一 : 當用兩個未知數, 列出兩個二元一次方程式來表示情境中的數量關係時, 我們就把這兩個方程式並列時, 且稱並列在一起的方程式為, 或二元一 ax + b y = c 次方程組 如 : a x + b y = c 2 2 2 二 解 :. 用代入消去法解 : 範例 : 解下列 : 3 x +2 y =3 x -3 y =-3 解 : 3 x +2 y =3 () x -3 y =-3 (2) 由 (2) 可得 x =-3+3 y 將其代入 (), 我們可得 : 3(-3+3 y )+2 y =3-9+9 y +2 y =3 y =3+9 y =2 將 y =2 代入 (2), 我們可得 : x -6=-3 x =3 故 x =3, y =2 為二元聯立方程組的解 2. 用加減消去法解 : 說明 : 將二元一次聯立方程組的兩式分別乘除幾倍, 兩式相加或相減, 使兩個未知 數變成一個未知數 利用解一元一次方程式的解法先解出一個未知數, 然後 再解第二個未知數 範例 : 解下列各 : 解 : 3 x +2 y =3 x -3 y =-3 2 將 乘 3, 將 2 乘 2, 可得 : 9 x +6 y =39 3 2 x -6 y =-6 4 3 x +2 y =3 x -3 y =-3 74
三 解應用問題 : 將 3 相加 4, 可得 : (9 x +6 y )+(2 x -6 y )=39-6 9 x +2 x +6 y -6 y =33 x =33 x =3 將 x =3 代入, 我們可得 :9+2 y =3 y =2 故 x =3, y =2 為二元聯立方程組的解 利用解決生活情境中的問題, 解題步驟為 :. 認清題意設定兩個適當的未知數 2. 依題意列出 3. 利用代入消去法或加減消去法解 範例 : 某人行 35 公里的路, 第一段每小時行 4 公里, 第二段每小時行 5 公里, 若以每 小時行 4 公里的速度改為每小時行 5 公里, 而每小時行 5 公里的速度改為每小時 行 4 公里, 則可比原路多行 2 公里, 問原路程共需費多少小時? 解 : 設第一段時間為 x, 第二段時間為 y 4 x +5 y =35 5 x +4 y =37 2 由 + 2 可得 : 由 + 3 4 可得 : 9x + 9y = 72 x + y = 8 3 y =3 代入 3 得 : x =5 所以第一段時間為 5 小時, 第二段時間為 3 小時, 原路程共費時 8 小時 答 : 原路程共需費 8 小時 75
. 某商店促銷活動, 買 3 包餅乾和 2 個麵包, 僅需 05 元 若小芬至此商店購買 6 包餅乾 和 4 個麵包, 付 500 元鈔票一張, 應可找回多少元? 90 年第一次基測 (A) 290 (B) 395 (C) 05 (D) 20 重點 : 兩個未知數的列式設餅乾每包 x 元麵包每個 y 元則原題意為 3 x + 2 y = 05, 所以 6 x + 4 y = 05 2 = 20 500 20 = 290 ( 元 ) 答案選 (A) 2. 守守到郵局, 買了 5 元與 2 元的兩種郵票共 29 張, 花了 250 元 ; 若 5 元郵票買 x 張, 2 元郵票買 y 張, 下列哪一個聯立方程式是正確的? 90 年第一次基測 x + y = 250 (A) 5 x + 2 y = 29 x + y = 250 (C) 2 x + 5 y = 29 x + y = 29 (B) 5 x + 2 y = 250 x + y = 29 (D) 2 x + 5 y = 250 重點 : 依題意列 答案選 (B) 3. 已知每塊餅乾的重量都相同, 每顆糖果的重量都相同 90 年第一次基測 守守拿了一個等臂天平, 測量餅乾與糖果的重量, 得到結果如下 : 第一次 : 左邊秤盤放二塊餅乾, 右邊秤盤放三顆糖果 ; 結果天平兩臂平衡, 如圖 ( 五 ) 第二次 : 左邊秤盤放 0 公克砝碼, 右邊秤盤放一塊餅乾和一顆糖果 : 結果天平兩臂平衡, 如圖 ( 六 ) 第三次 : 左邊秤盤放一顆糖果, 右邊秤盤放一塊餅乾 ; 下列哪一個方法可使天平兩臂再度平衡? 餅乾 0 公克 糖果 圖 ( 五 ) 圖 ( 六 ) (A) 在糖果的秤盤上加 2 公克砝碼 (B) 在餅乾的秤盤上加 2 公克砝碼 76
