能量说明 : E 0, 单电子原子的能量是量子化的. 13.6eV 0 E 1 动, 因此不会落到原子核上. E 为 n 重简并 V 1 r. n 轨道角动量量子数 轨道角动量算符 ˆx i E n sin 上节小结 说明原子中的电子仍然运 cot cos,
ˆy ˆz ˆ i i, ˆ x ˆ cos y ˆ z cot sin, 1 1 sin sin sin 1 1 sin z sin sin ˆ Y, 1Y,. r,, 1ur,,. ˆ u
1, 0,1,, n 1. 轨道磁量子数 ˆ z z m m, m m,m m 轨道角动量模型 ˆ z u n,,m 0, 1,,. r,, m u r,,. n,, m 定态下, ˆz 与 ˆ 具有确定值. x与 y 不具有 确定值. 可以证明 0. x y
z cos m. 1 只能取 1 个取向, 而不是取任意方向 ( 轨 道角动量在空间量子化 ). 0,. 跃迁概率 原子处于定态时不发射电磁辐射 :
e 不随时间改变. 混合态. u e C u C e u u C C u u C C u C u C C C C C t i i * f i * f t i f * i f * i f * f f * f i * i i * i f f i i * f * f * i * i * 混合态的电荷密度以频率, E E n n,t, r, C,t, r, C f f i i, e, r, u,t, r,, e, r, u,t, r, t E i f j t E i i i n n 随时间振荡, 故发射电磁辐射.
跃迁率平均寿命 N i 1 if t N 0 e.. i if t 1. 电偶极辐射的选择定则 根据 N if 16 3 3 3 c3h 0 p if * 其中 pif e ui ru f dv 称为原子非定态电 偶极矩, 可得 0 条件为 p if 1, 0, 1., m
本节要点轨道磁矩 塞曼效应 史特恩 - 盖拉赫实验 电子自旋
3.4 电子自旋 3.4.1 轨道磁矩 磁矩
磁矩 经典表示式 一载流线圈有一磁矩, 它可以表示为 isn 0 式中 i是电流大小, S 是电流所围面积, n 0 是垂直于该面积的单位矢量, 流方向, 根据右手螺旋定则确定. 电子轨道磁矩, 方向由电 电子绕原子核旋转也必定有一个磁矩,
1 即电子轨道磁矩 i r ds, 其中 i 为轨道电流强度, ds 为轨道路径元, 1 r ds是扇形面积元, 于是 dq 1 1 ds r ds r dq dt dt 1 ds 1 r medq r me dt me 1 1 e dq dq m m m e e e p, r dq ds d
其中 e和 m e 是电子的电荷和质量, 并且 考虑到轨道角动量 守恒. 令 e 称为旋磁比, 有. m e 其中负号表示轨道磁矩 与轨道角动量 方向相反, 这是由于电子运动的方向与 电流方向相反. 令 g 1 称为轨道 g 因子, 故轨道磁矩 g e, 1 m 又可以表示为. e
轨道磁矩 令 e m e 0.97 10 1.6 10 0.578 10 e 的大小 g 1. m 0.97 10 3 19 4 ev ev T T 1 1 3. J e T 称为玻尔磁子, 是原子磁矩的单位. 轨道磁矩 又可以表示为 g. 轨道磁矩 在 z 轴方向分量为 1
z g m g, m g 0, 1,, z, m 最大值为. z 原子轨道磁矩在均匀外磁场中进动 磁矩在均匀外磁场 ( 磁感应强度为 中不受力, 但是受到一个力矩 作用,.
力矩 的存在将引起角动量的变化, 即 利用 d dt 可得 d dt 令, d dt,, 称为拉莫尔进动角速度, 则有.
该式表明 : 在均匀外磁场 中, 一个高速旋转磁矩并不向 方向靠拢, 而是以一定的角速度 绕 作进动. 的方向与一致. 对 的理解 : 取与垂直, 进动平面 上的一小块扇面, 离 的垂直距离即是 扇面半径 sin, 显然 d sind, d d 于是, sin sin, dt d dt 或者, dt.
3.4. 塞曼效应 (1896) 现象 : 在外磁场中的光源, 其原子所发射的光谱线分裂成几条支谱线, 而且分裂后的各条谱线是偏振的. 能级分裂 设磁场的方向为 z 轴. 具有轨道磁矩 的原子在外磁场中的势能为 E m g z
上式表明, 对应不同量子数 m 的状态, 原 子势能不同. 这样, 一个具有角动量 的原子 态, 若在没有外磁场时能量为 E, 外磁场时能量为 E E m g 那么在. 因为 m 共有 1个取值, 所以能级 E 在磁场中分裂出 1 个子能级. 共有 1 个子能级.
谱线分裂 无外磁场时, 原子发射的谱线频率. E E 1 外磁场时,. m E E. m E E 1 1 原子发射的谱线频率为, 发射光子能量为. m m h m m E E E E h 1 1
于是, 有磁场时的谱线与原谱线的频率之 差为 h m m m, 其中 0, 1, m 率分别为 故原谱线分离为 3 条, 频,,. h h 这 3 条谱线的频率差相同, 与 成正比, 称为正常塞曼效应.
0 1 1
分裂谱线的偏振性
反常塞曼效 : 原谱线分离不只是 3 条, h.
