课 程 题 目 : 解 决 概 率 问 题 的 万 能 法 教 师 : 卿 恩 明 职 业 信 息 : AP 经 济 学,SAT,TOEFL 教 师 第 1 节 : Cassie: Sherry, 你 怎 么 看 起 来 愁 眉 苦 脸? Sherry: o() ))o 唉 最 近 作 业 太 多 了! Cassie; 你 每 天 要 做 多 少 作 业 啊? Sherry; 不 一 定, 做 完 一 个 老 师 的 作 业, 大 概 在 30-90 分 钟 吧 有 三 位 老 师, 张 老 师, 何 老 师, 黄 老 师 都 要 布 置 作 业! 我 明 天 还 约 了 同 学 出 去 玩 呢, 也 不 知 道 作 业 能 不 能 做 完! Cassie: 记 得 上 节 课 我 们 做 了 一 个 游 戏 吗? 你 可 以 通 过 那 堂 课 的 内 容, 来 估 算 一 你 做 完 作 业, 可 以 出 去 玩 的 概 率 Sherry:" 哦, 你 说 的 是 那 个 游 戏 吧 我 们 6 个 人,4 个 女 生 2 个 男 生, 围 着 转 盘 站 成 一 个 圈, 我 们 转 动 了 3 次 转 盘, 让 我 惊 讶 的 是, 我 们 一 共 抽 到 了 2 次 男 生, 一 次 女 生." 视 屏 放 游 戏 第 2 节 : Cassie: 大 家 是 不 是 很 惊 讶? 女 孩 的 数 量 是 男 孩 的 两 倍, 为 什 么 轮 盘 转 了 三 次, 抽 中 了 两 个 男 孩? 我 是 不 是 在 轮 盘 上 面 做 了 手 脚 呢? 今 天, 我 把 那 个 轮 盘 带 来 了, 现 在 让 我 们 再 来 玩 一 玩 这 个 游 戏 吧 并 且 让 我 们 算 一 算 抽 取 两 个 男 孩 的 概 率 与 此 同 时, 希 望 我 们 能 找 出 一 个 万 能 的 方 法 来 处 理 日 常 生 活 中 的 未 知 事 件 活 动 1: 学 生 玩 转 盘 游 戏 1
第 3 节 : Cassie: 同 学 们, 上 个 活 动 做 得 怎 么 样? 在 解 决 你 们 的 困 惑 之 前, 我 们 来 看 一 看 屏 幕 上 的 树 状 图 树 上 很 多 分 支, 树 的 末 端 代 表 了 各 种 可 能, 所 有 的 末 端 加 在 一 起 称 为 : 样 本 容 量 Sherry, 你 能 够 说 明 一 下 你 对 样 本 容 量 的 理 解 吗? Sherry: 好 的, 样 本 容 量 中 的 所 有 结 果 都 是 不 可 再 细 分, 完 全 穷 尽, 和 相 互 排 斥 的 举 个 例 子, 在 这 个 树 状 图 的 末 端, 有 一 种 可 能 性 是 男 男 女, 还 有 一 种 是 女 女 男, 这 两 种 结 果 就 叫 做 不 可 再 细 分, 因 为 在 这 个 实 验 里, 我 们 不 考 虑 男 孩 或 是 女 孩 的 其 他 信 息, 比 如 身 高, 体 重, 年 龄, 等 等 我 们 只 考 虑 他 们 的 性 别 所 以 最 后 的 结 果 只 可 能 是 性 别, 也 就 是 男 女 的 排 列 组 合 Cassie: 非 常 好 下 面 我 们 来 讨 论 一 下 什 么 是 相 互 排 斥? 什 么 又 是 完 全 穷 尽? 你 能 想 出 一 些 例 子 来 解 释 这 两 个 概 念 吗? 比 如 说 你 们 的 数 学 成 绩. 动 动 脑 筋 吧, 我 们 马 上 就 回 来! 活 动 2: 学 生 通 过 讨 论 数 学 成 绩, 熟 悉 完 全 穷 尽 和 相 互 排 斥 的 概 念 第 4 节 : Cassie: 你 们 得 出 什 么 样 的 结 果 呢? 