名校期末试题点拨 题型一 三角形 与三角形有关的线段 例 ⑴ 越秀区 下列图形中具有稳定性的是 等边三角形 正方形 平和四边形 梯形 ⑵ 越秀区 以下列长度的三条线段为边 可以构成三角形的是 4 7 5 8 6 9 4 6 8 ⑶ 执信 若 的三边 a b c 满足 a 4 a 4 b 5 0 则第三边 c 的取值范围是 解析 ⑴ ⑵ ⑶ c 7 与三角形有关的角 例 ⑴ 荔湾区 如图 若 O O 且 O 65 0 则 ⑵ 中大附中 如图 4 恒满足的关系式是 4 4 4 4 ⑶ 中大附中 如图 中 是角平分线 的垂直平分线交 的延长线于点 已知 50 则 的度数为 O 4 图 图 图 解析 ⑴ 05 ⑵ ⑶ 50
多边形 例 ⑴( 天河区 ) 一个多边形的内角和为 800, 它是 边形. ⑵( 荔湾区 ) 如果一个多边形的内角和是外角和的 5 倍, 那么这个多边形的边数是 ( )....0.9 ⑶( 越秀区 ) 从一个多边形的一个顶点出发, 一共可以作 5 条对角线, 则这个多边形的内角和为 度. ⑷( 天河区 ) 只用下列正多边形地砖中的一种, 能够铺满地面的是 ( ). 正十边形. 正八边形. 正五边形. 正六边形 ⑸( 番禺区 ) 如图, 四边形 中, 点 M N 分别在 上, 将 MN 沿 MN 翻折得 MN, 若 M, N, 则. 70 N 00 解析 ⑴ 十二 ; ⑵; ⑶080 ;⑷;⑸ 95. M 题型二 : 全等三角形 全等三角形的性质与判定 例 4 ⑴( 执信 ) 满足下列哪种条件时, 能判定 的是 ( ).,,.,,.,,.,, ⑵( 中大附中 ) 下列命题中, 正确的个数有 ( ) 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 4 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等. 个. 个. 个.4 个 ⑶( 荔湾区 ) 如图,,, 要使, 则可增加的条件是 ( ).... ⑷( 西关外国语 ) 如图, 交 于 M, 交 于, 交 于 N, 90,,. 给出下列结论 : ; ; N M ; 4 N. 其中正确的结论有 ( 填序号 ).
M N 解析 ⑴; ⑵; ⑶; ⑷ 全等三角形的基本模型 例 5 ⑴( 玉岩 ) 如图,, 于点,, 平分 交 于点. 请你写出图中三对全等三角形, 并选取其中一对加以证明. ⑵( 省实 ) 已知, 如图, 点 在同一直线上, 相交于点 G,, 垂足为,, 垂足为, 且,. 求证 : ; G G. G ⑶ ( 广雅期末 ) 如图, 在四边形 中,,, 平分,, 的延长线交 于点. 求证 : ;. 解析 ⑴ ; ; ; ; ( 任选其中 个即可 ) ⑵ 在 和 中, SS
G G ⑶ 平分 在 和 中, SS 连接,, 又 是公共边 例 6 ( 广外 ) 如图, 是 的中线, 交 于, 交 于, 且 =. 求证 : =. 解析 延长 到 G, 使 G, 连接 G G, G, G G SS G, G 又 G, G,. 4
例 7 ( 育才实验 ) 已知 : 在 中,,. 求证 :. 解析 方法一 :( 截长 ) 在 上取一点, 使, 如图 在 和 中,,,.,. 又 方法二 :( 补短 ) 延长 到点, 使, 连接, 如图 易证, 故, 方法三 :( 倍角 ) 延长 到点, 使, 如图, 在 和 中,,, 5
例 8 ( 白云 ) 如图, 已知在 中,, 00, 是 的平分线. ⑴. ⑵ 求证 :. 解析 ⑴, 00, 80 40 平分 0 80 8000060 故答案为 60 ⑵ 解法一 :( 补短 ) 延长 使, 连接 80 80-804040 在 上截取, 连接 在 和 中 0 SS,, 00-00- 4060 60 40 在 和 中, ( S) 解法二 :( 截长 ) 在 上截取, 连接, 亦可得证 6
例 9 ( 广雅加试 ) 如图, 已知 中,, 90, 直角 P 的顶点 P 是 的中点, 两边 P P 分别交 于点, 给出以下四个结论 : ; P 是等腰直角三角形 ; S四边形 P S ;4 P. 上述结论始终正确的有 ( ) 个.....4 P 解析 例 0 ( 番禺区 ) 如图, 点 G 是正方形 的边 上任意一点 ( 不与 两点重合 ), 连接 G, 作 G 于点, G 于点. ⑴ 试探究线段 与 的长有何等量关系, 并给予证明 ; ⑵ 如本题图, 若 是点 关于直线 的对称点, 连接, 试探究 G G 满足什么条件时, 射线 是 的角平分线? 为什么? G ' G 图 图 解析 ⑴=+ 理由 : 四边形 是正方形, = = = =90, === G, G, = G==90, + =90, + =90, + G=90, + =90 = G=. 在 和 中, =, =,= (S), =,=. =. =+, =+; ⑵G=G 理由如下 : 连接,, 是点 关于直线 对称, =, =. =, 7