(C) 在糖果的秤盤上加 5 公克砝碼 (D) 在餅乾的秤盤上加 5 公克砝碼重點 : 的列式與求解設每塊餅乾為 x 公克, 每顆糖果為 y 公克, 則原題意為 2 x = 3 y x + y = 0 2 x = 3 y 2 x + 2 y = 20 3 y + 2 y = 20 y = 4 代入得 x = 6 2 + y ( 糖果 4 公克 ) = x ( 餅乾 6 公克 ) 答案選 (A) 4 x + 3 y = 0 4. 已知 的解為 x = a, y = b, 則 a + b =? 3 x y = (A) 3 (B) (C) 9 5 (D) 3 39 90 年第二次基測 重點 : 解 4 x + 3 y = 0 將原題改為 9 x 3 y = 3 故 a + b = x + y = + 2 = 3 答案選 (A) 再將兩式相加得 3 x = 3 x = 代入可得 y = 2 5. 羽毛球的售價分成兩種 : 比賽用球每打 300 元, 練習用球每打 250 元 創創共買了 0 打 羽毛球, 結帳時店員將兩種價目看反了, 結果使得創創多付了 00 元 設比賽用球買 x 打, 練習用球買 y 打, 則下列哪一個二元一次方程組可用來表示題目中的數量關係? (A) (C) x + y = 0 300 x + 250 y = 300 x + y = 0 300 x + 250 y = 300 y + 250 x 00 重點 : 依題意列二元一次方程式 (B) (D) x + y = 0 似乎不用討論, 因為 4 個答案都有 依題意 : 正確的價錢 +00 = 錯誤的價錢 x + y = 0 300 x + 250 y = 2600 x + y = 0 300 x + 250 y = 300 y + 250 x + 00 90 年第二次基測 300 x + 250 y + 00 = 250 x + 300 y 300 x + 250 y = 300 y + 250 x 00 77
6. 小健全班在週末至墾丁與鵝鸞鼻郊遊,38 人共租了 6 輛協力車 同學協議每輛只能兩人共騎或三人共騎 請問在這 6 輛協力車中, 由兩人共騎的有幾輛? (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 2 9 年第一次基測 重點 : 的列式與求解設兩人共騎有 x 輛 ; 三人共騎有 y 輛 x + y = 6 2 x + 3 y = 38 ( ) 由 ( ) 2 y = 6 代入 ( ) x = 0 7. 超快網路咖啡店, 提供順暢的上網服務, 其收費標準如下 : () 基本費用 : 每次 50 元 ( 可使用 t 分鐘 ) (2) 超過 t 分鐘時 : 超過的部分每分鐘收費 s 元 ( 不足 分鐘以 分鐘計 ) 小賢第一次至此店上網 20 分鐘, 花了 30 元 ; 第二次到同一家店上網 50 分鐘, 花了 60 元 請問 t 為多少? 9 年第一次基測 (A) 25 (B) 30 (C) 35 (D) 40 重點 : 的列式與求解 50 + ( 20 t ) s = 30 由題意 : 50 + ( 50 t ) s = 60 20 t 由 ( ) 得 : 50 t = 8 ( 20 t ) s = 80 ( 50 t ) s = 0 200 8 t = 320 t 3 t = 20 t = 40 ( ) x + y = 9 4 8. 已知 的解為 x = a, y = b, 則 a b =? x + y = 7 5 (A) (B) (C) 3 (D) 6 9 年第二次基測 重點 : 解 78
x + y = 35 4 x + y = 7 5 ( ) 由 ( ) 4 與 5 可得 4 x + y = 36 x + 5 y = 85 又 ( 4 ) 4 ( 3 ) 可得 9 y = 304 y = 6 x = 5 = a 代回 ( ) 得 x = 5 a b = 5 6 = y = 6 = b 答案選 (B) ( 3 ) ( 4 ) 9. 表 ( 一 ) 是創創和守守比賽投籃球的紀錄表 若 以命中率 ( 投進球數與投球次數的比值 ) 來比較 投球成績的好壞, 得知他們的成績一樣好, 則 下列 x 與 y 的關係哪一項是錯誤的? (A) x y = 0 (B) x + y = 45 (C) x : y = 20 : 0 (D) x : 45 = 20 : 30 重點 : 未知數的列式 比與比值 x + y = 45 依題意 : 20 x = 30 45 ( ) (A) 的選項 : x y = 5 0 (B) 的選項 : x + y = 45 2 (C) 的選項 : x : y = 30 : 5 = 20 : 0 (D) 的選項 : x : 45 = 20 : 30 答案選 (A) 學生 創創 守守 由 得 x = 30 代回 ( ) 得 y = 5 表 ( 一 ) 投進球數 沒投進投球球數次數 20 0 30 x y 45 9 年第二次基測 0. 小玲的錢包內有百元鈔票 x 張, 拾元硬幣 y 個, 請問錢包內有多少元? (A) x + y (B) 0 x + y (C) 00 x + 0 y (D) 0 ( x + y ) 重點 : 未知數的列式 依題意, 答案為 00 x + 0 y ( 元 ) 92 年第一次基測 79
