2-1 質因數分解 A 版本 2-2 最大公因數最小公倍數 天才小語 : 1. 餘數等於 0( 整除 ) 的情況下才有因倍數喔! 2. 1 1 個數字找因數和倍數, 也可以質因數分解 ( 任何不為 0 的整數中,1 為最小的正因數 ; 自己是自己最大的因數也是最小的倍數 ) 2 2 個數字以上找最大公因數 ( 小括號表示 ) 或最小公倍數 ( 中括號表示 ), 最大公因數找出來其他公因數可以從最大公因數找 3 法一 : 質因數分解後的數字找最大公因數 找次方小的 ( 全部都有的 ) 找最小公倍數 找次方大的法二 : 乘開用短除法慢慢算 3. 最小公倍數 ( 使用短除法要算到全部都互質才能停 ) 4. 質數的因數只有 1 和自己 質因數有兩個身份 : 既是某數的因數也是質數 倍數的判別法 : 法一 : 直接除法二 : 數字大不好算用判別法最快 1 2 的倍數 : 個位數為 0 2 4 6 8 4 的倍數 : 末 2 位 8 的倍數 : 末 3 位 2 5 的倍數 : 個位數為 0 5 1
3 3 9 的倍數 : 數字和 ( 是 9 的倍數必為 3 的倍數, 反之不成立 ) 說明 : 設三位數為 abc abc=a 100+b 10+c=a(99+1)+b(9+1)+c =99a+a+9b+b+c=99a+9b+a+b+c 其中 99a+9b 必為 9 的倍數所以只要檢查 a+b+c( 數字和 ) 4 11 的倍數 : 奇數位和偶數位和的差 ( 由個位數算起第一位 ) 5 7 13 的倍數 : 奇數區間和和偶數區間和的差 ( 三個數是一個區間 ) 標準分解式 : 如果 a 是 b 的因數, 且 a 是質數, 就稱 a 為 b 的質因數 例如 : 15=1 15=3 5,15 的因數有 1 3 5 15, 其中 3 5 是質數, 所以 3 5 為 15 的質因數 質因數由小排到大 一. 選擇題 ( A )1. 若 x=35 36 37 38 45, 則下列哪個不是 x 的質因數? (A) 17 (B) 19 (C) 37 (D) 41 ( C )2. 下列何者全部都是質數? (A) 1 29 37 (B) 23 47 91 (C) 37 59 97 (D) 67 73 87 ( D )3. 小聰 : 兩個整數 a 和 b 中, 若有一個是質數, 則 a 和 b 必互質 小明 : 兩相異奇數必互質, 兩相異偶數必不互質 則哪一個人的說法是正確的? (A) 小聰對 小明錯 (C) 兩人都對 (B) 小聰錯 小明對 (D) 兩人都錯 ( A )4. 已知 26 732 是一個六位數, 且 26 732 的標準分解式為 2 2 3, 則 可能是哪些數? (A) 1 4 7 (B) 1 4 (C) 1 7 (D) 4 7 ( A )5. 下列哪一個數同時是 5 的倍數也是 9 的倍數? (A) 333360 (B) 396275 (C) 8890 (D) 2 111065
( D )6. 若 a=8.19 10 6, 則 a 為下列哪一個數的倍數? (A) 49 (B) 32 (C) 54 (D) 65 二. 填充題 1. 如果六位數 394 56 是 7 的倍數, 則 = 8 2. 如果四位數 4 7 是 9 的倍數, 代表相同的數, 則 = 8 3. 若 a 為質數, 則 a 有 1 個質因數 4. 設 a=15 16 17 18 19 20, 則 a 所有相異質因數的和為 46 5. 將 1260 作質因數分解, 可得標準分解式為 2 2 3 2 5 7 6. 231192 的標準分解式為 2 a 3 2 b 2 19, 則 a+b= 16 7. 介於 60 110 的質數中, 最大者為 a, 最小者為 b, 則 a-b= 48 8. 介於 20 140 間的整數中,6 的倍數有 a 個,9 的倍數有 b 個,11 的倍數有 c 個, 則 a+b+c= 44 三. 計算題 1. 若 a=12 36 625, 求 : (1) a 的標準分解式 (2) a 的所有相異質因數和 ( 2. 已知 6795 為一個五位數, 回答下列問題 : (1) 此數是 2 和 3 的倍數, 則 =? (2) 此數是 11 的倍數, 則 =? (1) 0 或 6 (2) 8 3
