01 年第 1 屆 IM 國際數學競賽 ( 新加坡 ) Twelfth IM International Mathematics ontest (singapore), 01 國中三年級決賽試題解答 第 1-1 題請將答案填寫在下面答案表內! 第 17-18 題需在試題空白處寫出計算過程, 否則不予計分! 選擇題 1 7 8 答案 填空題 9 10 11 1 1 1 1 1 答案 01 017 9 1 1 1 0 一 選擇題 ( 每小題 分, 共 0 分 ) 1. 已知 a 1, b, c, 則 a b c 的大小關係是 ( ). ab c. c b a. c a b. a c b 答案 : 解析 : 1.1, 1.7, 代入估算比較大小即可 ; 也可以採用平方去根號的方法比較大小. 將一個平面分成 11 部分, 至少需要 ( ) 條直線.... 解析 : 畫四條兩兩相交且交點不重合的直線即可. Refer to the isosceles right-angled at the right,, and are two points on hypotenuse( 斜邊 ),,,, etermine the length of.... 8. 1 IM 國際數學九年級決賽第 1 頁 / 共 頁
翻譯 : 已知 : 如圖, 等腰直角三角形 中,, 是斜邊 上的兩點,,,, 則 ( ) 解析 : 將 繞 點順時針旋轉 90, 可得, 連接, 易知, 再由 與 全等知 :. In as in the figure at the right, 10, bisects( 平 分 ), =, =. What is the lengh?.... 1 8 答案 : 翻譯 : 如圖, 中, 10, 平分, =, =, 則 =( ) 解析 : 過 作 的平行線交 延長線於, 則 = = =, 從而 8, 所以 1 8. 如圖, 在等腰直角 中, 90,, 的 平分線 交 於, 過點 作 邊的垂線, 垂足為, 若 的周長為, 則 ( ).... 答案 : 解析 : 為等腰直角三角形, 其周長為, 因此, 1 1 從而 (1 ). 對於任意實數 a, 點 P( a a 1, a ) 一定不在第 ( ) 象限. 一. 二. 三. 四 解析 : 當 a 況 時, 一定有 a a1 0, 從而不會出現 a a1 0且 a 0的情 IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 頁
a b c a b c a b c 7. 已知非零實數 a b c 滿足, 則 c b a ( a b)( b c)( c a) ( ) abc. 8. -1. 8 或 -1. 以上答案都不對 答案 : a b c a b c a b c 解析 : 由題意, 可設 k, c b a 則 ( a b c) k( a b c), 從而 ab c 0 或 k, 當 ab c 0 時, ( a b )( b c )( c a ) 1; abc ( a b)( b c)( c a) 當 k 時, 可知 ab c, 從而 abc 8 8. 100 個人共有 10000 元, 且任意 10 個人的錢都不超過 1900 元, 則一個人最多能 有 ( ) 元. 1080. 1090. 1180. 1190 解析 : 設一個人的錢最多為 x, 將剩下的人分成 11 組, 每組 9 人, 則每組人的 錢總和 y1900 x, 又因為 x11y 10000, 解得 x 1090 二 填空題 ( 每小題 分, 共 0 分 ) 9. 01 01 01 01 01 017 答案 : 01 017 01 01 01 01 (01 ) 01 01 (01 1) 01 解析 : 01 01 017 01 (01 1) 017 017 (01 1) 017 10. 若實數 a 滿足 答案 : ( a ) ( a ), 則 a = 解析 : 由題意, a, 從而原方程可化為 ( a ), 從而 a IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 頁
11. 如圖, 已知 為 O 的直徑, 是 O 的一條 弦, 且 和 的延長線相交於圓外一點, O 若,, 則 O 答案 :9 解析 : 連接 O, 則 O, 從而 O, O 因此 O O 9 1. 已知實數 a b c 滿足 a b c a b 1 c 1, 則 ab c 答案 : 1 解析 : 原方程可化為 a a 1 ( b 1) b1 1 ( c1) c1 0, 即 ( a 1) ( b 1 1) ( c 1 ) 0, 從而 a 1, b, c 1. Refer to at the right, is the midpoint of, point lies on the extension of such that : : 1, connect and meet the extension of at, then what is the ratio of :? 答案 : 1 翻譯 : 如圖, 中, 是 邊的中點, 為 延長線上一點且滿足 : :1, 連接 並延長交 於點, 則 : 解析 : 過 作 G // 交 於 G, 設 G x, 則 G G x, 又因為 是 邊的中點, 所以 G x, G 1 從而 : IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 頁
1. 已知, 是方程 答案 :1 x x1 0 的兩個不相等實數根, 則 解析 : 由題意, 1 0, 所以 ( 1) ( 1), 因此 ( ) 1 xa0 1. 已知 a b 均為整數, 且不等式組 的整數解僅為 1, 則 a+b 的 xb0 最小值是 答案 :0 a b a 解析 : 解不等式組, 得 : x, 根據題意, 0 1, 即 0a, 所以整數 a 可能的取值為 1 ; b 同理,, 即 18 b, 所以整數 b 可能的取值為 19 0 1 1. 有三枚不同的紀念章 a b c,a 的正反兩面分別印有字母 I 和 M;b 的正反兩面分别印有字母 M 和 ;c 的正反兩面分別印有字母 和 I; 現在豎直上拋這三枚紀念章, 若任意一枚紀念章正反面向上的機率都是相同的, 那麼三個向上的字母中, 有兩個字母相同的機率是 答案 : 解析 : 將所有可能的情况如下 : M I I I M I M I, 然後利用古典概型計算即可 三 簡答題 ( 每小題 10 分, 共 0 分, 請簡要寫出解答過程 ) 17. 設二次函數 y ax bx c 的圖像經過點 M (0,1) 且與 x 軸交於 兩點, 兩點的橫坐標的平方和為, 圖像的頂點 N 在 x 軸上方, 且 S M : S N 1:, IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 頁
求此二次函數的解析式 解析 : 由題意知,c = 1; 設 ( x1,0), ( x,0), 則 又因為 S M x b c b a x, 即 ( x1 x) x1x ; a a a 1 : S N 1: a b, 所以 a ; b a a a 1 解方程組, 可得, 從而二次函數解析式為 y x x 1 a b b a 18. 已知 : 如圖, 兩圓 O 1 與 O 交於 兩點, O 1 的弦 切 O 於, O 的弦 切 O 1 於, 交 O 於, 交 O 1 於 ; (1) 求證 : // () 求證 : = O 1 O 證明 :(1) 如圖, 連, 延長 ; 與 O 相切, 1 = ;( 弦切角定理 ) 同理, =, = 1, // 證明 :() 如圖, 分別連 與, 證明 :() 則在 O 1 中, 1 =, 證明 :() 在 O 中, =, 證明 :() 1 =, 證明 :() //, 證明 :() 又 //, 證明 :() 四邊形 是平行四邊形, 證明 :() = IM 國際數學九年級決賽第 頁 / 共 頁