- = -, 即 =. 在 和 中, =, =, = (SS), =, =, =. 是 的角平分线, = =. + + =90, =0, =0, 在 RtG 中,G=G. 例 ( 省实 ) 在四边形 中,, 点 在直线 上, 且. ⑴ 如图, 若 90,,, 求 的长 ; ⑵ 如图, 若 交 于点,, 猜想 之间具有怎样的数量关系? 并加以证明. 图 解析 ⑴ 90, 90 在 和 中, S, 5 ⑵, 在 和 中, S, 图 8
例 ( 越秀区 ) 如图, 已知 是等边三角形, 点 是边 的中点, 60, 且 与 的外角平分线 相交于点. ⑴ 若取 的中点 M, 可证明 是等边三角形, 请写出证明过程 ; ⑵ 若 是 的延长线上 ( 点除外 ) 的任意一点, 其它条件不变 ( 如图 ), 那么 是等边三角形是否仍然成立? 若成立, 请写出证明过程 ; 若不成立, 请说明理由. 图 图 解析 ⑴ 如图, 取 的中点 M 则 M M 0, 0 为 的外角平分线 80 60 0 M, 60 M 为等边三角形 M 60 M M 0 在 M 和 中, M M M M S 又 60 为等边三角形 ⑵ 仍然成立, 证明如下 : 延长 至 N, 使得 N, 连接 N, N 又 60 N 平分 80 60 N N, N 又 60 N 为等边三角形 N 60 在 N 和 中, 9
N N N N S 又 60 为等边三角形 例 ( 二中应元 ) 如图所示, 已知 : 等边 中, 为 上一点, 也是等边三角形, 延长线和 延长线交于点 M, 的延长线和 延长线交于点 N, 下列说法中正确的有 ( ) N M ; M ; M N ; 4...4.4.4 N M 解析 例 4 ( 二中应元 ) 如图, 和 都是等腰直角三角形, O 90, 且点 为 边上一点, 求证 :. 解析 和 O 都是等腰直角三角形, O 90 在 和 中, SS 例 5 ( 荔湾区 ) 如图, 点 O 是等边 内一点, O 0, O. 将 O 绕旋转中心 顺时针方向旋转 60 得, 连接 O. ⑴ 求证 : O 是等边三角形 ; ⑵ 当 50时, 试判断 O 的形状, 并说明理由 ; ⑶ 当 为多少度时, O 是等腰三角形? 直接写出答案. 0
O 解析 ⑴ 依题意可知 : O, O, O 又 O O 60 O 60 O 为等边三角形. ⑵ O 50 O O 90 O 60O O 00 O O O 40 O 为直角三角形. ⑶5, 40, 0 例 6 ( 荔湾区 ) 如图, 已知 为等边三角形, 点 由点 出发, 在 延长线上运动, 连结, 以 为边作等边三角形, 连结. ⑴ 请写出 之间的数量关系, 并证明 ; ⑵ 若 cm, 点 的运动速度为每秒 cm, 运动时间为 t 秒, 则 t 为何值时,? 解析 ⑴, 证明如下 : 在 和 中, SS ⑵ 设 与 相交于点 O
O 60 O 0 90 在 Rt 中, 60, 0 6cm cm t 秒 例 7 ( 越秀区 ) 如图,Rt 中, 90,, 的平分线 交 于点 H, 交 于点, 过点 作 于点, 则下列结论中不正确... 的是 ( ).. H. H H. H 解析 例 8 ( 番禺区 ) 如图,Rt 中, 90,, 为 的中点, 的平分线 交 于点. 在 外取一点, 使,. ⑴ 求证 : ; ⑵ 又在 上取一点 M, 使 M, 连接 M 交 于点 N, 连接 M N. 求证 : M ; 试探究 N 是否是等腰直角三角形? 并说明理由. M N 解析 ⑴ 90, 45 45 在 和 中,
S ⑵ 过点 作 H 于点 H 为 的中点, 平分 H M 45, H M H H, H 45 H HM 又 MH 90 MH 45 M H MH 90 M H M N 是等腰直角三角形, 理由如下 ; M 45,.5 M M M.5 M M M M M, M M 平分 N.5 在 和 N 中, N N N S N 又 N 90 N 为等腰直角三角形 例 9 ( 中大附中 ) 如图, 过边长为 的等边 的边 上一点 P, 作 P 于,Q 为 延长线上一点, 当 P Q时, 连接 PQ 交 边于, 则 的长为.