假 设 你 的 期 末 成 绩 只 能 是 A,B, C,D, 或 者 F, 不 能 有 A 加 或 者 A 减 这 五 种 成 绩 就 是 一 个 样 本 容 量 那 么 这 五 种 成 绩 就 是 相 互 排 斥 的, 因 为 一 个 同 学 不 能 同 时 又 拿 A, 又 拿 B 这 五 种 成 绩 也 是 完 全 穷 尽 的, 因 为 一 个 学 生 不 可 能 拿 到 一 个 这 5 种 成 绩 以 外 的 成 绩 了 那 么 通 过 这 些 概 念, 我 们 来 回 想 一 下 之 前 那 个 转 盘 游 戏 吧 Sherry: 回 到 我 们 的 转 盘 游 戏, 样 本 容 量 就 是 女 孩 和 男 孩 出 现 的 所 有 可 能 性 的 组 合 Cassie: 同 学 们, 你 能 否 想 一 想, 转 动 三 次 转 盘, 那 么 所 有 男 女 组 合 的 可 能 性 有 多 少 种 呢? 活 动 3: 学 生 计 算 转 动 三 次 转 盘, 男 孩 和 女 孩 出 现 的 所 有 可 能? 2
第 5 节 : 欢 迎 回 来 你 的 答 案 是 什 么? 转 动 三 次 转 盘, 男 孩 和 女 孩 出 现 的 排 列 组 合 有 多 少 种 呢?7 种 还 是 8 种? 我 这 里 有 一 个 树 状 图, 我 们 把 它 叫 做 概 率 树 树 的 末 端 代 表 了 每 一 种 可 能 的 排 列 组 合 结 果 我 们 来 数 一 数,1,2,3., 这 个 树 有 7 个 末 端, 所 以 它 反 映 了 7 个 相 互 排 斥, 完 全 穷 尽 所 有 男 女 组 合 这 7 种 结 果 是 相 互 排 斥 的, 因 为 没 有 两 种 结 果 能 同 时 出 现 他 们 也 是 完 全 穷 尽 的, 因 为 其 中 的 一 种 结 果 一 定 会 出 现, 同 时, 这 7 个 末 端 又 是 不 可 再 细 分, 因 为 每 一 个 末 端 都 表 示 了 一 种 结 果 注 意, 可 不 是 8 种 哦, 在 这 个 游 戏 里, 我 们 只 有 两 名 男 生, 所 以 不 可 能 出 现 男 男 男 的 组 合 Sherry:" 现 在 我 们 已 经 完 全 搞 清 了 样 本 容 量 的 概 念, 让 我 们 再 做 个 练 习 吧 首 先 我 们 把 每 种 结 果 的 概 率 加 入 样 本 容 量 在 屏 幕 上, 找 出 两 男 一 女 的 结 果, 算 出 它 的 概 率 活 动 4: 学 生 计 算 转 动 三 次 转 盘, 抽 中 两 男 一 女 的 概 率 是 多 少? 第 6 节 : Cassie: 通 过 这 个 概 率 树 状 图 我 们 可 以 看 到, 有 三 个 加 了 颜 色 的 末 端 包 含 了 两 男 一 女, 所 以 两 男 一 女 的 概 率 应 该 是 这 三 个 结 果 的 概 率 相 加. 我 们 应 该 如 何 计 算 每 种 结 果 的 概 率 呢? 我 们 可 以 看 到, 男 女 的 排 序 不 同 在 每 一 节 小 的 树 枝 上, 对 应 一 个 条 件 概 率 一 个 事 件 的 条 件 概 率 取 决 于 另 一 个 已 经 发 生 了 的 事 件 Sherry, 我 们 来 看 男 男 女 这 种 情 况 如 果 第 一 个 选 中 的 是 男 孩, 那 么 再 选 一 个 男 孩 的 条 件 概 率 是 多 少 呢? 同 学 们, 你 们 也 和 Sherry 一 起 思 考 一 下, 我 们 等 会 儿 见! 活 动 5: 学 生 计 算 男 男 女 这 种 情 况 的 概 率 第 7 节 : Sherry: 这 里 我 们 需 要 提 到 条 件 概 率 如 果 我 们 已 经 抽 取 了 一 个 男 孩, 那 么 这 里 就 剩 余 1 个 男 孩 和 4 个 女 孩, 所 以 在 抽 取 一 个 男 孩 后, 再 抽 取 一 个 男 孩 的 几 率 3
