2010-2011 学年深圳市深圳市福田区华富中学九年级上学期上学期期末数学试卷期末数学试卷 一 选择题 ( 共 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分 ) 1 (2010 天津 )sin30 的值等于 ( ) A 1 B C D 2 在反比例函数图象上的点为 ( ) A (1,3) B ( - 1, - 3) C (3, - 1) D ( - 3, - 1) 3 如图, 是平切一个球体, 截去一部分后得到的几何体, 它的俯视图是 ( ) A B C D 4 (2000 辽宁 ) 抛物线 y=2(x+1)2-3 的顶点坐标是 ( ) A (1,3) B ( -1,3) C (1,-3) D ( -1,-3) 5 (1999 温州 ) 直角三角形两直角边长分别是 3cm 和 4cm, 则斜边上的中线长等于 ( ) A cm B cm C 5cm D 3cm 6 下列命题正确的是( ) A 对角线相等的四边形是矩形 B 菱形的对角线互相平分 C 三角形的一条中位线将三角形分为面积相等的两部分 D 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是正方形 7 从 1,2,3,4 这四个数字中任意取出两个不同的数字, 取出的两个数字的乘积是偶数的概率为 ( )
A B C D 8 如图, ABC 中, A=70,O 为 ABC 的外心, 则 BOC 的度数为 ( ) A 110 B 125 C 135 D 140 9 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a 0) 的图象如图所示, 有下列 5 个结论 : 1abc>0;2b<a+c;3a+b+c>0;42a-b>0;59a-3b+c<0. 其中正确的有 ( ) A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 10 如图,AB 为 O 的直径,AB=10cm, 弦 CD AB, 垂足为 E, 且 AE:EB=2:3, 则 AC=( ) A 3cm B 4cm C cm D cm 二 填空题 ( 共 6 小题, 每小题 3 分, 满分 18 分 ) 11 (2010 清远 ) 方程 2x(x-3)=0 的解是. 12 圆锥的高为 4cm, 底面半径为 2cm, 则它的侧面积为 cm2. 13 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40, 则这个等腰三角形的一个底角的度数为. 14 二次函数 y= -(2x-4)(x+3) 的图象与 x 轴的交点坐标为. 15 已知 O1 与 O2 相切, O1 的直径为 6cm, O2 的直径为 4cm, 则 O1O2= cm.
16 如图, 一次函数 y1=kx+b(k 0) 与反比例函数的图象交于 A B 两点, 则使 y1 <y2 的 x 的取值范围是. 三 解答题 ( 共 7 小题, 满分 52 分 ) 17 计算 :sin60 - cos45 + tan30 18 解方程 :(x - 2)(x - 3)=9 - x2 19 如图, 在 ABC 中, A=30,tanB=,AC=2, 求 AB 的长. 20 某电器城购进一批单价为 8 元的节能灯管, 如果按每支 10 元出售, 那么每天可销售 100 支, 经调查发现, 这种节能灯管的售价每提高 1 元, 其销售量相应减少 5 支, 为了每天获得最大利润, 该电器城应将这种灯管的售价定为每支多少元? 每天获得的最大利润是多少? 21 如图, ABC 和 ADE 都是等边三角形, 点 D 在 BC 边上,AB 边上有一点 F, 且 BF=DC, 连接 EF EB. (1) 求证 : ABE ACD; (2) 求证 : 四边形 EFCD 是平行四边形. 22 如图, O 的半径为 5cm,AB 是 O 的直径, 点 C 在 O 上, 过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P, AC=PC, COB=2 PCB. (1) 求证 :PC 是 O 的切线 ; (2) 求线段 BC 的长度.
