中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 竞 赛 大 纲 ( 初 稿 ) 为 了 进 一 步 推 动 高 等 学 校 数 学 课 程 的 改 革 和 建 设, 提 高 大 学 数 学 课 程 的 教 学 水 平, 激 励 大 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣, 发 现 和 选 拔 数 学 创 新 人 才, 更 好 地 实 现 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 的 目 标, 特 制 订 本 大 纲 一 竞 赛 的 性 质 和 参 赛 对 象 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 的 目 的 是 : 激 励 大 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣, 进 一 步 推 动 高 等 学 校 数 学 课 程 的 改 革 和 建 设, 提 高 大 学 数 学 课 程 的 教 学 水 平, 发 现 和 选 拔 数 学 创 新 人 才 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 的 参 赛 对 象 为 大 学 本 科 二 年 级 及 二 年 级 以 上 的 在 校 大 学 生 二 竞 赛 的 内 容 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 分 为 数 学 专 业 类 竞 赛 题 和 非 数 学 专 业 类 竞 赛 题 ( 一 ) 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 ( 数 学 专 业 类 ) 竞 赛 内 容 为 大 学 本 科 数 学 专 业 基 础 课 的 教 学 内 容, 即, 数 学 分 析 占 50%, 高 等 代 数 占 35%, 解 析 几 何 占 15%, 具 体 内 容 如 下 : Ⅰ 数 学 分 析 部 分 一 集 合 与 函 数 1. 实 数 集 有 理 数 与 无 理 数 的 稠 密 性, 实 数 集 的 界 与 确 界 确 界 存 在 性 定 理 闭 区 间 套 定 理 聚 点 定 理 有 限 覆 盖 定 理. 2 2. 上 的 距 离 邻 域 聚 点 界 点 边 界 开 集 闭 集 有 界 ( 无 界 ) 集 2 上 的 n 闭 矩 形 套 定 理 聚 点 定 理 有 限 复 盖 定 理 基 本 点 列, 以 及 上 述 概 念 和 定 理 在 上 的 推 广. 3. 函 数 映 射 变 换 概 念 及 其 几 何 意 义, 隐 函 数 概 念, 反 函 数 与 逆 变 换, 反 函 数 存 在 性 定 理, 初 等 函 数 以 及 与 之 相 关 的 性 质. 二 极 限 与 连 续 1. 数 列 极 限 收 敛 数 列 的 基 本 性 质 ( 极 限 唯 一 性 有 界 性 保 号 性 不 等 式 性 质 ). 2. 数 列 收 敛 的 条 件 (Cauchy 准 则 迫 敛 性 单 调 有 界 原 理 数 列 收 敛 与 其 子 列 收 敛 的 1 关 系 ), 极 限 lim(1 ) n e 及 其 应 用. n n 3. 一 元 函 数 极 限 的 定 义 函 数 极 限 的 基 本 性 质 ( 唯 一 性 局 部 有 界 性 保 号 性 不 等 式 sin x 1 性 质 迫 敛 性 ), 归 结 原 则 和 Cauchy 收 敛 准 则, 两 个 重 要 极 限 lim 1, lim(1 ) x x x e 及 x 0 x 其 应 用, 计 算 一 元 函 数 极 限 的 各 种 方 法, 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 阶 的 比 较, 记 号 O 与 o 的 意 义, 多 元 函 数 重 极 限 与 累 次 极 限 概 念 基 本 性 质, 二 元 函 数 的 二 重 极 限 与 累 次 极 限 的 关 系. 4. 