1 5 三角測量現實生活中涉及的測量問題很多, 如測量河寬 山高等 往往由於地形條件的限制, 有一些數據不容易被直接測量, 這時就需要利用一些容易測量到的數據, 並透過 正弦定理 與 餘弦定理 加以計算, 求出 不易被測量的數據 不過三角測量所用到的角度, 並不一定都是特別角 30,45 或 60, 而這些非特別角的正弦 餘弦與正切, 雖然有些可利用和角 差角 倍角或半角等公式求出來, 但大部分並非可經由這樣的計算得到的, 這時我們可以透過查表或電算器, 求得這些角度的正弦 餘弦與正切 給定一個廣義角 θ, 則正弦 sinθ 餘弦 cosθ 正切 tanθ 都分別確定, 故正弦 餘弦 正切都是一種函數, 依次稱為正弦函數 餘弦函數與正切函數, 它們統稱為三角函數 ( 甲 ) 銳角的正弦 餘弦與正切之求法 (1) 查三角函數值表前面說過任意的廣義角 ( 非象限角 ), 都可以藉由參考角, 求出它的正弦 餘弦與正切, 所以我們把 0 到 90 之間的角度與其對應的正弦 餘弦與正切列成一張表, 稱為三角函數值表 我們將 1 度等分為 60 分, 即 1 度 =60 分, 記作 1 =6 表中以 1 為一間隔, 此表共有四行, 結構說明如下 : 三角函數值表的介紹 : 左起第一行表示角度 θ, 由上而下依次是 0,0 1,,44 5,45 ; 第二行至第四行的最上面一列, 由左至右依次寫著符號 sin,cos,tan, 而這些符號下面的數就是這些角度 θ 對應的 sinθ,cosθ,tanθ 之值 ( 大部分為近似值 ) 最右邊的一行也是表示角度 θ, 由下而上依次是 45,45 1,,89 5, 90 ; 第二行 第三行 第五行的最下面一列, 由左至右, 依次寫著符號 cos,sin,tan 而這些符號上面的數, 就是這些角度 θ 對應的 cosθ,sinθ, tanθ 之值 ( 或近似值 ) 如何查三角函數值表 : 根據下表, 若 x=cos 25 1, 則 x~0.9051, 若 cosθ=0.9051, 則 θ~25 1; 又若 x=sin 64 5, 則 x~0.9051, 若 sinθ=0.9051, 則 θ~64 5 ( 練習 1) 利用三角函數值表求下列各小題 : ~1 5 1~
(1)cos15 20 / (2)sin50 10 / (3)tan191 20 / Ans:(1)0.9644 (2)0.7679 (3)0.2004 (2) 利用線性內插法從 0 到 90 中, 以 10 / 為單位者, 其三角函數值可從表中查出值, 但單位更小者, 無法從表中查出, 故使用線性內插法求之 [ 例題 1] 利用本書所附的三角函數值表, 求 sin 33 33' 的近似值 [ 解法 ]: 查表無法查出 sin 33 33', 只能查到其鄰近的 sin 33 3~0.5519 與 sin 33 4~0.5544 因為當角度 θ 由 0 漸漸遞增到 90 時, sinθ 也由 0 漸漸增為 1, 所以 sin 33 33' 之值必大於 0.5519 且小於 0.5544 設 sin 33 33'=y, 如右圖所示, 則 CE =y-0.5519, BF =0.5544-0.5519 AE =33 33'-33 3=33'-3, AF =33 4-33 3=4-3 因為 33 33' 與 33 4 非常接近, 所以 DE ~ CE =y-0.5519 在 ABF 中, DE // BF, 故 即 DE 0.5544-0.5519 = 33'-3 4-3, DE AE BF = AF, 整理得 DE = 3 10 0.0025=0.00075, 而 y-0.5519= CE ~ DE, 於是 sin 33 33'=y~0.5519+0.00075=0.55265~0.5527 θ sinθ 33 3 0.5519 33 33' y 33 4 0.5544 [ 例題 2] 設 cos40 =0.7660,cos41 =0.7547, 請利用線性內插法 (1) 求 cos40 10 / 之近似值 (2) 若 cosθ=0.76, 求銳角 θ 的近似值 [ 解答 ]: (1) 因為角度由 0 增加到 90 時, 餘弦值會愈來愈小, 0.7660 y 0.7547 所以 cos41 < cos40 10 / <cos40 設 y=cos40 10 /,A(40,0.7660) B(41,0.7547) 因為 41 40 10 / 40 都很接近, 故 C(40 10 /,y) 可視為 AB 上的點 y 0.7660 40 10 / 40 = 0.7547 0.7660 y 0.7660=( 10/ 41 40 60 /) ( 0.0113) y=0.7641 (2) 根據線性內插法的精神, y A C O 40 40 10 / 41 B x ~1 5 2~
