56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243=

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闰宫
7 years ago
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1 循環小數康明昌 ( 一 ) 學過中學數學的人都知道如何把循環小數化成有理數至於把有理數化成循環小數更是小學生都會的題目例如, 1/7 = (6 位循環節 ), 1/13 = (6 位循環節 ), 1/17 = (16 位循環節 ), 1/73 = (8 位循環節 ), 1/97 = (96 位循環節 ), (1) 1/137 = (8 位循環節 ) 任給一個有理數, 例如 19/235, 它的循環節究竟有幾位? 在 (1) 式中, 循環節都是偶數位, 因此我們可以把它分成前後兩段注意, 前段第 k 個數與後段第 k 個數的和恆為 9 以 1/7 為例, 把循環節分成 142 與 857 兩段, 結果 : 1 與 8, 4 與 5, 2 與 7, 這些數的和都是 9 這是偶然還是必然? 再看 1/7 的循環小數表示式, 1/7 = , 2/7 = , 3/7 = , 4/7 = , 5/7 = , 6/7 = , 把 1/7 的循環節輪換排列 : 如果從 2 出發, 得 , 這是 2/7 的循環節 ; 如果從 4 出發, 得 , 這是 3/7 的循環節以下類推要說明以上的現象, 並不需要高深的數學只要具備同餘 (congruence) 的概念便足以揭破謎底偉大的數學家高斯 (Carl F Gauss, 年 ) 在他的名著 Disquisitiones Arithmeticae ([4, Articles ]) 就完整的討論過有理數的循環節當代有名的數學家 John H Conway 與 Richard K Guy 在他們合著的書 The book of numbers ( [2, p ]) 也討論過循環小數的性質即使到 1909 年, 美國 55

2 56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243= ??? 最近科學雙月刊雜誌又有一篇文章談到這些奇妙的數 : 談祥柏, 初探精細結構常數 ([10]) 似乎連循環小數都有無窮的奧妙是耶? 非耶? 本文的目的是想借用初等數學的方法, 說明以上現象讀者不需要學過初等數論, 只要具備類似 [5, p53 54; 9, p6 10] 的知識即可為了讀者方便, 略微說明同餘的符號如下 : 設 n 是任意正整數, a, b 是任意整數, 如果 n 可以整除 a b 時, 我們說 : 在模 n 之下, a 與 b 同餘 ; 記為 a b (mod n) 例如, 5 2 (mod 7) 在本文中, N 代表所有正整數的集合 ( 二 ) 觀察 (1) 式, 我們是否可以發現 : 如果 p 是質數, 並且 d 是 1/p 的循環節的位數, 則 d 可整除 p 1? 更一般的, 我們可以證明 : 定理 1: 如果 1 b < a, a 沒有 2 或 5 的質因數, 並且 a 與 b 互質, 那麼 b/a 的循環節位數恰好等於 : min{e N : 10 e 1(moda)} 例如, (mod91), 因此 69/91 的循環節位數必定 6 根據 Lagrange 定理 ([5, Theorem 15, p52; 9, 231, p54]), 循環節位數必定整除 6 事實上, 69/91 = 讀者如果已經檢查過 : (mod91), (mod91), (mod91), (mod91), (mod91), 你當然可以肯定的斷定 69/91 恰有 6 位循環節如果你碰到的數是 489/235, 怎麼判斷它的循環節呢? 首先, 把分母中 2 或 5 的因數提出 : 489/235=489/(5 47)=(2 489)/(10 47)=(1/10) (978/47)=(1/10) {20 + (38/47)} 因此, 489/235 的循環節與 38/47 的循環節是一樣的 ( 何故?), 而它正也是 1/47 的循環節現在我們開始證明定理 1 設 d = min{e N : 10 e 1 (mod a)} 如果 b/a 有 r 位循環小節, 即 b/a = 0 ċ 1 c 2 ċ r, 則 10 r (b/a) = } {{ } ċ 1 c 2 ċ r, s 位其中 s N {0} 因此, (10 r 1)(b/a) 只有 s 位小數, 也就是, 10 s (10 r 1)(b/a) 是正整數可知, 存在正數 m 使得 10 s (10 r 1)b = am 因為 a 與 b 互質, a 也與 10 互質, 故知 a 可整除 10 r 1, 也就是 : 10 r 1 (moda) 根據 d 的定義, 可知 : d r

