標題

3 6 正弦餘弦函數之疊合 ( 甲 ) 正餘弦的疊合 我們考慮正餘弦函數圖形, 如圖中虛線的圖, 圖形像波動的形狀, 有高有低, 起伏很規則 高的地方就是波峰, 低的地方就是波谷 如果兩個波動同時進行, 疊合在一起後, 會變成什麼樣子呢? 8 6 4 hx () = sin ()+cos x () x gx () = cos() x fx ( ) = sin ( x) -10-5 5 10 - -4-6 -8 從上圖可以看出,y=sinx+cosx 的圖形基本上與 y=sinx( 或 y=cosx) 的圖形類似, 只是振幅與位置有些改變或移動 進一步觀察, 當 sinx=cosx 時, 此時 y=sinx+cosx 的圖形出現波峰與波谷, 且 y=sinx+cosx 的圖形向右移動若干單位 我們猜測 y=sinx+cosx 可表為 y=rsin(x+θ), 要如何決定 r 與 θ 呢? y=rsin(x+θ)=r(sinx cosθ+cosx sinθ)=sinx+cosx r cosθ=1 且 r sinθ =1 r = r= cosθ= 1 且 sinθ = 1 可取 θ= π 4 y=sinx+cosx= sin(x+ π 4 ) (1) 疊合的方法 : 考慮 y=f(x)= sinx+ cosx,, 為實數, 根據前面例子的推測, 我們也按照前面例子的做法, 將 y=f(x)= sinx+ cosx 化成 y=f(x)=rsin(x+θ) y=rsin(x+θ)=r(sinx cosθ+cosx sinθ)=sinx+cosx r cosθ = (*) (*) +(**) r = + r= + r sinθ = (**) cosθ= + 且 sinθ= + θ 的找法如下 : ~3 6 1~

在以原點為圓心之單位圓上, 根據 cosθ= + 且 sinθ= +, 先判別出 θ 終邊的位置, 在找出 θ 的值 我們將這些結果寫成一個定理 : 若設, 為實數, 且 + 0, 則函數 y= sinx+ cosx 可以表為 y= + sin(x+θ), 其中 θ 為滿足 sinθ= +,cosθ= + 的角 θ 證明 : 因為 y=sinx+cosx= + ( 而且 ( + ) +( + sinx+ + ) =1, 點 P( +, + cosx), 一個角度 θ, 使得 sinθ= +,cosθ= +, 所以 y= + (cosθ sinx+sinθ cosx)= + sin(x+θ) + ) 在單位圓上, 因此可找到 [ 討論 ]: 如果選擇點 Q( +, + ), 則點 Q 亦在單位圓上, 因此可找到一個角度 ϕ, 滿足 cosϕ= +,sinϕ= +, 於是 y= sinx+ cosx= + ( sinϕsinx+ cosϕcosx)= + cos(x ϕ) 例如 : 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成正弦與餘弦函數 (1) 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成正弦函數先求兩係數的平方和 的正平方根 = ( 3) +1 =, 再將原式提出 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx =( sinx+1 cosx) =(sinx cosθ+cosx sinθ) =sin(x+θ) cosθ= 3 且 sinθ= 1 θ 為第一象限角 取 θ= π 6 y=f(x)= 3 sinx+cosx=sin(x+ π 6 ) () 將 y=f(x)= 3 sinx+cosx 疊合成餘弦函數先求兩係數的平方和的 正平方根 = ( 3) +1 =, 再將原式提出 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx =( sinx+1 cosx) =(sinx sinθ +cosx cosθ ) =cos(x θ) sinθ= 3 且 cosθ= 1 θ 為第一象限角 取 θ= π 3 y=f(x)= 3 sinx+cosx=cos(x π 3 ) ~3 6 ~

() 圖解正餘弦函數的疊合 : DF+DE=sinx+cosx C E D CG=C sin(x+θ), 其中 C= +, 而 tnθ = 因為 DF+DE=CG 所以 sinx+cosx= + sin(x+θ) θ x G F 結論 : (1) 可將正餘弦函數的線性組合 sinx+cosx 化成正弦函數, 也可化成餘弦函數 () + y= sinx+ cosx + (3) f(x)= sinx+ cosx 的週期為 π (4)y= sinx+cosx= + sin(x+θ) 的圖形是先將正弦函數 y=sinx 的圖形向左 (θ>0 時 ), 或向右 (θ<0 時 ) 平移 θ 單位後, 再上下伸縮 + 倍而得到的圖形 (5) 函數 y=sinx+cosx= + sin(x+θ) 的週期為 π, 振幅為 +, 最大值為 +, 最小值為 + [ 例題 1] 設 70 < < 360 且 3 sin + cos = sin 004, 若 = m, 則 m = (93 學科能力測驗 ) ns:306 [ 例題 ] 設 y= 3cosx sinx+1, 在下列範圍內, 求 y 的最大值與最小值 (1)x R () π 6 x 5π 6 ns:(1)3, 1 (), 1 ~3 6 3~

