台北市立陽明高中高二下自然組動手動腦 單元 :2-4 組合 (4) 班級 : 座號 : 姓名 : 1. 桌上有形狀 大小相同的橘子 4 個, 梨子 5 個, 蘋果 6 個, 任意分給甲 乙 丙三人, 試求下列情況之方法數 : (1) 每人每種水果至少得 1 個 (2) 每人至少得 1 個 2. 平面上有 8 條直線, 任意兩條直線皆不平行, 且任意三條直線皆不共點, 請問這些直線共有多少個交點? 3. 一市鎮街道, 如附圖所示, 某君自 A 行走方向 向東 " 或 向北 " 或 向東北 ", 則到 B 有幾種走法? 10. 若某校高二共有甲 乙 丙三班, 每班人數分別為 45 46 48, 請問 : (1) 朝會時, 校長如欲從高二學生中選一位上台背國文, 共有多少種選法? (2) 如從高二各班各選一位上台背國文, 共有多少種選法? 11. 將 6 件物品, 任意放入 4 個箱子 (1) 物品相同, 箱子相同, 可兼得共幾種? (2) 物品相同, 箱子不相同, 每箱至少放一件共幾種? (3) 物品不同, 箱子相同, 每箱至少放一件共幾種? (4) 物品不同, 箱子不相同, 每箱至少放一件共幾種? 4. 8 8 的正方形棋盤上, 每條相鄰直線皆相距 1 公分, 共有 9 條水平線,9 條垂直線, 請問 : (1) 共有多少種不同面積的正方形? (2) 面積為 1 平方公分的正方形有多少個? (3) 棋盤上共可數出多少個正方形? 5. 老師將 12 枝相同的鉛筆分給六位小朋友, 其中有兩位各分得 4 枝, 兩位各分得 2 枝, 而有兩位沒分到, 則共有幾種不同分法? 12. 3 個 a,4 個 b,5 個 c 排成一列, 共有多少種排法? 13. 如附圖由 A 到 B 走捷徑 ( 只許 ) 求下列各有多少種走法? (1) A 到 B 全部走法 (2) 須經過 D 點 (3) 不經過 C 點 (4) 經過 C 或 D 點 6. 某人以 5 種不同的果汁, 倒入桌上 4 個杯子裡, 每個杯子只倒一種果汁, 下列情況各有多少種不同的倒法?(1) 杯子都不相同 (2) 杯子都相同 (3) 兩個杯子相同, 另兩個杯子不同 7. 8 個人分成 4 隊, 每隊 2 人, 共有多少種分法? 14. 某學生有大小相同的畫筆 12 支 : 紅色 3 支 藍色 4 支 黃色 5 支, 要將這 12 支筆排放在盒內, 其排法有多少種? 15. 由 A B C D 四所學校各派出網球選手 2 隊, 以單淘汰方式比賽, 同一學校派出的 2 隊, 除冠亞軍賽外, 不得比賽, 問賽程有幾種安排法? 8. 如附圖,(1) 全部矩形有多少個? (2) 矩形的內部至少包含 A 或 B 兩點之一的矩形共有多少個? 16. 從 5 位男生 3 位女生中選 4 位組成代表團, 請問在下列各種情形下有多少種組法? (1) 任意組成代表團 (2) 代表團中只有 1 位女生 (3) 代表團中最多只有 1 位女生 9. 方程式 x 1 +x 2 +x 3 =10, (1) 有幾組非負整數解? (2) 有幾組正整數解? (3) 若限制 x 1 2,x 2 2,x 3 1, 則有幾組整數解? 17. 某班有 40 位學生, 飲料公司舉辦品嘗活動需要 10 位學生參加, (1) 請問參加學生的選法共有多少種? (2) 若飲料有甲 乙二種, 將選出參與品嘗活動的 10 位學生分成 2 組, 每組 5 人, 每人只品嘗一種飲料, 請問共有多少種不同的選法? - 1 -