. 求聯立方程式 (A) x = 2, x + 2 y = 的解為何? 3 x + 2 y = 5 3 y = (B) x = 3, y = 2 92 年第二次基測 (C) x =, y = (D) x = 3, y = 2 重點 : 解 將兩式相減得 2 x = 6 所以 x = 3 代入得 y = 2 2. 創創家有 0 人 守守家有 8 人, 兩家 人一同看表演, 該場表演的票價如圖 票價 ( 十六 ) 所示 若創創家的總票價比守守全票 60 元 / 張家少 60 元, 則創創家的半票比守守家半票 30 元 / 張的半票多幾張? 93 年第一次基測 (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 重點 : 的列式與求解 圖 ( 十六 ) 設創創家的半票有 x 張, 守守家的半票有 y 張 ( 0 x ) 60 + 30 x = ( 8 y ) 60 + 30 y 60 600 60 x + 30 x = 480 60 y + 30 y 60 30 x + 30 y = 80 x y = 6 3. x =,y = 為下列哪一個的解? 93 年第二次基測 (A) 9x y = 30 2x + 4y = 25 (B) 37x + 7y = 20 6x 5y = 3 5x + 7y = 32 29x 8y = (C) (D) 6x y = 27 23x + 7y = 40 重點 : 代入解 (A) 9 = 8 30 (B) 37 + 7 = 54 20 5 + 7 = 32 (C) 6 = 5 27 29 8 = (D) 23+ 7 = 40 80
4. 已知花生糖 顆 2 元, 梅子糖 2 顆 元 若小詩買花生糖及梅子糖共 60 顆, 花了 60 元, 則此兩種糖果的數量關係為何? 93 年第二次基測 (A) 花生和梅子糖一樣多 (B) 花生糖比梅子糖多 30 顆 (C) 花生糖比梅子糖少 20 顆 重點 : 的列式與求解 (D) 花生糖比梅子糖少 30 顆 設花生糖買 x 顆, 梅子糖買 y 顆 2 4 x + y = 20 ( 3 ) x + y = 60 2 x + y = 60 2 ( 3 ) ( ) 3 x = 60 x = 20 代入 ( ) 得 y = 40 花生糖比梅子糖少 20 顆 ( ) 5. 圖 ( 十二 ) 是某電信公司的通話費計算方式 : 300 秒以內只繳基本費, 超過 300 秒之後的費 用, 與通話時間成線型函數關係 則基本費 費用 50 元 36 是多少元? 93 年第二次基測 (A) 26 (B) 28 (C) 30 (D) 32 0 300 500 200 重點 : 二元一次的列式求解圖 ( 十二 ) 通話時間 ( 秒 ) 假設此線性函數為 y = ax + b, 將 ( 500, 36 ), ( 200, 50 ) 36 = 500 a + b 50 = 200 a + b 700 a = 4 a = b = 36 500 = 26, 可得 300 秒為基準的關係式為 y = x + 26 50 50 基本費 = 300 + 26 = 32 ( 元 ) 50 50 6. 某人帶了 400 元到市場買水果, 如果他買 3 個蘋果 5 個水梨, 則剩下 30 元 ; 如果他 買 5 個蘋果 4 個水梨, 則剛好把錢用完 設蘋果每個 x 元, 水梨每個 y 元, 則依題意 可列出下列哪一組聯立方程式? 94 年第一次基測 8
(A) 5 x + 3 y = 430 (B) 3 x + 5 y = 430 (C) 5 x + 3 y = 370 4x + 5y = 400 5x + 4y = 400 4x + 5y = 400 重點 : 認清題意, 且能按題意列出 依題意, 剩下 30 元, 則 3 x + 5 y = 400 30 = 370 ( 元 ) 剛好用完, 則 5 x + 4 y = 400 ( 元 ) (D) 3 x + 5 y = 370 5x + 4y = 400 3 7. 如附圖, 將一白繩的與一紅繩的重疊並以膠帶黏合, 形成一條長為 238 公分的繩子 8 3 求未黏合前, 兩繩長度相差多少公分? 