cosθ cos40 = cos41 cos40 41 40 θ 40 =( θ 40 41 40 cos41 cos40 )(cosθ cos40 ) 1 θ=40 +.(0.76 0.7660) θ=40.53 0.7547 0.7660 ( 練習 2) 利用三角函數值表與線性內插法, 試求下列各小題 : (1)cos17 45 / (2)θ 為銳角且 tanθ=0.1923, 求 θ 的近似值 Ans:(1)0.9524 (2)10 53 / ( 練習 3) 若 sin53 20 / =0.8021,sin53 30 / =0.8039,sinθ = 0.8030, 且 180 <θ <270, 則 θ = Ans:233 25 / (3) 利用計算機 (a) 利用 Windows 系統中的小算盤來計算 : 在 檢視 (V) 中選取 工程型 (S) 出現的視窗如右圖 (b) 要計算 sin43 30 /,43 30 / =43.5 輸入 43.5, 再點選 sin, 即得下圖 sin43.5 0.688354 ( 乙 ) 平面與立體測量 前面已學過初步的三角學的基礎知識與概念, 接下來利用這些知識去解決一些實際測量上的問題, 而測量上的問題, 時常會牽涉到方向與距離 一個物體的方向, 又必須藉助觀察者對該物體所在位置的仰角 俯角或方位來描述, 因此在處理測量問題之前, 要先介紹測量上常用的一些術語 一般而言, 目標物與地心的連線叫做鉛垂線, 而透過觀測者眼睛與鉛垂線垂直的直線, 叫做水平線, 如圖 另外, 通過觀測者眼睛與目標物觀測點的直線, 叫做視線, 至於仰視目標物或俯視目標物時, 視線與水平線間所夾的銳角, 則分別稱為仰角與俯角 ~1 5 3~
(a) (b) 另外方位也很重要, 除了大家熟知的東 西 南 北四個主要方位外, 如果想進一步更精確地指出目標物的方位時, 我們就必須配合角度說明 : 如右圖, 假設觀測者所在的位置為 O 點, 那麼 A 點的方位為東 25 北 ( 或北 65 東 ); B 點的方位為西 41 北 ( 或北 49 西 ); C 點的方位為西 72 南 ( 或南 18 西 ); D 點的方位為東 35 南 ( 或南 55 東 ) 至於東北方位 西北方位 西南方位 東南方位分別指的是東 45 北 西 45 北 西 45 南與東 45 南 [ 例題 3] 在 A B 兩支旗竿底端連線段中某一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 29 B 旗竿頂端的仰角為 15 在底端連線段中另一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 26 B 旗竿頂端的仰角為 19 則 A 旗竿高度和 B 旗竿高度的比值約為 ( 四捨五入到小數點後第一位 ) Ans:3.3 (2009 指定甲 ) ~1 5 4~
[ 例題 4] 如圖所示, 設 AB=30, 1=60, 2=45, 3=30, 4=60, 求 PQ=? [ 解答 ]: ( 法一 ) (1) 在 ΔABP 中, 因為 5=45, 故 AP= 30.sin30 = 15 2 sin45 在 ΔABQ 中, 因為 6=45, 故 AQ= 30.sin90 =30 2 sin45 (2) 在 ΔAPQ 中, 根據餘弦定理 PQ 2 =(15 2) 2 +(30 2) 2 2.15 2.30 2.cos60 =1350 PQ=15 6 ( 法二 ) (1) 因為 1= 4, 故可得知 ABQP 四點共圓, 設外接圓半徑為 R AB (2) 在 ΔABP 中, = 2R, 在 ΔAPQ 中, sin 45 故 PQ= 30.sin60 =15 6 sin45 PQ sin 60 = 2R [ 例題 5] 一船向東 37 南航行, 速度為 50 浬 / 時, 於上午九時, 測得一島之方向為東 53 北, 若航向與速度不變, 繼續航行, 至同日中午十二時, 再測得該島之方向為北 23 西, 則當時 ( 中午十二時 ) 船與該島的距離為多少浬? [ 解法 ]: [ 解答 ]: 如圖, 船於上午 9 點 上午 12 點的位置在 A B 兩點,C 點代表小北島的位置 依題意可知 ΔABC 為直角三角形, C( 小島 ) 且 BAC=90, CBA=53 23 =30, ACB=60, AB=150 150 設 BC=x, 可得 