P Q 解析 例 0 ( 中大附中 ) 如图, 已知 中, 45, 于, 平分, 且 于, 与 相交于点, H 是 边的中点, 连结 H 与 相交于点 G. ⑴ 求证 : ; ⑵ 求证 : ; ⑶ 与 G 的大小关系如何? 试证明你的结论. G 解析 ⑴, =45, 是等腰直角三角形. =. =90 -, =90 -, 且 =, =. 在 和 中, =,=, = (S). =; ⑵ 平分, =. 在 和 中 =,=, = (S). H ==. 又由 ⑴, 知 =, = = ; G H 4
⑶ =45, 垂直 于, 则 =. H 为 中点, 则 H 连接 G, 则 G=G, G= G= = 45 =.5, G=45. 又 垂直, 故 G= G=45,=G. G 是直角三角形, +G =G, H 垂直平分, G=G, +G =G =G ; 即 =G,G= G>., 例 ( 越秀区 ) 如图, 现在一张正方形纸片, 点 P 为正方形 边上的一点 ( 不与点 点 重合 ). 将正方形纸片折叠, 使点 落在 P 处, 点 落在 O 处, OP 交 于 Q, 折痕为 MN, 连结 P. ⑴ 求证 : P PQ ; ⑵ 当点 P 在边 上移动时, 试判断 P Q的长与 PQ 的长是否相等? 并说明理由. M P 解析 ⑴ 由翻折变换的性质得出 P= PQ. 四边形 为正方形,, P= P. P= PQ. Q O N ⑵ 过 作 PO, 垂足为, 由 ⑴ 知, P= PQ, 在 P 和 P 中, = P=90, P= PQ, P=P, P P(S), =,P=P, =. 又 = Q=90, Q 和 Q 是直角三角形, 5
在 Rt Q 与 Rt Q 中, =, Q=Q, Rt Q Rt Q(HL), Q=Q, P+Q=PQ. 例 ( 白云区 ) 如图 7, 已知, 中, 90,, M N 分别为 边的中点, 点 在 M 的延长线上, 且 M, 点 在 N 延长线上, 且 N N. ⑴ 连结, 线段 与线段 的大小关系是 ; ⑵ 证明 ⑴ 中你所填的结论 ; ⑶ 求证 :. M 解析 ⑴ ⑵ 如图, 连接 M 为 中点, M M M, M M M M SS 又 N M N ⑶ 如图, 沿长 至, 使得 连接,, 由 ⑴ 知 90 又 可得 为等腰直角三角形 45 N SS 可证 N, 90 N M 45 6
M, M 45 在 和 M 中, M M M SS M 90 M N 题型三 : 轴对称 垂直平分线 例 ⑴( 二中 ) 如图, 中,, 0, 垂直平分, 则 的度数为 ( ).80. 45. 60. 75 ⑵( 执信 ) 在 中, 90, 垂直平分斜边, 且分别交 于, 若 0. 求 的度数 ; 若 cm, 求 的长. 解析 ⑴ ; ⑵ 0 cm 7
角平分线 例 4 ⑴ ( 省实 ) 如图, 在 Rt 中, 90,,,, 0, 则 的周长 =. ⑵ ( 二中加试 ) 如图, O 0, O 平分 O, P 在 O 上, 且 P O于, 过 P 作 P O交 O 于, 且 O cm, 则 P. P O ⑶ ( 二中加试 ) 已知, 如图所示, 在 中,, =,. 求证 :. 解析 ⑴0 ; ⑵cm ; ⑶ 延长 交 于 5 4 + =90, + 4=90, = = 4 又 4= 5+, = 5 4 又 8
例 5 ( 南沙区 ) 如图, 在 中,, 的平分线 O 交 于点, 点 H 为 O 上一点, 过点 H 作直线 l O于 H, 分别交直线 于点 N M. ⑴ 若, 求 的度数 ; ⑵ 当直线 l 经过点 时 ( 如图 ), 求证 : N ; ⑶ 当 M 是 中点时 ( 如图 ), 写出 N 和 之间的等量关系, 并加以证明 ; ⑷ 请直接写出 N 之间的数量关系. l N O H 图 M l 解析 ⑴ =6 ⑵ 连接 N. O 平分, =, 直线 l O 于 H, 4= 5=90, 6= 7, N=, NH=H, H 是线段 N 的中垂线, l N 6 N=, 4 5 8 8= 9. H 7 9 N=, (M)() N= +, =, O =, N=N. N=; ⑶ 如图, 当 M 是 中点时, 和 之间的等量关系为 =. N O H 图 (M) l N M H O 图 l N 4 N' M O H G 证明如下 : 过点 作 N' O 交 于 N'. 由 ⑴ 可得 N'=,N'=,N=. 4=,NN'=. 过点 作 G 交直线 l 于 G. 4=, =. =. G=. M 是 中点, M=M. 9