94 年第一次基測 (A) 4 (B) 7 (C) 28 (D) 34 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 ( 考代入消去法, 分數運算 ) 設白繩長 x 公分, 紅繩長 y 公分 3 x = y ( ) 8 3 2 x + y = 238 3 9 由 ( ) 得 y = x ( 3 ) 代入 (2) 得 x + 2 8 3 9 8 x = 238 7 4 x = 238 所以 x = 36 代入 ( 3 ) 得 y = 53, y x = 53 36 = 7( 公分 ) 答案選 (B) 白繩 重疊黏合處 紅繩 8. 某書店的文具價格為 : 鉛筆一支 7 元 原子筆一支 5 元 橡皮擦一個 20 元 若有 5 位 小朋友, 每人各買一件文具, 共花了 64 元, 則其中有幾人買原子筆? (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 94 年第二次基測 重點 : 設未知數列出方程式, 解聯立方程式, 並清楚二元一次方程式解的意義 設有 x 人買鉛筆, y 人買原子筆, z 人買橡皮擦 x + y + z = 5 7 x + 5 y + 20 z = 64 ( ), 由 20 ( ) 可得 3 x + 5 y = 36 因為 x, y, z 皆為整數, 所以 x = 2, y = 2 z = 82
9. 大華 小明兩兄弟與父母量體重, 已知母親和大華共 0 公斤, 父親和小明共 20 公斤 若大華比小明重 3 公斤, 則父親比母親重多少公斤? 94 年第二次基測 (A) 7 (B) 0 (C) 3 (D) 7 重點 : 清楚二元一次方程式解的意義 設母親體重 y 公斤, 則大華體重 ( 0 y ) 公斤, 設父親體重 x 公斤, 則小明體重 ( 20 x ) 公斤又 大華比小明重 3 公斤, ( 0 y ) ( 20 x ) = 3 0 y 20 + x = 3 x y = 3 20. 哥哥與弟弟各有數張紀念卡 已知弟弟給哥哥 0 張後, 哥哥的張數就是弟弟的 2 倍 ; 若哥哥給弟弟 0 張, 兩人的張數就一樣多 設哥哥的張數為 x 張, 弟弟的張數為 y 張, 依題意下列列式何者正確? 94 年第二次基測 ( ) 2 y 0 = x (A) y = x 0 y 0 = 2x y 0 = 2 x (B) (C) (D) y = x 0 x 0 = y + 0 重點 : 認清題意, 且能按題意列出 ( y ) 2 0 = x + 0 x 0 = y + 0 設哥哥的張數為 x 張, 弟弟的張數為 y 張依題意 : 弟弟給哥哥 0 張, 哥哥是弟弟的 2 倍 2 ( y 0 ) = x + 0 又哥哥給弟弟 0 張, 兩人張數一樣多 x 0 = y + 0 2. 若 3 x 2 y 2x 4y x 2 y + 6 3 2 (A) 0 (B) (C) 5 = 0, 則 x y 5 0 (D) =? 94 年第二次基測 5.5 0 重點 : 二元一次方程式的化簡 3x 2y + 2( 2x 4y) 3( x 2 y ) 5 因為 = 0 6 3x 2y + 4x 8y 3x + 6 y 5 = 0 4 x 4 y = 6 0 6 5 6 0 5 所以 x y = =. 5 0 4 5 83
3x 2y = 9 22. 若 的解為 x = a, y = b, 則 a + b =? 4x + 3y = 29 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 0 95 年第二次基測 重點 : 解 3x 2y = 9 4x + 3y = 29 9x 6y = 27 L () 8x + 6y = 58 L (2), ()+(2) :7x = 85 x = 5 將 x = 5 代回 (2) 可得 y = 3, 因此 a = 5, b = 3 a + b = 5 + 3 = 8 答案選 (B) 23. 表 ( 一 ) 為小美採買火鍋料的收據, 但因汙損導致幾個重要數據無法辨識 根據表 ( 一 ) 判斷 粉絲與茼蒿的數量差異為何? 95 年第二次基測 (A) 粉絲比茼蒿多 2 包 (B) 茼蒿比粉絲多 2 包 (C) 粉絲比茼蒿多 4 包 (D) 茼蒿比粉絲多 4 包 重點 : 設未知數, 解 把不知道 ( 污損 ) 設成未知數 設粉絲有 x 包, 茼蒿有 y 包, x + y = 6 0 = 6 雞蛋金額為 7 2 = 34 ( 元 ) 39x + 30y = 740 78 264 75 34 = 89, 3x + 0y = 63 x + y = 6 L () 3x + 0y = 63 L (2) 由 () 0 (2) : x = y = 6 = 5 由此可知 : 茼蒿比粉絲多 4 包 品名 綜合火鍋料粉絲火鍋肉片金針菇茼蒿雞蛋 售價 ( 元 / 包 ) 數量 ( 包 ) 金額 ( 元 ) 89 39 25 30 7 表 ( 一 ) 2 3 3 2 78 264 75 購買包數 6 應付總額 740 x + y = 3 24. 若 的解為 x = a, y = b, 則 a b 之值為何? 3 x 2 y = 4 7 (A) (B) 3 (C) (D) 96 年第一次基測 5 5 重點 : x + y = 3 3 x 2 y = 4 ( ), 由 ( ) 2 + 得 5 x = 0 x = 2 y = 3 2 = 84