3 = x 2 x=100 3 西 A 53 37 23 東 B ( 練習 4) 某人測得一山峰之仰角為 30, 他向山前進 200 公尺, 再測得山峰之仰角為 45, 則山高為多少公尺? Ans:100( 3+1) 公尺 南 ( 練習 5) ΔABC 為邊長為 5 的正三角形,P 點在三角形內部, 若線段長度 PB=4 且 PC=3, 則 cos ABP= ( 四捨五入到小數點後第二位, 2 的近似值是 1.414, 3 的近似值是 1.732) Ans:0.92 (2009 指定甲 ) ( 練習 6) 例題四中, 若 1=75, 2=45, 3=30, 4=45, AB=30, 求 PQ=? ~1 5 5~
Ans:10 15 ( 練習 7) 設有一湖, 欲測湖岸兩點 CD 長, 但湖岸築有鐵絲網不能靠近, 在鐵絲網外取 A B 兩點間距離為 30 公尺, 分別自 A B 可看到其餘三點 C D B 或 C D A, 因而測得如圖, CAB=120, DBA=135, DAB =30, CBA=45, 則 CD 長為 公尺 Ans:30( 6+ 2) ( 練習 8) 如下圖, 地面上兩點 B,C 被一池塘隔開, 在地面上找一點 A, 量得 AB =80 公尺, AC=50 公尺, 並測得 CAB=60, 則 BC= 公尺 Ans:70 ( 練習 9) 設一颱風中心為 O, 下午 3 時被測出在 A 地南 60 西, 距 A 地 100 公里 50 100 的海上, 正朝東以每小時公里速度侵襲, 且其暴風半徑為公里 3 3 假定這颱風半徑及行進方向與速度均不變, 試預測何時 A 地會進入暴風圈, 何時可望脫離? Ans: 下午 5 時進入暴風圈, 下午 7 時脫離 [ 例題 6] 自塔之東一點 A, 測得塔頂之仰角為 45 ; 在塔之南 60 東一點 B, 測得塔頂 之仰角為 30 設 A B 兩點相距 10 公尺, 則塔高為 公尺 Ans:10 P W N 30 45 A S B 10 E [ 例題 7] 一直線上三點 C D E 測得山頂之仰角分別為 30 45 60 ( 但 C D E 三點與山頂之垂足不共線 ), 若 CD=600 公尺, DE=400 公尺, 則山高為多少 公尺?Ans:200 15 公尺 A h C 30 B 600 45 60 ~1 5 6~ D 400 E
C 3h B 600 D h h 3 400 E ( 練習 10) 從相距 100 公尺的 A B 兩點, 測量氣球 C 之高度, 設氣球正下方為 D 點, 在 A 點測得氣球仰角為 30, BAD=75, 在 B 點測得 ABD=60, 試求氣球的高度為公尺 Ans:50 2 ( 練習 11) 一塔高 25 公尺, 某人由塔頂 A 測得海面上二點 B,C 俯角分別為 30 及 θ, 若 sinθ = 5 6, 且 BAC=120, 則 B,C 二點之距離為多少公尺? Ans:70 ( 練習 12) 某人在燈塔 AB 的頂端 A 測得一船在正西方 C 點, 俯角為 45,5 分鐘後再測得該船在西 30 南的 D 點, 其俯角為 60, 已知 AB =200 公尺, 求船的時速 Ans:800 3 公尺 / 小時 ( 練習 13) 從一直線上之三點 A,B,C 測得一山之仰角各為 30,45,60, 已知 A,B,C 與山腳不共線, AB =30 公尺, BC =20 公尺, 求山高 Ans:10 15 公尺 ( 練習 14) 設有甲 乙兩山, 一人從平地 A 點爬上乙山, 想藉此求得甲山高度, 如圖所示 : 設 M,N 分別為甲 乙兩山的山頂, 此人從 A 沿直線斜坡 AN 爬上乙山, AN =800 公尺, 若 MAN=15, AN 的傾斜角為 30, 此人爬到 N 後, 又測得對 M 之仰角為 60, ANM=120, 試求甲山的山高 Ans:200(5 3) 公尺 M A N ~1 5 7~
綜合練習 (1) 查三角函數值表可知 tan35 =0.7002,tan36 =0.7265, 試利用線性內插法求下列二小題 : (a)tan35 20 / 的近似值 (b) 若 θ 為銳角且 tanθ=0.7100, 求 θ 的近似值到小數點後 2 位 (2) 氣象局測出在 20 小時期間, 颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南 15 西的 200 公里處, 試求颱風移動的平均速度 ( 整數以下, 四捨五入 ) (89 學科 ) (3) 在坐標平面的 x 軸上有 A(2,0),B( 