函 数 连 续 与 间 断 一 致 连 续 性 连 续 函 数 的 局 部 性 质 ( 局 部 有 界 性 保 号 性 ), 有 界 闭 集 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 有 界 性 最 大 值 最 小 值 定 理 介 值 定 理 一 致 连 续 性 ). 三 一 元 函 数 微 分 学 1. 导 数 及 其 几 何 意 义 可 导 与 连 续 的 关 系 导 数 的 各 种 计 算 方 法, 微 分 及 其 几 何 意 义 可 微 与 可 导 的 关 系 一 阶 微 分 形 式 不 变 性. 2. 微 分 学 基 本 定 理 :Fermat 定 理,Rolle 定 理,Lagrange 定 理,Cauchy 定 理,Taylor 公 式 (Peano 余 项 与 Lagrange 余 项 ). 3. 一 元 微 分 学 的 应 用 : 函 数 单 调 性 的 判 别 极 值 最 大 值 和 最 小 值 凸 函 数 及 其 应 用 1
曲 线 的 凹 凸 性 拐 点 渐 近 线 函 数 图 象 的 讨 论 洛 必 达 (L'Hospital) 法 则 近 似 计 算. 四 多 元 函 数 微 分 学 1. 偏 导 数 全 微 分 及 其 几 何 意 义, 可 微 与 偏 导 存 在 连 续 之 间 的 关 系, 复 合 函 数 的 偏 导 数 与 全 微 分, 一 阶 微 分 形 式 不 变 性, 方 向 导 数 与 梯 度, 高 阶 偏 导 数, 混 合 偏 导 数 与 顺 序 无 关 性, 二 元 函 数 中 值 定 理 与 Taylor 公 式. 2. 隐 函 数 存 在 定 理 隐 函 数 组 存 在 定 理 隐 函 数 ( 组 ) 求 导 方 法 反 函 数 组 与 坐 标 变 换. 3. 几 何 应 用 ( 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 ). 4. 极 值 问 题 ( 必 要 条 件 与 充 分 条 件 ), 条 件 极 值 与 Lagrange 乘 数 法. 五 一 元 函 数 积 分 学 1. 原 函 数 与 不 定 积 分 不 定 积 分 的 基 本 计 算 方 法 ( 直 接 积 分 法 换 元 法 分 部 积 分 法 ) 2 有 理 函 数 积 分 : R(cos x,sin x) dx型, R( x, ax bx c ) dx型. 2. 定 积 分 及 其 几 何 意 义 可 积 条 件 ( 必 要 条 件 充 要 条 件 : i xi ) 可 积 函 数 类. 3. 定 积 分 的 性 质 ( 关 于 区 间 可 加 性 不 等 式 性 质 绝 对 可 积 性 定 积 分 第 一 中 值 定 理 ) 变 上 限 积 分 函 数 微 积 分 基 本 定 理 N-L 公 式 及 定 积 分 计 算 定 积 分 第 二 中 值 定 理. 4. 无 限 区 间 上 的 广 义 积 分 Canchy 收 敛 准 则 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 f ( x ) 非 负 时 f ( xdx ) 的 收 敛 性 判 别 法 ( 比 较 原 则 柯 西 判 别 法 ) Abel 判 别 法 Dirichlet 判 别 法 a 无 界 函 数 广 义 积 分 概 念 及 其 收 敛 性 判 别 法. 5. 微 元 法 几 何 应 用 ( 平 面 图 形 面 积 已 知 截 面 面 积 函 数 的 体 积 曲 线 弧 长 与 弧 微 分 旋 转 体 体 积 ), 其 他 应 用. 六 多 元 函 数 积 分 学 1. 二 重 积 分 及 其 几 何 意 义 二 重 积 分 的 计 算 ( 化 为 累 次 积 分 极 坐 标 变 换 一 般 坐 标 变 换 ). 2. 