a = 2, b = a b = 2 = 答案選 (A) 25. 張老闆以每顆 a 元的單價買進水蜜桃 00 顆 現以每顆比單價多兩成的價格賣出 70 顆後, 再以每顆比單價低 b 元的價格將剩下的 30 顆賣出 求全部水蜜桃共賣 多少元?( 用 a b 表示 ) 96 年第一次基測 (A) 70 a + 30 ( a b ) (B) 70 ( + 20 % ) a + 30 b (C) 00 ( + 20 % ) a 30 ( a b ) (D) 70 ( + 20 % ) a + 30 ( a b ) 重點 : 的列式由題意可列出. 2 a 70 + ( a b ) 30 70 ( + 20 % ) a + 30 ( a b ) 26. 小華和小明到同一早餐店買饅頭和米漿 已知小華買了 5 個饅頭和 5 杯米漿 ; 小明買了 7 個饅頭和 3 杯米漿, 且小華花的錢比小明少 0 元 關於饅頭與米漿的價錢, 下列敘述 何者正確? (A) 2 個饅頭比 2 杯米漿多 0 元 (C) 2 個饅頭比 8 杯米漿多 0 元 (B) 2 個饅頭比 2 杯米漿少 0 元 (D) 2 個饅頭比 8 杯米漿少 0 元 96 年第一次基測 重點 : 二元一次方程式的列式設饅頭一個 x 元, 米漿一杯 y 元由題意可列出 5 x + 5 y = ( 7 x + 3 y ) 0 2 x = 2 y + 0 答案選 (A) 27. 如圖 ( 七 ), 某社區的道路是由東西向及南北向 垂直方式設計而成 已知東西向相鄰兩條道路 C 之間的距離均為 a 公尺, 南北向相鄰兩條道路之間的距離均為 b 公尺 若小明從 A 向東走到 B Q P, 再向北走到 B, 共走 230 公尺 ; 小華從 B 向 東走到 Q, 再向北走到 C, 共走 20 公尺, 則 a+b=? 96 年第二次基測 A P N (A)80 (B)20 (C)30 (D)60 圖 ( 七 ) 85
重點 : 依題意可知, 小明從 A 向東走到 P, 再向北走到 B, 共走 a+3b 小華從 B 向東走到 Q, 再向北走到 C, 共走 2a+b a + 3 b = 230 () 則可列式為 2 a + b = 20 (2) 利用加減消去法, 將 2 ()-(2) 可得 : 5b=250 b=50, 將 b=50 代入 (), 得 a=80 則 a+b=80+50=30 x y x 2 y 28. 已知 x y 的關係式為 = 3 4 3 (A)- 2 (B)- 2 (C) (D)3 x 3, 求 y =? 96 年第二次基測 2 重點 : 解二元一次方程式 x y x 2 y 3 4 x 3 = 4( x y )-3( x 2 y )= x 3 4 x -4 y -3 x +6 y = x 3 2 3 x +2 y = x 3 2 y =-3 y =- 2 答案選 (A) 2 2 29. ( 5 x + 2 y 2 ) + ( 4 x + 3 y ) = 0, 則 x + 5 y =? (A) 3 (B) (C) 3 (D) 7 重點 : 平方的觀念, 解 5 x + 2 y = 2 由題意可列出 : 4 x + 3 y = ( ) 5 x + 6 y = 36, 由 ( ) 3 與 2 可得 : 8 x + 6 y = 22 由 ( 3 ) ( 4 ) 可得 7 x = 4 x = 2, 代回 ( ) : 2 y = 2 5 2 = 2 y = ( 3 ) ( 4 ) 因為 x + 5 y = 2 + 5 = 7 30. 數學競試共有 50 題試題, 每答對 題 4 分, 錯一題倒扣 2 分, 不答不倒扣, 若志鈴 2 題未答, 得到 6 分, 則志鈴答對幾題? (A) 30 (B) 3 (C) 32 (D) 33 86