4,0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 BAC 及 ABC 之值後, 通知在 D( 5 2, 8) 的砲台此兩個角的正切值 8 8 分別為 9 及 3 那麼砲台 D 至目標 C 的距離為 (90 學科 ) (4) 如下圖所示, 有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處, 直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去, 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口 試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度? A ( 整數以下, 四捨五入 ) (89 學科 ) B 甲 (5) 將一長為 5 公尺之竹竿, 斜靠在垂直地面而高為 3 公尺的牆頭, 有部分伸出牆外 假設竹竿與地面所成夾角為 θ, 竹竿伸出牆外部分 ( 不計牆的厚度 ) 於日正當 a 中時, 在地面的影長為 tanθ +bcosθ (a b 為常數 ), 則 a=?b=? (6) 小山頂有一砲台, 台頂上有高為 60 尺之瞭望塔, 今在平地上一點, 側得山頂 台頂 塔頂之仰角依次為 45,60,75, 則山高為尺, 砲台高為尺 (7) A,B,C 三地兩兩相距 14 公里 甲從 A 地出發走向 B 地, 在同一時間乙從 B 地出發走向 C 地, 已知甲速為乙速的 2 倍, 試求甲 乙兩人間的最短距離 (8) 淡水河岸 A,B 兩點距離為 400 公尺,CD 為新光三越大樓,D 為樓頂,C 為基底 若 BAC=105, 由 A 測得 D 的仰角為 14, 又 ABC=45, 求 CD 高度 1 24 1 ( 但 sin14 =,cos14 =,tan14 = ) 8 25 4 (9) 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球 在上午 10: 00 熱氣球的仰角為 30, 到上午 10 :10 仰角變成 34 請利用下表判斷到上午 10 :30 時, 熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數? ~1 5 8~
(1) 39 (2) 40 (3) 41 (4) 42 (5) 43 (2013 學科能力測驗 ) (10) 如右圖, 自停泊中一船測兩燈塔均在北 15 東之方向, 此船向北西方向前進 5 浬後再看燈塔, 則一在正東, 另一在北東, 則兩塔距離為 (A)15 5 3 (B) 15 6 3 (C) 15 4 3 (D) 15 2 3 (E) 15 3 浬 A (11) 某人在岸邊小土墩上 A 點看一漁船在海岸附近慢行, 已知土墩高出水面 20 公尺, 當他第一眼看到漁船在 C 點時, 俯角 30, 過 5 分鐘後, 船行至 D 點, 再測得俯角為 45, 且 DAC=45, 則船速為何? (12) 從平地上三點 A,B,C 測得某山頂之仰角均為 15, 設 BAC=30,BC=250 公尺, 求山高 ( 註 :tan15 =2 3 ) (13) 自地面上共線的相異三點 A,B,C 測得一山頂的仰角分別為 30,45,60 若點 B 介 A,C 之間且 AB =200 公尺,BC =100 公尺, 並且山腳與三點 A,B, C 不共線, 試求山高 (14) 一直線上三點 A B C, 測一山之仰角各為 30 45 60 ( 但 A B C 三點與 山頂之垂足不共線 ), 若 AB= BC=80 公尺, 求山高 (15) 站在瞭望臺 O 點處, 發現正北方仰角 60 之 A 點處有一架飛機, 等速朝東飛行,5 秒後測得該飛機經 B 點處時的仰角為 30, 假設這段時間內飛機的飛行高度保持在 500 3 公尺, 而地面上 C,D 兩點恰好分別是飛機飛航中 A,B 兩點的正下方 請問 : (a) OC 與 OD 的長度是多少? (b) 該飛機的速度為何? (16) 某人測得一山峰之仰角為 θ, 當他向山峰前進距離 a 後, 再測得山峰之仰角增 a sinφ sinθ 大為 φ, 則山峰的高度為, 證明之 sin(φ-θ) (17) 在塔之正東方 A 處與正南方 B 處, 分別測得塔頂之仰角為 α 與 β, 已知高度為 h, 試求 AB 的值 ( 以 h α β 表示 ) (18) 設 a b c 為 ΔABC 之三邊長, 若 b>c,a + b + c = 20, 且內切圓半徑為 3, A = 60, 試求 (1 ) a b c 之值? (2 ) ΔABC 之面積? (3 ) 外接圓半徑 R=? (4 ) cos A : cos B : cos C =? C B D ~1 5 9~
