M 大师内部资料 出题趋势及考点分布 数学系统精讲 平面几何与立体几何 M 大师 数学董璞 三角形性质三角形 ( 相似 ) 四边形圆阴影面积 立体几何面积或体积 018 0 7 4 14 017 9,14 1 016 8 17 15 015 8 4 6,4 014 1 3,0 5 1,14 013 18 7 11 01 15 4 14 3 011 0 18 9 4 8.1 平面几何 套路 8.1.1 三角形分类和性质 三角形四边形圆形阴影 1 三角形基本性质( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形: 直角三角形, 等腰三角形 4 特殊三角形: 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 5 相似三角形: 判定, 相关计算 普通三角形 : 三边都不相等 三角形 按边分等腰三角形 : 只有两边相等等边三角形 : 三个边都相等 1. 三角形两边和大于第三边 两边差小于第三边 ;. 内角和等于 180 度 ; 顶角 按角分 锐角三角形 : 三个内角都小于 90 直角三角形 : 三个内角中有一个角等于 90 = b + c 钝角三角形 : 三个内角中有一个角大于 90 腰 腰 直角边 斜边 90 底角 底边 底角 直角边 1
M 大师内部资料 8.1.1 三角形基本性质 词汇 以 b c 为边构成三角形 b < c < + b 相当于给定关于 b c 的一组关系式 c < b < + c b c < < b + c 例 三条线段 = 5,b = 3,c 的值为整数, 以, b, c 为边的三角形有多少个 ( ).1.3.5.7. 无数 8.1.1 三角形基本性质 014.10.0 三条长度分别为,b,c 的线段能构成一个三角形 ( ) (1) + b > c ()b c < 任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形 8.1.1 三角形基本性质 8.1 平面几何 套路 014.1.1 方程 x + ( + b)x + c = 0 有实根.( ) (1), b, c 是一个三角形的三边长. () 实数, c, b 成等差数列. 三角形 四边形 1 三角形基本性质( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形: 直角三角形, 等腰三角形 4 特殊三角形: 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 5 相似三角形: 判定, 相关计算 圆形 阴影
M 大师内部资料 8.1. 三角形面积 (1) 三角形面积公式 : 底 高 S = 任意一个底边 相对应的高 S = 1 H = 1 H = 1 H 8.1. 三角形面积 013.10.7 如图, = = 5, = 6, 是 的中点,F F 则 F=( ). () 1. () (). ().4 ().5 三角形面积等于任意一个底边乘以相对应的高 S = = H 直角三角形斜边上的高 斜边 = 两直角边之积 等腰三角形三线合一 顶角的角平分线 底边的中线, 底边的高互相重合 H H H F H 8.1. 三角形面积 () 底边在同一条直线, 共用一个顶点的两个三角形, 高相等, 面积比等于底边比 (3) 顶点在与底边平行线上三角形, 高相等, 面积比等于底边比, 面积和 = 底边和 高 = 8.1. 三角形面积 008.10.5 若 的面积为 1,,, 的面积相等, 则 的面积 ( )..... 底边在同一条直线, 共用一个顶点的两个三角形, 面积比等于底边比 =, = = 1 S + S = 1 + h = h S + S = 1 + h 3