3. 小威 小敏 小金三人相約星期日早上 10 時練習游泳, 小威每游 3 分鐘, 休息 1 分鐘 ; 小敏每游 4 分鐘, 休息 2 分鐘 ; 小金每游 7 分鐘, 休息 3 分鐘 則當天早上 11 時 36 分, 三人各是在游泳或是休息? 小威休息, 小敏休息 小金游泳 一. 選擇題 ( D )1. 下列敘述何者正確? (A) 若 (a, b)=1, 則 a 與 b 均為質數 (B) 若 (a, b)=1,( c, d)=1, 則 (a, c)=1 (C) 若 6 與 a 的最大公因數為 2, 則 a 可能為 18 (D) 若 a b 為相異兩質數, 則 (a, b)=1 ( A )2. 下列各選項中的兩個數, 何者 互質? (A) 2 2 3 3 7 5 2 11 13 (B) 3 11 2 13 5 7 13 2 (C) 5 7 2 11 5 2 7 11 (D)2 2 3 7 2 2 2 3 7 2 ( C )3. 若 2 5 3 2 11 和某數的最大公因數是 44, 則某數可能為何? (A) 66 (B) 132 (C) 220 (D) 242 ( D )4. 若 A=2 10 B=5 10, 則 A, B =? (A) 1 (B) 5 (C) 10 (D) 10 10 ( D )5. 若 A=2 2 3 a 5 b 7 3 11 2,B=2 3 3 3 c 2 11 d 13, 且 (A, B)= 2 2 3 2 5 11, 則 a+b+c+d=? (A) 12 (B) 11 (C) 10 (D) 9 ( B )6. 小辰將兩條長度為 150 公分和 105 公分的繩子, 剪成等長的線段, 且每一線段長均為整數 則最少可以剪成多少段? (A) 15 段 (B) 17 段 (C) 51 段 (D) 70 段 4
二. 填充題 1. 求下列各組數的最大公因數 : (1)(625, 125)= 25 (2)(140, 154, 168)= 14 (3)(2 4 3 5 5 5 7 2, 2 2 3 7 5 3 11 2, 3 2 5 7 7 3 11)= 3 2 5 3 ( 以標準分解式表示 ) 2. 求下列各組數的最小公倍數 :( 以標準分解式表示 ) (1) 156, 260 = 2 2 3 5 13 (2) 2 3 3 3 5 7 13, 11 18 21 30 = 2 3 3 4 5 7 11 13 (3) 2 3 2 5, 2 2 3 3, 3 5 7 2 13 = 2 2 3 5 5 7 2 13 3. 已知 a=2 3 3 3 7 2,b=2 2 3 7 5, 若 a, b ( a, b) 3 y 7 z, 則 x+y+z= 6 4. 已知公車發車的時間間隔皆相同, 且在上午 8:20 10:00 與 12:00 時皆會 有一班公車出發, 則公車發車的時間間隔最久是 20 分鐘 三. 計算題 1. 求 (36, 48), 96, 72 的值 2. 右圖為一個半圓形公園, 小文騎自行車沿自行車專用道往返 A B 兩地, 且每 16 分鐘可往返一次 ; 大茂沿步行專用道往返 A B 兩地, 且每 20 分鐘可往返一次 若兩人同時從 A 地出發, 再次於 A 地相遇是幾分鐘之後? 80 分鐘 5
3. 有一張長方形色紙, 長為 90 公分, 寬為 36 公分 : (1) 若將此長方形色紙全部剪成大小相同的正方形色紙, 則此正方形色紙面積最大為多少平方公分? (2) 若將此長方形色紙全部剪成大小不一定相同的正方形色紙, 則最少可以剪成多少張? (1) 16 平方公分 (2) 8 張 6