(1)(1)0.7090 (2)35.37 (2) 17 公里 / 時 (3) 13 (4) 45 度 (5) a= 3,b=5 綜合練習解答 (6) 30,30( 3 1) (7) 21 (8) 100 2 (9) (3) (10) (A) (11) 4 2 公尺 / 分 (12) 250(2 3) 公尺 (Hint:A,B,C 三點共圓 Why?) (13) 300 公尺 (14) 40 6 (15) (a)500 公尺 1500 公尺 (b)200 2 公尺 / 秒 (16) 如右下圖, CAB=ϕ θ, 由正弦定理可得 a AC=sinθ sin(ϕ θ), 而高 h= a sinφ sinθ AC sinϕ, 所以高 = sin(φ-θ) (17) h 1 1 + 2 2 tan α tan β 7 3 (18) ( 1)7,5,8 (2)10 3 (3) (4)7 :11: 2 3 D θ a C ϕ A h B ~1 5 10~
18 附表 三角函數值表 角度 sin cos tan 0 0 90.0000 1.0000.0000 1.0029 1.0000.0029 343.8 5 2.0058 1.0000.0058 171.9 4 3.0087 1.0000.0087 114.6 3 4.0116.9999.0116 85.94 2 5.0145.9999.0145 68.75 1 1 0 89.0175.9998.0175 57.29 1.0204.9998.0204 49.10 5 2.0233.9997.0233 42.96 4 3.0262.9997.0262 38.19 3 4.0291.9996.0291 34.37 2 5.0320.9995.0320 31.24 1 2 0 88.0349.9994.0349 28.64 1.0378.9993.0378 26.43 5 2.0407.9992.0407 24.54 4 3.0436.9990.0437 22.90 3 4.0465.9990.0466 21.47 2 5.0494.9988.0495 20.21 1 3 0 87.0523.9986.0524 19.08 1.0552.9985.0553 18.07 5 2.0581.9983.0582 17.17 4 3.0610.9981.0612 16.35 3 4.0640.9980.0641 15.60 2 5.0669.9978.0670 14.92 1 4 0 86.0698.9976.0699 14.30 1.0727.9974.0729 13.73 5 2.0756.9971.0758 13.20 4 3.0785.9969.0787 12.71 3 4.0814.9967.0816 12.25 2 5.0843.9964.0846 11.83 1 5 0 85.0872.9962.0875 11.43 1.0901.9959.0904 11.06 5 2.0929.9957.0934 10.71 4 3.0958.9954.0963 10.39 3 4.0987.9951.0992 10.08 2 5.1016.9948.1022 9.788 1 6 0 84.1045.9945.1051 9.514 1.1074.9942.1080 9.255 5 2.1103.9939.1110 9.010 4 3.1132.9936.1139 8.777 3 4.1161.9932.1169 8.556 2 5.1190.9929.1198 8.345 1 7 0 83.1219.9925.1228 8.144 1.1248.9922.1257 7.953 5 2.1276.9918.1287 7.770 4 3.1305.9914.1317 7.596 3 4.1334.9911.1346 7.429 2 5.1363.9907.1376 7.269 1 8 0 82.1392.9903.1405 7.115 1.1421.9899.1435 6.968 5 2.1449.9894.1465 6.827 4 3.1478.9890.1495 6.691 3 ~1 5 11~