在 NM 和 GM 中, =, M=M, NM= GM, NM GM. N=G. N=. =N'=NN'+N=. ⑷N 之间的等量关系 : 当点 M 在线段 上时,=N+; 当点 M 在 的延长线上时,=N-; 当点 M 在 的延长线上时,=-N. 例 6 ( 荔湾区 ) 如图, 在 中, 60, 分别是 的平分线, 相交于点. 请写出 与 之间的数量关系, 并证明. 解析 证法一 : 如图, 在 上截取 G, 连接 G., 为公共边 G, G, G 60, 分别是 的平分线 60 G 60 G 60 4, 且 为公共边, 可得 G G 4 G 证法二 : 如图, 过点 分别作 G 于点 G, H 于点 H 60, 且 分别是 的平分线 60, G H G 60 H G H G H. 0
将军饮马 例 7 ⑴( 应元二中 ) 尺规作图. 如图 : 某地有两家超市和两条相交叉的公路,( 点 M N 表示超市, O O 表示公路 ) 现计划修建一座物资仓库, 希望仓库到两家超市的距离相等, 到两条公路的距离也相等. 你能确定仓库应该建在什么位置吗? 在所给的图形中作出你的设计方案 ( 保留作图痕迹 ). M N O ⑵( 二中加试 ) 如图, 正方形 的边长为, 在 上, 且, P 在 上, 则 P P 的最小值为. P 解析 ⑴ 如图所示, 点 P 即为仓库的位置. M P N O ⑵ 折纸 例 8 ( 越秀区 ) 如图, 将矩形纸片 沿其对角线 折叠, 使点 落到点 ' 的位置, ' 与 交于点. ⑴ 求证 : 是等腰三角形 ; ⑵ 若 P 为线段 上一动点, 作 PG ' 于 G PH 于 H. 求证 : PGPH. ' G H P
解析 ⑴ 由折叠的性质知, 又 是等腰三角形. ⑵ 如图, 延长 HP 交 于点 Q QP PH 90 又 PG ', PQ PG PGPH PQPH HQ G H Q P ' 例 9 ( 天河区 ) ⑴ 如图, 将长方形纸片 沿对角线 折叠, 使点 与点 M 重合, M 与 交于点 N, 请判断 N 的形状并说明理由. ⑵ 如图, 将长方形纸片 折叠, 使边 落在对角线 上, 折痕为, 且 点落在 处, 若, 4, 5, 求 的长. N ' 解析 ⑴ 由折叠的性质得, N N N N N 为等腰三角形. ⑵ 由折叠的性质得, ' ', ' 90 设 x, 则 ' 4 x S S S 4 54 x 4 x 5 5 x, 即 M 图 图 等腰三角形 例 0 ⑴( 玉岩 ) 已知等腰三角形的两条边长分别是 7 和, 则第三条边的长是 ( ).8. 7. 4. ⑵( 玉岩 ) 如图,,, 若 40, 则 的度数是 ( ). 0. 0. 5. 40
⑶( 省实 ) 如图, 和 分别在 GH 的两边上, 且, 若 8, 则 G 的度数是 ( ).08.00. 90.80 G H ⑷ ( 荔湾区 ) 如图, 若 是等边三角形, 6, 是 的平分线, 延长 到, 使, 则 ( )..7.8.9.0 ⑸( 西关外国语 ) 若等腰三角形腰上的高是腰长的一半, 则这个等腰三角形的底角是. ⑹( 越秀区 ) 如图, 已知,, 求证 :. ⑺( 省实 ) 如图, Rt 中, 90, 4,, 以 的一边为边画等腰三角形, 使它的第三个顶点在 的其它边上, 请在图 图 图 图 4 中分别画出一个符合条件的等腰三角形, 且四个图形中的等腰三角形各不相同, 并在图中表明所画等腰三角形哪两条边相等 ( 要求尺规作图并保留痕迹 ). 图 图 图 图 4,, 若点 P 在 x 轴上, 且 PO 是等腰三角形, 则点 P ⑻( 中大附中 ) 点 的坐标是 的坐标不可能是 ( ). 4,0., 0.,0.,0