三 重 积 分 三 重 积 分 计 算 ( 化 为 累 次 积 分 柱 坐 标 球 坐 标 变 换 ). 3. 重 积 分 的 应 用 ( 体 积 曲 面 面 积 重 心 转 动 惯 量 等 ). 4. 含 参 量 正 常 积 分 及 其 连 续 性 可 微 性 可 积 性, 运 算 顺 序 的 可 交 换 性. 含 参 量 广 义 积 分 的 一 致 收 敛 性 及 其 判 别 法, 含 参 量 广 义 积 分 的 连 续 性 可 微 性 可 积 性, 运 算 顺 序 的 可 交 换 性. 5. 第 一 型 曲 线 积 分 曲 面 积 分 的 概 念 基 本 性 质 计 算. 6. 第 二 型 曲 线 积 分 概 念 性 质 计 算 ;Green 公 式, 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件. 7. 曲 面 的 侧 第 二 型 曲 面 积 分 的 概 念 性 质 计 算, 奥 高 公 式 Stoke 公 式, 两 类 线 积 分 两 类 面 积 分 之 间 的 关 系. 七 无 穷 级 数 1. 数 项 级 数 级 数 及 其 敛 散 性, 级 数 的 和,Cauchy 准 则, 收 敛 的 必 要 条 件, 收 敛 级 数 基 本 性 质 ; 正 项 级 数 收 敛 的 充 分 必 要 条 件, 比 较 原 则 比 式 判 别 法 根 式 判 别 法 以 及 它 们 的 极 限 形 式 ; 交 错 级 数 的 Leibniz 判 别 法 ; 一 般 项 级 数 的 绝 对 收 敛 条 件 收 敛 性 Abel 判 别 法 Dirichlet 判 别 法. 2. 函 数 项 级 数 函 数 列 与 函 数 项 级 数 的 一 致 收 敛 性 Cauchy 准 则 一 致 收 敛 性 判 别 法 (M- 判 别 法 Abel 判 别 法 Dirichlet 判 别 法 ) 一 致 收 敛 函 数 列 函 数 项 级 数 的 性 质 及 其 应 用. 2
3. 幂 级 数 幂 级 数 概 念 Abel 定 理 收 敛 半 径 与 区 间, 幂 级 数 的 一 致 收 敛 性, 幂 级 数 的 逐 项 可 积 性 可 微 性 及 其 应 用, 幂 级 数 各 项 系 数 与 其 和 函 数 的 关 系 函 数 的 幂 级 数 展 开 Taylor 级 数 Maclaurin 级 数. 4.Fourier 级 数 三 角 级 数 三 角 函 数 系 的 正 交 性 2 及 2l 周 期 函 数 的 Fourier 级 数 展 开 Beseel 不 等 式 Riemanm-Lebesgue 定 理 按 段 光 滑 函 数 的 Fourier 级 数 的 收 敛 性 定 理. Ⅱ 高 等 代 数 部 分 一 多 项 式 1. 数 域 与 一 元 多 项 式 的 概 念 2. 多 项 式 整 除 带 余 除 法 最 大 公 因 式 辗 转 相 除 法 3. 互 素 不 可 约 多 项 式 重 因 式 与 重 根. 4. 多 项 式 函 数 余 数 定 理 多 项 式 的 根 及 性 质. 5. 代 数 基 本 定 理 复 系 数 与 实 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解. 6. 本 原 多 项 式 Gauss 引 理 有 理 系 数 多 项 式 的 因 式 分 解 Eisenstein 判 别 法 有 理 数 域 上 多 项 式 的 有 理 根. 7. 多 元 多 项 式 及 对 称 多 项 式 韦 达 (Vieta) 定 理. 二 行 列 式 1. n 级 行 列 式 的 定 义. 2. n 级 行 列 式 的 性 质. 3. 行 列 式 的 计 算. 4. 行 列 式 按 一 行 ( 列 ) 展 开. 5. 拉 普 拉 斯 (Laplace) 展 开 定 理. 6. 克 拉 默 (Cramer) 法 则. 三 线 性 方 程 组 1. 高 斯 (Gauss) 消 元 法 线 性 方 程 组 的 初 等 变 换 线 性 方 程 组 的 一 般 解. 2. n 维 向 量 的 运 算 与 向 量 组. 3. 