[ 例題 3] 設 y=3sinx+4cosx+10,0 x π, 則當 x=? 時,y 有最大值 M=? ns:x= π sin 1 4 5, 時 M=15 y D( 4 3 5,3 5 ) C( 5,4 5 ) O α (1,0) x [ 例題 4] 設 0 x π, 求 y=3 cos( π 6 x)+sinx 的最大值, 最小值 ns:5,3 3 ( 利用和角公式先化簡 cos( π 6 x)) ( 練習 1) 求 csc10 3 sec10 之值 ns:4 ( 練習 ) 設 sinx- 3cosx=cos(x-θ), 其中 >0, 而 0<θ<π, 則 =, 而 θ= ns: 5π =;θ= 6 ( 練習 3) (1)y= 3sinx cosx 最大值為, 最小值為 ()y= 3sinx cosx+1 最大值為, 最小值為 (3)y=5sinx 1cosx 最大值為, 最小值為 (4) y= 40sinx+9cosx 最大值為, 最小值為 ( 練習 4) 試求下列各函數的極大值與極小值 (1)f(x)= 3sinx+cosx+5 ()g(x)=sin(x π 6 )+cosx+5 ~3 6 4~

(3) 設 x y= π 6, 求 h(x)=cosx+siny+5 的極大值與極小值 ns:(1) 極大值 =7, 極小值 =3 () 同 1(3) 同 1 ( 練習 5) 設 y=sin( π 6 x)+cosx (1) 若 y=sin(x+), 其中 >0,0 <π, 求實數, 之值 () 若 0 x π, 求 y 之最大值與最小值 ns:(1)= 3,= π 3 ()3, 3 ( 乙 ) 三角函數的極值 [ 例題 5] 在下列條件下, 求 y=sin x 3cosx+1 之最大值及最小值 (1)0 x π, ns:m= 33 8,m= ()0 x π 3,ns:M=1,m= [ 例題 6] ( 倍角 + 疊合求極值 ) 設 0 x π, 若 f(x)=3sin x+4 3 sinx cosx cos x, 則 (1) 當 x= 時,f(x) 有最大值 = () 當 x= 時,f(x) 有最小值 = [ 答案 ]:(1) π 3,5 ()5π 6, 3 [ 解法 ]: 將 f(x)=3sin x+4 3 sinxcosx cos x =3 1 cosx +4 3 sinx 1+cosx = 3 sinx cosx+1 3 =4( sinx 1 cosx)+1 =4sin(x π 6 )+1 因為 0 x π, 所以 π 6 x π 6 11π 6 1 sin(x π 6 ) 1 ~3 6 5~

當 x π 6 =π x=π 3,f(x) 有最大值 5 當 x π 6 =3π x=5π 6,f(x) 有最小值 3 作法 : 正餘弦偶次式, 求極值 f(x)= sin x + sinx cosx + c cos x + d (1) 判定角方相同 ( 角方依次為 :x,xx,x, 均視為 次方 ) () 利用降次公式化同角, sin x=,sinx cosx=,cos x= (3) 產生疊合標準型 將正弦 + 餘弦化為單一函數 f(x) = sin x + sinx cosx + c cos x + d = + +c +d = c- sinx + cosx + 1 (+c+d) 化 f(x)= sinx + cosx + C 型後, 求最大最小值 [ 例題 7] 設 f(θ)=sinθ cosθ +sinθ +cosθ +1 (1)θ 為任意實數時,f(θ) 之最大值為, 最小值為 () π 4 θ π 時,f(θ) 之最大值為, 最小值為 [ 提示 : 令 t=sinθ +cosθ ] ns:(1) 3 +,0 () 3 +, [ 解答 ]: 先令 t=sinθ +cosθ 則 t =sin θ+cos θ+sinθcosθ sinθcosθ= t -1 且 t=sinθ+cosθ= sin(θ+ π 4 ) (1) 原式 f(θ)=sinθ cosθ +sinθ +cosθ +1 = t -1 +t+1= 1 t +t+ 1 = 1 (t+1) 又 θ R t 1 f(θ) 之最大值為 ( +1), 最小值為 0 () π 4 θ π 時 π θ+π 4 3π 4 sin(θ+π 4 ) 1 1 sin(θ+ π 4 ) 1 t 1 f(θ) 之最大值為 ( +1), 最小值為 ~3 6 6~

[ 例題 8] 某公園內有一半徑 50 公尺的圓形池塘, 池塘內有美麗的荷花池與錦鯉 為了方便遊客觀賞, 並使整體景觀更為雅緻, 打算在池塘上建造一座 T" 字型 木橋 ( 如右圖 ) 試問這座木橋總長 + CD 最長有多長? 此時 與 CD 兩段木橋的長度各為多少? ns: 總長 50+50 5 公尺, 此時 =40 5, CD=50+10 5 C O D [ 例題 9] 如圖, 扇形 O 的中心角 O=90, 半徑 O= O=1,P 為弧 上的動點, PM O, MN OP, 令 OP=θ, MN+ ON=S, (1) 請以 θ 表示 S () 求 S 之最大值 ns:(1)cos θ+sinθ cosθ () +1 P N O M ~3 6 7~