3 循環小數 57 在另一方面, 因為 a 整除 10 d 1, 所以 a 也整除 (10 d 1)b 因此, 存在正整數 q 使得 (10 d 1)b = aq, 也就是, 10 d b = aq + b 因為 1 b < a, 所以 b 是 10 d b 除以 a 的餘數可知 d 循環節的位數 ( 讀者只須取個實例做做看便知 ; 例如, 取 22/37, d = 3 ) 得證定理 2: 如果 1 b < a, a 沒有 2 或 5 的質因數, 並且 a 與 b 互質, 那麼 b/a 的循環節位數必整除 ϕ(a) (ϕ(n) 是 Euler 的 ϕ 函數 [5, p47; 9, p69 71]) 因此, 若 p 5 是任一奇質數, 且 p 不整除 b, 則 b/p 的循環節位數必整除 p 1 證明 : 利用 Euler 定理 ([5, Theorem 25, p102; 9, p 69]); 請注意, min{e N : 10 e 1 (modn)} 其實是 10 在乘法群 (Z/nZ) 的秩 (order) 得證定理 3: 如果 n,m 3, 2 與 5 都不整除 mn, 並且 n 與 m 是互質的正整數, 則 1/mn 的循環小數位數是 1/m 與 1/n 循環小數位數的最小公倍數證明 : 根據中國餘數定理 ([5, p107; 9, p ]), 再利用定理 1 例題 4: 以下列出一些質數 p 與 1/p 的循環節位數 : 質數 p 循環節位數讀者有沒有發現, 1/p 的循環節位數恰好是 p 1 的質數相當多? 例如, p = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 是不是有無窮多的質數 p 使得 1/p 的循環節恰有 p 1 位? 這種質數的數目能否有個比較精確的估計? 這就是所謂的 Artin 猜想 ([6]) 設 p 是奇質數如果 1/p

4 58 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月有 d 位循環節, 利用定理 1 可以證明 : 1/p 的循環節位 2 數是 d 或 dp 同理, 若 1/p n 的循環節位數是 dp m (0 m < n), 則 1/p 的循環節位數 n+1 是 dp 或 m dp 注意 m+1, 1/487 與 1/487 的循環節都有位 ([1, p79]) ( 三 ) 回到 1/7, 2/7,, 6/7 的循環小數表示式, 為什麼它們都可以經由 1/7 = 的循環節輪換排列得到? 因為 1/7 = 所以 10(1/7) = 因此 3/7 = [10/7] = 同理, 考慮 [30/7] = 2/7, [20/7] = 6/7, [60/7] = 4/7, [40/7] = 5/7, [50/7] = 1/7 得證但是 1/7 的循環節恰有 6(= 7 1) 位如果是 1/137, 結果會如何? 1/137 = , 10/137 = , 100/137 = , 41/137 = , 136/137 = , 127/137 = , 37/137 = , 96/137 = 在乘法群 G = (Z/137Z) 中, 設 H 是 10 所生成的子群, 則 H 恰有 8 個元素, 就是以上 8 個數的分子部份 : 1, 10, 100, 41, 136, 127, 37, 96 考慮 G 中之 H 陪集表示法 ([5, p 52; 9, p55]): G = H 3H 9H 27H 3 16 H 例如, 陪集 7H = {7, 70, 15, 13, 130, 67, 122, 124} 因為 7/137 = , 所以 70/137 = , 15/137 = , 13/137 = , 130/137 = , 67/137 = , 122/137 = , 124/137 = 同理, 取出其餘的陪集也可做出類似的結果結論 : 分數 1/137, 2/137,, 136/137 可分成 17 個軌道 ( 陪集!), 每個軌道有 8 個元素, 這 8 個元素的循環小數表示式是某一循環節做輪換造成的 ( 四 ) 為什麼把 24/91 = 的循環結分成兩段 : 263 與 736, 其對應項 (2 與 7, 6 與 3, 3 與 6) 之和為 9? 在 24/91 的情況, 利用定理 1 可知 : (mod91) 因此, (mod 91) 所以, 91 整除 , 91 也整除 24( ) = 但是, 24/91 = , 24000/91 = n ( 回憶第 ( 三 )