M 大师内部资料 8.1. 三角形面积 8.1. 三角形面积 014.1.3 已知 = 3,F = 若 的面积是, 则 F 的面积为 ( ) 010.1.14 如图, 长方形 的两条边长分别为 8m 和 6m, 四边形 OFG 的面积是 4m, ()14 ()1 ()10 ()8 ()6 则阴影部分的面积为 ( ). 3m. 8m. 4m. 0m. 16m F 底边在同一条直线, 共用一个顶点的两个三角形, 面积比等于底边比 顶点在与底边平行线上两个三角形, 高相等, 面积比等于底边比, 面积和等于底边和乘以高 O G F 8.1 平面几何 套路 8.1.3 等腰三角形直角三角形判定 三角形 1 三角形基本性质( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形: 直角三角形, 等腰三角形 4 特殊三角形: 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 直角三角形的判定 : 1: 一个角为 90 度 :S = 1/ b 3: 三角形底边为圆的直径, 顶点在圆周上 ( 直径所对的圆周角为直角 ) 4: + b = c 直角三角形的重要性质 1. 勾股定理 + b = c. 直角三角形面积 = 1 b = 1 c d 3. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 四边形 5 相似三角形 : 判定, 相关计算 圆形 b d c 阴影 4
M 大师内部资料 8.1.3 等腰三角形直角三角形 8.1.3 等腰三角形直角三角形判定 1997.10.7 在直角三角形中, 若斜边与一直角边的和为 8, 差为, 则另一直角边的长度 是 ( ) ()3 ()4 ()5 ()10 ()9 b = 4 c = 5 c = 10 b = 8 13 = 3 1 = 6 等腰三角形的判定 : 1. 两个角相等. 两条边相等 3. 三线任两个重合顶角的角平分线 / 底边中线 / 底边的高 等边三角形的判定 : 1. 1 个角为 60 度的等腰三角形. 三条边相等 3. 两个角为 60 度 5 1 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合, 那么这个三角形是等腰三角形 如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合, 那么这个三角形是等腰三角形 3 如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合, 那么这个三角形是等腰三角形 等腰三角三线合一 顶角平分线, 底边的中线, 底边的高互相重合 8.1.3 等腰三角形直角三角形 1999.1.13 在等腰三角形 中, =, = x. mx + = 0 的两个根, 则 的面积为 ( ).., 且, 的长分别是方程.. 8.1.3 等腰三角形直角三角形 000.10.5 已知, b, c 是 的三条边长, 并且 = c = 1, 若 (b x) 4 x (c x) = 0 有相同实根, 则 为 ( ). 等边三角形 () 等腰三角形 () 直角三角形 () 钝角三角形 10 6 3 5
M 大师内部资料 8.1.3 等腰三角形直角三角形 例 三角形的三条边长分别为,b,c 为直角三角形. (1) 的三边长之比为 1: : 3. () 的面积为 :S = b 8.1.3 等腰三角形直角三角形 选 014.10.5 改 在矩形 的边 上, P 是 的中点, 并且 PP = P P,P =, PP =, 求 = ( ) (). () () () () P P P 8.1.3 等腰三角形直角三角形 014.10.5 在矩形 的边 上随机取一点 P, 使得 是 P 的最大边的概率大于. 8.1.3 等腰三角形直角三角形 014.10.5 在矩形 的边 上随机取一点 P, 使得 是 P 的最大边的概率大于. (1) <. () >. (1) <. () >. P P P P 古典概型 如果一次实验可能出现结果有有限的 n 个, 而且所有结果出现的可能性都相等 ( 有限性 等可能性 ) P P P 题干要求 :P P >, 先考虑临界情况 : 古典概型的概率 样本空间 Ω 是由 n 个不同的基本事件组 成, 事件 中包含 m 个不同的基本事件, 则 P = 满足要求的结果 P = 总可能结果 总可能结果 : P 在 上 满足要求的结果 :P 的运动范围为 P P 概率 P = 题干要求 :P P > 选 6
