第一部分 : 選擇題壹 單選題 () ( 以 7 為底的指數函數為一個增函數, 所以 7 x + 最小 而 ( x + 的最小值為, 故 7 x + ) ) 最小的充要條件為 x 的最小值為 7 9 + () E 由已知的條件知道 90 局的 ERA 值為., 即 9., 可以求出這位投手 90 之前 90 局的總失分為 分 今又投了無失分的 6 局, 故新的 ERA 值為 ERA 9.0 96 () 內圈的周長為 0 π 60π, 外圈的周長為 0 π 0π, 所以甲乙的速率比 V甲 : V 乙 60 : 00 : 所以, 在甲走了 公尺的同時, 乙跑了 0 () 因為第一碼為 A, 最後一碼為, 所以我們只需排列第二碼的英文數字及第 三 四 五碼的數字 就這個原則, 可以分為兩類 :. 倒數第二碼為 : 因為第二碼不能為 O, 所以有 個選擇 第三碼沒有限制, 有 個選 97 數學 -
擇, 此時第四碼不能為, 故剩 9 個選擇 故這類的排號有 9. 倒數第二碼不為 : 因為第二碼不能為 O, 所以有 個選擇 第三碼沒有限制, 第四碼也沒 有限制, 都有 個選擇, 第五碼為, 只有 個選擇 故這類的排號有 將兩類相加共有 990 () 作圖如右 : 假設小明原來的位置為, D 紅旗插在 B 點, 白旗插在 A 點向北 x x 公尺之後停在 D 點在 A 點, 假設 A t, B 6t, AD x, B D x x t 0 依題意可以列出式子, 解出 t, 所以 AB 公尺 6x 6t 0 A t 6t B.7 60.6, 最接近 60 貳 多選題 6 ()()() 要讓圖形恆在 x 軸的上方的充要條件為函數值恆正 () y x + 0 的值不恆正 ; () y x +, 恆正 故圖形恆在 x 軸的上方 ; () 因為 sin x + sin x, 恆正 ; x () x R, > 0, 恆正 ; () 常用對數的值域為整個實數集合, 故不恆正 評註 : 本題也可圖解, 各函數圖示如下 : 97 數學 -
y x +0 y x + y + sin x (0,0) (0,0) O O (0,) x y y log x 0. - -0. - - 7 ()()() () 有可能抽出的 80 人全部來自校內某四個 五個或六個 班級 所以不見 得每班必有人被抽出 ; () 男生被抽出的機率 8 大於女生被抽出的機率, 但因為女生總數佔總學生 8 數的, 實際上有 00 人 超過抽出學生人數一半, 所以有可能抽出的 8 女生人數超過所有被抽出人數的半數, 反而多於男生被抽出的人數 () 男生被抽出的機率大於女生被抽出的機率, 所以小文被抽出的機率應大 於小美被抽出的機率 80 80 () 甲乙被同時抽出的機率為 800, 甲丙同時被抽出的機率也是 800, 所 以, 甲 乙兩人同時被抽中的機率跟甲 丙兩人同時被抽中的機率一樣 () A B 同時被抽出的機率為 80 800 80 79 < 800 799 評註 : 這是一個用直觀就可以解決的問題, 如果向透過求出各種狀況的機率 0 97 數學 -
作判斷, 反而會讓問題變得複雜 例如 : 在 () 中真的實際求出每班至少有一 80 800 0 760 0 70 0 680 0 人被抽出的機率 : ( 80 80 + 80 80 + L + 8 80 ), 也 800 80 並不容易計算出他實際的值或近似值以作為解題判斷的依據 8 ()() () a a + d, 如果 a <, 表示 > 0, 此時應 a < a () b b r, 如果 b b < 0 b b b b r b < b d a 且 <, 表示 r < 0, 此時 b < 0, b > 0, 而 0 此時 b > 即在 b < 0 及 r < 0 同時成立時, b < b 與 b > b 同時成立 () 舉一個反例 : ( a a, a ) (,0,) 就可以得到 a + a 0 且 a + a 0, < b b > () b < 0 表示 b 與 b 異號, 此時公比為負, 所以與 b 也異號 () 舉一個反例 : ( b b, b ) (,6,9), 其中 不整除 6, 9 ()()() () 因為 n A n B, 所以, PA + PB log( n A nb ) log PA () 當 PA 時, PB 的值也是 所以 B 菌的個數與 A 菌的個數相同 () 假設上週一 A 菌數目為 x, 週五 A 菌的數目為 y, 則 log x 且 log y 8 y log y log x log y x, 即週五 A 菌的數目為週一 A 菌數 x 目的 倍 () P A + log( n A ) + log( n A ) + log log( n A ), 表示, 菌數增加為 倍 () 因為 0000 n A + log + log n A PA 6 log, 在 與 之間 97 數學 -