5 循環小數 59 節的方法 ), 其中 n 是 24000/91 的整數部份因為 24/ /91 是整數, 可知 ) ?????? 也是個整數這個整數當然是 1 因此 A = 能是什麼樣的數呢? 首先, 如果 A 1000, 那麼就超出 1; 如果 A 998, 那麼就比還要小所以 A 只能是 999! 得證對應項之和必為 9 現在你能不能證明以下定理? 定理 5: 若 p 7 是個質數, n 與 m 是任意正整數且 p 不整除 m, 則 m/p n 的循環節有偶數位將此循環節分成前後兩段, 則此兩段之對應項的和皆為 9 討論 : 若 n 與 m 是任意互質之正整數, 且 n 與 10 互質, 以上定理對於 m/n 仍然成立, 只要它滿足以下兩個條件 : (i) m/n 的循環節位數是偶數, 令其為 2k; (ii) 10 k 1 (modn) 因此, 這個定理對於 24/91 也是成立的但是在 37/303 = 的情形, 因為 (mod 303), 這個定理就不適用了回到 (1) 式, 1/7 的循環節是 3 的倍數, 因此可以把它拆成 14, 28, 57 三段, 它們的和恰為 99 ( 你能不能也給個合理的解釋?) 但是, 在 (1) 式中, 1/17 與 1/73 的循環節是 4 的倍數, 把它們拆成四段, 前後兩段的和 ( 注意 : 不是對應項的和!) 可能是 99 或 198( 假設每一小段有兩個數字 ) 請讀者對此也做個合理的解釋考慮 1/7 的長除法, 當商分別是 1, 4, 2, 8, 5, 7 時, 其餘數分別是 3, 2, 6, 4, 5,1 把這些餘數分成兩段 :326 與 451, 其對應項之和恰好是除數 7! 為什麼? 假設 1/7 = 0ȧ 1 a 2 a k b 1 b 2 ḃk, 當 1 i k, 10 i = 7 (a 1 a 2 a i ) + r(r 是餘數 ), 10 i+k = 7 (b 1 b 2 b i ) + s(s 是餘數 ) 因為 10 k 1 (mod 7), 因此 10 i + 10 i+k 可被 7 整除, 所以 r + s 也可被整除, 得證 r + s = 7 例題 6 ([1, p77]): 怎麼求出 1/97 的循環小數表示式? 利用長除法, 得 1/97 =

6 60 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月但是 5/97 是 1/97 的 5 倍, 因此把乘上 5 倍, 得 1/97= 注意, 25 = 因此以上的小數可以推進 100 倍, 再除以 4 得 25/97 = 但是 = , = 得知 1/97 = ; 以下還有 48 位小數, 但是根據定理 5 的討論, 前段與後段對應數之和為 9 故, 接下來的數應為 , 得 (1) 式中 1/97 的表示式 ( 五 ) 以上的討論不只對於 10 進位的循環小數展開成立 ; 當 q 是大於 1 的正整數, 以上的性質對於 q 進位的循環小數展開式也成立 ([7, p149]) 在過去兩三百年, 究竟有哪些人研究過循環小數的性質? 研究哪些問題? Dickson 在 [3] 的第六章有非常詳盡的記錄但是, 這都是過眼煙雲, 讀者不看也罷本文的目的之一是想告訴讀者, 有一些看似神祕的現象其實可以用很簡單的數學方法加以證明, 這些數學方法有時難度並不高, 有些則難度甚高 ( 如 : Artin 猜想 [6]) 在本文結束之前, 我們看一看 Conway 與 Guy 書中的一個例子 ([2, p170]) 例題 7: 如果 n/91 = 0ȧbc de f, 那麼有沒有一個正整數 m 使得 m/91 = 0 fed cbȧ? 例如, 13/91 = , 69/91 = , 7/91 = , 30/91 = , 1/91 = , 90/91 = , 5/91 = , 2/91 = , 80/91 = , 4/91 = , 60/91 = , 14/91 = , 59/91 = , 24/91 = , 58/91 = 為什麼分母必須是 91? 這些對偶的數, 如 13 與 69, 7 與 30 等, 是怎麼找到的? 首先, 如果 n/91 = 0ȧbc de f, m/91 = 0 fed cdȧ, 那麼, n/91 = abcdef/(10 6 1), m/91 = fedcba/(10 6 1)