M 大师内部资料 8.1.3 等腰三角形直角三角形 8.1 平面几何 套路 014.10.5 改 在矩形 的边 上随机取一点 P, 使得 是 P 的最大边的概率大于. (1) >. P 1 6 P P () < P 1 6. 题干要求 : P P > 三角形 四边形 1 三角形基本性质( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形: 直角三角形, 等腰三角形 4 特殊三角形: 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 5 相似三角形: 判定, 相关计算 圆形 选 阴影 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 等腰直角三角形的一条斜边为, 试求其他两条边和三角形的周长 面积 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 一个顶角为 30 的直角三角形, 面积为, 试求其他两条边和三角形的周长 + = =, = 1 周长 = + + = + 3 30 S = 1 3 3 3 =, = 3 三边长分别为 : 3, 3,3 面积 = 1 = 1 等腰直角三角形的三边之比为 1: 1: 周长 = 3+ 3 +3 = 3 + 3 3 内角为 30 + 60 + 90 的三角形的三边之比为 1: 3: 7
M 大师内部资料 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 等边三角形的周长为 3 3, 试求它的面积 高 60 h 60 60 等边三角形的高与边长的比为 3: = 边长为 的等边三角形面积 3 = 3 3, = 3 h = 3 3 = 3 s = 1 h = 1 3 3 = 3 3 4 : 1 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 等腰直角三角形的三边之比为 1: 1: 内角为 30 + 60 + 90 的三角形的三边之比为 1: 3: 等边三角形的高与边长的比为 3: = 1 1 3 30 考点 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 1 三条边 b c S, 这四个条件中 : 1 只需要任何一个条件, 就可以确定其他的所有条件 60 3 边长为 的等边三角形面积 60 60 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 1998.10.9 已知等腰直角三角形 和等边三角形, 设 的周长为 + 4, 则 的面积是 ( ) ()3 ()6 ()1 () 3 ()4 3 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 1998.10.9 改 已知等腰直角三角形 和等边三角形, 若 的面积为 3, 则四边形 的周长为 ( ). 4 +. 4 + 4.1. 3 + 3. 3 + 4 3 边长为 的等边三角形面积 等腰直角三角形的三边之比为 1: 1: 边长为 的等边三角形面积 8
M 大师内部资料 8.1.4 等腰直角 /30 + 60 + 90 / 等边 例 如图所示, 若四边形 是边长为 的正方形, 是等边三角形,F. 8.1 平面几何 套路 1 三角形基本性质 ( 三边结合方程 不等式等考点 ) 则 的度数为 ( ) 则 F 的长度为 ( ) 则 的面积为 ( ) 三角形 三角形面积 3 特殊三角形 : 直角三角形, 等腰三角形 4 特殊三角形 : 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 四边形 圆形 5 相似三角形 : 判定, 相关计算 F 阴影 8.1.5 相似三角形 判定 满足下列条件之一的两个三角形相似: (1) 有两角对应相等. () 三角边对应成比例 (3) 有一角相等, 且夹这等角的两边对应成比例 (4) 一条直角边与一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似 8.1.5 相似三角形 相似三角形性质 (1) 对应角相等 () 对应边成比例 ( 相似比 ) (3) 对应一切线段成比例对应高 对应中线 对应角平分线 外接圆半径 内切圆半径以及周长的比等于相似比 (4) 面积比 = 相似比 9