( 練習 6) y=cos x-3cosx+3 之最大值為, 最小值為 ns:7,1 ( 練習 7) 設 0 x π, 則 f (x)=sin x+sinxcosx+cos x 最大值為, 最小 3+ 值為 ns: ;1 ( 練習 8) 設 0 x π,f(x)=1+sinx+cosx sinx cosx, 則下列何者為真? ()f(x) 最大值為 ()f(x) 最小值為 1 (C)x=0, π,π 時 f(x) 有最大值 5 (D)x=5 時,f(x) 之值為最小值 (E)f(x) 之最大值與最小值之和為 ns:()(c)(d)(e) 綜合練習 3 (1) 求 sin15 1 cos15 的值 () 關於函數 y=f(x)= 1 (sinx+cosx) 的圖形, 下列敘述那些是正確的? ()y=f(x) 的週期為 π () y=f(x) 的振幅為 (C)y=f(x) 的圖形與 y 軸的交點為 (0, 1 ) (D)y=f(x) 的圖形與 x 軸有無限多個交點 (E)y=f(x) 的圖形對稱於原點 (3) 關於函數 y=sinx cosx 之圖形 () 週期為 π () 週期為 π (C) y 之最大值為 (D) y 之最大值為 (E) 對稱於原點 (4) 下列哪些函數的最小正週期為 π? (9 學科能力測驗 ) (1)sinx+cosx ()sinx cosx (3) sinx+cosx (4) sinx cosx (5) sinx + cosx (5) y=cosx 3sinx,0 x π, 在 x=α 時, 有最大值 M, 在 x=β 時, 有最小值 m, 求 α,β,m,m (6) 下列各題經過變換後, 求其最大值與最小值 () 求 y=sin(x+ π 4 )+sin(x π 4 ) 之最大值與最小值 () 求 y=sinx+sin(x+ π ) 之最大值與最小值 (7) 函數 y=1sinx 5cosx,x 的範圍如下, 分別求 y 的最大值與最小值 ()x R ()0 x π ~3 6 8~

π (8) 設 6 x 7π 6,y=cos x-4sinx-3, 則 () 當 x= 時,y 有最小值為 () 當 x= 時,y 有最大值為 π (9) 設 <x<π, 解 3cosx sinx=1 L (10) 如右圖, 正方形 與 的面積和為 1, () 設正方形 與 的邊長分別為 sinθ cosθ, 請利用 sinθ 與 cosθ 來表示 MNL 的面積 () 請求出 MNL 的面積的最大值 M N (11) 設 x+y= π 3, 求 sinx+siny 的最大值為何? (1) 求 y=3sin x+4 3sinxcosx cos π x 其中 1 x 3 4 π, 求 y 的最大值與最小值, 並說明此時 x 值為何? (13) 如右圖, 以 為直徑做一圓, 且 =,P 點在半圓上, 設 P=θ, () 試以 θ 表示 3 P+4 P () 試求 3 P+4 P 的最大值 P (14) 求 y= 1+sinx 3+cosx 的極值 進階問題 θ (15) 半徑為 r 的圓內接矩形, 令其對角線夾角為 θ; () 試以 r,θ 表其周長 () 試求周長的最大值 π (16) 已知扇形 O 的圓心角為 3, 半徑為 1,P 為 弧上 的動點, PC O 於 C 點, PD O 於 D 點, 試求四邊形 PCOD 的最大面積 C P 綜合練習解答 (1) 4 ()(C)(D) O D (3) ()(D) (4) (3)(4) ~3 6 9~

(5) α=0,m=1;β= π 3,m= (6) () 最大值為, 最小值 () 最大值為, 最小值 (7) ()M=13,m= 13()M=1, m= 5 (8) () π, 7 ()7π 6, 1 4 (9) x= π 6 (10) () 1 cosθ(sinθ cosθ) () 1 4 [ 解法 ]: () MNL= 1 MN ML= 1 cosθ (sinθ cosθ) () 1 cosθ (sinθ cosθ) =1 (cosθ sinθ cos θ) = 1 [1 sinθ 1+cosθ ] = 1 [1 sinθ 1 cosθ 1 ] =1 [ sin(θ π 4 ) 1 ] MNL 的面積的最大值為 1 4 (11) 7 [ 提示 :y= π 3 x,sinx+siny=sinx+sin(π 3 x)=sinx+ 3 cosx] (1) x= π 3, 最大值 5 與 x= 3π 4 最小值 1 3 (13) ()6cosθ +8sinθ ()10 (14) 0 y 3 4 [ 提示 : 令 y= 1+sinx 3+cosx sinx y cosx=3y 1 y +1 sin(x+α)=3y 1 sin(x+α)= 3y 1 y +1 θ θ (15)()4r( cos + sin ),()4 r 3y 1 y +1 1 0 y 3 4 ] (16) 3 4 [ 提示 : 連 OP, 並設 PO=θ,0 θ π 3, 則四邊形 PCOD 的面積 = 1 sinθ cosθ +1 sin( π 3 θ)cos(π 3 θ)=1 4 [sinθ+sin(π 3 θ)]=1 4 (3 sinθ+ 3 cosθ)= 3 4 sin(θ+π 6 )] ~3 6 10~