⑼( 越秀区 ) 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知 (0,), (4,), 试在 x 轴上确定一点, 使 是等腰三角形, 则符合条件的点 共有 个 解析 ⑴; ⑵; ⑶; ⑷; ⑸5 或 75 ; ⑹ 如图, 连接 又 ⑺ 如图, ; 如图, ; 如图, ; 如图 4,. 图 图 图 图 4 ⑻; ⑼5. 题型四 : 整式乘除 例 ⑴( 中大附中 ) 下列运算正确的是 ( ). 解析 ⑴ ; 幂的运算性质. 5 aa a. ab ab. a a. a 6 a a 9 ⑵( 二中应元 ) 下列运算中, 计算结果正确的是 ( ).. a a. a a a 5. ab ab. a a a 6 ⑶( 中大附中 ) 已知 x 4, y x y x y 6, 求 9 7 的值. 00 ⑷( 二中加试 ) 下列关于 0 00.. 00 0 00 0. 00 0 00 0 00. 00 0 00 0 60 的计算结果正确的是 ( ) 0 00 0 60 ⑵ ; ⑶ 00 7 ; ⑷. 4
整数指数幂 例 ⑴( 六中 ) 计算 : 0 4 00. ⑵( 荔湾区 ) 如果 x 0, 则 x 要满足的条件是. ⑶( 白云广雅 ) xy xy 解析 ⑴ ; ⑵ x ; ⑶ xy.. 科学计数法 4 例 ⑴( 白云广雅 ) 用科学记数法表示的数.6 0 写成小数是 ( ).. 0.0006. 0.006. 0.0006. 6000 ⑵( 白云广雅 ) 0.000000489 ( 用科学记数法表示, 保留 位有效数字 ) ⑶( 白云广雅 ) 在比例尺为 : 800000 的地图上, 量得太原到北京的距离为 64cm, 将实际距离用科学记数法表示为 千米.( 保留两位有效数字 ) 7 解析 ⑴; ⑵ 4.9 0 ; ⑶ 5. 0. 整式乘除 例 4 ⑴( 执信 ) 计算 : x xy ⑵( 荔湾区 ) 6xyz 9xz. ( ). 7xy. 7x y. 7x yz. 7x y ⑶( 应元二中 ) 先化简, 再求值 x y xy y yx yx y, 其中 x, y ⑷( 越秀区 ) 计算 : xy xy x y xy, 其中 x0, y. 5 ⑸( 西关外国语 ) 已知多项式 x ax b 与 x x 的乘积中不含 x 与 x 项, 则 a b的值为 ( ). a, b7. a, b. a, b 7. a, b4 7 解析 ⑴ 4x y ; ⑵ ; ⑶ 原式 xy ; ⑷ 原式 xy ; 5 ⑸ 乘法公式 例 5 ⑴( 中大附中 ) x x x x 4 的值是. 5
4 8 ⑵( 中大附中 ) 化简 :. ⑶( 中大附中 ) 若 x kxy 9y 是完全平方式, 则 k. ⑷( 省实 ) 多项式 4a 加上一个单项式后, 使它能成为一个整式的完全平方, 那么加上的单项式可以是.( 要求把所有可能的单项式写出来 ) 6 解析 ⑴ ; ⑵ ; ⑶ 6 ; ⑷ 4a, 4 4a,, 4a 例 6 ⑴( 西关外国语 ) 已知 x y, 则 x xy y. ⑵( 执信 ) 已知 a b, ab 6, 则 a b的值是. ⑶( 应元二中 ) 已知 x y 8, x y 4, 求 x y 的值 ⑷( 中大附中 ) 如图 a 是一个长为 m 宽为 n 的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图 b 的形状拼成一个正方形. n m m m n n n 图 a m n m 图 b 你认为图 b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少? 请用两种不同的方法求图 b 中阴影部分的面积. 