M 大师内部资料 8.1.5 相似三角形 考察套路 1) 两三角形共顶角, 底平行 题目特征 有与三角形底边平行的线 8.1.5 相似三角形 考察套路 3) 直角三角形斜边上的高, 将直角三角形分割成两个相似三角形, 它们和原三角形均相似 题目特征 出现直角三角形的高 ) 两条平行线构建的对顶角三角形 ( 对顶角相等 ) 题目特征 梯形, 矩形或做平行线 4) 矩形对角线将矩形分成两个相似三角形 题目特征 : 矩形或者正方形, 对角线分割出三角形 8.1.5 相似三角形 找相似三角形解题信号 8.1.5 相似三角形 例题 已知如图 ://, F: F = 1: 3, 求 S : S 和 S : S 1. 有两条平行线, 或者出现梯形 矩形的同时也有三角形时 底边在同一条直线, 共用一个顶点的两个三角形, 面积比等于底边比. 有多个直角三角形时 F 和 F, 底边都在 上, 共用定点, 它们的面积比等于底边之比 S : S = F: F = 1: 3 3. 求面积, 求边长或的求比例时 F 两条平行线构建的对顶角三角形相似相似三角形面积比 = 相似比 F F S : S = F : F = 1: 9 注意区分 底边共线共顶点的三角形面积比 和 相似三角形面积比 10
M 大师内部资料 8.1.5 相似三角形 例 如图所示, 在 中,//, 和 交于点 F, 且 S = 3S, 那么 S : S =( ).1:9.1:8.1:7.1:6.1:5 8.1.5 相似三角形 009.1.1 直角三角形 的斜边 = 13 厘米, 直角边 = 5 厘米, 把 对折到 上去与斜边相重合, 点 与点 重合, 折痕为 ( 如图 ), 则图中阴影部分的面积为 ( ) ()0 () () ()14 ()1 F 8.1.5 相似三角形 01.1.15 如图, 是直角三角形,S, S, S 为正方形, 已知, b, c 分别是 S, S, S 的 边长, 则 ( ) () = b + c () = b + c () = b + c () = b + c () = b + c c S S S b 8.1.5 相似三角形 例题 如图所示, 正方形 的对角线, 相交于点 O, 是 的中点, 交 于点 F, 若 = 15, 则 F 等于 ( ).3.4.5.6.7 O F 11
M 大师内部资料 016.8 如图, 在四边形 中,//, 与 与 的边长分别为 4 和 8 若 的面 积为 4, 则四边形 的面积为 ( ) ()4 ()30 ()3 ()36 ()40 8.1.5 相似三角形 S S H H S S 对应角相等 对应边成比例 ( 相似比 ) 对应一切线段成比例 面积比 = 相似比 S : S : S : S = : b: b: b = 4: 8: 8: 16 8.1.5 相似三角形 例题扩展 如图, 若四边形 是边长为 的正方形, 是等边三角形,F. 则 F 的长度为 ; + 3 则 的度数是 ; 30 则 H 的面积为 ; 则 的面积为 ; + 3 则 GH 的面积为 ; 则 H 的面积为 ; G I H 则梯形 GH 的面积 ; H 的长度为 ; S = F = + 3 = + 3 IH F,I = 3,F = + 3,F = 1 HI: F = I: F = 3: + 3,HI = S = GH I = HI I = 3 + 3 F 8 平面几何 套路 8..1 正方形 长方形 1 三角形基本性质 ( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形 四边形 三角形面积 3 特殊三角形: 直角三角形, 等腰三角形 5 相似三角形: 判定, 相关计算 4 特殊三角形: 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 1 正方形 长方形 菱形 3 梯形 四边形 平行四边形 梯形 矩形菱形等腰梯形直角梯形 临边相等 每个角是直角 正方形 圆形 阴影 1