23 如图 1, 直线 y=x - 3 与 x 轴 y 轴分别交于 B C 两点, 点 A 在 x 轴负半轴上, 且, 抛物线经 过 A B C 三点,D 为线段 AB 中点, 点 P(m,n) 是该抛物线上的一个动点 ( 其中 m>0,n<0), 连接 DP 交 BC 于点 E. (1) 写出 A B C 三点的坐标, 并求抛物线的解析式 ; (2) 当 BDE 是等腰三角形时, 直接写出此时点 E 的坐标 ; (3) 连接 PC PB( 如图 2), PBC 是否有最大面积? 若有, 求出 PBC 的最大面积和此时 P 点的坐标 ; 若没有, 请说明理由.
答案与评分标准 一 选择题 ( 共 10 小题, 每小题 3 分, 满分 30 分 ) 1 (2010 天津 )sin30 的值等于 ( ) A 1 B C D 考点 : 特殊角的三角函数值 分析 : 根据特殊角的三角函数值来解本题. 解答 : 解 :sin30 =. 故选 D. 点评 : 本题考查特殊角的三角函数值, 特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现, 题型以选择题 填空 题为主. 2 在反比例函数图象上的点为 ( ) A (1,3) B ( -1,-3) C (3,-1) D ( -3,-1) 考点 : 反比例函数图象上点的坐标特征 专题 : 计算题 分析 : 找到横纵坐标的积等于-3 的点的坐标即可. 解答 : 解 :A 1 3=3, 不符合题意 ; B -1 (-3)=3, 不符合题意 ; C 3 ( -1)=-3, 符合题意 ; D -3 (-1)=3, 不符合题意 ; 故选 C. 点评 : 考查反比例函数上的点的特点 ; 用到的知识点为 : 反比例函数上点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数. 3 如图, 是平切一个球体, 截去一部分后得到的几何体, 它的俯视图是 ( ) A B
C D 考点 : 截一个几何体 ; 简单组合体的三视图 专题 : 几何图形问题 分析 : 平切一个球体, 截去一部分后得到的几何体后, 找到从上面看所得到的图形即可. 解答 : 解 : 从上面看可得到一个圆环的图形, 里面的圆画实线. 故选 A. 点评 : 本题考查了三视图的知识, 俯视图是从物体的上面看得到的视图, 注意看得到的棱画实线. 4 (2000 辽宁 ) 抛物线 y=2(x+1)2-3 的顶点坐标是 ( ) A (1,3) B ( -1,3) C (1,-3) D ( -1,-3) 考点 : 二次函数的性质 分析 : 已知抛物线解析式为顶点式, 可直接求出顶点坐标. 解答 : 解 : y=2(x+1)2-3 是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知, 顶点坐标为 (-1,-3), 故选 D. 点评 : 考查求二次函数顶点式 y=a(x-h)2+k 的顶点坐标 对称轴. 5 (1999 温州 ) 直角三角形两直角边长分别是 3cm 和 4cm, 则斜边上的中线长等于 ( ) A cm B cm C 5cm D 3cm 考点 : 勾股定理 ; 直角三角形斜边上的中线 分析 : 由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 因此要先求出斜边的长 ; 直角三角形中, 已知了两条直角边的长, 由勾股定理可求出斜边的长, 由此得解. 解答 : 解 : 由勾股定理得 : 直角三角形的斜边长为 : =5cm; 故斜边上的中线长为 cm; 故选 A. 点评 : 此题主要考查的是直角三角形的性质 : 直角三角形中, 斜边上的中线等于斜边的一半. 6 下列命题正确的是( ) A 对角线相等的四边形是矩形 B 菱形的对角线互相平分 C 三角形的一条中位线将三角形分为面积相等的两部分 D 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是正方形考点 : 正方形的判定 ; 三角形中位线定理 ; 菱形的性质 ; 矩形的判定 专题 : 证明题 分析 : 利用正方形的判定 三角形中位线定理 菱形的性质和矩形的判定方法进行判断, 选择正确答案. 解答 : 解 :A 对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形, 故选项错误 ; B 菱形的对角线互相垂直平分是定理, 故选项正确 ; C 把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线, 故选项错误 ; D 被四条边分割出来的四个三角形是全等三角形, 所以四条边相等, 那么新四边形为菱形, 故选项错误. 故选 B.