18. 某拳擊比賽, 規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場, 如果賽程共 78 場, 則選手共有多少人? 19. x+y+z=10 的 : (1) 非負整數解有多少組?(2) 正整數解有多少組? 20. 自完全同形狀之白球 4 個, 紅球 3 個, 黑球 1 個 (1) 從中取出 5 個, 共有幾種取法? (2) 又將 5 個取出後再排成一列之排法有幾種? 29. 平面上有 8 個點, 任意 3 點都不共線, 請問 : (1) 共可組成多少條直線, 經過這些點中的 2 點? (2) 共可組成多少個三角形, 其頂點是這 8 個點中的 3 點? 30. 由 5 人中選出 1 人當領隊, 今有 3 位候選人, 每人可投一票, 則求下列各有多少種方法? (1) 記名投票 (2) 記名, 但可投廢票 (3) 不記名 (4) 不記名, 但可投廢票 31. 在坐標平面上, 自點 A (-4,-3) 沿方格之邊, 如附圖所示取捷徑, 到達點 B (2, 3 ), 問經過第二象限的走法有多少種? 21. 附圖中之方格均為正方形, 試求 : (1) 矩形之個數 (2) 正方形之個數 22. 從 0 1 2, 9 十個數字中任取 5 個數字 ( 數字不重複 ), 其和為偶數的有多少種? 32. 附圖中每條線段長皆為 1 公分, 請問 : (1) 共有多少個正方形面積為 1 平方公分? (2) 共有多少個正方形面積為 4 平方公分? (3) 共有多少個正方形面積為 9 平方公分? (4) 全部共有多少個正方形? (5) 全部共有多少個長方形? 23. 甲 乙 丙 3 人各擲一粒骰子, 已知 3 人擲出的點數和為 10, 請問甲 乙 丙擲出的點數共有多少種可能的組合? 33. 人生如夢, 夢如人生 " 八個字作直線排列, 若人與夢不相鄰, 其排法有幾種? 24. 附圖中,A B C 三點共線,D E F G 四點共線, 利用這 7 點的其中 3 個點為頂點, 所作成的三角形共有多少個? 34. 將 6 本不同書, 依下列方式分配, 各有多少種方法? (1) 分成 1 2 3 本, 共三堆 (2) 將 (1) 三堆分給 3 人 (3) 分成 1 1 4 本, 共三堆 (4) 將 (3) 三堆分給 3 人 (5) 分成 2 2 2 本, 共三堆 (6) 將 (5) 三堆分給 3 人 25. 籃球 3 人鬥牛賽, 共有甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 9 人參加, 組成 3 隊, 且甲 乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種? 35. 3 個相同的橘子,2 個相同的蕃茄及 1 個蘋果, (1) 任意分給 3 位小朋友每位 2 個, 共有多少種分法? (2) 任意分給 3 位小朋友, 每位不限制得幾個, 共有多少種分法? (3) 任意分給 3 位小朋友, 每位至少 1 個, 共有多少種分法? 26. 求由 mississippi 一字中, 任取 4 個字母之組合數與排列數 27. 福利社有 5 類罐裝飲料, 今有 3 位同學每人至少買一罐, 至多買三罐之買法有幾種? 28. 求 x.y.z=120 的正整數解有多少個? 36. 方程式 x 1 +2x 2 +3x 3 =12 有幾組非負整數解? 37. 設 a,b,c,d,e { 1,2,3,4,5 }, 則使 ( a-b ) ( b -c ) ( c-d ) ( d-e ) ( e-a )=0 的方法有幾種? 38. 班上有 45 位同學投票選舉最可愛的玩偶, 候選的玩偶有凱蒂貓 無尾熊 熊貓 加菲貓與皮卡丘 5 種, 每位同學只能投一票, 請問這 5 種玩偶的得票數可能有幾種組合? ( 這次的投票沒有一張廢票 ) - 2 -
