Chap 1 Black-Scholes定價理論

Size: px

Start display at page:

Download "Chap 1 Black-Scholes定價理論"

蓄庾
9 years ago
Views:

1 Chap 1 Black-Scholes 定價理論韓傳祥清華大學計量財務金融學系

2 布朗運動定義 2.1: 令隨機過程 W, 在機率空間 Ω, F, F, P 下的路徑是連續的, 而且服從對任何 s >, 1) W = ( 在時間的位置為 ), 2) W +s W ~N, s, 3) W +s W 是獨立於 W i+1 W i 對於任何 = < < n = ( 也就是給定時間上沒有重疊的兩個增量, 這些增量會互相獨立 ), 滿足以上條件的隨機過程稱為標準布朗運動

3 布朗運動的模擬在金融模型中, 布朗運動常用來模擬報酬率 Malab 程式 2-1: 根據布朗運動的定義模擬出軌跡 W = randn(1,25).* sqr(1/25); % 產生 1 25 個 N,1 分佈的樣本並乘上 1 25 [25 個模擬的日報酬 ] W = [ W]; % 從開始 W 1 = cumsum( W,2); % 累加增量以形成布朗運動軌跡 [ 一年內的累積報酬 ]

4 布朗運動的軌跡圖

5 定理 2.2: 布朗運動的隨機性質 1) Maringale 性質 : 布朗運動是一個 maringale 2) 布朗運動 W 是一個馬可夫過程 (Markov process) 3) 布朗運動的 Levy s 刻畫 : 隨機過程 W 是一個標準布朗運動若且唯若條件特徵函數 (condiional characerisic funcion) 為 E e ii W W s F s = e u2 s 2 4) 對任何常數 σ, Z = eee σw σ 2 /2 是 maringale Z 稱為指數平賭 (exponenial maringale)

6 函數的變分定義 2.3: 變分 (variaion). 在定義域 [,T] 上, 時間上的切割為 Π = =, 1,, n = T 且 Π = mmm i=,,n 1 j+1 j 1) ( 一次 ) 全變分 ((firs-order) oal variaion): 函數 f 的全變分, 記為 TT T f, 的定義是 TT T f = n 1 lll f j+1 Π j= f j 2) 二次變分 (quadraic Variaion): 函數 f 的二次變分, 記為 f, f T, 的定義是 n 1 2 f, f T = lll f j+1 f j Π j= 3) 交叉變分 (cross variaion): 函數 f 與 g 的交叉變分, 記為 f, g T, 的定義是 f, g T = n 1, lll f j+1 f j g j+1 g j Π j=

7 連續可微函數若函數 f 是一次連續可微函數, 記做 f C 1, T, 則 T 1) TV T f = f () 2) f, f T = dd

8 布朗運動不是有限變分定理 2.3: 給定了 T 之後, 布朗運動 W 的變分如下 : 1) 一次變分為 TV T W = 2) 二次變分為 W, W T = T a.s. 3) 交叉變分為 W, T T = W, W T =, 其中 W 與 W 是互為獨立的布朗運動

9 布朗運動的特色 1) 布朗運動的軌跡並非是平滑的 (smooh) 2) 布朗運動的軌跡雖是連續的, 但是幾乎處處不可微分 3) dw dw = dd, dw dd =, dw dw = 將上式的結果從時間到 T 積分則分別表示為 W, W T = T 與 W, T = W, W T =

10 幾何布朗運動 (geomeric Brownian moion, GBM) 在金融模型中, 幾何布朗運動, 亦稱為 log normal 過程, 是一個隨機過程常用來模擬股價的動態行為它服從以下結構 : S = S eee σw + μ σ 2 /2 也稱作 Black-Scholes 模型, 其中 S 記為時間的股價, W 記為布朗運動, μ 是報酬率 (reurn rae) 或成長率 (growh rae), σ > 是波動率 (volailiy)

= S eee σw + μ σ 2 /2 也稱作 Black-Scholes 模型, 其中 S 記為時間的股價, W 記為

11 應用布朗運動的二次變分 - 估計波動率對每個分割 =, 1,, n = T, 我們可以定義對數報酬 (log reurn) 如下 lll S j+1 S j = σ W j+1 W j + μ σ 2 /2 j+1 j 實現變異 (realized variance, RV) 的定義為 log 報酬率平方的均值 : n 1 1 T j= lll S j+1 S j 實現變異會收斂到整合變異 (inegraed variance) 1 T σ 2 dd = σ 2 2 T

12 隨機積分的財務解釋令給定的 Π = =, 1,, n = T 為固定的交易日期, 為一些事前給定的交易策略, 那麼 I, k 1 < k, 為從離散的交易策略 Δ 所累積的增益過程 (gain process) 或稱為財富過程 (wealh process) k 1 I = Δ j W j+1 W j + j= Δ k W W k = Δ u dw u

13 隨機積分的性質定理 : 令, T, 是一個適應性的過程, 而且滿足下列的積分條件 T E Δ 2 dd < 則 I = Δ u dw u 具有下列的性質 1) ( 連續性 ) I ω 對每一個 ω Ω 幾乎是處處連續 2) ( 適應性 ) 對每一個時間,I 都是 F measurable 也就是 I 對 F 是適應的 3) ( 線性 ) 如果 I = Δ u dw u 且 J = Γ u dw u, 則 αi + J = αδ u + Γ u dw u 4) (Maringale) I 是一個 maringale 5) (Io Isomery) E I 2 = E 2 u dd 6) (Quadraic Variaion) I, I = 2 u dd

measurable 也就是 I 對 F 是適應的 3) ( 線性 ) 如果 I = Δ u dw u 且 J = Γ u dw u, 則 αi + J = αδ u + Γ u