点评 : 本题考查正方形的判定 三角形中位线定理 菱形的性质和矩形的判定方法, 熟练掌握各特殊四边 形的判定和性质是解答此类问题的关键. 7 从 1,2,3,4 这四个数字中任意取出两个不同的数字, 取出的两个数字的乘积是偶数的概率为 ( ) A B C D 考点 : 列表法与树状图法 专题 : 图表型 分析 : 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果, 然后根据概率公式求出该事件的概率. 解答 : 解 : 列表得 共有 12 种等可能出现的结果, 偶数有 10 次, 概率为. 故选 C. 点评 : 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率. 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果, 适合于两步完成的事件. 用到的知识点为 : 概率 = 所求情况数与总情况数之比. 8 如图, ABC 中, A=70,O 为 ABC 的外心, 则 BOC 的度数为 ( ) A 110 B 125 C 135 D 140 考点 : 三角形的外接圆与外心 专题 : 常规题型 分析 : 运用三角形外心的有关知识, 及外接圆的圆心, BOC 的度数为 A 的 2 倍. 解答 : 解 : ABC 中, A=70,O 为 ABC 的外心, BOC=2 A=140 故选 :D
点评 : 此题主要考查了三角形外心的有关知识, 即同弧所对的圆周角是圆心角的一半, A= BOC=70, 题目比较简单. 9 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a 0) 的图象如图所示, 有下列 5 个结论 : 1abc>0;2b<a+c;3a+b+c>0;42a - b>0;59a - 3b+c<0. 其中正确的有 ( ) A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个考点 : 二次函数图象与系数的关系 专题 : 计算题 分析 : 由抛物线的开口方向判断 a 的符号, 由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值, 然后根据图象经过的点的情况进行推理, 进而对所得结论进行判断. 解答 : 解 : 抛物线的开口向上, 则 a>0, 对称轴- < - 1, b>0, 2a - b<0, 与 y 轴交与负半轴, c<0, abc<0, 当 x= -1 时,a-b+c<0, b>a+c, 当 x=1 时,a+b+c>0, 当 x= -3 时,9a-3b+c<0. 故正确的为 :35 故选 A. 点评 : 本题考查了二次函数图象与系数的关系, 属于基础题, 关键是根据图象获取信息进行求解. 10 如图,AB 为 O 的直径,AB=10cm, 弦 CD AB, 垂足为 E, 且 AE:EB=2:3, 则 AC=( ) A 3cm B 4cm C cm D cm 考点 : 相交弦定理 ; 勾股定理 ; 垂径定理 专题 : 计算题 分析 : 有相交弦定理和垂径定理得 CE2=AE BE, 可求得 CE, 再由勾股定理求出 AC 即可.