台北市立陽明高中高二下自然組動手動腦解答 單元 :2-4 組合 (4) 班級 : 座號 : 姓名 : 1. 答案 : (1) 180; (2) 8193 (1) H 3 4-3 H3 5-3 H3 6-3 =H3 1 H3 2 H3 3 =C 3 1 C4 2 C5=180 3 (2) ( H 3 4 H3 5 H3 )-3 ( 6 H2 4 H2 5 H2 )+ 6 3 ( H 1 4 H1 5 H1 )-( 6 H0 4 H0 5 H0 ) 6 =C 6 4 C7 5 C8 6-3.C5 4 C6 5 C7 6 +3.C4 4 C5 5 C6-0 6 =8820-630+3 =8193 2. 答案 : 28 兩直線就有 1 個交點, 所以全部的交點有 C 8 2= 8.7 2.1 =28 個 3. 答案 : 321 種 8! (1) =70 種 (2) 3!3! =140 種 6! (3) 2!2!2! =90 種 5! (4) 3! =20 種 (5) 1 種 共有 ( 70+140+90+20+1 )=321 種 4. 答案 : (1) 8;(2) 64;(3) 204 (1) 正方形種類有 :1 1,2 2,,8 8, 共 8 種 (2) 8 8=64 (3) 8 8+7 7+6 6+ +1 1=204 5. 答案 : 90 共有 3 種類別,4 枝,4 枝,2 枝,2 枝,0 枝,0 枝, 所以排法有 6! 2!2!2! =90 ( 種 ) 6. 答案 :(1) 625;(2) 70 種 ;(3) 375 種 (1) 每個杯子有 5 種倒法, 故有 5 4 =625 種倒法 (2) 5 類物件, 取 4 個的重複組合有 H 5 4=C4=70 8 種倒法 (3)H 5 2 5 2 =375 種倒法 7. 答案 : 105 C 8 2.C 6 2.C 4 2.C 2 2 = 8.7 2.1. 6.5 2.1. 4.3 2.1.1 24 =105 ( 種 ) 8. 答案 :(1) 36;(2) 15 (1) 共有矩形 C 4 2 C 4 2=6 6=36 ( 個 ) (2) 包含 A 的矩形 C 3 1 C1=3 3 3=9 ( 個 ), 包含 B 的矩形 C 3 1 C 3 1=3 3=9 ( 個 ), 包含 A,B 的矩形 3 個, 所以包含 A 或 B 的矩形有 9+9-3=15 ( 個 ) 9. 答案 :(1) 66;(2) 36;(3) 21 (1) H10=C 3 12 10=66 (2) 可視為 x 1 '+x 2 '+x 3 '=7 的非負整數解 :H7=C 3 9 7=36 (3) 10-2-2-1=5,H 3 5=C5=21 7 10. 答案 : (1) 139;(2) 99360 (1) 利用加法原理, 因此由高二學生中選一位共有 45+ 46+48=139 種選法 (2) 利用乘法原理, 各班選一位有 C 45 1.C 46 1.C 48 1 =45 46 48=99360 種選法 11. 答案 : (1) 9 種 ;(2) 10 種 ;(3) 65 種 ;(4) 1560 種 (1) ( 6, 0, 0, 0 ) ( 5, 1, 0, 0 ) ( 4, 2, 0, 0 ) ( 4, 1, 1, 0 ) ( 3, 3, 0, 0 ) ( 3, 2, 1, 0 ) ( 3, 1, 1, 1 ) ( 2, 2, 2, 0 ) ( 2, 2, 1, 1 ) 共 9 種 (2) ( 3, 1, 1, 1 ) 3! =4 種 ( 2, 2, 1, 1 ) 2!2! =6 種 (3) ( 3, 1, 1, 1 ) C6 3C 3 1C 2 1C 1 1 3! =20 種 1C 1 1 共 10 種 ( 2, 2, 1, 1 ) C6 2C 4 2 2! C2 2! =45 種 20+45=65 種 (4) 4 6 -C 4 1 3 6 +C 4 2 2 6 -C 4 3 1 6 =1560 種 12! 12. 答案 : 3!5! 利用有相同事物排列法,3 個 a,4 個 b,5 個 c 排成一 12! 列, 其排法有 3!5! 種 13. 答案 : (1) 210;(2) 80;(3) 98;(4) 144 ( 6+4 )! (1) 6! =210 (2) ( A D ) ( D B )= 6! 3!3! 3!1! =20 4=80 2! (3) 全部 - 經過 C 點 =210-( 1!1! 8! 5!3! )=210-112 - 3 -