4.1507.9886.1524 6.561 2 5.1536.9881.1554 6.435 1 9 0 81.1564.9877.1584 6.314 cos sin tan 角度 附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan 9 0 81.1564.9877.1584 6.314 1.1593.9872.1614 6.197 5 2.1622.9868.1644 6.084 4 3.1650.9863.1673 5.976 3 4.1679.9858.1703 5.871 2 5.1708.9853.1733 5.769 1 10 80.1736.9848.1763 5.671 1.1765.9843.1793 5.576 5 2.1794.9838.1823 5.485 4 3.1822.9833.1853 5.396 3 4.1851.9827.1883 5.309 2 5.1880.9822.1914 5.226 1 11 79.1908.9816.1944 5.145 1.1937.9811.1974 5.066 5 2.1965.9805.2004 4.989 4 3.1994.9799.2035 4.915 3 4.2022.9793.2065 4.843 2 5.2051.9787.2095 4.773 1 12 78.2079.9781.2126 4.705 1.2108.9775.2156 4.638 5 2.2136.9769.2186 4.574 4 3.2164.9763.2217 4.511 3 4.2193.9757.2247 4.449 2 5.2221.9750.2278 4.390 1 13 77.2250.9744.2309 4.331 1.2278.9737.2339 4.275 5 2.2306.9730.2370 4.219 4 3.2334.9724.2401 4.165 3 4.2363.9717.2432 4.113 2 5.2391.9710.2462 4.061 1 14 76.2419.9703.2493 4.011 1.2447.9696.2524 3.962 5 2.2476.9689.2555 3.914 4 3.2504.9681.2586 3.867 3 4.2532.9674.2617 3.821 2 5.2560.9667.2648 3.776 1 15 75.2588.9659.2679 3.732 1.2616.9652.2711 3.689 5 2.2644.9644.2742 3.647 4 3.2672.9636.2773 3.606 3 4.2700.9628.2805 3.566 2 5.2728.9621.2836 3.526 1 16 74.2756.9613.2867 3.487 1.2784.9605.2899 3.450 5 ~1 5 12~
2.2812.9596.2931 3.412 4 3.2840.9588.2962 3.376 3 4.2868.9580.2994 3.340 2 5.2896.9572.3026 3.305 1 17 73.2924.9563.3057 3.271 1.2952.9555.3089 3.237 5 2.2979.9546.3121 3.204 4 3.3007.9537.3153 3.172 3 4.3035.9528.3185 3.140 2 5.3062.9520.3217 3.108 1 18.3090.9511.3249 3.078 72 cos sin tan 角度 附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan 18 72.3090.9511.3249 3.078 1.3118.9502.3281 3.047 5 2.3145.9492.3314 3.018 4 3.3173.9483.3346 2.989 3 4.3201.9474.3378 2.960 2 5.3228.9465.3411 2.932 1 19 71.3256.9455.3443 2.904 1.3283.9446.3476 2.877 5 2.3311.9436.3508 2.850 4 3.3338.9426.3541 2.824 3 4.3365.9417.3574 2.798 2 5.3393.9407.3607 2.773 1 20 70.3420.9397.3640 2.747 1.3448.9387.3673 2.723 5 2.3475.9377.3706 2.699 4 3.3502.9367.3739 2.675 3 4.3529.9356.3772 2.651 2 