解答 : 解 : CD AB, CE2=AE BE, AB=10cm, 且 AE:EB=2:3, AE=4cm,EB=6cm, CE=2 cm, AC= = =2 cm. 故选 D. 点评 : 本题考查了勾股定理 相交弦定理和垂径定理, 是重点内容, 要熟练掌握. 二 填空题 ( 共 6 小题, 每小题 3 分, 满分 18 分 ) 11 (2010 清远 ) 方程 2x(x-3)=0 的解是 x1=0,x2=3. 考点 : 解一元二次方程 - 因式分解法 分析 : 根据 两式相乘值为 0, 这两式中至少有一式值为 0 进行求解. 解答 : 解 : 由 2x(x-3)=0, 得 2x=0, 或 x-3=0, 解得 x1=0,x2=3. 点评 : 本题考查了解一元二次方程的方法, 当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后方程的左边能因式分解时, 一般情况下是把左边的式子因式分解, 再利用积为 0 的特点解出方程的根. 因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法, 要会灵活运用. 12 圆锥的高为 4cm, 底面半径为 2cm, 则它的侧面积为 cm2. 考点 : 圆锥的计算 专题 : 计算题 分析 : 利用勾股定理求出圆锥的母线长, 然后用圆锥的侧面积等于底面圆的周长乘以母线长求出圆锥的 侧面积. 解答 : 解 : 圆锥的母线长为 : =2. 圆锥的侧面积为 : 2π 2 2 =4 πcm2. 故答案是 :4 π. 点评 : 本题考查的是圆锥的计算, 根据勾股定理可以求出母线的长, 然后利用公式求出圆锥的侧面积. 13 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40, 则这个等腰三角形的一个底角的度数为 65 或 25. 考点 : 等腰三角形的性质 ; 三角形内角和定理
分析 : 本题已知没有明确三角形的类型, 所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨 论. 解答 : 解 : 当这个三角形是锐角三角形时 : 高与另一腰的夹角为 40, 则顶角是 50, 因而底角是 65 ; 当这个三角形是钝角三角形时 : 高与另一腰的夹角为 40, 则顶角的外角是 50, 则底角是 25. 因此这个等腰三角形的一个底角的度数为 25 或 65. 故填 25 或 65. 点评 : 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理 ; 等腰三角形的高线, 可能在三角形的内部, 边 上 外部几种不同情况, 因而, 遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论. 14 二次函数 y= -(2x-4)(x+3) 的图象与 x 轴的交点坐标为 (2,0) 和 (-3,0). 考点 : 抛物线与 x 轴的交点 分析 : 利用当图象与 x 轴相交时,y=0, 即可求出. 解答 : 解 : 求 y= -(2x-4)(x+3) 与 x 轴的交点坐标, 即 :y=0, y= -(2x-4)(x+3)=0, 解得 :x1=2,x2=-3, 与 x 轴的交点坐标为 (2,0),( -3,0). 故答案为 :(2,0),( -3,0). 点评 : 此题主要考查了二次函数图象与 x 轴交点坐标的求法, 难度不大, 比较典型. 15 已知 O1 与 O2 相切, O1 的直径为 6cm, O2 的直径为 4cm, 则 O1O2= 5 或 1 cm. 考点 : 圆与圆的位置关系 专题 : 分类讨论 分析 : 半径不相等的两圆相切有两种情况 : 内切和外切, 不要只考虑其中一种情况. 由 O1 与 O2 的直 径分别为 6cm 和 4cm 得两圆的半径分别为 3cm 2cm; 当两圆外切时,O1O2=5(cm); 当两圆内切时,O1O2=3-2=1(cm), 所以 O1O2 的值为 5 或 1cm. 注意, 相同半径的两圆只有外切与外离, 而没有内切与内含的位 置关系. 解答 : 解 : O1 和 O2 相切, 两圆可能内切和外切, 当两圆外切时,O1O2=3+2=5(cm); 当两圆内切时,O1O2=3-2=1(cm); O1O2 的长是 5 或 1cm. 故答案为 :5 或 1. 点评 : 本题考查两圆的位置关系. 特别注意 : 两圆相切, 则可能有两种情况, 内切或外切. 16 如图, 一次函数 y1=kx+b(k 0) 与反比例函数的图象交于 A B 两点, 则使 y1 <y2 的 x 的取值范围是- 2<x<0 或 x>3.
考点 : 反比例函数与一次函数的交点问题 专题 : 分段函数 分析 : 观察图象, 就以下四种情况比较 y1 与 y2 的大小 : 1 当 x -2 时 ;2 当-2<x<0 时 ;3 当 0<x 3 时 ;4 当 x>3 时. 解答 : 解 : 通过图象观察 1 当 x -2 时,y1 y2; 2 当-2<x<0 时,y1<y2; 3 当 0<x 3 时,y1 y2; 4 当 x>3 时,y1<y2; 要使 y1<y2, 则 x 的取值范围是-2<x<0 或 x>3. 故答案为-2<x<0 或 x>3. 点评 : 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题. 解决本题的关键是首先针对 x 的取值分段, 再比较 y1 与 y2 的大小. 三 解答题 ( 共 7 小题, 满分 52 分 ) 17 计算 :sin60 - cos45 + tan30 考点 : 特殊角的三角函数值 专题 : 计算题 分析 : 先把 sin60 =,cos45 =,tan30 = 代入原式, 再根据实数的运算法则进行计算. 解答 : 解 : 原式 =, =, =. 故答案为 :. 点评 : 本题考查的是特殊角的三角函数值, 熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键.