方法 : 方法 : 观察图 b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗? 代数式 : m n, m n, mn. 4 根据 题中的等量关系, 解决如下问题 : 若 ab 7, 5 解析 ⑴ ; ⑵ 5 ; ⑶ 5 ; ab, 则 a b n m. ⑷ 图 b 中的阴影部分的正方形的边长为 m n 请用两种不同的方法求图 b 中阴影部分的面积 方法 : m n 方法 : mn 4mn 4 mn mn 4mn ab ab 4ab 9 因式分解 例 7 ⑴( 执信 ) 下列各式由左边到右边的变形中, 是因式分解的是 ( ) 6
解析 ⑴ ;. ax aaax. a a aa. xx y x xy x x x x x. x ⑵( 中大附中 ) 下列各式分解因式正确的是 ( ) 9x 9x 9x a 4 a a... 8a b 9ab9a b. a ab aaba b ⑶( 越秀区 ) 分解因式 : x yxy. ⑷( 执信 ) 分解因式 : 6xy 9x y y ⑸( 应元二中 ) 因式分解 : 4 x y 9 x y ⑹( 广雅加试 ) 分解因式 : 4a b a b 9a b ⑵ ; ⑶ xy x x. ; ⑷ yx y ; ⑸ xy ; ⑹ 5b a 例 8 ⑴( 西关外国语 ) 要在二次三项式 x x 6 的 中填上一个整数, 使它能分解为 x a x b 的形式, 那么这些数只能是 ( ).,. 5, 5.,, 5, 5. 以上答案都不对 4 a a 5 解析 ⑵( 荔湾区 ) 分解因式 : ⑶( 二中加试 ) 分解因式 : 4a b 6a b x x x x 4 x x 4 x 4 0 ⑷( 西关外国语 ) 的三边满足 a bcc ab, 则 是 ( ). 等腰三角形. 直角三角形. 等边三角形. 锐角三角形 ⑸( 二中加试 ) 若 x xyy 7, y xyx 8, 求 x 和 y 的值. 00 00 999 ⑹( 西关外国语 ) 用简便方法计算 : 00 00 00 ⑺( 广雅加试 ) 一个自然数 a 恰好等于另一个自然数 b 的平方, 则称自然数 a 为完全平方数, 已知 a 00 00 004 004, 证明 a 是一个完全平方数. a ; ⑴ ; ⑵ ⑶ 原式 abab ab abab 原式 x x x xxx 原式 x 4 x x 4 x x 4 x x 4 x x 4 x x x x x x xxx xx x x x x x ⑷; ⑸ x xy y y xy x x y x y x y x y x xy y y xy x x y x y 5 7
6 x y 4, 即 x y 或 5 当 x y 时, x y, 故 x, y 7 当 x y 5 时, x y, 故 x, 7 7 7 x x 7 或 y 8 y 7 x y x y x y 8 y 7 00 00 999 999 00 999 ⑹ 原式 00 00 00 00 00 00 ⑺ a 00 00 004 004 00004 00 004 00 004 00 004 00 004 00004 a 是一个完全平方数 题型五 : 分式 分式方程 分式的概念 a 8 5 5 例 9 ⑴( 广雅 ) 式子 4 xy a b xy y a b 6 x x 分式的个数有 ( ).. 个. 个.4 个.5 个 ⑵( 中大附中 ) 若 x x x 6 有意义, 则 x 的取值范围是 ( ).. x 且 x. x 或 x. x 或 x 或 x 0. x 且 x 且 x 0 x ⑶( 白云广雅 ) 当 x 时, 分式 无意义. x x 9 ⑷( 广雅 ) 如果分式的值为零, 则 x 的值为 ( x )... 或..0 ⑸( 白云广雅 ) 当 x 时, 分式的值为负数. x x 4 ⑹( 天河区 ) 当 x 时, 分式 的值大于 0. x 解析 ⑴ ; ⑵ ; ⑶ 0 或 ; ⑷ ; ⑸ x ; ⑹ x 分式的性质 8