是 五 分 之 一, 这 里 的 五 分 之 一 就 是 抽 取 该 男 孩 的 条 件 概 率 如 果 我 们 想 知 道 抽 取 男 男 女 的 的 概 率, 我 们 就 要 把 每 次 抽 取 时 男 女 的 条 件 概 率 乘 起 来, 那 么 就 是 (2/6)*(1/5)*(4/4) = (1/15). 同 理 我 们 可 以 算 出 女 男 男 的 概 率 :4/6 2/5 1/4=1/15, 以 及 男 女 男 的 概 率 :2/6 4/5 1/4=1/15 如 果 我 们 把 所 有 抽 到 两 个 男 孩 一 个 女 孩 的 概 率 加 起 来,1/15+1/15+1/15=1/5, 那 在 换 算 成 百 分 比, 那 么 就 会 得 到 20%. Cassie: 到 了 检 测 你 们 对 知 识 点 理 解 的 时 候 了, 我 准 备 了 一 个 问 题 : 转 三 次 轮 盘, 抽 取 3 个 女 孩 的 概 率 是 多 少 呢? 活 动 6: 学 生 算 出 抽 取 女 女 女 的 概 率 第 8 节 Cassie: 欢 迎 回 来, 你 们 算 的 怎 么 样? 大 家 可 以 看 到, 大 屏 幕 上, 样 本 容 量 依 旧 是 这 7 种 结 果, 所 有 的 条 件 概 率 也 和 之 前 相 同 我 们 把 抽 取 三 个 女 孩 的 条 件 概 率 相 乘, 就 会 得 到 (4/6)*(3/5)*(2/4) = (1/5)= 20% 这 里 的 百 分 之 20 就 是 抽 取 三 个 女 孩 的 概 率 Cassie: 同 学 们, 你 们 还 记 得 Sherry 之 前 的 烦 恼 吗?( 播 放 Sherry 做 作 业 场 景 ) 下 面 我 们 来 思 考 一 下 Sherry 之 前 提 出 的 作 业 量 问 题 张 老 师 跟 何 老 师 每 天 要 布 置 的 作 业 量 分 别 可 能 是 30 分 钟, 或 者 60 分 钟, 或 者 90 分 钟, 三 种 情 况 概 率 相 同, 并 且 两 位 老 师 的 作 业 量 互 不 影 响 有 时 候, 很 幸 运, 如 果 两 位 老 师 的 作 业 量 都 分 别 是 30 分 钟, 有 时 候 非 常 不 幸, 因 为 两 位 老 师 的 作 业 量 都 是 90 分 钟 还 有 黄 老 师, 她 的 作 业 量 要 么 30 分 钟, 要 么 90 分 钟, 概 率 相 同 并 且 黄 老 师 的 作 业 量 独 立 于 其 他 两 位 老 师 活 动 7: 学 生 根 据 三 位 老 师 每 天 的 作 业 量 画 一 颗 概 率 树, 预 测 每 天 可 能 的 作 业 总 量 第 9 节 : Cassie: 欢 迎 回 来 同 学 们, 你 们 做 的 树 状 图 跟 老 师 的 一 样 吗? 下 面 我 们 来 看 一 下 4
屏 幕 吧 先 来 看 一 下 这 棵 树 有 多 少 个 末 端 1,2,3,4,5 一 共 有 18 个 末 端, 也 就 是 有 18 种 结 果, 每 一 种 结 果 发 生 的 概 率 刚 好 是 1/18 同 学 们, 你 们 可 以 根 据 作 业 量, 做 一 个 概 率 图 吗? 活 动 8: 学 生 制 作 概 率 图 第 10 节 : Cassie: 屏 幕 上 显 示 了 一 晚 上 不 同 的 作 业 量 的 概 率 运 气 好 的 时 候,90 分 钟 作 业 量, 概 率 是 1/18 有 时 候 120 分 钟 作 业 量, 运 气 最 差 的 时 候 270 分 钟 的 作 业 量, 概 率 同 样 也 是 1/18 Sherry. 