18 解方程:(x-2)(x-3)=9-x2 考点 : 解一元二次方程 - 因式分解法 专题 : 计算题 分析 : 方程的右边可以利用平方差公式进行分解, 移项把等号右边变成 0, 则方程的左边即可提取公因式, 利用因式分解法求解比较简单. 解答 : 解 :(x-2)(x-3)+(x+3)(x-3)=0, (x-3)(2x+1)=0, x-3=0,2x+1=0, 解得 :x1=3,. 点评 : 本题主要考查解一元二次方程的方法 : 因式分解法, 因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法, 要会灵活运用. 19 如图, 在 ABC 中, A=30,tanB=,AC=2, 求 AB 的长. 考点 : 解直角三角形 专题 : 计算题 分析 : 过点 C 作 CD AB 于点 D, 分别在 Rt ACD,Rt CDB 中求出 AD 与 BD, 再求和. 解答 : 解 : 过点 C 作 CD AB 于点 D, 在 Rt ACD 中, A=30,AC=2, CD=sin A AC= = ;AD=cos A AC= =3; 在 Rt CDB 中, tanb= =, 即 =, 得 :BD=2, 故 :AB=AD+BD=5. 点评 : 通过作辅助线可使一般三角形转化为直角三角形, 使求解的过程变得简单. 20 某电器城购进一批单价为 8 元的节能灯管, 如果按每支 10 元出售, 那么每天可销售 100 支, 经调查发现, 这种节能灯管的售价每提高 1 元, 其销售量相应减少 5 支, 为了每天获得最大利润, 该电器城应将这种灯管的售价定为每支多少元? 每天获得的最大利润是多少? 考点 : 二次函数的应用 专题 : 计算题
分析 : 解决问题的关键是, 设出未知数后, 正确的表示出单件商品的利润和总的销量, 两者的乘积即使利润, 求最大利润, 即是二次函数中最值问题. 解答 : 解 : 设该电器城将这种节能灯管的售价提高 x(x 0) 元出售, 每天获得的利润为 y 元. y=(2+x)(100-5x) = -5x2+90x+200 = -5(x-9)2+605 当 x=9 时,y 最大 =605. 10+9=19( 元 ) 答 : 该电器城应将这种灯管的售价定为每支 19 元时, 每天可获得最大利润, 最大利润为 605 元. 点评 : 此题主要考查了二次函数中升降价问题, 以及二次函数的最值问题, 这是中考中热点问题, 题目比较典型. 21 如图, ABC 和 ADE 都是等边三角形, 点 D 在 BC 边上,AB 边上有一点 F, 且 BF=DC, 连接 EF EB. (1) 求证 : ABE ACD; (2) 求证 : 四边形 EFCD 是平行四边形. 考点 : 平行四边形的判定 ; 全等三角形的判定与性质 ; 等边三角形的性质 专题 : 证明题 分析 : 因为 ABE 和 ACD 中的边是等边三角形 ABC 和 ADE 一些边, 因此很容易证得两组对应边相等, 再根据等边三角形中角都为 60, 可证得一组对应角相等, 从而证得全等 ; 根据平行四边形的判定一组对边平行且相等是平行四边形, 根据条件可证 EF DC,EF=DC. 解答 : 证明 :(1) ABC 和 ADE 都是等边三角形, AE=AD,AB=AC, EAD= BAC=60, EAD- BAD= BAC- BAD, 即 : EAB= DAC, ABE ACD(SAS); (2) 证明 : ABE ACD, BE=DC, EBA= DCA, 又 BF=DC, BE=BF. ABC 是等边三角形, DCA=60, BEF 为等边三角形. EFB=60,EF=BF ABC 是等边三角形, ABC=60, ABC= EFB,