a b a b ; x y x y ; a b a b ; c c x x c c 4 m n m n 中, 成立的是 ( ). m m..4..4 ⑵( 广雅 ) 下列各式从左到右的变形一定正确的是 ( ). a x a y y.. b x b x x. n na a ab. m ma b b x y ⑶( 汇景实验 ) 若分式中的 x y 的值都变为原来的 倍, 则此分式的值 ( ). x y. 不变. 是原来的 倍. 是原来的. 是原来的 6 x ⑷( 白云广雅 ) 分式 x, 的最简公分母是 x ( ). x x x. x. x 例 40 ⑴( 白云广雅 ) 下列等式 :.. ⑸( 白云广雅 ) 下列约分中正确的是 ( ). a b. a b. a c a a b ab.. a b b c b b a ab 5 a 5 ⑹( 白云广雅 ) 如果 成立, 则 a 的取值范围是. 7a 7 解析 ⑴; ⑵; ⑶; ⑷; ⑸; ⑹ a 分式的运算 x x 例 4 ⑴( 白云广雅 ) 如果 x y 0, 那么 的结果是 ( ) y y. 正数. 负数. 零. 正数或负数 ⑵( 白云广雅 ) 计算 : a b 4 ab b a a 4 a b aa b b a b b a 6 a 9a 8 a 4 4 a 4 4a a x x x x x ⑶( 中大附中 ) 先化简分式, 再从不等式组 的解集中 x x x 4x5x 取一个非负整数值代入, 求原分式的值. x x x ⑷( 白云广雅 ) 先化简 x x x, 再选取一个你喜欢的数代入求值. ⑸( 汇景实验 ) 阅读理解题, 观察下列算式 : 9
; ; ; 6 4 4 0 45 4 5 填空 : 4 = ; 请用含有 n 的代数式表示上述式子的一般规律 ; x x x x x 9 x 0 x 0 请用 ⑵ 中的规律解方程 : 解析 ⑴ 4 ⑵ ab ; b a b ; a ; 4 a a ⑶ 原式 x 解不等式得 : x 又原式有意义时, x 且 x 0 故代入的 x 的范围 : x 且 x 且 x 0 又 x 为非负整数 x x 8 ⑷ 原式 x, 要使得原式有意义, x 需要满足条件 : x 且 x 0 ⑸ 6 7, 6 7 n n n n+ x x x x x9 x0 x0 x x 0 解之得, x 0 经检验, x 0 是原方程的解 原方程的解是 x 0. 分式的恒等变形 x y 例 4 ⑴( 天河区 ) 已知 xy 0, 求 x y的值. x xy y a ⑵( 白云广雅 ) 若 b, a abb 则. a b 5a ab 5b ⑶( 白云广雅 ) 已知, 则. a b aabb a b ⑷( 白云广雅 ) 已知 ab, ab, 则 的值等于. b a ⑸( 白云广雅 ) 若 xy, 且, 则 x y. x y ⑹( 白云广雅附加题 ) 已知 m n m n, n m 求 的值. m n a b ⑺( 西关外国语 ) 已知 : ab 0, a abb 0, 那么的值为. a b 0
解析 ⑴ 7 ; ⑻( 应元二中 ) 若 a 6, 则 a. a a ⑼( 二中加试 ) 若 0a, 且 a 6, 则 a 的值为. a a ⑽( 白云广雅附加题 ) 已知 x 5x 0, 求 x 的值. x a ⑵ 方法一 : b, a b b bbb b 原式 b b 5b 5 方法二 : 由题意得, b 0, 将原式分子分母分别除以 b 得, a a b b 原式 a 5 b ⑶ b, a, a b ab a b ab 5ab ab 5ab ab ab 原式 a bab ab ab 4ab ⑷ a 原式 b ab ab 7 ab ab x y ⑸,, x y x y xy x y xy 原式 x y xy 6 n m ⑹ 由题意得,, mn mn mn m n n 原式 m mn mn mn mn mn mn mn a b ab 0, 故 a b 0 或 a b 0, 即 a b或 a b ⑺ 由题意得, b b 当 a b时, 原式 ; b b 4bb 5 当 a b时, 原式 4bb 5 原式 或 ⑻ 原式 a 6 8 a ⑼ a a 4 a a a a 又 0a