重點 : 能按題意列出, 並求出其解 解 : 設答對 x 題, 答錯 y 題 x + y = 38 4 x 2 y = 6 ( ), 由 ( ) 2 + 2 可得 : 6 x = 92 x = 32 3. 一船航行河中, 順流時速 60 公里, 逆流時速 48 公里, 則水流時速多少公里? (A) 5 (B) 5. 5 (C) 6 (D) 6. 5 重點 : 順流與逆流的意義, 按題意列出, 並求出其解 設船速 x 公里, 水速 y 公里 x + y = 60 x y = 48 ( ) 由 ( ) 2 y = 2 y = 6 32. 距今 5 年前父年齡是子的 4 倍,3 年後父比子的 2 倍多 2 歲, 則距今幾年後父是子的 2 倍? (A) 0 (B) 5 (C) 20 (D) 25 重點 : 能理解時間相對的觀念, 按題意列出, 並求出其解 設父現年 x 歲, 子現年 y 歲 x 5 = 4 ( ( x + 3 ) y 5 ) 2 ( y + 3 ) = 2 ( ) 由 ( 3 ) ( 4 ) 可得 : 2 y = 30 y = 5 x 4 y = 5 x 2 y = 5 ( 3 ) ( 4 ) 代入 ( 4 ) : x = 5 + 2 5 = 45 設距今 k 年後父是子的 2 倍 5 + k = 2 ( 5 + k ) 5 + k = 30 + 2 k k = 5 答案選 (B) 33. 有省水及一般兩種方式的沖水馬桶, 已知每次省水方式用水量的 3 倍與一般方式用 水量的 2 倍相等, 若每次省水方式用水量的 5 倍與一般方式用水量的 3 倍共用水 38 公升, 問省水方式用水量與一般方式用水量每次共用水多少公升? 87
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 將省水方式用水量每次 x 公升, 一般方式用水量每次 y 公升 3 x = 2 y 3 x 2 y = 0 9 x 6 y = 0 ( ), 5 x + 3 y = 38 0 x + 6 y = 76 將 ( ) + 可得 9 x = 76 x = 4, 代入 ( ) : y = 3 4 2 = 6 省水方式用水量每次 4 公升, 一般方式用水量每次 6 公升 4 + 6 = 0 答案選 (A) 34. 有一群雞 猪總數 30, 腳數共 72, 則雞 猪相差多少隻? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 20 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 ( 雞有兩隻腳, 猪有四條腿 ) x + y = 30 ( ) 設雞有 x 隻, 猪有 y 隻 2 x + 4 y = 72 由 ( ) 2 可得 2 y = 2 y = 6, 代入 ( ) : x = 30 6 = 24 雞 猪相差 24 6 = 8 ( 隻 ) 35. 5 元硬幣 0 元硬幣共有 35 個, 合計 275 元, 則 0 元硬幣比 5 元硬幣個數多幾個? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 重點 : 二元一次方程式解的意義, 並求出其聯立方程式解 x + y = 35 ( ) 設 5 元 x 個,0 元 y 個, 5 x + 0 y = 275 由 ( ) 5 可得 5 y = 00 y = 20, 代入 ( ) : x = 35 20 = 5 0 元硬幣比 5 元硬幣個數多 20 5 = 5 個 答案選 (A) x my = 4 x = 5 36. 設聯立方程式 的解是, 求 m n 之值為何? nx + y = 8 y = 3 (A) (B) 0 (C) (D) 2 重點 : 二元一次方程式解的意義, 解一元一次方程式 88
將 x = 5, y = 3 代入得到 5 3 m = 4 m = 3 5 n + 3 = 8 n = 3 所以 m n = 3 ( 3 ) = 0 答案選 (B) 37. 龍師父對虎徒弟說 : 我在你這個年齡的時候, 你只有兩歲 ; 等你到我這年紀的時候, 我就 4 歲了 試問龍師父與虎徒弟現年相差幾歲? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 重點 : 能理解時間相對的觀念, 按題意列出, 並求出其解 設龍師父現年 x 歲, 虎徒弟現年是 y 歲 x = 2 ( x y ) + 2 x 2 y = 2 ( ), 4 = y + 2 ( x y ) 2 x y = 4 由 ( ) 2 可得 3 y = 45 y = 5, 代入 ( ) : x = 2 + 2 5 = 28 龍師父現年 28 歲, 虎徒弟現年是 5 歲 28 5 = 3 答案選 (B) 38. 某人以 00 元鈔票一張向便利商店換得十元和五元的兩種硬幣, 若兩種硬幣總數最多可 能有 a 個, 最少有 b 個, 則 a b =?