EF BC, 即 EF DC, EF=BF,BF=DC, EF=DC, 四边形 EFCD 是平行四边形. 点评 : 本题考查全等三角形的判定和性质, 以及平行四边形的判定定理. 22 如图, O 的半径为 5cm,AB 是 O 的直径, 点 C 在 O 上, 过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P, AC=PC, COB=2 PCB. (1) 求证 :PC 是 O 的切线 ; (2) 求线段 BC 的长度. 考点 : 切线的判定 ; 圆周角定理 分析 :(1) 根据直径所对的圆周角是直角, 得到 ACB=90, 又 COB=2 PCB, COB=2 AOC, 等量代换得到 OCP=90, 证明 PC 是 O 的切线. (2) 在直角 ABC 中, 由 AC=PC, COB=2 A, 以及 (1) 的结论得到 A=30, 然后求出线段 BC 的长度. 解答 :(1) 证明 : 在 O 中, COB=2 CAB,OA=OC, OA=OC, CAB= ACO, COB=2 ACO, 又 COB=2 PCB, PCB= ACO, AB 是 O 的直径, ACB=90, 即 ACO+ OCB=90, PCB+ OCB=90, 即 OCP=90, OC CP, PC 是 O 的切线 ; (2) 解 : O 的半径为 5cm,AB 是 O 的直径, AB=10cm, AC=PC, A= P, COB=2 A, COB=2 P 又 OCP=90, COB+ P=90, P=30, A=30, 又 ACB=90,
CB= AB=5cm. 点评 : 本题考查的是切线的判定,(1) 根据直径所对的圆周角是直角, 以及题目中所给出的角度的关系, 可以得到 OCP=90, 证明 PC 是 O 的切线.(2) 在直角三角形中, 利用 30 角所对的直角边是斜边的 一半可以求出线段 BC 的长. 23 如图 1, 直线 y=x - 3 与 x 轴 y 轴分别交于 B C 两点, 点 A 在 x 轴负半轴上, 且, 抛物线经 过 A B C 三点,D 为线段 AB 中点, 点 P(m,n) 是该抛物线上的一个动点 ( 其中 m>0,n<0), 连接 DP 交 BC 于点 E. (1) 写出 A B C 三点的坐标, 并求抛物线的解析式 ; (2) 当 BDE 是等腰三角形时, 直接写出此时点 E 的坐标 ; (3) 连接 PC PB( 如图 2), PBC 是否有最大面积? 若有, 求出 PBC 的最大面积和此时 P 点的坐标 ; 若没有, 请说明理由. 考点 : 二次函数综合题 专题 : 计算题 ; 综合题 分析 :(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式 ; (2) 运用等腰三角形的性质, 分三种情况讨论, 即可解决 ; (3) 求出 PBC 的最大面积, 可以联系二次函数的最值问题. 解答 : 解 :(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,-3) 设抛物线解析式为 y=a(x+1)(x-3), 把 C(0, -3) 代入得-3a= -3, 解得 a=1. 抛物线的解析式为 y=x2-2x-3. (2)E1(2, - 1),E2( ),E3(1, - 2).
(3) 作 PF x 轴于点 F, 设 PBC 的面积为 S, 则 S=S 四边形 OCPF+S PFB - S OBC = = 又 点 P 是抛物线上的点, 且 m>0,n<0 n=m2-2m - 3(0<m<3) = 当时, PBC 的面积的面积最大, 最大面积为, 此时 P 点坐标为. 点评 : 此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式, 以及二次函数最值问题, 综合性比较强.