資優試題 2 2 2 2 2 2 1. 設 N= 100 99 98 97 42 41, 若 a 為大於 10 的質數且 a 可 整除 N, 則 a =.(Ans:47 ) 2. 在 1,2,3, 200 中與 12 不互質的數的總和是 (Ans:13367 或 13368) 參考解 :A2=2(1+2+ +100)=10100 A3=3(1+2+ +66)=6633 A6=6(1+2+ +33)=3366 在 1,2,3, 200 中與 12 不互質的數的總和是 A2+A3-A6=13367 3. 已知 abc,, 為 0,1,2,3,,9 中的數字, 使得七位數 13ab45c 為 792 的倍數, 試求滿 足這樣條件的所有 abc,, 之值 參考解答 792 8 9 11, ab13 c必能被 45 8,9, 及 11 整除 因為 13ab45c 被 8 整除, 8 必整除 45c 450 c 448 ( c 2) c 2為 8 的倍數, c 6. 又 13ab 456 為 9 的倍數, 1 3 a b 4 5 6 a b 19 ( a b 1) 18 為 9 的倍數, a b 8或 17. 又 13ab 456 為 11 的倍數, 6 5 4 b a 3 1 a b 3為 11 的倍數, a b 3或 8, 因此由上述知, 故 a 8, b 0. 7
基測試題 1. ( ) 某生將一正整數 a 分解成質因數相乘, 計算過程如圖 則下列哪一個選項是正確的? 90. 基測 Ⅱ (A) b=2 2 3 2 5 2 7 (B) c=3 2 5 2 7 (C) e=3 2 5 2 7 (D) f=5 7 2. ( ) 若 45 可分解為 a b, 其中 a b 均為正整數, 則下列哪一個不可能是 a+ b 的值? 92. 基測 Ⅱ (A) 46 (B) 42 (C) 18 (D) 14 3. ( ) 設 a - b 代表大於 a 且小於 b 所有質數的個數 例如 : 大於 10 且小於 15 的質數有 11 13 兩個質數, 所以 10-15=2 若 30 - c=2, 則 c 可能為下列哪一個數? 94. 基測 Ⅰ (A) 38 (B) 42 (C) 46 (D) 50 4. ( ) 有 30 張分別標示 1~30 號的紙牌 先將號碼數為 3 的倍數的紙牌拿掉, 然後從剩下的紙牌中, 拿掉號碼數為 2 的倍數的紙牌 若將最後剩下的紙牌, 依號碼數由小到大排列, 則第 5 張紙牌的號碼為何? 96. 基測 Ⅰ (A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17 5. ( ) 下列四個數, 哪一個不是質數? 96. 基測 Ⅰ (A) 41 (B) 61 (C) 71 (D) 91 6. ( ) 妙妙買進了 126 個茶杯, 平均分裝於若干個盒子內 若每個盒子內的茶杯數均為 x, 則 x 不可能為下列哪一數? 96. 基測 Ⅱ (A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 11 7. ( ) 小王有一包糖果, 若平均分成 21 堆, 剩 17 顆 ; 若平均分成 7 堆, 則剩幾顆? 97. 基測 Ⅱ (A) 0 (B) 3 (C) 4 (D) 6 8. ( ) 若 a=1.071 10 6, 則 a 是下列哪一數的倍數? 98. 基測 Ⅰ (A) 48 (B) 64 (C) 72 (D) 81 9. ( ) 下列選項中表示的數, 哪一個是質數? 99. 基測 Ⅱ (A) 2 13 (B) 1 12 (C) 1 79 (D) 7 13 10. ( ) 如圖, 在某條公路上, 從里程數 8 公尺開始到 4000 公尺為止, 每隔 8 8