向 量 的 线 性 组 合 线 性 相 关 与 线 性 无 关 两 个 向 量 组 的 等 价. 4. 向 量 组 的 极 大 无 关 组 向 量 组 的 秩. 5. 矩 阵 的 行 秩 列 秩 秩 矩 阵 的 秩 与 其 子 式 的 关 系. 6. 线 性 方 程 组 有 解 判 别 定 理 线 性 方 程 组 解 的 结 构. 7. 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 解 空 间 及 其 维 数 四 矩 阵 1. 矩 阵 的 概 念 矩 阵 的 运 算 ( 加 法 数 乘 乘 法 转 置 等 运 算 ) 及 其 运 算 律. 2. 矩 阵 乘 积 的 行 列 式 矩 阵 乘 积 的 秩 与 其 因 子 的 秩 的 关 系. 3. 矩 阵 的 逆 伴 随 矩 阵 矩 阵 可 逆 的 条 件. 4. 分 块 矩 阵 及 其 运 算 与 性 质. 5. 初 等 矩 阵 初 等 变 换 矩 阵 的 等 价 标 准 形. 6. 分 块 初 等 矩 阵 分 块 初 等 变 换. 五 双 线 性 函 数 与 二 次 型 3
1. 双 线 性 函 数 对 偶 空 间 2. 二 次 型 及 其 矩 阵 表 示. 3. 二 次 型 的 标 准 形 化 二 次 型 为 标 准 形 的 配 方 法 初 等 变 换 法 正 交 变 换 法. 4. 复 数 域 和 实 数 域 上 二 次 型 的 规 范 形 的 唯 一 性 惯 性 定 理. 5. 正 定 半 正 定 负 定 二 次 型 及 正 定 半 正 定 矩 阵 六 线 性 空 间 1. 线 性 空 间 的 定 义 与 简 单 性 质. 2. 维 数, 基 与 坐 标. 3. 基 变 换 与 坐 标 变 换. 4. 线 性 子 空 间. 5. 子 空 间 的 交 与 和 维 数 公 式 子 空 间 的 直 和. 七 线 性 变 换 1. 线 性 变 换 的 定 义 线 性 变 换 的 运 算 线 性 变 换 的 矩 阵. 2. 特 征 值 与 特 征 向 量 可 对 角 化 的 线 性 变 换. 3. 相 似 矩 阵 相 似 不 变 量 哈 密 尔 顿 - 凯 莱 定 理. 4. 线 性 变 换 的 值 域 与 核 不 变 子 空 间. 八 若 当 标 准 形 1. 矩 阵. 2. 行 列 式 因 子 不 变 因 子 初 等 因 子 矩 阵 相 似 的 条 件. 3. 若 当 标 准 形. 九 欧 氏 空 间 1. 内 积 和 欧 氏 空 间 向 量 的 长 度 夹 角 与 正 交 度 量 矩 阵. 2. 标 准 正 交 基 正 交 矩 阵 施 密 特 (Schmidt) 正 交 化 方 法. 3. 欧 氏 空 间 的 同 构. 4. 正 交 变 换 子 空 间 的 正 交 补. 5. 对 称 变 换 实 对 称 矩 阵 的 标 准 形. 6. 主 轴 定 理 用 正 交 变 换 化 实 二 次 型 或 实 对 称 矩 阵 为 标 准 形. 7. 酉 空 间. Ⅲ 解 析 几 何 部 分 一 向 量 与 坐 标 1. 向 量 的 定 义 表 示 向 量 的 线 性 运 算 向 量 的 分 解 几 何 运 算. 2. 坐 标 系 的 概 念 向 量 与 点 的 坐 标 及 向 量 的 代 数 运 算. 3. 向 量 在 轴 上 的 射 影 及 其 性 质 方 向 余 弦 向 量 的 夹 角. 4. 向 量 的 数 量 积 向 量 积 和 混 合 积 的 定 义 几 何 意 义 运 算 性 质 计 算 方 法 及 应 用. 5. 应 用 向 量 求 解 一 些 几 何 三 角 问 题. 二 轨 迹 与 方 程 1. 曲 面 方 程 的 定 义 : 普 通 方 程 参 数 方 程 ( 向 量 式 与 坐 标 式 之 间 的 互 化 ) 及 其 关 系. 2. 空 间 曲 线 方 程 的 普 通 形 式 和 参 数 方 程 形 式 及 其 关 系. 4