14 布朗運動的伊藤公式定理 : 若 f, x C 1,2, 也就是 f 函數對時間是一次可微連續, 對狀態 x 是二次可微連續, 而且 W 是一維的布朗運動, 則 f T, W T = f, W + f, W dd + f x, W dw f xx, W 或者以微分的形式寫出來 dd, W T T = f, W dd + f x, W dw f xx, W dd 備註 : 注意到最後一項 1 2 T 1 f xx, W dd或是 f 2 xx, W dd 稱為修正項 (correcion erm) T dd

f xx, W 或者以微分的形式寫出來 dd, W T T = f, W dd + f x, W dw + 1 2 f xx, W dd 備

15 證明描述在期間, T 中給定一分割 (pariion) Π = Taylor 展開可得到下面的結果 : n 1 =, 1, n = T 後, 利用 f T, W T f, W = f i+1, W i+1 f i, W i i= n 1 n 1 = f i, W i i+1 i + f x i, W i W i+1 W i i= i= n 1 n f 2 xx i, W i W i+1 W i + f i, W i i+1 i W i+1 W i i= i= n f 2 i, W i i+1 i + H. O. T hlgh ooooo ; 高次項 i= 利用定理 2.5, 可知道在最後等式中的前三項有非的收斂事實上其餘項包括所有 H.O.T 皆為收斂到

1 2 f 2 xx i, W i W i+1 W i + f i, W i i+1 i W i+1 W i i= i= n 1 + 1 2 f 2 i, W i i+1 i + H. O.

16 T W d W 的解若令 f x = x 2, 則由定理的微分型式可輕易看出 dw 2 = 2W dw dd T 也就是 W d W = W 2 T T 2, 其中 T 為修 2 正項, 而非使用傳統微積分所猜測的結果 W 2 T 2

17 伊藤過程 (Io Process) 定義如下中間項 Θ u dd X = X + Θ u dd + Δ u dw u 稱作漂移項 (drif erm), 最後一項 Δ u dw u 由於是一個隨機積分, 它具有 maringale 的性質, 因此通常也稱之為 maringale 項 (maringale erm) 整個由 Θ 以及 Δ 所定義出來的伊藤過程 X 通常也叫做一個連續半鞅的隨機過程 (coninuous semimaringale process)

質, 因此通常也稱之為 maringale 項 (maringale erm) 整個由 Θ 以及 Δ 所定義出來的

18 微分形式 (differenial form) dx = Θ dd + Δ dw X 若由一個隨機微分方程 (sochasic differenial equaion, SDE) 來定義, 它仍與原來積分的定義是等價的 SDE 的解具有馬可夫性質 (Markov propery)

19 Quadraic Variaion 引理 3.4:(Quadraic Variaion) X, X = Δ 2 u dd 透過微分的形式, 我們可以將 X 的過程描述如下 : dx = Θ dd + Δ dw 它的交叉變分是定義為 dx dx = 2 dd

20 伊藤過程的伊藤公式定理 : 若 f, x C 1,2 也就是函數 f 對時間是一次可微連續, 對狀態 x 是二次可微連續, 而且 dx = Θ dd + Δ dw, 則 f T, X T = f, X 或者 T T + f, X dd + f x, X dx f xx, X T d X, X dd, X = f, X dd + f x, X dx f xx, X d X, X

f T, X T = f, X 或者 T T + f, X dd + f x, X dx + 1 2 f xx,

21 運算表令 W 1 和 W 2 都是獨立的布朗運動. Θ dd 1 dw 1 2 dw 2 Θ dd 1 dw dd 2 dw dd

22 伊藤乘積法則定理 : ( 二維的伊藤公式, 或稱之為伊藤乘積法則 ) d X Y = X dy + Y dx + dx dd

23 高斯過程 (Gaussian process) r 是一個高斯過程的定義是, 將任一組離散的時間 1, 2,, n 所對應的隨機向量 r 1, r 2,, r n, 它們的聯合分配會服從多維的常態分配例子如下 1. Ornsein-Ulenbeck process 也稱作 Vasicek process: dr = α m r dd + σσw 2. Ho-Lee model:dr = g dd + σσw

24 均值回歸過程 (Mean-Revering Process) 則它的解 dr = α m r dd + σσw r = e α u r u + α e α s mmm u 是一個高斯過程, 而且它的邊界分配可被導出如下 + σe α s dw s u N e α u r u + m 1 e α u, σ2 2α 1 e 2α u N m, σ 2 2α 這個極限分配 (limiing disribuion) 稱作 r 過程的不變分配 (invarian disribuion)

25 幾何布朗運動對數常態過程 (Log-Normal Process) ds = rs dd + σs dw 其中起始股價 S = s 將 X = ln S, 則利用伊藤公式 dx = 這指出了 X 是常態分配並服從 r σ2 2 dd + σσw N ln s + r σ2 2, σ2 因此 S = e X, 所以幾何布朗運動 S, 也稱作 log-normal 過程, 意為取了對數後仍為常態分配

Microsoft Word - chead095.doc

Microsoft Word - chead095.doc 管制人员 : 康乐及文化事务署署长会交代本总目下的开支二 O 一 O 至一一年度预算... 54.547 亿元二 O 一 O 至一一年度的编制上限 ( 按薪级中点估计的年薪值 ) 相等于由二 O 一 O 年三月三十一日预算设有的 8 049 个非首长级职位,