()()()()() 先將 g( x) x + x 作因式分解, 得到 g( x) ( x )( x + x + ), () 因為 ( x + x + ) 0 沒有實根, 所以 x 為 g ( x) 0的唯一的實根 () 若 f (x) 與 g(x) 的公因式為 ( x + x + ), 則不能保證 f ( x) 0 必有實根 () 若 f (x) 0 與 g ( x) 0 有共同實根, 又因為 x 為 g( x) 0 的唯一的實 根, 所以, x 也是 f ( x) 0 與 g ( x) 0有共同實根 () 與 () 相同的論證, f (x) 與 g(x) 的最高公因式為一次式 () 因為沒有共同實根, 但是次數大於 0 的公因式, 所以此公因式必為 ( x + x + ) ()()()() () 與 L 都過點 ( 0,, ) 但不平行, 所以交於點 L () 與 L 有相同的方向向量, 但沒有交點 ( 將 (,t,t ) 代入 L 無解 ), 所以 L t 平行 v v v () 向量 QP ( 0,, ), 因為 QP (..) 0, 所以 QP 不垂直兩直線的 方向向量 故點 P( 0,, ) 與 Q (0,0,0) 的距離不為 P 到 L 的距離 () 直線 L 的方向向量為 ( 0,, ), 與及 L 的方向向量的內積均為 0, 所以 與及 L 均垂直 L L () 因為與相交, 所以與共面 又與平行, 所以與 L 共面, L L L L L L L 若 L 與再相交, 可宣稱三條直線共平面 以 L 的參數式 (,t,t ) 代入 L 的方程式, 求得交點為 (,,), 故三線共面 L t 97 數學 -
()()() 將方程式配方得 ( x ) + y () 圓心的座標為 (,0) () 因為圓心在直線 L : x + y 0 上所以, 圓上的點到 L : x + y 0 的最遠的距離恰為圓的半徑 () + (0) + () 圓心 (,0) 到直線 L : x + y + 0 的距離為 6, 所 以兩圖形不相切 () 直線 L : x + y 0 到圓心的距離為 () + (0), 它與 Г 交於兩點, 在 Г (,0) 上有兩個點與 L : x + y 0 的距離為 ( 如右上圖 ) - () 直線 L : x + y 0 到圓心的距離為 () + (0), 它與 Г 交於兩點, 在 Г 上有 三個點與 L : x + y 0 的距離為 ( 如 右下圖 ) - - 6 第二部分 : 選填題 A ( 7,0,8) 本題中, 我們以粗體英文字母表示向量 令座標的圓點為 O, 因為 DA DB + D 0, 所以 ( OA OD ) ( OB OD ) + ( O OD ) 0 將 OD 化為 OA OB O 的線性組合 : OD OA OB + O (,6,0) (,, ) + (,,) ( 7,0,8), 即 D 的座標為 ( 7,0,8) 97 數學 -6
B (,),(,0) 假設 A 的座標為 ( t,t ),B 的座標為 (s,0) 由題意 t + s 7 且 t, 故 s, 即 A 的座標為 (,),B 的座標為 (,0) B 如右圖 : 因為 ΔOAB 的面積為 OA OBsinθ, θ θ O A 所以 sin θ ; cos θ Δ OA 的面積為 - OA OBsin θ sinθ cosθ D (,0) 由雙曲線的光學性質知過 P 點的切線, 即為 P F PF 的切線 過點 P 的切線為 F y F + y x + y + 0, 其與 X 軸的 D 8 交點為 (,0) - 97 數學 -7
E (,,9) 根據題意, 若 x + by + cz d 將長方體切成一個 正方體及一個長方體, 則這個平面必平行於平 v 面 OB 選向量 OD 作為它的法向量, 其方程 式為 ( x ) ( y + ) + ( z ) 0 x y + z 9, 所以 ( b, c, d) (,,9) ) Α(,-6,6) 9 D(,-,) Ο (,-,-) Β(,,) F 由 b 9a 及 a + b > 80 得 b + 8b > 0 ( b + 9) > 60, 這表示 ( b + 9), 即 b 因為 b 9a, 所以 a 最小的充要條件為 b 最小 又因為 b 9a 知道 9a 是一個平方數, 而大於 又是的倍數的最小的平方數為 故 b 的最小值為, 所以 a 的最小值為 G (, ) v 因為向量 u (, ) 及 v (,) 的長度相等, 所以這兩個向量的平分線的的方向向量平行這兩個向量的和 即 w v 平行於 u v (, ) 及 v (,) 的和 (,), 又因為選填的答案要求 w v 向量的座標為, 故 w v 的座標為 (, ) 97 數學 -8
H (, ) 如右圖 :A 為兩圓的切點, O 及 O 都在 Β Ο 拋物線上, 且 O A O O A OB, Α 根據拋物線的定義, 可知 A 即為拋物線的交點 A 即為線段 O O 的一個內分點, 切內分比為兩圓的半徑比 O 所以 + O A (, ) Ο - 97 數學 -9