公尺將樹與燈按圖中所示之規則設立 : 在里程數 8 公尺處種一棵樹, 在 16 公尺處立一盞燈, 在 24 公尺處種一棵樹, 且每兩盞燈之間的距離均相等 依此規則, 下列哪一個選項是里程數 800 公尺 ~824 公尺之間, 樹與燈的正確排列順序? 90. 基測 Ⅱ (A) (B) (C) (D) 11. ( ) 欲將 n 個邊長為 1 的小正方形, 拼成一個長 寬皆大於 1 的矩形, 且不會剩下任何小正方形, 則 n 不可能為下列哪一個數? 90. 基測 Ⅰ (A) 81 (B) 85 (C) 87 (D) 89 12. ( ) 大小相同的正方形紙牌若干張, 可以緊密地排出不同形狀的長方形 若拿 6 張, 可排出兩種形狀, 如圖 ( 一 ) 所示 ; 若拿 12 張, 可排出三種形狀, 如圖 ( 二 ) 如果拿 36 張紙牌, 最多可以排出幾種不同形狀的長方形? 91. 基測 Ⅰ 圖 ( 一 ) 圖 ( 二 ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 9 9
13. ( ) 某公司每天晚上必須派保全人員留守, 如表是甲 乙 丙 丁 戊五位保全人員的留守值班表 該公司排班的規則如下 : 星期一二三四五六日週次 第 1 週甲乙丙丁戊甲乙 第 2 週丙丁戊甲乙丙丁 (1) 按甲 乙 丙 丁 戊的順序, 各排一天班 (2) 五人排完之後再以原順序排班 請問 丙 先生在下列週次中的哪一週必須留守兩次? 91. 基測 Ⅰ (A) 第 38 週 (B) 第 39 週 (C) 第 40 週 (D) 第 41 週 14. ( ) 小華利用自己的生日設計一個四位數的密碼, 方法是 : 分別將月份與日期寫成兩個質數的和, 再將此四個質數相乘, 所得數字即為密碼 ( 例如, 生日若為 8 月 24 日, 將 8 寫成 3 與 5 的和,24 寫成 11 與 13 的和, 再將 3 5 11 13 相乘得密碼為 2145) 已知小華的密碼為 2030, 求小華出生在幾月份? 94. 基測 Ⅱ (A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 12 15. ( ) 小娟想用 60 塊邊長為 1 的正方形紙板, 緊密地拼成面積為 60 的長方形, 則此長方形的周長最小可為多少? 95. 基測 Ⅱ (A) 30 (B) 32 (C) 45 (D) 60 16. ( ) 將正整數 N 的所有正因數由小至大排列如下 :1,a,3,b,c,d,e, f,g,42,h,n, 判斷下列敘述何者正確? 96. 基測 Ⅱ (A) d 是 a 的 3 倍 (B) e 是 3 的 3 倍 (C) f 是 b 的 3 倍 (D) 42 是 d 的 3 倍 17. ( ) 已知 456456=2 3 a 7 11 13 b, 其中 a b 均為質數 若 b>a, 則 b-a 之值為何? 99. 基測 Ⅰ (A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 18. ( ) 如圖, 一正方形木板上剛好可畫分成 36 個邊長均為 2 公分的正方形 若重新將此木板畫分成數個大小相同的長方形, 則此長方形的長與寬不可能為下列哪一組? 99. 基測 Ⅱ (A) 長為 3 公分, 寬為 2 公分 (B) 長為 6 公分, 寬為 4 公分 (C) 長為 9 公分, 寬為 6 公分 (D) 長為 12 公分, 寬為 4 公分 19. ( ) 在 1~45 的 45 個正整數中, 先將 45 的因數全部刪除, 再將剩下的整數由小到大排列, 求第 10 個數為何? 100. 聯測 (A) 13 (B) 14 (C) 16 (D) 17 10
20. ( ) 已知世運會 亞運會 奧運會分別於西元 2009 年 2010 年 2012 年舉辦 若這三項運動會均每四年舉辦一次, 則這三項運動會均不在下列哪一年舉辦? 100. 聯測 (A) 西元 2070 年 (B) 西元 2071 年 (C) 西元 2072 年 (D) 西元 2073 年 21. ( )a 是一個正整數, 其所有正因數有 :1 2 4 7 14 28 則 a 與 210 的最大公因數為何? 90. 基測 Ⅰ (A) 4 (B) 7 (C) 14 (D) 28 22. ( ) 下列四個數中, 哪一個與 55 互質? 93. 基測 Ⅰ (A) 21 (B) 30 (C) 35 (D) 77 23. ( ) 請閱讀下列的敘述後, 回答下列問題 : 94. 