M 大师内部资料 8..1 正方形 长方形 矩形 一个角是直角的平行四边形称为矩形, 矩形的四个角均是直角, 对角线相等 基础概念 面积 周长 对角线等 8..1 正方形 长方形 003.1.3 设 P 是正方形 外的一点,P = 10 厘米, P 的面积是 80 平方厘米, P 的面积是 90 平方厘米, 则正方形 的面积为 ( ). 70cm. 580 cm. 640 cm. 600 cm. 560 cm b + b P h 面积 S = b, 周长 = + b + b = 对角线 l 1: 1:, 面积 S = h 两组对边分别平行且相等 ; 四个角都是直角 两条对角线相等且互相平分 8..1 正方形 长方形 01.1.4 某户要建一个长方形的羊栏, 则羊栏的面积大于 500m ( ) (1) 羊栏的周长为 10m. () 羊栏对角线的长不超过 50 m. 8..1 正方形 长方形 016.17 如图 6, 正方形 由四个相同的长方形和一个小正方形拼成, 则能确定小正方形的面积 ( ) (1) 已知正方形 的面积. () 已知长方形的长宽之比. y x 13
M 大师内部资料 8.. 菱形 菱形 1. 四条边都相等. 对角线互相垂直且平分 3. 对角相等 邻角互补 4. 每一条对角线平分一组对角 β α α β O β α α β 菱形面积 :S = 8.. 菱形 1997.1.8 若菱形 的两条对角线 =, = b, 则它的面积是 ( ) ()b () b () b () b () b h b 面积 :S = bh 周长 : + b b 延伸 : 对角线相互垂直的任意四边形, 面积都等于对角线之积的一半 8..3 梯形 梯形 : 只有一组对边平行的四边形 上底 8..3 梯形 015.8 如图, 梯形 的上底与下底分别为 5 7, 为 与 的交点,MN 过点 且平行于, 则 MN=( ) () () () () () M 腰 h 下底 b N 腰 M N 中位线 :MN = 面积 :S = + b + b h 14
M 大师内部资料 8..3 梯形 8.1 平面几何 套路 011.1.18 如图, 等腰梯形的上底与腰均为 x, 下底为 x + 10, 则 x = 13.( ) (1) 该梯形的上底与下底之比为 13:3. () 该梯形的面积为 16. x x h x + 10 三角形 四边形 圆与扇形 1 三角形基本性质( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形: 直角三角形, 等腰三角形 5 相似三角形: 判定, 相关计算 4 特殊三角形: 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 1 正方形 长方形 菱形 3 梯形 基础概念 面积 周长 弧 半径, 扇形 综合其他特殊图形 半径 直径, 同时是其他的特殊图形的边 高 阴影 8.3.1 基础概念 圆 : 平面上到一定点距离相等的所有点的集合称之为一个圆 这一定点为圆心, 距离为圆的半径 弓形 弦 垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧 8.3. 圆与扇形结合其它图形 例 若一圆与一正方形的面积相等, 则 ( ). 它们的周长相等. 圆周长是正方形周长的 π 倍. 正方形的周长长. 圆周长是正方形周长的 π 倍. 以上结论均不正确 圆心角 扇形 圆周角 直径所对的圆周角是直角 直径 半径为 r 的圆面积 :S = πr 周长 :l = πr 扇形面积 :S = 圆心角度数 πr 15
M 大师内部资料 8.3. 圆与扇形结合其它图形 8.3. 圆与扇形结合其它图形 H O F 圆 : 面积 πr, 周长 πr, 直径 r, 半径 r 正方形 : 边长, 周长 4, 面积 正三角形 : 边长, 周长 3, 高, 面积 只要一个条件就可以确定其它所有条件 018.4 如图, 圆 O 是三角形 的内切圆, 若三角形 的面积与周长的大小之比为 1:, 则圆 O 的面积为 ( ).π.π.3π.4π.5π 内切圆 : 连接圆心和相切点的直线与三角形的边垂直 G 通过直径 半径 内切 外切等 建立起两个图形之间的关系 O 圆的半径同时是三个小三角形的高 正方形 的边长为, 内切圆 O 的半径为 圆 O 的半径为, 内接正方形 FGH 边长 8.3. 圆与扇形结合其它图形 例 如图所示, 在一个矩形内紧紧放入三个等圆, 每个圆的面积都是 1, 那么矩形的对角线长为 ( ) 8.3. 圆与扇形结合其它图形 例 如图所示, 某三个圆柱形的管子如下放置在水平地面上, 管子直径为 1m, 则现在要 + 3 做一个棚子来遮住这三个管子, 问棚子最低要建多高 ( 不计棚子本身的厚度 ) ()10 π () () () () r 等边三角形的高与边长的比为 3: = 边长为 的等边三角形面积 : 1 π 6 π h r 16