5.3557.9346.3805 2.628 1 21 69.3584.9336.3839 2.605 1.3611.9325.3872 2.583 5 2.3638.9315.3906 2.560 4 3.3665.9304.3939 2.539 3 4.3692.9293.3973 2.517 2 5.3719.9283.4006 2.496 1 22 68.3746.9272.4040 2.475 1.3773.9261.4074 2.455 5 2.3800.9250.4108 2.434 4 3.3827.9239.4142 2.414 3 4.3854.9228.4176 2.394 2 5.3881.9216.4210 2.375 1 23 67.3907.9205.4245 2.356 1.3934.9194.4279 2.337 5 2.3961.9182.4314 2.318 4 ~1 5 13~
3.3987.9171.4348 2.300 3 4.4014.9159.4383 2.282 2 5.4041.9147.4417 2.264 1 24 66.4067.9135.4452 2.246 1.4094.9124.4487 2.229 5 2.4120.9112.4522 2.211 4 3.4147.9100.4557 2.194 3 4.4173.9088.4592 2.177 2 5.4200.9075.4628 2.161 1 25 65.4226.9063.4663 2.145 1.4253.9051.4699 2.128 5 2.4279.9038.4734 2.112 4 3.4305.9026.4770 2.097 3 4.4331.9013.4806 2.081 2 5.4358.9001.4841 2.066 1 26 64.4384.8988.4877 2.050 1.4410.8975.4913 2.035 5 2.4436.8962.4950 2.020 4 3.4462.8949.4986 2.006 3 4.4488.8936.5022 1.991 2 5.4514.8923.5059 1.977 1 27.4540.8910.5095 1.963 63 cos sin tan 角度 附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan 27 63.4540.8910.5059 1.963 1.4566.8897.5132 1.949 5 2.4592.8884.5169 1.935 4 3.4617.8870.5206 1.921 3 4.4643.8857.5243 1.907 2 5.4669.8843.5280 1.894 1 28 62.4695.8829.5317 1.881 1.4720.8816.5354 1.868 5 2.4746.8802.5392 1.855 4 3.4772.8788.5430 1.842 3 4.4797.8774.5467 1.829 2 5.4823.8760.5505 1.816 1 29 61.4848.8746.5543 1.804 1.4874.8732.5581 1.792 5 2.4899.8718.5619 1.780 4 3.4924.8704.5658 1.767 3 4.4950.8689.5696 1.756 2 5.4975.8675.5735 1.744 1 30 60.5000.8660.5774 1.732 1.5025.8646.5812 1.720 5 2.5050.8631.5851 1.709 4 3.5075.8616.5890 1.698 3 4.5100.8601.5930 1.686 2 5.5125.8587.5969 1.675 1 31.5150.8572.6009 1.664 ~1 5 14~ 59