换 句 话 说, 如 果 有 18 个 晚 上, 那 么 我 就 会 有 一 个 晚 上 是 非 常 幸 运 的, 也 会 有 一 个 晚 上 是 非 常 不 幸 的, 其 他 天, 作 业 量 会 在 150-210 分 钟 不 等 Cassie: 那 么 sherry, 你 明 天 还 是 不 要 和 同 学 出 去 玩 了 吧 Cassie: 通 过 这 堂 课, 希 望 大 家 获 得 了 收 获 下 面, 给 你 们 出 道 题 你 能 算 出 连 续 两 晚 上 的 作 业 量 的 概 率 吗? 连 续 5 个 晚 上 呢? 试 一 试 做 一 个 概 率 图 把 问 题 细 化, 大 问 题 分 成 多 个 小 问 题 把 每 个 小 问 题 的 结 论 结 合 起 来 就 得 到 一 个 大 问 题 的 结 论 希 望 下 次 再 见! 教 师 指 导 老 师, 您 好, 首 先, 非 常 感 谢 你 用 这 节 课 的 视 频 关 于 这 节 课, 我 有 几 个 方 面 需 要 跟 你 沟 通 一 下 这 节 课 是 关 于 计 算 随 机 事 件 发 生 的 概 率 主 要 学 习 目 标 是 : 学 生 可 以 通 过 学 习 概 率 的 基 本 概 念 ( 样 本 容 量, 独 立 事 件, 相 互 排 斥 ), 画 树 状 图, 利 用 条 件 概 率 来 计 算 出 随 机 事 件 发 生 的 概 率 (1) 在 这 节 课 最 开 始, 学 生 做 了 一 个 转 盘 游 戏, 在 这 个 游 戏 中, 参 与 人 数 是 4 女 2 男, 转 盘 转 了 3 次. 样 本 容 量 就 包 含 了 7 种 结 果, 不 会 出 现 男 男 男 的 结 果 但 是 如 果 参 与 的 男 生 有 3 名 或 者 以 上, 轮 盘 同 样 地 转 三 次, 那 么 样 本 容 量 就 包 含 了 8 种 结 果, 其 中 一 种 结 果 就 是 男 男 男 的 组 合 老 师 可 以 根 据 实 际 情 况 来 安 排 参 与 者 的 人 数 甚 至 可 以 让 轮 盘 多 转 几 次, 增 加 样 本 容 量 的 大 小, 检 测 学 生 是 否 理 解 了 样 本 容 量 的 概 念 (2) 转 盘 的 制 作 其 实 很 简 单, 只 要 带 有 可 以 转 动 的 指 针 的 工 具, 就 可 以 了 为 了 保 证 游 戏 的 一 个 公 正 性, 老 师 可 以 随 机 点 一 名 学 生 志 愿 者 来 转 轮 盘. 奖 品 可 以 是 糖 果, 巧 克 力 等 一 些 小 礼 物 5
(3) 老 师 在 课 前 可 以 给 学 生 演 示 一 下 树 状 图 怎 么 画, 这 样 学 生 在 课 堂 上 接 触 到 树 状 图, 就 不 会 感 到 陌 生 了 比 如, 老 师 可 以 介 绍 一 下 树 状 图 的 开 端, 分 支, 末 端 分 别 代 表 什 么 (4) 第 一 次 接 触 样 本 容 量 的 3 大 特 点 时, 学 生 可 能 觉 得 比 较 抽 象 在 小 组 活 动 时, 老 师 可 以 参 与 学 生 的 小 组 讨 论, 帮 助 他 们 找 出 一 个 好 的 实 际 例 子 来 理 解 完 全 穷 尽, 相 互 排 斥, 不 可 再 细 分 这 三 个 概 念 的 含 义 (5) 关 于 最 后 一 个 活 动, 让 学 生 画 一 个 关 于 作 业 量 的 概 率 图, 可 能 对 初 学 者 有 一 定 的 难 度 老 师 可 以 在 课 前 跟 学 生 介 绍 一 下 概 率 图 的 横 纵 坐 标 分 别 是 什 么, 柱 状 图 的 特 点 再 次 感 谢 老 师 使 用 这 节 课 的 视 频 如 果 对 这 节 课 有 疑 问, 可 以 通 过 发 邮 件 给 我 最 后, 祝 老 师 工 作 顺 利 再 见! 6