M 大师内部资料 8.3. 圆与扇形结合其它图形 例 圆外切正方形和内接正方形的相似比是 :1.( ) (1) 圆的半径为 1. () 圆的半径为. 8.3. 圆与扇形结合其它图形 007.10.15 如图所示, 正方形 四条边与圆 O 相切, 而正方形 FGH 是圆 O 的内接正方形 已知正方形 面积为 1, 则正方形 FGH 面积是 ( ) () () () 圆 O 的直径同时为正方形 FGH 的对角线 () () H G O F H O F G 8.3. 圆与扇形结合其它图形 8.4 平面几何 求阴影面积 007.10.15 修改 如图所示, 正方形 四条边与圆 O 相切, 而等边三角形 FG 是圆 3 3 O 的内接正三角形 已知正方形 面积为 4, 则正三角形 FG 面积是 4 三角形 F O H G 等边三角形的高 边长 底边一半的比为 3: : 1 边长为 的等边三角形面积 四边形 圆与扇形 阴影 1 三角形基本性质 ( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形 : 直角三角形, 等腰三角形 5 相似三角形 : 判定, 相关计算 4 特殊三角形 : 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 1 正方形 长方形 菱形 3 梯形 基础概念 面积 周长 弧 半径, 扇形 综合其他特殊图形 半径 直径, 同时是其他的特殊图形的边 高 对称法 平移法 / 割补法标号法 17
M 大师内部资料 8.4.1 求阴影面积 8.4.1 求阴影面积 常用方法 核心套路 通过规则图形的加和减, 来计算不规则图形的面积 规则图形 : 一个条件确定面积 : 正方形等边三角形圆形 πr 两个条件确定面积 : 扇形直角三角形长方形 对图形敏感 1. 对称法 题干特征: 对称图形画出对称轴以及补上与之对称的线. 平移法/ 割补法 题干特征 : 图形中有多个面积相等的小块 圆心角度数 S = πr b b 对图形不敏感 标号法 普适性的解题方法 8.4. 求阴影面积 - 对称法 8.4. 求阴影面积 - 对称法 013.10.10 如图, 在正方形 中, 弧 O 是四分之一圆周,F// 若 F =, F = b, 则阴影部分的面积为 ( ). b. b. b. b. (b ) F O 对称图形, 画出对称轴以及补上与之对称的线 014.1.5 如图, 圆 与圆 的半径均为 1, 则阴影部分的面积为 ( ) () () () () 对称法 : 画出对称轴以及补上与之对称的线不规则面积 : 分割为扇形与三角形 () 等边三角形的高与边长的比为 3: 边长为 的等边三角形面积 18
M 大师内部资料 8.4.3 求阴影面积 - 割补法 011.1.9 如图, 四边形 是边长为 1 的正方形, 弧 O,O,O,O 均为半圆, 则阴影部分的面积为 ( ) 8.4.3 求阴影面积 - 割补法 011.10.13 如图, 若相邻点的水平距离与竖直距离都是 1, 则多边形 的面积 ( ) ()7 ()8 ()9 ()10 ()11 () () ()1 () 1 () 平移法 / 割补法 题干特征 : 一般图形中有多个面积相等的小块 O 1 3 4 方法 1 1 补到 的位置,3 补到 4 的位置凑成 4 的矩形, 所以面积为 8 方法 区域可以分为:1 个 等腰直角三角形 个 1 的矩形, 个 1 的直角三角形 方法 3 将图形补充成一个 3 4 长方形, 为 ( 长方形 ) ( 等腰直角三角形 ) ( 个 1 的直角三角形 ) 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 1. 按顺序把图中所有区域标上号. 写出能确定面积的图形面积 ( 正方形 长方形 圆形 扇形 直角三角形 等边三角形等 ) 以标号图形表示 3. 写出需要求的阴影面积图形, 以标号图形表示 4. 通过等式计算 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 008.1.7 如图所示长方形 中的 = 10cm, = 5cm, 设 和 分别为半径作 圆, 则图中阴影部分的面积为 ( )cm. 5 1 π. 5 + π. 50 + π. π 50. 以上结论均不正确 F 3 4 19