=98 (4) n ( C D )=n ( C )+n ( D )-n ( C D ) 2! =112+80-( 1!1! 2!2! 3!1! )=192-48=144 14. 答案 : 27720 此為有相同事物的排列法, 共有 12 11 10 9 8 7 6 3 2 1 4 3 2 1 12! 3!5! = =27720 ( 種 ) 15. 答案 : 72 種設由 A B C D 四所學校選出的球隊分別為 a 與 a,b 與 b,c 與 c,d 與 d, 為使同校球隊除冠亞軍賽外, 不得比賽, 比賽秩序應如附表所示 (1) 在第一輪預賽時,8 個球隊應該區分兩組, 但同校的 兩隊不得分在同組, 分組方法為 C 2 1C 2 1C 2 1C 2 1 1 2! =8 種 (2) 分在甲組與乙組四隊之中, 必須再分為 2 隊與 2 隊的比賽 甲組有 C 4 2C 2 2 1 2! =3 種, 乙組有 C 4 2C 2 2 1 2! =3 種 故賽程共計 8 3 3=72 種安排法 16. 答案 : (1) 70;(2) 30;(3) 35 (1) 8 位選 4 位組成代表團共有 C 8 4=70 種 (2) 代表團只有 1 位女生, 由 3 位女生選出 1 位, 選法有 C1=3 3 種, 而 5 位男生中要選出 3 位, 其選法有 C 5 3= 10 種, 再由乘法原理, 全部的代表團組成方式有 3 10 =30 種 (3) 代表團中最多只有 1 位女生, 可以分成女生 1 位與女生 0 位兩種情形, 女生 1 位, 如 (2) 有 30 種組成方式 ; 女生 0 位, 則代表團全由男生組成, 其方式有 C4=5 5 種, 所以共有 30+5=35 種 17. 答案 : (1) C 40 10;(2) 40! 30!5!5! (1) 由 40 位學生中選 10 位參加品嚐活動, 選法有 C 40 10 種 (2) 由 40 位學生中選 10 位參加品嚐活動, 選法有 C 40 10 種, 而這 10 位學生又分成 5 位品嚐甲飲料,5 位品嚐乙 10! 飲料, 其選法有 5!5!, 所以全部的選法有 C 40 10. 10! 5!5! = 40!10! 10!30!5!5! = 40! 30!5!5! ( 種 ) 18. 答案 : 13 設有 n 人參加比賽, 任二位選手都會和對方比賽, 故 C2= n ( n-1 ) n 2 =78, 故 n ( n-1 )=156, ( n-13 ) ( n+12 )=0,n=13 ( 人 ) 或 n=-12 ( 不合 ), 共有 13 人參加比賽 19. 答案 : (1) 66;(2) 36 x+y+z=10 (1) 非負整數解有 H 3 10=C 3+10-1 10 =C 12 10=C 12 2 =66 ( 種 ) (2) 正整數解 ( x-1 )+( y-1 )+( z-1 )=7, 令 x-1=x,y-1=y,z-1=z, x +y +z =7 非負整數解共有 H7=C 3 3+7-1 7 =C 9 7=C 9 2=36 ( 種 ) 20. 答案 : (1) 7 種 ;(2) 100 種取法數 排列數 4 同 1 異 C 1 1 C 2 1 C 1 1 C 2 1 5! 3 同 2 同 C 2 1 C 1 1 C 2 1 C 1 1 5! 3!2! 