3.4.3 史特恩 - 盖拉赫实验 (191) 装置及现象 基态银原子
原理 运动分析 原子轨道磁矩 作用, 势能为 与不均匀外磁场 相互 E. E 平移力 F. 相应的受到一个 仅在 z 方向是不均匀的, 即 x 0, 则平移力也在 z 方向, 即 F z d dz d dz x d dz y m g, z z y
式中负号表示当 m 为负值时, z 与磁场同 方向, 平移力沿着磁场增加方向. 原子束以水平 (x 方向 ) 速度 v 进入磁场 区, 而在垂直方向 (z 方向 ) 受力 F z 的作用, 这就好比平抛运动, 原子束在磁场区内将 作抛物线运动, 运动方程为 x 1 Fz 1 Fz x vt1,z1 t1 m m v.
d 1 Fz d vt1,z1 m v. dz dt 1 Fz m t 1 Fz m x v. 原子束在磁场区外将作直线运动,x 方向 d 运动方程为 D vt. 于是, d D F F z d z d z m v m v v FzdD d dd d dd z cos. mv dz mv dz mv
说明 由于实验中 z 仅取两个值, 这说明 取两个值, 即原子轨道磁矩 ( 也即原子轨道角动量 取两个方向, ) 在空间这就证明原子轨道角动量 在空间取向是量子化的. 而经典力学的观 点认为原子轨道角动量的空间取向是随 机分布的, 所以在屏上应该观察到一连续
分布的斑痕. 由于 m 取值为 1 个, 因此应该有奇数条斑痕, 而实验却出现偶数条. 197 年, 用基态氢原子 (=0) 作该实验, 同样出现 条, 并且通过测量原子束经磁 场后的偏离位移得到 Fz d dz mg 1, F z m g d dz,
因此, 到此为止, 我们对原子的描述仍是不完全的, 电子还存在固有角动量. 例银原子的史特恩 - 盖拉赫实验, 实验时加热银蒸气的炉温为 130k, 不均匀磁场区的长度 d 为 0.1m, 磁场梯度是 d dz 300T m, 冷凝屏放在磁场末端, 屏 上两条斑痕的间隔为 4mm. 求银原子的磁矩.
解银原子以水平 (x 方向 ) 速度 v 进入磁 d 场区, 经历不均匀磁场所需的时间为 t. v 在通过磁场后原子沿磁场方向的偏离位 移为 s 1 Fz t m 1 Fz m d v. 3kT m 取原子的均方根速率 v,
. 10 0.95 300 0.1 130 10 1.38 6 0.00 dz d d s6kt, dz d 6kT d 3kT m d dz d m 1 1 s 3 38 z z z 银原子的磁矩约为一个玻尔磁矩. 因此可见,
史特恩 - 盖拉赫实验提供了一个测量原子磁矩的方法. 实验表明, 对单价原子即最外层只有一个电子的原子 ( 银原子和氢原子 ), 在磁场中受到的平移力都相同, 这说明所以原子内层电子的角动量和磁矩都相互抵消了, 实验测量的只是最外层电子的效应. 氢原子基态的磁矩为一个玻尔磁子, 这只
能是电子本身磁矩的贡献. 3.4.4 电子自旋 实验基础 : 光谱精细结构 : 一条谱线包含两条或几条波长非常接近 的谱线. 碱金属 : 钠原子 589.3nm, ~ 1 其双线间隔 约为 17cm, 相应的能级分离为
ev. 10.1 3 ~ ev, 10 1.5 ~ ev 10 1.6 10 ~ 10 ~ 10 3 10 6.63 ~ hc 1 hc c h h E 6 19 5 5 8 34 ev. 10.1 10 1.5 10 17 E, m 10 17 17cm ~ 3 6 1 1
氢原子 : 巴耳末系中每个谱线对应的双 1 线间隔约为 0.36cm, 4.5 10 5 ev. 相应的能级分离为 E 0.36 10 6 5 1.5 10 4.5 10 ev. 分析 : 索末菲根据 E m0c 1 v c ( 电子的能量与 速度有关 ), 对玻尔模型的能级公式进行了 修正, 很好地解释了氢原子精细结构. 但是,
在碱金属原子中, 价电子的运动速度比氢原子中的电子的速度慢, 因此相应的能级修正较小, 谱线的分裂应较小, 这与实验结果不符. 史特恩 - 盖拉赫实验 电子自旋 Fz d dz mg 1.
假设 (195 年由乌伦贝克和古兹米特提出.) 电子不是点电荷, 它除了轨道角动量以外, 还有自旋运动, 它具有固有的自旋角动量 s 1,m m s. 3 1 1 1 s 1,s 1 s s s s s z 说明 :
认为任何电子都有相同的自旋角动量, 而且它们在 z 方向的分量只取两个数值, 这对经典物理是无法接受的. 若把电子看做一个带有 -e 的小球, 半径为 10 14 cm, 它像陀螺一样绕自身轴旋转, 那么 在表面上的切向线速度将大大超过光速! 电子自旋完全不能用经典物理来描述, 是微观粒子的量子属性. 电子自旋是一种
相对论效应, 可由狄拉克提出的相对论波 动方程自然得出. 自旋磁矩 假设 : 基于轨道磁矩 表示 g. 与自旋角动量 s 相对应的磁矩表示为 s s g g s s s, s e m e, 3 3, s e me s.
式中 g s 称为自旋 g 因子. sz g s s z e. m 相对论波动方程也可以自然得出以上结果. 对史特恩 - 盖拉赫实验的解释 基态银原子以及氢原子, 由于 =0, 即轨道 角动量不存在, 但是电子存在自旋, 故有
Fz d dz Fz d dz m s g s 1. 作业 :p.119 13