M 大师内部资料 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 011.1.9 如图, 四边形 是边长为 1 的正方形, 弧 O,O,O,O 均为半圆, 则阴影部分的面积为 ( ) () () ()1 () 1 () 3 1 O 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 01.1.14 如图, 三个边长为 1 的正方形所覆盖区域 ( 实线所围 ) 的面积为 ( ).3. 3 1 5 7 4 6 3. 3 3. 3 边长为 的正三角形面积为. 3 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 1999.10.10 半圆 以 为圆心, 半径为 1, 且, 分别延长 和 至 和 F, 使得圆弧 和 F 分别以 和 为圆心, 则图中阴影部分的面积为 ( ).. 1 π. 1.. π 1 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 015.4 如图 是半圆的直径, 且 = 4, = 30, 则图中阴影部分的面积为 ( ). π 3. π 3. π + 3. π + 3. π 3 3 4 5 1 6 F 1 O 3 0
M 大师内部资料 8.4.4 求阴影面积 - 标号法 8 平面几何 总结 1997.10.9 如图, 是以 为直径的半圆上一点, 再分别以 和 为直径作为半圆, 若 = 5, = 3, 则图中阴影部分的面积是 ( ) ()3π ()4π ()6π ()6 ()4 1 5 4 3 三角形 四边形 圆与扇形 阴影 1 三角形基本性质 ( 三边结合方程 不等式等考点 ) 三角形面积 3 特殊三角形 : 直角三角形, 等腰三角形 5 相似三角形 : 判定, 相关计算 4 特殊三角形 : 等腰直角,30 + 60 + 90, 等边三角形 1 正方形 长方形 菱形 3 梯形 基础概念 面积 周长 弧 半径, 扇形 综合其他特殊图形 半径 直径, 同时是其他的特殊图形的边 高 对称法 平移法 / 割补法标号法 8.5 立体几何 套路 8.5 基础知识 正方体 长方体 1 长方体 正方体 正方体 长方体 基础知识 进阶应用 圆柱体 3 球体 1 切割与打孔 平移 旋转 图像 b c 表面积 6 b + bc + c 体积 bc 体对角线 3 + b + c 边长按比例改变 ( 如边长变为原来的 倍 ), 导致的体积, 表面积的变化 正方体 长方体 表面积 4 8 b + bc + c 体积 8 8bc 1
M 大师内部资料 8.5 基础知识 正方体 长方体 8.5 基础知识 圆柱 017.13 将长 宽 高分别为 1 9 6 的长方体切割成正方体, 且切割后无剩余, 则能切割成相同正方体的最少个数为 ( ) ()3 ()6 ()4 ()96 ()64% h 设圆柱体高为 h, 底面半径为 r, 则上下底面积 :πr 体积 :V = πr h 侧面积 :πrh 全表面积 :πr + πrh 8.5.1 立体几何 圆柱体 8.5. 基础知识 球体 例 圆柱体积是正方体体积的倍.( ) (1) 圆柱的高与正方体的高相等. () 圆柱的侧面积与正方体的侧面积相等. R 设球的半径是 R, 则 体积 :V = πr 表面积 :S = 4πR
M 大师内部资料 8.5. 基础知识 球体 例 两个球形容器, 若将大球中溶液的倒入小球中, 正好可装满小球, 那么大球与小球 的半径之比等于 ( ). 5:3. 8:3. 5: 球体积公式 :V = πr. 0: 5. 以上结论均不正确 8.5. 立体几何 球体 01.1.3 如图, 一个储物罐的下半部分的底面直径与高均是 0m 的圆柱形, 上半部分 ( 顶部 ) 是半球形, 已知底面与顶部的造价是 400 元 /m, 侧面的造价是 300 元 /m, 该储物罐的造价是 ( )(π 3.14). 56.5 万元. 6.8 万元. 75.36 万元. 87.9 万元. 100.48 万元球表面积 :S = 4πR 圆柱上下底面积 :πr 圆柱侧面积 :πrh 8.5. 基础知识 球体 8.6 立体几何 进阶应用 例 三个球中, 最大球的体积是另外两个球体积和的 3 倍 ( ) (1) 三个球的半径之比为 1: : 3 () 大球的半径是另外两个球的半径之和球体积公式 :V = πr 基础知识 1 长方体 正方体 圆柱体 3 球体 进阶应用 1 切割与打孔 平移 旋转 3