3. 建 立 空 间 曲 面 和 曲 线 方 程 的 一 般 方 法 应 用 向 量 建 立 简 单 曲 面 曲 线 的 方 程. 4. 球 面 的 标 准 方 程 和 一 般 方 程 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 方 程. 三 平 面 与 空 间 直 线 1. 平 面 方 程 直 线 方 程 的 各 种 形 式, 方 程 中 各 有 关 字 母 的 意 义. 2. 从 决 定 平 面 和 直 线 的 几 何 条 件 出 发, 选 用 适 当 方 法 建 立 平 面 直 线 方 程. 3. 根 据 平 面 和 直 线 的 方 程, 判 定 平 面 与 平 面 直 线 与 直 线 平 面 与 直 线 间 的 位 置 关 系. 4. 根 据 平 面 和 直 线 的 方 程 及 点 的 坐 标 判 定 有 关 点 平 面 直 线 之 间 的 位 置 关 系 计 算 他 们 之 间 的 距 离 与 交 角 等 ; 求 两 异 面 直 线 的 公 垂 线 方 程. 四 二 次 曲 面 1. 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 的 定 义, 求 柱 面 锥 面 旋 转 曲 面 的 方 程. 2. 椭 球 面 双 曲 面 与 抛 物 面 的 标 准 方 程 和 主 要 性 质, 根 据 不 同 条 件 建 立 二 次 曲 面 的 标 准 方 程. 3. 单 叶 双 曲 面 双 曲 抛 物 面 的 直 纹 性 及 求 单 叶 双 曲 面 双 曲 抛 物 面 的 直 母 线 的 方 法. 4. 根 据 给 定 直 线 族 求 出 它 表 示 的 直 纹 面 方 程, 求 动 直 线 和 动 曲 线 的 轨 迹 问 题. 五 二 次 曲 线 的 一 般 理 论 1. 二 次 曲 线 的 渐 进 方 向 中 心 渐 近 线. 2. 二 次 曲 线 的 切 线 二 次 曲 线 的 正 常 点 与 奇 异 点. 3. 二 次 曲 线 的 直 径 共 轭 方 向 与 共 轭 直 径. 4. 二 次 曲 线 的 主 轴 主 方 向, 特 征 方 程 特 征 根. 5. 化 简 二 次 曲 线 方 程 并 画 出 曲 线 在 坐 标 系 的 位 置 草 图. ( 二 ) 中 国 大 学 生 数 学 竞 赛 ( 非 数 学 专 业 类 ) 竞 赛 内 容 为 大 学 本 科 理 工 科 专 业 高 等 数 学 课 程 的 教 学 内 容, 具 体 内 容 如 下 : 一 函 数 极 限 连 续 1. 函 数 的 概 念 及 表 示 法 简 单 应 用 问 题 的 函 数 关 系 的 建 立. 2. 函 数 的 性 质 : 有 界 性 单 调 性 周 期 性 和 奇 偶 性. 3. 复 合 函 数 反 函 数 分 段 函 数 和 隐 函 数 基 本 初 等 函 数 的 性 质 及 其 图 形 初 等 函 数. 4. 数 列 极 限 与 函 数 极 限 的 定 义 及 其 性 质 函 数 的 左 极 限 与 右 极 限. 5. 无 穷 小 和 无 穷 大 的 概 念 及 其 关 系 无 穷 小 的 性 质 及 无 穷 小 的 比 较. 6. 极 限 的 四 则 运 算 极 限 存 在 的 单 调 有 界 准 则 和 夹 逼 准 则 两 个 重 要 极 限. 7. 函 数 的 连 续 性 ( 含 左 连 续 与 右 连 续 ) 函 数 间 断 点 的 类 型. 8. 连 续 函 数 的 性 质 和 初 等 函 数 的 连 续 性. 9. 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质 ( 有 界 性 最 大 值 和 最 小 值 定 理 介 值 定 理 ). 二 一 元 函 数 微 分 学 1. 导 数 和 微 分 的 概 念 导 数 的 几 何 意 义 和 物 理 意 义 函 数 的 可 导 性 与 连 续 性 之 间 的 关 系 平 面 曲 线 的 切 线 和 法 线. 2. 基 本 初 等 函 数 的 导 数 导 数 和 微 分 的 四 则 运 算 一 阶 微 分 形 式 的 不 变 性. 3. 复 合 函 数 反 函 数 隐 函 数 以 及 参 数 方 程 所 确 定 的 函 数 的 微 分 法. 4. 高 阶 导 数 的 概 念 分 段 函 数 的 二 阶 导 数 某 些 简 单 函 数 的 n 阶 导 数. 5