( 兩種都有 ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 重點 : 理解二元一次方程式解的意義 設十元硬幣有 x 個, 五元的硬幣有 y 個 0 x +5 y =00 2 x + y =20 x =, y = 8 ; x = 2, y = 6 ; x = 3, y = 4 ; x = 4, y = 2 ; x = 5, y = 0 ; x = 6, y = 8 ; x = 7, y = 6 ; x = 8, y = 4 ; x = 9, y = 2 a = 9, b = a b = 9 = 8 39. 小華在米店打零工, 他需要秤 3 袋米的重量, 但磅秤只能秤大於 00 公斤重的米, 而 每袋米卻都小於 00 公斤, 於是他每次秤兩袋, 分別得到 08 公斤 7 公斤及 23 公斤, 則最輕的一袋是多少公斤? 89
(A) 48 (B) 5 (C) 57 (D) 66 重點 : 能按題意列出, 並求出其解 ( 考加減消去法 ) 設 3 袋米的重量分別秤得 x y z 公斤 x + y = 08 ( ), y + z = 7, z + x = 23 ( 3 ) 將 ( ) + + ( 3 ) 可得 x + y + z = 74 ( 4 ) ( 4 ) ( ) 得到 z = 66, ( 4 ) 得到 x = 57, ( 4 ) ( 3 ) 得到 y = 5 最輕的一袋為 y = 5 ( 公斤 ) 答案選 (B) 40. 甲數的 4 倍等於乙數的 5 倍, 甲數的 3 倍比乙數的 2 倍多 2, 則甲數與乙數相差多少? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 重點 : 考倍數觀念, 並能按題意列出, 求出其解 設甲 = x, 乙 = y 4 x = 5 y ( ) 3 x 2 y = 2, 由 ( ) 3 可得 2 x 5 y = 0 ( 3 ), 由 4 可得 2 x 8 y = 84 ( 4 ) ( 3 ) ( 4 ) : 7 y = 84 y = 2, 代入 ( ) : x = 5 2 4 = 5, x y = 5 2 = 3 答案選 (A) 2 4. 永慶將 950 元分給小安 大安 2 人, 若小安給大安 50 元, 則小安的錢是大安的 7 倍, 則大安原有多少元? 重點 : 能按題意列出, 求出其解 設大安原有 x 元, 小安原有 y 元 x + y = 950 2 ( x + 50 ) = y 50 7 ( ) 由 ( 3 ) 7 + ( 4 ) 可得 9 x = 5200 x = 800 x + y = 950 2 x 7 y = 950 ( 3 ) ( 4 ) x + y = 6 42. 解方程式 2 5 x 3 y = 44 ( ) 的解, 則 x + y =? 90
(A) 4 (B) 2 (C) 0 (D) 2 重點 : 解 x + y = 6 ( ) 2, 由 ( ) 可得 : y = 6 x ( 3 ) 2 5 x 3 y = 44 3 3 將 ( 3 ) 代入 : 5 x + 8 + x = 44, x = 26 x = 4 2 2 代入 ( 3 ) y = 6 4 = 8, x + y = 4 8 = 4, 2 答案選 (A) 43. 解下列方程式 8 8 x + 8 y = 66 y + 8 x = 29, x y 之值為何? (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 0 重點 : 解 ( 善用加減消去法 ) x + 8 y = 66 ( ) 8 65 65, 將 ( ) + 得到 x + y = 95 x + y = 24 ( 3 ) 8 8 y + 8 x = 29 8 63 63 將 ( ) 得到 x + y = 63 x y = 8 ( 4 ) 8 8 將 ( 3 ) + ( 4 ) 得到 2 x = 32 x = 6, 將 ( 3 ) ( 4 ) 得到 2 y = 6 y = 8 所以 x y = 6 8 = 8, 38 m + 82 n = 36 44. 解聯立方程式 30 m + 98 n = 36 ( ) (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 2 重點 : 解, 則 m + 4 n =? 由 ( ) 可得 8 m 6 n = 0 m 2 n = 0 ( 3 ) 由 ( 3 ) 49 + 可得 79 m = 36 m = 4 代入 ( 3 ) : 4 2 n = 0 n = 2 所以 m + 4 n = 4 + 4 2 = 2 9