M 大师内部资料 8.6.1 进阶 - 切割 / 打孔 8.6.1 进阶 - 切割 / 打孔 截面积 化为平面几何问题 切割球体截面为圆形 切割出的体积 打孔切割的面积( 洞的截面积 ) r R R h R h r R R r h 8.6.1 进阶 - 切割 / 打孔 018.14 如图, 圆柱体的底面半径为, 高为 3, 垂直于底面的平面截圆柱体所得截面为 矩形 若弦 所对的圆心角是, 则截掉部分 ( 较小部分 ) 的体积为 ( ).π 3.π 6.π.π 3 3.π 3 8.6.1 进阶 - 切割 / 打孔 016.15 如图, 在半径为 10 厘米的球体上开一个底面半径是 6 厘米的圆柱形洞, 则洞的内壁面积为 ( 单位 : 平方厘米 )( ) ()48π ()88π ()96π ()576π ()19π o 边长为 的等边三角形面积 R = 10 o h = 8 r = 6 4
M 大师内部资料 8.6.1 进阶 - 切割 / 打孔 8.6.1 进阶 - 切割 / 打孔 017.1 修改 如图一个球, 沿水平方向切了一刀, 则可以确定球体体积 ( ) 017.1 如图, 一个铁球沉入水池中, 则能确定铁球的体积. ( ) (1) 已知圆心到平面的垂直距离 h () 已知截面的面积 S 截面 (1) 已知铁球露出水面的高度. () 已知水深及铁球与水面交线的周长. h r R h R h R r R 8.6. 进阶 - 平移 8.6. 进阶 - 平移 点平移后形成线段 线段的长度就是平移的距离 017.5 某种机器人可搜索到的区域是半径为 1 米的圆, 若该机器人沿直线行走 10 米, 则其搜索出的区域的面积 ( 单位 : 平方米 ) 为 ( ) l l 线段平移后形成矩形 矩形的面积 = 线段长度 平移距离 ()10 ()10 + π ()0 + ()0 + π ()10π 线段平移后形成矩形 矩形的面积 = 线段长度 平移距离 10m 平面平移 ( 沿垂直于平面方向方向 ) 形成柱体 柱体的体积 = 平面面积 平移的距离 5
M 大师内部资料 8.6. 进阶 - 平移 例 一块高为 m, 宽为 1m 的木板垂直于地面放置, 沿着水平方向移动 4m 后, 形成的体积为 :( 木板厚度忽略不计 )( ).. 4. 6.8. 10 8.6. 进阶 - 平移 例 一块半径为 m 的圆形木板垂直于地面放置, 沿着水平方向移动 4m 后, 形成的体积为 ( 木板厚度忽略不计 )( ). 6π. 8π. 16π. 18π. 3π 1m 1m 4m 平面平移 ( 沿垂直于平面方向方向 ) 形成柱体 柱体的体积 = 平面面积 平移的距离 4m 平面平移 ( 沿垂直于平面方向方向 ) 形成柱体 柱体的体积 = 平面面积 平移的距离 m m r = m m 8.6.3 进阶 - 旋转 8.6.3 进阶 - 旋转 线段旋转 1: 以线段 中点为圆心旋转 180 圆 线段旋转 : 以线段 一端点 为圆心旋转 r =, 圆心角为旋转所经过角度的扇形 两个扇形总面积 = πr 旋转的角度,r = 扇形的面积 =πr 旋转的角度,r =, 旋转 360 形成圆 6
M 大师内部资料 8.6.3 进阶 - 旋转 矩形沿一条边 / 沿中心线旋转一周 圆柱体 8.6.3 进阶 - 旋转 圆形以直径为轴旋转 180 度 球体 b b r r r r 底面半径为 高为 b 的圆柱体 底面半径为 高为 b 的圆柱体 半径为 r 的圆 半径为 r 的球 8.6.3 进阶 - 旋转 8 立体几何 套路 004.1.4 矩形周长, 将它绕其一边旋转一周, 所得圆柱体体积最大时的矩形面积是 ( ) () () () 求积的最大值 令和为定值 () () 以上都不对 基础知识 1 长方体 正方体 圆柱体 3 球体 b + b + c 3 bc + b + c bc 3 进阶应用 1 切割与打孔 平移 旋转 7
M 大师内部资料 THNK YOU FOR WTHING 8