5. 微 分 中 值 定 理, 包 括 罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理 柯 西 中 值 定 理 和 泰 勒 定 理. 6. 洛 必 达 (L Hospital) 法 则 与 求 未 定 式 极 限. 7. 函 数 的 极 值 函 数 单 调 性 函 数 图 形 的 凹 凸 性 拐 点 及 渐 近 线 ( 水 平 铅 直 和 斜 渐 近 线 ) 函 数 图 形 的 描 绘. 8. 函 数 最 大 值 和 最 小 值 及 其 简 单 应 用. 9. 弧 微 分 曲 率 曲 率 半 径. 三 一 元 函 数 积 分 学 1. 原 函 数 和 不 定 积 分 的 概 念. 2. 不 定 积 分 的 基 本 性 质 基 本 积 分 公 式. 3. 定 积 分 的 概 念 和 基 本 性 质 定 积 分 中 值 定 理 变 上 限 定 积 分 确 定 的 函 数 及 其 导 数 牛 顿 - 莱 布 尼 茨 (Newton-Leibniz) 公 式. 4. 不 定 积 分 和 定 积 分 的 换 元 积 分 法 与 分 部 积 分 法. 5. 有 理 函 数 三 角 函 数 的 有 理 式 和 简 单 无 理 函 数 的 积 分. 6. 广 义 积 分. 7. 定 积 分 的 应 用 : 平 面 图 形 的 面 积 平 面 曲 线 的 弧 长 旋 转 体 的 体 积 及 侧 面 积 平 行 截 面 面 积 为 已 知 的 立 体 体 积 功 引 力 压 力 及 函 数 的 平 均 值. 四. 常 微 分 方 程 1. 常 微 分 方 程 的 基 本 概 念 : 微 分 方 程 及 其 解 阶 通 解 初 始 条 件 和 特 解 等. 2. 变 量 可 分 离 的 微 分 方 程 齐 次 微 分 方 程 一 阶 线 性 微 分 方 程 伯 努 利 (Bernoulli) 方 程 全 微 分 方 程. (n) 3. 可 用 简 单 的 变 量 代 换 求 解 的 某 些 微 分 方 程 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程 : y f ( x), y f ( x, y ), y f ( y, y ). 4. 线 性 微 分 方 程 解 的 性 质 及 解 的 结 构 定 理. 5. 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 高 于 二 阶 的 某 些 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程. 6. 简 单 的 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 : 自 由 项 为 多 项 式 指 数 函 数 正 弦 函 数 余 弦 函 数, 以 及 它 们 的 和 与 积 7. 欧 拉 (Euler) 方 程. 8. 微 分 方 程 的 简 单 应 用 五 向 量 代 数 和 空 间 解 析 几 何 1. 向 量 的 概 念 向 量 的 线 性 运 算 向 量 的 数 量 积 和 向 量 积 向 量 的 混 合 积. 2. 两 向 量 垂 直 平 行 的 条 件 两 向 量 的 夹 角. 3. 向 量 的 坐 标 表 达 式 及 其 运 算 单 位 向 量 方 向 数 与 方 向 余 弦. 4. 曲 面 方 程 和 空 间 曲 线 方 程 的 概 念 平 面 方 程 直 线 方 程. 5. 平 面 与 平 面 平 面 与 直 线 直 线 与 直 线 的 夹 角 以 及 平 行 垂 直 的 条 件 点 到 平 面 和 点 到 直 线 的 距 离. 6. 