基測 Ⅱ 甲 乙 丙三家新聞臺每天中午 12:00 同時開始播報新聞, 其中 : 甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘, 乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘 ; 丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘 在 12:47 時, 三家新聞臺進行的內容為何? (A) 甲 : 廣告 ; 乙 : 新聞 ; 丙 : 新聞 (B) 甲 : 新聞 ; 乙 : 廣告 ; 丙 : 新聞 (C) 甲 : 新聞 ; 乙 : 新聞 ; 丙 : 廣告 (D) 三家新聞臺皆正在播 報新聞 24. ( ) 附圖是利用短除法求出三數 8 12 18 的最大公因數的過程 利用短除法, 求出這三數的最小公倍數為何? 101. 基測 (A) 12 (B) 72 (C) 216 (D) 432 25. ( ) 下列哪一選項中的兩數互質? 95. 基測 Ⅱ (A) 14 35 (B) 20 21 (C) 22 33 (D) 42 51 26. ( ) 小琪將 a b 兩個正整數作質因數分解, 完整的作法如圖 已知 a>b,e 是質數, 且 a b 的最大公因數是 14, 最小公倍數是 98, 則下列哪一個關係是正確的? 91. 基測 Ⅱ 11 (A) d>e (B) e>f (C) e>g (D) f>d 27. ( ) 某客運公司每天早上 5:30 發第一班車, 已知早上 7:00~9:00 時段每 5 分鐘發一班車, 其他時段每 15 分鐘發一班車 請問早上 7:34~ 9:34 該公司共發了幾班車? 94. 基測 Ⅰ (A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 24 28. ( ) 將 182 個面積為 1 的正方形, 分別緊密地拼成面積為 84 與 98 的兩長方 形 ABCD 與 EFGH 若 AB = EF 且 EF >10, 則 AB =? 94. 基測 Ⅰ (A) 12 (B) 14 (C) 17 (D) 21
29. ( ) 請閱讀下列的敘述後, 回答下列問題 : 94. 基測 Ⅱ 甲 乙 丙三家新聞臺每天中午 12:00 同時開始播報新聞, 其中 : 甲臺每播報 10 分鐘新聞後就接著播廣告 2 分鐘, 乙臺每播報 8 分鐘新聞後就接著播廣告 1 分鐘 ; 丙臺每播報 15 分鐘新聞後就接著播廣告 3 分鐘 三家新聞臺在下列哪一個時間廣告同時結束? (A) 12:33 (B) 12:39 (C) 13:12 (D) 14:00 30. ( ) 已知有一個正整數介於 210 和 240 之間, 若此正整數為 2 3 的公倍數, 且除以 5 的餘數為 3, 則此正整數除以 7 的餘數為何? 100. 基測 Ⅱ (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 31. ( ) 若有一正整數 N 為 65 104 260 三個數的公倍數, 則 N 可能為下列何者? 102. 基測 (A) 1300 (B) 1560 (C) 1690 (D) 1800 32. ( ) 有一個三位數, 其百位 十位 個位數字分別為 1 a b 若此數與 72 的最大公因數為 12, 則 a+b 可能為下列哪一數? 97. 基測 Ⅱ (A) 2 (B) 5 (C) 8 (D) 14 答案 : 1.(A) 2.(B) 3.(A) 4.(C) 5.(D) 6.(D) 7.(B) 8.(C) 9.(C) 10.(D) 11.(D) 12.(B) 13.(B) 14.(D) 15.(B) 16.(C) 17.(C) 18.(C) 19.(B) 20.(B) 21.(C) 22.(A) 23.(A) 24.(B) 25.(B) 26.(C) 27.(C) 28.(B) 29.(C) 30.(D) 31.(B) 32.(B) 12