45. 有一個二位數, 十位數 個位數, 數字和 6, 十位 個位數字互換新數比原數小 8, 求此二位數為? (A) 69 (B) 79 (C) 87 (D) 97 重點 : 按題意列出, 求出其解 ( 二位數 = 十位數字 0+ 個位數字 ) x + y = 6 ( ) 設十位數字為 x, 個位數字為 y, 0 y + x = 0 x + y 8 由 可得 9 x + 9 y = 8 ( 3 ), 由 ( ) 9 可得 9 x + 9 y = 44 ( 4 ) ( 3 ) + ( 4 ) : 8 y = 26 y = 7, 代入 ( ) : x = 6 7 = 9, 此二位數為 97 46. 文昇與高昇做減法, 文昇將減數後面多寫 個 0, 所得的差是 -90; 高昇將減號看成 加號, 得答案為 272, 求原正確之答案為? (A) 98 (B) 88 (C) 78 (D) 68 重點 : 能按題意列出, 求出其解 x 0 y = 90 ( ) 設被減數為 x, 減數為 y, x + y = 272 將 ( ) 可得 y = 462 y = 42, 代入 可得 x = 230 原正確之答案為 x y = 230 42 = 88 47. 某人行 35 公里的路, 第一段每時行 4 公里, 第二段每時行 5 公里, 若以每時行 4 公里 的速度改為每時行 5 公里, 而每時行 5 公里的速度改為每時行 4 公里, 則可比原路多行 2 公里, 問原路程共需費多少小時? (A) 6 小時 (B) 7 小時 (C) 8 小時 (D) 9 小時 重點 : 能按題意列出, 求出其解 ( 理解速度的定義 ) 4 x + 5 y = 35 ( ) 設第一段時間為 x, 第二段時間為 y, 5 x + 4 y = 37 由 ( ) 5 4 可得 : 9 y = 27 y = 3, 代入 : 5 x = 37 4 3 = 25 x = 5 所以原路程共費時 5 + 3 = 8 小時 92
48. 一橋不知其寬, 只知其長 5 公尺之圓木材流過橋下須 4 秒, 且長 23 公尺之圓木材須 8 秒, 今有長 4 公尺之圓木材, 流過橋下須幾秒? (A) 23 秒 (B) 25 秒 (C) 27 秒 (D) 29 秒 重點 : 能按題意列出, 求出其解 ( 能理解速度的定義 ) x + 5 = 4 y ( ) 設橋寬為 x 公尺, 水流速率為每秒 y 公尺, x + 23 = 8 y 由 ( ) 可得 : 8 = 4 y y = 2, 代入 ( ) 可得 x = 4 2 5 = 3 所以橋寬為 3 公尺, 水流速率為每秒 2 公尺, ( 4 + 3 ) 2 = 27 所以長 4 公尺之圓木材, 流過橋下須 27 秒 49. 甲 乙二數, 甲除以乙得商為 7, 餘數為 4; 甲的 3 倍除以乙的 2 倍得商為, 餘數為 4, 則甲 乙二數之和為何? (A) 76 (B) 72 (C) 68 (D) 64 重點 : 解 ( 考除法原理 : 被除數 = 除數 商數 + 餘數 ) x = 7 y + 4 ( ) 設甲數為 x, 乙數為 y, 3 x = 2 y + 4 將 ( ) 代入 可得 3 ( 7 y + 4 ) = 22 y + 4 2 y + 2 = 22 y + 4 y = 8 代入 ( ) 得 : x = 7 8 + 4 = 60, 甲數為 60, 乙數為 8 60 + 8 = 68 50. 4 x + 5 y 26 + x + 2 y 4 = 0, 則 2 x + y =? (A) 26 (B) 4 (C) 22 (D) 5 重點 : 絕對值的觀念, 解 4 x + 5 y = 26 由題意可列出 : x + 2 y = 4 4 x + 5 y = 26 由 4 可得 : 4 x + 8 y = 56 ( ) ( 3 ) ( 4 ), 由 ( 4 ) ( 3 ) 可得 3 x = 30 x = 0, 代回 : 2 y = 4 0 = 4 y = 2 所以 2 x + y = 2 0 + 2 = 22 93
5. 有一工程, 男 女工各一人共同去作需 2 日完成, 若男工 2 人, 女工 3 人合作, 則需 5 日完成, 今以男工一人獨作需 a 日完成, 以女工一人獨作需 b 日完成, 問 (a,b)? (A) (2,5) (B) (5,20) (C) (20,30) (D) (25,40) 重點 : 工程問題, 未知數在分母的二元一次方程式 設男工一人獨作 x 日完成, 女工一人獨作 y 日完成, 由題意得 由 () 3 - (2) 得 : = - =, x 4 5 20 所以 x = 20 代入 () 得 : + = = - = 20 y 2 y 2 20 y 30 y = 30 男工一人獨作需 20 日, 女工一人獨作需 30 日 + = x y 2 2 3 + = x y 5 ( ) 94