球 面 母 线 平 行 于 坐 标 轴 的 柱 面 旋 转 轴 为 坐 标 轴 的 旋 转 曲 面 的 方 程 常 用 的 二 次 曲 面 方 程 及 其 图 形. 7. 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 和 一 般 方 程 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 曲 线 方 程. 六 多 元 函 数 微 分 学 1. 多 元 函 数 的 概 念 二 元 函 数 的 几 何 意 义. 2. 二 元 函 数 的 极 限 和 连 续 的 概 念 有 界 闭 区 域 上 多 元 连 续 函 数 的 性 质. 6
3. 多 元 函 数 偏 导 数 和 全 微 分 全 微 分 存 在 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件. 4. 多 元 复 合 函 数 隐 函 数 的 求 导 法. 5. 二 阶 偏 导 数 方 向 导 数 和 梯 度. 6. 空 间 曲 线 的 切 线 和 法 平 面 曲 面 的 切 平 面 和 法 线. 7. 二 元 函 数 的 二 阶 泰 勒 公 式. 8. 多 元 函 数 极 值 和 条 件 极 值 拉 格 朗 日 乘 数 法 多 元 函 数 的 最 大 值 最 小 值 及 其 简 单 应 用. 七 多 元 函 数 积 分 学 1. 二 重 积 分 和 三 重 积 分 的 概 念 及 性 质 二 重 积 分 的 计 算 ( 直 角 坐 标 极 坐 标 ) 三 重 积 分 的 计 算 ( 直 角 坐 标 柱 面 坐 标 球 面 坐 标 ). 2. 两 类 曲 线 积 分 的 概 念 性 质 及 计 算 两 类 曲 线 积 分 的 关 系. 3. 格 林 (Green) 公 式 平 面 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件 已 知 二 元 函 数 全 微 分 求 原 函 数. 4. 两 类 曲 面 积 分 的 概 念 性 质 及 计 算 两 类 曲 面 积 分 的 关 系. 5. 高 斯 (Gauss) 公 式 斯 托 克 斯 (Stokes) 公 式 散 度 和 旋 度 的 概 念 及 计 算. 6. 重 积 分 曲 线 积 分 和 曲 面 积 分 的 应 用 ( 平 面 图 形 的 面 积 立 体 图 形 的 体 积 曲 面 面 积 弧 长 质 量 质 心 转 动 惯 量 引 力 功 及 流 量 等 ) 八 无 穷 级 数 1. 常 数 项 级 数 的 收 敛 与 发 散 收 敛 级 数 的 和 级 数 的 基 本 性 质 与 收 敛 的 必 要 条 件. 2. 几 何 级 数 与 p 级 数 及 其 收 敛 性 正 项 级 数 收 敛 性 的 判 别 法 交 错 级 数 与 莱 布 尼 茨 (Leibniz) 判 别 法. 3. 任 意 项 级 数 的 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛. 4. 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 与 和 函 数 的 概 念. 5. 幂 级 数 及 其 收 敛 半 径 收 敛 区 间 ( 指 开 区 间 ) 收 敛 域 与 和 函 数. 6. 幂 级 数 在 其 收 敛 区 间 内 的 基 本 性 质 ( 和 函 数 的 连 续 性 逐 项 求 导 和 逐 项 积 分 ) 简 单 幂 级 数 的 和 函 数 的 求 法. 7. 初 等 函 数 的 幂 级 数 展 开 式. 8. 函 数 的 傅 里 叶 (Fourier) 系 数 与 傅 里 叶 级 数 狄 利 克 雷 (Dirichlei) 定 理 函 数 在 [-l, l] 上 的 傅 里 叶 级 数 函 数 在 [0,l] 上 的 正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 7