3 同 2 異 C 2 1 C 2 2 C 2 1 C 2 2 5! 3! 2 同 2 同 1 異 C 2 2 1 C 2 2 1 合計 7 100 (1) 7 種 ;(2) 100 種 21. 答案 : (1) 297 個 ;(2) 67 個 (1) 含中空 ~C 3 1.C3 1.C3 1.C3=81 1 不含中空 ~4.C 3 2.C7 2-4.C3 2.C3=216 2 共 81+216=297( 個 ) (2) 1 平方單位 ~32 4 平方單位 ~17 9 平方單位 ~4 16 平方單位 ~9 25 平方單位 ~4 36 平方單位 ~1 共 32+17+4+9+4+1=67( 個 ) 5! 2!2! 22. 答案 : 126 0,1,2,,9 這 10 個數中奇數有 5 個, 偶數也有 5 個, 取 5 個數和要是偶數, 則這 5 個數中可能有 (1) 0 個奇數,5 個偶數, 有 1 種 ; 或是 (2) 2 個奇數,3 個偶數, 有 C 5 2.C3=100 5 種 ; 或是 (3) 4 個奇數,1 個偶數, 有 C 5 4.C1=25 5 種, 所以共有 1+100+25=126 種 23. 答案 : 27 設 x,y,z 分別為甲 乙 丙三人擲出的點數, 由題意 x+y+z=10, 但 1 x 6,1 y 6,1 z 6 若無限制點數不大於 6, 則正整數解共有 C2=36 9 種, 但其中 ( 1, 1, 8 ),( 1, 8, 1 ),( 8, 1, 1 ),( 1, 2, 7 ),( 1, 7, 2 ),( 2, 1, 7 ),( 2, 7, 1 ),( 7, 1, 2 ),( 7, 2, 1 ) 這 9 種不在範圍內應去除, 所以有 36-9=27( 種 ) 24. 答案 : 30 我們可以將它分成二種情形 - 4 -
D,E,F,G 取二點 ( ) A,B,C 取一點共有 C 4 2 C1=6 3 3=18 ( 個 ) D,E,F,G 取一點 ( ) 共有 C 4 A,B,C 取二點 1 C2=4 3 3=12 ( 個 ) 由 ( )( ) 共可組成 18+12=30 ( 個 ) 三角形 25. 答案 : 210 種甲 乙外的七人, 丙 丁 戊 壬中, 選出 2 人配甲成一組, 再選出 2 人配乙成一組, 另外 3 人為一組故有 C2C 7 5 2C 3 3=210 種 26. 答案 : 21,176 1 個 m,2 個 p,4 個 s,4 個 i 四同 ~C 2 1=2 2 =2 三同一異 ~C 2 1.C3 1=6 6 3! =24 二同二同 ~C 3 2=3 3 2!2! =18 二同二異 ~C 3 1.C3 2=9 9 2! =108 四異 ~C 4 4=1 1 =24 組合數為 2+6+3+9+1=21 排列數為 2+24+18+108+24=176 27. 答案 : 166375 種每個人之買法有 H1+H 5 5 2+H 5 3=( C1+C 5 6 2+C 7 3 )=5+15+ 35=55 種 3 人買法共有 55 55 55=166375 種 28. 答案 : 90 120=2 3.3 1.5 1 令 x=2 a 1 3 b 1 5 c 1,y=2 a 2 3 b 2 5 c 2,z=2 a 3 3 b 3 5 c 3, 其中 0 a i 3, a 1 +a 2 +a 3 =3 0 b j 1,0 c k 1, 且 b 1 +b 2 +b 3 =1, 故 a i 共有 C 5 3= c 1 +c 2 +c 3 =1 10 個解,b j 共有 C1=3 3 個解,c k 共有 C1=3 3 個解, 因此 x y z=120 的正整數解有 10 3 3=90 個 29. 答案 : (1) 28;(2) 56 (1) C 8 2=28( 條 ) (2) C 8 3=56( 個 ) 30. 