年特種考試交通事業鐵路人員考試試題 等別 : 高員三級鐵路人員考試 類科別 : 電力工程 電子工程 科目 : 工程數學 甲 申論題部分 :(5 分 ) 一 設矩陣, 5 求 A 的特徵值 (eigevalues) (5 分 ) 求 A 的特徵向量 (eigevectors) (5 分 ) 求 A (5 分 ) λ det( A λi) 5λ ( λ)( λ5) λ, 5 λ K λ 5 K, 5 A D A D 5 D ( ) A ( 5) 5 5 二 考慮有一個週期性函數 f (), 週期為, 請將 f() 表示成傅立葉三角級數 (Fourier trigoometric series) (5 分 ) 共 5 頁第 頁
f () f() 週期為 π π f() a acos bsi π π a acos bsi a () f d d d 3 5 () 3 6 π π π a f()cos d d cos d π 8 π cos si 3 3 π π π b f()cos d π π si si d d π 8 π 8 si cos cosπ 3 3 3 3 π π π π 5 π 8 π π π 8 π 8 f ( ) cos si )cos ( si cos 6 π π π π π π cos π )si π - 5 三 請利用留數 (residue) 求 ( )( z 5 令 fz () ( z)( z ) z, i為單極點且 z 在實軸上, z i在上半平面 z lim Re s f ( z ) ( ) z ( )( ) z z z 3 3 3 3 3 3 z 5 d 之值 ( 分 ) ) z 5 7 lim z z 5 共 5 頁第 頁
z 5 lim Re s f ( z ) ( z i ) zi ( )( ) zi z z z5 i5 7 3 lim i zi ( z)( z) i (i)( i) 5 z5 d dz ( )( ) ( z)( z ) 7 7 3 3 πi( ) πi( i) π 5 四 若 與 Y 是兩隨機變數 (radom variables), 滿足 E[]=,E[Y]=-, 的均方差 (variace) σ =,E[ Y ]=,E[Y]=- 設隨機變數 W 與 U 分別為 W = +Y,U = --3Y (E[*] 表示 * 的期望值 (mea value)) 求: E[W ] (3 分 ) E[WU] (3 分 ) Y 的均方差 (variace): σ ( 分 ) Y W ( Y) Y Y 又 Var( ) E( ) E( ) E ( ) E ( ) EW ( ) E( YY ) E ( ) EY ( ) EY ( ) ( ) WU ( Y)(--3Y) - 6Y Y 3Y 7Y 3Y EWU E Y Y E EY EY ( 7 3 ) ( ) 7 ( ) 3 ( ) 7 ( ) 3 σ Y Var( Y) E( Y ) E( Y) ( ) 3 乙 測驗題部分 :(5 分 ) 設 v(t) 為一向量函數, 若已知其長度為一非零常數, 則下列何者為不可能? v'(t) 為零向量 v' (t) 和 v(t) 正交 v' (t) 為非零向量且平行於 v(t) v(t).v(t) 為常數 ( 註 :"." 表內積運算 ) 令向量場 F i y j z k, 則在 (,, -) 處的散度 (divergece).f 為何? - 8 若 u = zi + j + yk 且 v = yi + yzj + zk, 則.(uv) 為 : v.( u) y + yz + z u.( v) y + yz + z 若 F = cos(y) i si(y) j,c 為從 (, π) 到 (, π) 之某一曲線, 求 FdR : C 共 5 頁第 3 頁
3 6 -cos() +cos() 下列何者是正交矩陣 (orthogoal matri)? A 3, 則 A - 的行列式值 (determiat) 為何? 共 5 頁第 頁 3 3 3 3. - -. 3 3 若矩陣 A, 則 A 的零空間 (ullspace) 之維度為 : 3 3 9 3 3 一矩陣 A 6, 下列何者不是矩陣 A 的特徵向量 (characteristic vector)? 3 iθ 設複數 z 6 i8 re, 其中 i, 則 (r, θ) 為何? (6, 8) (6, ta - (8)) (8, ta - (6)) (, ta - (/3)) 令 z 為一複數級數 (comple series), 則下列敘述何者為錯誤?( 註 : 答案中 q 是一個 小於 的定值,N 是一個正數 ) 若 z q, N, 則此級數絕對收斂 (absolutely coverget) 若 z, N, 則此級數收斂 若 z, N, 則此級數發散 若 z, N, 則此級數發散 令 gz () 其中 z, 若 z iy, 則有關 g(z) 的敘述何者正確? z y y 實部為 實部為 虛部為 虛部為 y y y y dy 下列選項中 c c 為任意常數 解微分方程.5y y d : c c yc c y c yc c y c dr dr π 求解微分方程 b ( )cosθ r si θ, r( ) π, b dθ dθ : r π( bcos θ) r π( bcos θ) r π( b cos θ) r b( π bcos θ) 一微分方程式 ( ) y y y, 已知有一解為 y, 則下列何者為正確? 另一解為 y l 且 y 與 y 為線性相依
另一解為 y l 且 y 與 y 為線性相依 另一解為 y l 且 y 與 y 為線性獨立 另一解為 y l 且 y 與 y 為線性獨立 st 定義函數 f (t) 之拉氏轉換 (Laplace trasform) Lf() t f() t e dt, 令 Lf() t 則 f (t) 為何? 其中 u(t) 為單位步階 (uit step) 函數 [(t -)cos(t-)]u(t-) (t -)cos(t -) (t -)[cost -si t] (t -)[cost -si t]u(t -) 設 y a(t) 為 y (t) y (t) 3y(t) 6 之解, 則 lim at ( ) 之值為何? t s ( s ) e ( s ) iw 定義傅立葉轉換 (Fourier trasform) 為 Fw ( ) f( e ) d, 其中 i, 若 f () 之傅 π cos( w) 立葉轉換為 FW ( ) i, 試問 f () 為何? π w if, e, if f () f (), otherwise, otherwise, if e, if f () f (), if, otherwise, otherwise 投擲一個公正的硬幣 5 次, 求正好 3 次正面朝上的機率為何? 3/8 5/6 5/8 /6 兩離散隨機變數 Y 之結合機率為 ( =, Y = y) = A( +3y), 其中 =, ;y =,, 3, 則 A=? 5 36 已知某一電話總機在單位時間內收到之電話數目遵守平均每分鐘 通之 oisso 分布, 令 表示收到 通電話之等待時間 ( 分鐘 ), 求 ( ) 為何? e 5e e 5e, 共 5 頁第 5 頁