交易日 波动率预测情况的比较 8 详细统计结果见附录 规范 诚信 创新 卓越 请仔细阅读本报告为部分的免责声明 9 / 13

ARCH 系 列 模 型 介 绍 与 应 用 表 3 两 个 模 型 的 预 测 效 果 对 比 GARCH 模 型 ( 样 本 一 ) EGARCH 模 型 ( 样 本 二 ) 预 测 效 果 对 比 损 失 函 数 动 态 预 测 静 态 预 测 MSE 0.003975 0.003174 MAE 0.000043 0.000033 MAPE 3.692346 3.040462 MSE 0.003702 0.006718 MAE 0.000040 0.000121 MAPE 3.151138 5.543700 资 料 来 源 : 首 创 期 货 研 发 中 心 整 理 以 上 两 种 模 型 动 态 预 测 与 静 态 预 测 的 效 果 表 明, 基 于 样 本 一 的 GARCH 模 型 的 静 态 预 测 效 果 最 优, 其 次 是 基 于 样 本 二 的 EGARCH 的 动 态 预 测 基 于 样 本 一 的 GARCH 模 型 静 态 预 测 与 基 于 样 本 二 的 EGARCH 模 型 动 态 预 测 效 果 相 比, 前 者 稍 优 一 些, 即 预 测 沪 深 300 日 收 益 率 的 波 动 率, 采 用 基 于 大 样 本 的 GARCH 模 型 预 测 效 果 比 较 理 想 五 小 结 本 文 系 统 梳 理 了 关 于 波 动 率 建 模 方 面 的 几 类 方 法, 并 采 用 相 对 前 沿 的 时 间 序 列 模 型 ARCH 类 模 型 针 对 沪 深 300 指 数 的 日 数 据, 做 了 波 动 率 方 面 的 预 测 比 较, 为 研 究 股 指 期 权 定 价 模 型, 做 了 关 于 波 动 率 参 数 设 定 方 面 的 有 益 尝 试 并 形 成 以 下 结 论 : 第 一, 沪 深 300 指 数 日 收 益 率 呈 现 良 好 的 正 态 分 布 特 征, 存 在 一 定 偏 峰 与 厚 尾 现 象, 但 是 依 然 可 以 有 效 的 通 过 平 稳 性 检 验, 在 置 信 度 99% 的 情 况 下, 可 以 认 为 是 统 计 上 平 稳 的 时 间 序 列 第 二. 从 上 市 至 今, 沪 深 300 指 数 的 日 收 益 率 整 体 上 没 有 杠 杆 效 应 : 即 正 的 收 益 率 与 负 的 收 益 率 对 第 二 天 指 数 波 动 影 响 没 有 明 显 区 别 ; 但 是 在 某 个 阶 段, 沪 深 300 指 数 会 呈 现 出 明 显 的 杠 杆 效 应,2012 年 9 月 19 日 到 2012 年 12 月 30 日 这 段 时 间, 负 的 收 益 率 与 正 的 收 益 率 相 比, 会 明 显 加 剧 次 日 指 数 的 波 动 情 况 第 三, 在 沪 深 300 指 数 收 益 的 波 动 率 预 测 上, 基 于 大 样 本 的 GARCH 模 型 静 态 预 测 效 果 最 好, 但 是 存 在 的 明 显 缺 陷 就 是, 大 样 本 对 于 近 期 的 信 息 反 应 不 够 充 分, 无 法 及 时 有 效 反 映 出 指 数 最 新 的 变 化 信 息 利 用 与 所 要 预 测 时 期 的 时 间 长 度 相 同 的 最 近 一 期 数 据 作 为 模 型 样 本, 虽 然 在 统 计 上 效 果 弱 于 大 样 本 预 测, 但 是 对 于 近 期 指 数 信 息 变 化 反 应 的 更 充 分, 采 用 EGARCH 模 型 进 行 动 态 预 测 比 较 理 想 规 范 诚 信 创 新 卓 越 请 仔 细 阅 读 本 报 告 为 部 分 的 免 责 声 明 10 / 13

ARCH 系 列 模 型 介 绍 与 应 用 附 录 : 基 于 样 本 二 建 立 的 GARCH 模 型 的 统 计 结 果 规 范 诚 信 创 新 卓 越 请 仔 细 阅 读 本 报 告 为 部 分 的 免 责 声 明 11 / 13

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