答案 : (1) 243;(2) 1024;(3) 21;(4) 56 (1) 3 5 =243 (2) 4 5 =1024 (3) x+y+z=5 H 3 5=C 7 5=21 (4) x+y+z 5 x+y+z+w=5 H 4 5=C 8 5=56 31. 答案 : 462 種取捷徑由 A 點經過第二象限至 B 點的每一種走法, 都必須穿過直線 x+y=0 一次, 即要過 P Q R 之一 (1) A P B 有 3! 5! 3!2! =350 種走法 - 5 - (2) A Q B 有 2!5! 5! 1! =105 種走法 (3) A R B 有 1!6! 5! 5! =7 種走法所求共 350+105+7=462 種 32. 答案 : (1) 12;(2) 6;(3) 2;(4) 20;(5) 60 (1) 4 3=12( 個 ) (2) 面積為 4, 則邊長為 2 有 3 2=6( 個 ) (3) 面積為 9, 則邊長為 3 有 2 1=2( 個 ) (4) 12+6+2=20( 個 ) (5)(4+3+2+1) (3+2+1)=10 6=60( 個 ) 33. 答案 : 660 種 先排 生, 如, 生, 如 " 故有 2!2! 種, 再將 人, 夢, 人, 夢 " 分成如下 : P 5 4 (1) 全部分開插入有 2!2! =30 種 (2) 人與人 " 相鄰 ( 或 夢與夢 " 相鄰 ), 夢與夢 " P 5 3 分開插入有 2! 2=60 種 (3) 人與人 " 相鄰且 夢與夢 " 相鄰插入有 P2=20 5 種, 故共有 2!2! ( 30+60+20 )=660 種 34. 答案 : (1) 60;(2) 360;(3) 15;(4) 90;(5) 15;(6) 90 (1) C 6 1 C2 C 5 3 3=60 (2) 60 3!=360 (3) C6 1 C 5 1 C 4 4 2! =15 (4) 15 3!=90 (5) C6 2 C 4 2 C 2 2 3! =15 (6) 15 3!=90 35. 答案 : (1) 15;(2) 180;(3) 111 (1) C6 2C 4 2C 2 2 3 2 =15 (2) H 3 3 H 3 2 H 3 1=C3 C 5 4 2 C1=10 3 6 3=180 (3) 180-C 3 1 ( H 2 3. H 2 2.H1-2 2 )-3=180-66-3=111 36. 答案 : 19 當 x 3 =4 時, 有一組解 ( 0, 0, 4 ); 當 x 3 =3 時, 有二組解 ( 3, 0, 3 ) ( 1, 1, 3 ) ; 當 x 3 =2 時, 有四組解 ( 6, 0, 2 ) ( 4, 1, 2 ) ( 2, 2, 2 ) ( 0, 3, 2 ); 當 x 3 =1 時, 有五組解 ( 9, 0, 1 ) ( 7, 1, 1 ) ( 1, 4, 1 ); 當 x 3 =0 時, 有七組解 ( 12, 0, 0 ) ( 10, 1, 0 ) ( 0, 6, 0 ); 共 19 組 37. 答案 : 2165 種先假設為 ( a-b ) ( b-c ) ( c-d ) ( d-e ) ( e-a ) 0, 可將其視成為如下的附圖 : (1) AC 同色有 5.4.4.3=240 (2) AC 異色有 5.4.3.( 1.3+3.3 )=720 故有 960, 全部著法有 5 5 =3125 則滿足題意的方法為 3125-960=2165
38. 答案 : 211876 此為將 45 票分給 5 種不同玩偶分法有多少種問題, 由相同事物任意分配公式, 得票數的組合共有 C 49 45=C 49 4 = 49.48.47.46 =211876 ( 種 ) 4.3.2.1-6 -