1.5175.8557.6048 1.653 5 2.5200.8542.6088 1.643 4 3.5225.8526.6128 1.632 3 4.5250.8511.6168 1.621 2 5.5275.8496.6208 1.611 1 32 58.5299.8480.6249 1.600 1.5324.8465.6289 1.590 5 2.5348.8450.6330 1.580 4 3.5373.8434.6371 1.570 3 4.5398.8418.6412 1.560 2 5.5422.8403.6453 1.550 1 33 57.5446.8387.6494 1.540 1.5471.8371.6536 1.530 5 2.5495.8355.6577 1.520 4 3.5519.8339.6619 1.511 3 4.5544.8323.6661 1.501 2 5.5568.8307.6703 1.492 1 34 56.5592.8290.6745 1.483 1.5616.8274.6787 1.473 5 2.5640.8258.6830 1.464 4 3.5664.8241.6873 1.455 3 4.5688.8225.6916 1.446 2 5.5712.8208.6959 1.437 1 35 55.5736.8192.7002 1.428 1.5760.8175.7046 1.419 5 2.5783.8158.7089 1.411 4 3.5807.8141.7133 1.402 3 4.5831.8124.7177 1.393 2 5.5854.8107.7221 1.385 1 36.5878.8090.7265 1.376 54 cos sin tan 角度 附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan 36 54.5878.8090.7265 1.376 1.5901.8073.7310 1.368 5 2.5925.8056.7355 1.360 4 3.5948.8039.7400 1.351 3 4.5972.8021.7445 1.343 2 5.5995.8004.7490 1.335 1 37 53.6018.7986.7536 1.327 1.6041.7969.7581 1.319 5 2.6065.7951.7627 1.311 4 3.6088.7934.7673 1.303 3 4.6111.7916.7720 1.295 2 5.6134.7898.7766 1.288 1 38 52.6157.7880.7813 1.280 1.6180.7862.7860 1.272 5 2.6202.7844.7907 1.265 4 3.6225.7826.7954 1.257 3 4.6248.7808.8002 1.250 2 5.6271.7790.8050 1.242 1 39.6293.7771.8098 1.235 ~1 5 15~ 51
1.6316.7753.8146 1.228 5 2.6338.7735.8195 1.220 4 3.6361.7716.8243 1.213 3 4.6383.7698.8292 1.206 2 5.6406.7679.8342 1.199 1 40 50.6428.7660.8391 1.192 1.6450.7642.8441 1.185 5 2.6472.7623.8491 1.178 4 3.6494.7604.8541 1.171 3 4.6517.7585.8591 1.164 2 5.6539.7566.8642 1.157 1 41 49.6561.7547.8693 1.150 1.6583.7528.8744 1.144 5 2.6604.7509.8796 1.137 4 3.6626.7490.8847 1.130 3 4.6648.7470.8899 1.124 2 5.6670.7451.8952 1.117 1 42 48.6691.7431.9004 1.111 1.6713.7412.9057 1.104 5 2.6734.7392.9110 1.098 4 3.6756.7373.9163 1.091 3 4.6777.7353.9217 1.085 2 5.6799.7333.9271 1.079 1 43 47.6820.7314.9325 1.072 1.6841.7294.9380 1.066 5 2.6862.7274.9435 1.060 4 3.6884.7254.9490 1.054 3 4.6905.7234.9545 1.048 2 5.6926.7214.9601 1.042 1 44 46.6947.7193.9657 1.036 1.6967.7173.9713 1.030 5 2.6988.7153.9770 1.024 4 3.7009.7133.9827 1.018 3 4.7030.7112.9884 1.012 2 5.7050.7092.9942 1.006 1 45.7071.7071 1.000 1.000 45 cos sin tan 角度 ~1 5 16~