7 循環小數 61 當然, 如果任取 a, b, c, d, e, f, 那麼 abcdef/(10 6 1) 與 fedcba/(10 6 1) 就是我們希望找的有理數但是這兩個有理數的分母太大, 不夠有趣, 我們希望分母小一點因為 = , 並且 1/3 3 的循環節有三位, 而 1/7, 1/11, 1/13, 1/37 的循環節分別有 6 位, 2 位, 6 位, 3 位 ( 見例題 4) 因此, 如果 abcdef/(10 6 1) 與 fedcba / (10 6 1) 有 6 位循環節, 根據定理 3, 化簡後的 abcdef / (10 6 1) 與 fedcba / (10 6 1) 的公分母不可能是 , 也不可能是令 g 是 abcdef/(10 6 1) 與 fedcba/(10 6 1) 化簡後的公分母, 那麼 g = 7, 13, 11 37, 7 13, , 3 2 7, 等等, 都是可能的人選但是由 (1) 式可知 1/7 不合我們的需求同理, 1/13 也不合需求因為 = , 如果 g 與 3 37 互質, 那麼我們還可以利用定理 5 ( 即, 把循環節分成兩段, 則前後段對應項之和為 9) 如果 g 剛好是 7 13 = 91, 則 abcdef, fedcba 與的公因子 G 為 , 並且它必須整除 abcdef fedcba = (a f)(10 5 1) + (b e)10(10 3 1) + (c d) = 9 {(a f) (b e) (c d)10 2 } 可知必須整除 (a f) (b e) (c d)10 2 所以 11(a f c + d) 應是 3 37 = 111 的倍數, 並且 a f b + e + c d 應是 11 的倍數結論 : 只須選定 a, b, c, d, e, f 使得 a f c + d 0 (mod111), a f b + e + c d 0 (mod11) 從第一個條件得知 f = a c+d+111k (k 是整數 ) 如果 k 0, 則不管 a, c, d 如何選取 (0 a, c, d 9), f 10 必成立故 k = 0, 並且 f = a c + d 把 f = a c + d 代入第二個條件, 得知 e = b 2c + 2d + 11h (h 是整數 ) 經過討論可知 h = 2, 1, 0, 1, 2 但是, 根據定理 5, 可知 a + f = b + e = c + d = 9 結論 : 取 a, b, c 使得 0 a, b, c 9, 並且 d = 9 c, f = 9 + a 2c, e = 18 + b 4c + 11h (h = 0, ±1, ±2) 請注意, a, b, c, d, e, f 還要滿足 ab + cd + ef = 99 與 abcdef 是 = 10, 989 的倍數這可以使 a, b, c 的選擇範圍更小以下部份請讀者自行處理例題 8: 決定所有的質數 p, 使得 1/p 的循環小數表示為 0 00ab ccbȧ 把 0 00ab ccbȧ 化為有理數, 得 1/p = abccba/(10 8 1) 因為 = , 而 = , 根據例題 4, 11 與 101 的循環節分別是 2 與 4; 因此, 如果 1/p 恰有 8 位循環節, 則 p 只能是 73 或 137 根據定理 5, 得 c = 9, b = 9 a 故 abccba = a( )+b( )+9900 = 89991a = (9a + 10) 因此, 把 abccba/(10 8 1) 化簡, 得 (9a + 10)/ 但是 9a + 10 < 137,

8 62 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月可知 9a+10 = 73 得證 p = 137 且 a = 7, b = 2, c = 9 可見只有一個質數 p, p = 137, 使得 1/p 是 8 位循環節的循環小數, 並且 1/p 是 0 00ab ccbȧ 的形式仿照以上的討論, 讀者請自行證明 : 若 m/n 的循環節有 6 位, m/n = 0 0ab cbȧ, 並且 n 頂多有兩個質因數, 證明 m/n = 5/91 或 4/143 參考文獻 1 A H Beiler, Recreations in the theory of numbers, 2 nd ed, Dover Publ, New York, J H Conway and R K Guy, The book of numbers, Springer, New York, L E Dickson, History of the theory of numbers, Vol 1, Chelsea, New York, C F Gauss, Disquistiones Arithmeticae, English transl by A A Clarke, Yale Univ Press, New Haven, N Jacobson, Basic algebra I, Freeman, San Francisco, M Ram Murty, Artin s conjecture for primitive roots, Math Intelligencer 10, No 4 (1988), M R Schroeder, Number theory in science and communication, Springer, Berlin, 康明昌, 神秘的數, 中國時報, 1994 年 4 月 25 日 9 康明昌, 近世代數, 聯經出版社, 台北, 談祥伯, 初探精細結構常數, 科學雙月刊, 52 卷第 3 期 (2000), 本文作者任教於台灣大學數學系

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Microsoft Word - ACL chapter02-5ed.docx 第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131

56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月 的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243=

56 數學傳播 25 卷 3 期民 90 年 9 月的數學期刊 Annals of Mathematics 都還有關於循環小數的論文 ([3, p177]) 物理學家 Richard P Feynman 對於 1/243 的循環小數表示式感到十分驚奇 ([8]): 1/243=