0 a, a a 0, 即原式 a ⑽ x 5x 0 x 0 在等式左右两边同时除以 x 得, x 5 x 原式 x 5 x 分式方程 x 例 4 ⑴( 白云广雅 ) 解分式方程, 去分母后所得的方程是 ( ). x x x. x 6x.. x x. x x ⑵( 白云广雅 ) 解方程 : x x x 6x x x 6 ⑶( 中大附中 ) 解方程 : x x x 4 x mx ⑷( 广雅 ) 若关于 x 的方程 无解, 则 m 的值为. x x mx 6 ⑸( 中大附中 ) 已知方程 m 无解, 则 m. x ⑹( 白云广雅 ) 若方程 的解为正数, 则 a 的取值范围是. x xa 解析 ⑴ ; ⑵ 无解 ; ⑶ 无解 ; ⑷ 原方程化简得 : m x 当 m 0即 m 时, 0, 无解 当 m 0时, x m, 要使方程无解, 可得 : 5, 即 m m 5 m 或 m ⑸ m 0 或 ; ⑹ a 且 a 分式方程的应用 例 44 ⑴( 省实 ) 五一 期间, 几名同学包租一辆面包车前往 白云山 游玩, 面包车的租价为 80 元, 出发时, 又增加了 名学生, 结果每个同学比原来少分担 元车费, 设原来参加游玩的同学为 x 人, 则可得方程 ( )
. 80 80. 80 80. 80 80. 80 80 x x x x x x x x ⑵( 白云广雅 ) 比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约, 第二天上午 8 时结伴出发, 到相距 6 米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议. 蜗牛神想到 笨鸟先飞 的古训, 于是给蚂蚁王留下一纸条后提前 小时独自先行, 蚂蚁王按既定时间出发, 结果它们同时到达. 已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的 4 倍, 求它们各自的速度. ⑶( 育才 ) 学校在假期内对教室内的黑板进行整修, 需在规定日期内完成. 如果由甲工程小组做, 恰好按期完成 ; 如果由乙工程小组做, 则要超过规定日期 天. 结果两队合作了 天, 余下部分由乙组独做, 正好在规定日期内完成, 问规定日期是几天? 解析 ⑴; ⑵ 解 : 设蜗牛神的速度是每小时 x 米, 蚂蚁王的速度是每小时 4x 米. 6 6 由题意得 : = x 4x 解得 :x=6 经检验 :x=6 是原方程的解. 4x=4. 答 : 蜗牛神的速度是每小时 6 米, 蚂蚁王的速度是每小时 4 米. ⑶ 解 : 设规定日期为 x 天, 根据题意, 得 x x x x 解这个方程, 得 x=6 经检验,x=6 是原方程的解. 原方程的解是 x=6. 答 : 规定日期是 6 天. 例 45 ( 越秀区 ) 甲 乙两人同时从 地沿同一路线走到 地, 甲有一半时间以速度 a 行走, 另一半时间以速度 b 行走 ; 乙有一半路程以速度 a 行走, 另一半路程以速度 b 行走. 设甲 乙两人从 地到 地所走的路程都为 S, 且 a b. ⑴ 试用 a b S 的式子分别表示甲 乙两人从 地到 地所用的时间 t 和 t ; ⑵ 试问甲 乙两人谁先到达 地? 并说明理由. ta tb = S 解析 ⑴ 依题意, 可得 : S S, t = a b S t = a b 解得 : Sa b t = ab ⑵ 甲先到达, 理由如下 : Sab S Sab 4abS Sab 4ab Sa b ab Sab t t = = = ab ab ab ab ab ab ab ab ab ab a b, 且 a 0, b 0, S 0 S a b aba b 答 : 略. 0, 即 t t, 故甲先到达.
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